7.1条件概率与全概率公式7题型分类(讲+练）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.1条件概率与全概率公式7题型分类 一、条件概率的概念 1．一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 二、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 三、条件概率的性质 1．P(Ω|A)＝1． 2．如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 3．设和B互为对立事件，则P()＝1－P(B)． 四、条件概率的两种解法 1．定义法：先求和，再由求． 2．基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数，再求事件A发生的条件下事件B包含的基本事件数，得. 五、全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 六、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0，有P()=.i＝1，2，…，n. 七、贝叶斯公式的运用条件 1．A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知. 2．事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知. 3．P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到. 4．求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(). （一） 由定义求条件概率 利用定义计算条件概率的步骤： (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 题型1：利用定义求条件概率 1．（2026高二·广西桂林·阶段检测）袋子中有8个大小相同的小球，其中5个红球，3个蓝球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到蓝球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件表示第1次摸到红球，事件表示第2次摸到蓝球， 则，， 所以. 故选：C 2．（2026高二·江西·阶段检测）先后两次抛一枚质地均匀的骰子，记事件“第一次抛出的点数小于3”，事件“两次点数之和大于3”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概型及条件概率公式计算即可. 【详解】由题意可知，所以. 故选:B. 3．（2026高二·全国·单元测试）芜湖有很多闻名的旅游景点．现有两位游客慕名来到芜湖，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择丙景点”，事件B为“两人选择的景点不同”，则条件概率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，，利用条件概率公式求出答案. 【详解】两人均有4种选择，故共有16个基本事件， 其中两人至少有一人选择丙景点分两种情况，一是均选择丙景点， 二是一人选择丙景点，另一人选择其他景点，故A事件共有个基本事件， 而事件包含个基本事件， 故，， 所以. 故选：D 4．（2026高二·宁夏·期中）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，已知乙地下雨的条件下，甲地下雨的概率为.求两地同时下雨的概率为______. 【答案】/ 【详解】记事件“甲地下雨”，事件“乙地下雨”， 则由已知可得，， 由条件概率公式得， 解得. 5．（2026高二·海南·期中）海南的中学生中有的同学爱好排球，的同学爱好足球，的同学爱好排球或爱好足球.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好足球，则该同学也爱好排球的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【答案】B 【详解】由题意，同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好足球”为事件，记“该同学爱好排球”为事件，则， 所以. 6．（2026高二·重庆江津·月考）甲、乙两支队伍进行篮球系列赛，赛制为“五局三胜”制，甲队在每局比赛中获胜的概率均为，乙队在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.在甲获得系列赛冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算甲赢的概率，再由条件概率的内容求出结果即可. 【详解】比三场，甲赢的概率为； 比四场，甲第四场赢，甲赢的概率为； 比五场，甲第五场赢，甲赢的概率为; 所以甲赢的概率为， 所以甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为. 题型2：由样本点数求条件概率 7．（2026·山西临汾·模拟预测）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先甲去或班的总数为，进一步由组合数排列数应用条件概率即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去班，所有实习生分配方案总数为， 甲去班的概率相等，所以甲去或班的总数为， 甲不去班，B班恰有3名实习生的情形一，甲去班且班有3名实习生共有种； 情形二，甲去班，班有3名实习生共有种， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的共有种， 设实习生甲不去A班为事件，设B班恰有3名实习生为事件， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为. 8．（2026高二·广东东莞·期中）一袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球，如果不放回地依次取2个小球.在第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设“第1次摸到红球”，“第2次摸到红球”，分别得到和，根据条件概率公式求解即可. 【详解】在这2次摸球过程中，设“第1次摸到红球”，“第2次摸到红球”， 则， ， 所以 9．（2026高二·北京·期中）抛掷甲､乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子点数的概率为__________. 【答案】/0.5 【分析】先求出总的事件数目，再求出符合的事件数目，即可求出概率. 【详解】甲投掷骰子可能出现的点数为：，乙投掷骰子可能出现的点数为：1，2， 3，4，5，6， 则所有出现的情况为（第一个表示甲投掷的，第二个表示乙投掷的）： 一共有18种， 乙骰子的点数小于甲骰子点数的情况有： ，共有9种， 则甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子点数的概率为. 10．（2026高二·山西晋中·期中）一枚质地均匀的正四面体骰子，各个面上分别有1，2，3，4个点.抛掷该骰子两次，已知着地一面上的点数之和为4，则两次都是奇数点的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率计算公式即可求解. 【详解】设事件为“两次掷骰子点数之和为4”，事件为“两次都是奇数点”， 事件（点数和为4）的所有等可能有序结果： 抛掷两次骰子，点数满足的结果为：，共3种， 事件的结果： 满足条件的结果为：，共2种， 由条件概率计算公式得：. 题型3：乘法公式的应用 11．（2026高二·江苏淮安·月考）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率的乘法公式可求得的值. 【详解】由概率的乘法公式可得. 故选：C. 12．（2026高二·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 【答案】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 13．（2026·江西·模拟预测）某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类．已知某同学答对所有选择题的概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________． 【答案】0.6/ 【详解】设事件“该同学答对所有选择题”，事件“该同学答对所有填空题”． 由题意知，故． 14．（2026·浙江·模拟预测）已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______. 【答案】 0.24/ 0.36/ 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件结合条件概率公式分析求解. 【详解】设“第一问做出”为事件A，“第二问做出”为事件B， 由题意可得：， 则， 所以，即此题得满分的概率是0.24； 所以，即此题得0分的概率是0.36. 故答案为：0.24；0.36. 15．（2026高二·河南南阳·期末）已知，，则______. 【答案】 【分析】求出的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，. 故答案为：. （二） 条件概率的性质与应用 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率． 题型4：条件概率的性质与应用 16．（2026高二·江西·期中）已知随机事件，，若，，，则_________. 【答案】 【分析】根据题意，由条件概率公式可得，再由，再结合条件概率的公式即可得到结果. 【详解】由题意可得，，且，则， 又因为，则， 且，所以. 故答案为:. 17．【多选】（2026·全国·模拟预测）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可. 【详解】因为，，所以，. 因为与为互斥事件，所以， 所以 ， 所以， 故，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，， 所以，故D错误. 故选:AB. 18．【多选】（2026·江苏南通·模拟预测）已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D. 【详解】对B，，B正确； 对A，，，A错误； 对C，，，C正确； 对D， ，D正确. 故选：BCD. 19．（2026高二·辽宁大连·月考）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______． 【答案】 【详解】已知， ， ， ． 20．（2026高二·山东济南·期中）已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件概率公式可得出的值，分析可知，且与互斥，利用互斥事件的概率公式可求得的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由条件概率公式可得，所以， 因为，且与互斥，所以， 所以， 由条件概率公式可得. 21．【多选】（2026·江西赣州·模拟预测）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 22．【多选】（2026高二·浙江·期中）若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则独立 D． 【答案】ABD 【分析】条件概率是指事件发生的条件下事件发生的概率，记为，计算公式为，其中.事件与事件相互独立的充要条件是，结合定义和性质，对选项逐一判断. 【详解】选项A，，A选项正确. 选项B，，B选项正确. 选项C，，，不能得出，选项C错误. 选项D，，D选项正确. （三） 全概率公式 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用． 题型5：全概率公式的应用 23．（2026高二·陕西西安·阶段检测）已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全概率公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品为优品， 由题可得：， 故. 故选：A. 24．（2026高二·江苏宿迁·阶段检测）甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，丙袋中有个白球和个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据取到甲、乙、丙袋分三种情况结合全概率公式求解. 【详解】设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件，“取出的是丙袋”为事件，“该球为红球”为事件， 则 ， 故选：C. 25．（2026高二·全国·专题练习）一玩具制造厂的某一配件由、、三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂、、的次品率分别为，，，提供配件的份额分别为，，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，则抽到的是次品的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设事件：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂，利用全概率公式计算可得. 【详解】设事件：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂， 所以. 26．（2026高二·江西吉安·阶段检测）2023年冬天我国多地爆发流感，已知在三个地区分别有的人患了流感，这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取1人，则这个人患流感的概率为__________. 【答案】/ 【分析】根据相互独立事件的概率公式和全概率公式结合题意求解即可. 【详解】设事件为“这个人患流感”，事件分别表示这个人选自三个地区， 则由已知得， ， 所以由全概率公式得 , 故答案为： （四） 贝叶斯公式 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小． 题型6：贝叶斯公式的应用 27．（2026高二·江苏苏州·期中）某工厂有三个车间生产同一种通讯器材，第1个车间生产该通讯器材的优等品率为，第2和第3个车间生产该通讯器材的优等品率均为，生产出来的产品混放在同一个仓库里．已知第1，2，3车间生产的通讯器材数量分别占总数的，，． (1)现从仓库中任取一个该通讯器材，试问它是优等品的概率是多少？ (2)如果取到的通讯器材是优等品，计算它是第个车间生产的概率． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，即可求解； （2）根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）设事件分别表示取出的通讯器材是第个车间生产的，表示“取到的是优等品”. 易知两两互斥，根据全概率公式， 可得 ． 所以从仓库中任取一个该通讯器材，取到优等品的概率是． （2） 如果取到的通讯器材是优等品，它是第1个车间生产的概率为； 如果取到的通讯器材是优等品，，它是第2个车间生产的概率为； . 如果取到的通讯器材是优等品，，它是第3个车间生产的概率为. 28．（2026高二·河南·期中）某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设任取一件甲产品为事件，任取一件乙产品为事件，任取一件丙产品为事件，设任取一件是合格品为事件， 则，，，，，， 故. 29．（2026高二·广东广州·期中）设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. (1)求的值； (2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； (3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 【答案】(1)3； (2)； (3). 【分析】（1）利用古典概率公式列式求解. （2）利用条件概率公式求解. （3）利用全概率公式求解. 【详解】（1）由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为，得， 所以. （2）从甲袋中取出两球，事件“第一个球是白球”，事件“第二个球是红球” 则，，， 所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为. （3）从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为，从乙袋取出的是白球或黑球的事件为， 则，， 由全概率公式得， 所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率. 30．（2026高二·广东广州·期中）甲箱的产品中有6件正品和2件次品，乙箱的产品中有5件正品和2件次品． (1)从甲箱中任取2件产品，求至少取到1件次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2件产品放入乙箱，再从乙箱中任取1件产品，求取出的这件产品是正品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可； （2）记“从乙箱取出一个正品”为事件，“从甲箱中取出两个正品”为事件，“从甲箱中取出一个正品、一个次品”为事件，“从甲箱中取出两个次品”为事件，然后利用古典概型的概率公式求出对应的概率，再结合全概率公式可求得结果. 【详解】（1）记“从甲箱中任取2件产品，至少取到1件次品”为事件， 则. 故从甲箱中任取2件产品，至少取到1件次品的概率为. （2）记“从乙箱取出一个正品”为事件，“从甲箱中取出两个正品”为事件， “从甲箱中取出一个正品、一个次品”为事件，“从甲箱中取出两个次品”为事件， 则两两互斥，且， 则，，， 所以. 故取出的这件产品是正品的概率为. 31．（2026高二·吉林长春·阶段检测）某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用全概率公式与贝叶斯公式即可得解. 【详解】依题意，设第一周去自由校区开会为事件，第二周去自由校区开会为事件， 则，， 所以， 则. 故选：A. 32．（2026·江苏宿迁·模拟预测）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故选：C． 33．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（    ） A．0.2 B．0.05 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式，结合已知条件，求解即可. 【详解】根据题意可得：； ； 由全概率公式可得： ； 故. 故选：D. 34．（2026高三·云南·阶段检测）某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式和条件概率公式，即可求解. 【详解】设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题； 设事件表示答对该题，则， 设事件表示答对某个题， 则， 设事件表示将有思路的题目做对，则， 故选：B 35．（2026高二·宁夏银川·阶段检测）某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4. (1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率； (2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率. 【答案】(1)0.485； (2). 【分析】（1）由全概率公式求解可得； （2）利用（1）中结论，由条件概率公式计算即可 【详解】（1）记事件B：“小明获胜”，记事件：“小明与第类棋手相遇”， 由题可得，，，， ，，. 由全概率公式可知： . （2）由条件概率公式可得. 即小明获胜，对手为一类棋手的概率为. 题型7：全概率公式和贝叶斯公式的综合应用 36．【多选】（2026高二·江苏南京·期中）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“先从甲箱中取出2个球中恰有个红球”为事件（），“从乙箱中取出1个球是黑球”为事件，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先求出事件的概率，再分别求出在这三种情况下事件的条件概率，利用全概率公式求，最后利用贝叶斯公式求，逐项判断即可. 【详解】由题意，，故A不正确；. 当事件发生时，从甲箱移入乙箱的是个红球和个黑球， 此时乙箱中共有个红球、个黑球，共个球，所以故B正确； 再由全概率公式， 当发生时，移入乙箱的是个黑球，此时乙箱中有红黑，则 当发生时，移入乙箱的是个红球，此时乙箱中有红黑，则 于是，故C 不正确. 最后由贝叶斯公式，，故D正确. 37．【多选】（2026高二·浙江台州·期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件，存在如下关系：.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为.则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】AD 【分析】利用条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式计算可得. 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 38．【多选】（2026·广东·模拟预测）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】ACD 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 39．【多选】（2026高三·河北唐山·期中）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（   ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B．第二次取到1号球的概率 C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大 D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 【答案】ABD 【分析】对于A选项利用条件概率公式求解；对于B选项利用全概率公式求解；对于C选项利用贝叶斯公式求解；对于D选项不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解. 【详解】对于A选项：记事件分别表示第一次、第二次取到号球， 则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为： ，故A正确， 对于B选项：记事件分别表示第一次、第二次取到号球， 依题意两两互斥， 其和为， 并且， ， ， ， 由全概率公式有：，故B正确； 对于C选项：依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同， ， ， ， 则故在第二次取到1号球的条件下，它取自编号为1的口袋的概率最大， 故C不正确； 对于D选项：先将5个不同的小球分成或三份， 再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有： ，故D正确； 故选：ABD. 1．（2026高二·全国·课后作业）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据条件概率公式计算． 【详解】由，可得. 故选：C. 2．（2026高二·全国·课后作业）根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为，则在下雨条件下刮东风的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用条件概率公式计算即得. 【详解】记某地四月份某日舌东风为事件，某地四月份某日下雨为事件，则所求概率为= 故选:C. 3．（2026高二·全国·课堂例题）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为______． 【答案】 【分析】利用条件概率公式列式计算即得. 【详解】从袋中不放回地依次随机摸出2个球，设第一次摸到红球为事件，则， 设两次都摸到红球为事件，则， 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率. 故答案为： 4．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨，根据条件概率的公式计算即可得出结果. 【详解】记事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨， 在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为. 故选：C 5．（2026高二·广东佛山·期末）袋中有大小和形状都相同的3个白球和2个黑球，现从袋中不放回地依次抽取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记第次取得白球为事件，直接根据条件概率计算公式即可得结果. 【详解】记第次取得白球为事件， 故选：C. 6．（2026高二·湖南·课后作业）集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． 【答案】 【分析】列举出甲抽到奇数所有的可能情况，再计算出其中乙抽到的数比甲抽到的数大的可能的情况，根据概率的计算公式即可求得答案. 【详解】将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个． 在这15个情形中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个， 所以所求概率. 7．（2026高二·全国·课后作业）集合，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到偶数的概率． 【答案】 【分析】根据题意，先求得甲抽到奇数时的基本事件的总数，再用列举法求得甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数所包含的基本事件的个数，即可求解相应的概率. 【详解】由题意，甲抽到奇数共有种不同的抽法， 又由在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的情形有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9种不同的抽， 所以所求概率． 8．（2026高二·全国·课后作业）5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率是______． 【答案】/0.5 【详解】设第一次取到新球为事件，第二次取到新球为事件， 则. 故答案为：. 9．（2026高二·全国·课后作业）将外形相同的球分做装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母，3个球标有字母；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率． 【答案】 【分析】设{从第一个盒子中取得标有字母的球}，{从第一个盒子中取得标有字母的球}，{第二次取出的球是红球}，由已知可得，，，．事件“试验成功”表示为，由概率的加法公式得可求得答案. 【详解】解：设{从第一个盒子中取得标有字母的球}，{从第一个盒子中取得标有字母的球}，{第二次取出的球是红球}， 则，，，． 事件“试验成功”表示为，又事件与事件互斥，所以由概率的加法公式得 ． 所以试验成功的概率为. 10．（2026高二·全国·课后作业）在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少答对其中的4道题即可通过；若至少答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 【答案】 【分析】由条件根据条件概率的求法，并注意互斥事件概率计算公式的合理运用，求得他获得优秀成绩的概率． 【详解】解：设“他能答对其中的6道题”为事件，“他能答对其中的5道题”为事件，“他能答对其中的4道题”为事件， 设“他考试通过”为事件，“他考试获得优秀”为事件． 则由题意可得，，且、、两两互斥． 所以． 又，， ， 故他获得优秀成绩的概率为； 11．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件概率公式，以及概率的性质，即可判断选项. 【详解】由乘法公式可知选项A正确，则选项B不正确， 因为，，所以，所以C正确； 因为，，所以，所以D正确． 故选：ACD 12．（2026高二·陕西延安·月考）将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件{两个点数互不相同}，{出现一个5点}，则(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36−6=30， 事件B:出现一个5点，有10种， ∴， 本题选择A选项. 点睛：条件概率的计算方法： (1)利用定义，求P(A)和P(AB)，然后利用公式进行计算； (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，然后求概率值. 13．（2026高二·广东广州·期末）随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末.现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”、“白云山”、“海珠湿地公园”、“大夫山森林公园”、“火炉山森林公园”这5个户外景点中随机选择1个景点度周末.记事件A为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件B为“两个家庭选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出事件所含有的基本事件数，再利用条件概率公式计算作答. 【详解】两个家庭选择景点的试验有个基本事件，事件含有的基本事件数为个， 事件含有的基本事件数为个，则， 所以. 故选：C 14．（2026高二·新疆乌鲁木齐·月考）某班学生考试成绩统计如下：数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是_______． 【答案】0.2 【分析】设这个班有100人，根据题意可分析数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人，因此可知一学生数学不及格，则他语文也不及格的为15人中有3人，计算概率即可. 【详解】由题意设这个班有100人， 则数学不及格有15人，语文不及格有5人， 都不及格的有3人， 则数学不及格的人里头有3人语文不及格， ∴已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率为： ． 故答案为：0.2． 15．（2026高二·全国·课堂例题）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】由，可得． 故选：A. 16．（2026高二·全国·课堂例题）已知，则（    ） A．0.3 B．0.108 C．0.2 D．0.1 【答案】A 【分析】应用条件概率公式计算即可. 【详解】因为，所以． 故选：A. 17．（2026高二·全国·课堂例题）某厂的产品中有的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为______. 【答案】0.72 【分析】先计算，再通过条件概率计算通过条件概率求，再计算即可. 【详解】设A为“任取的一件是合格品”，为“任取的一件是一等品”， 某厂的产品中有的废品，，又因为， 因为在100件合格品中有75件一等品，所以， 且事件发生时事件A一定发生， 所以. 故答案为：0.72. 18．（2026高二·全国·课堂例题）一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据计算即可求解. 【详解】第一次取出的是黑球设为事件A，第二次取出红球设为事件， 则，， 所以第二次才取出红球的概率是． 故选：D 19．（2026高二·全国·课堂例题）假设在市场上出售的电脑中，甲品牌的占，合格率为，乙品牌的占，合格率也为，在市场上随机买一台电脑， (1)求该电脑是甲品牌合格品的概率； (2)求该电脑是乙品牌不合格的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可； （2）结合对立事件概率再应用条件概率公式计算求解, 【详解】（1）用表示买到的电脑是甲品牌，用表示买到的电脑是合格品，则， 所以该电脑是甲品牌合格品的概率． （2）由（1）知，， 所以该电脑是乙品牌不合格的概率． 20．（2026高二·上海浦东新·期中）已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，若市民感染新冠病毒，则标本检出阳性的概率为99%，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率是______．（用数值表示） 【答案】 【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解． 【详解】记感染新冠病毒为事件，标本为阳性为事件， 则，， 故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为． 故答案为：． 21．（2026高二·全国·课堂例题）在一个不透明的盒子中有10个大小相同的小球，其中6个红色的小球、4个白色的小球，不放回地从盒子中连续取两次小球，每次任取2个小球，求： (1)第一次取到2个红色的小球且第二次也取到2个红色的小球的概率； (2)第一次取到2个白色的小球且第二次取到2个红色的小球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：利用古典概型的概率公式和条件概率计算即可；方法二：利用排列组合和古典概型的概率公式计算即可； （2）方法一：利用古典概型的概率公式和条件概率计算即可；方法二：利用排列组合和古典概型的概率公式计算即可； 【详解】（1）方法一： 设A表示第一次取到2个红色的小球，表示第二次取到2个红色的小球， 则． 因为取出的两个小球不放回， 所以第一次取出2个红色的小球后，盒子中还有8个小球，其中4个小球是红色的， 此时第二次再取出小球时，取到的也是2个红色的小球的概率是， 所以第一次取到2个红色的小球且第二次也取到2个红色的小球的概率为 ． 方法二： 把问题转化为从盒子中每次任取两个小球，连续取两次， 这两次取出的都是红色小球的概率， 设事件A为：第一次取到2个红色的小球且第二次也取到2个红色的小球， 所以． （2）方法一： 设A表示第一次取到2个白色的小球，表示第二次取到2个红色的小球， 则． 因为取出的两个小球不放回，所以第一次取出2个白色的小球后， 盒子中还有8个小球，其中6个小球是红色的， 此时第二次再取出小球时，取到的是2个红色的小球的概率是， 所以第一次取到2个白色的小球且第二次取到2个红色的小球的概率是 ． 方法二： 把问题转化为从盒子中每次任取两个小球，连续取两次， 第一次取到2个白色的小球，第二次取到2个红色的小球的概率， 设事件为：第一次取到2个白色的小球且第二次取到2个红色的小球， 所以． 22．（2026高二·全国·课堂例题）在一个不透明的盒子中有10个大小相同的小球，其中6个红色的小球、4个白色的小球，不放回地从盒子中连续取两次小球，每次任取2个小球，求第一次取到的2个小球颜色不同，且第二次也取到的2个小球颜色也不同的概率． 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式求出第一次取到2个颜色不同的小球的概率，结合条件概率计算即可求解. 【详解】设A表示第一次取到2个颜色不同的小球， 表示第二次取到2个颜色不同的小球， 则． 因为取出的两个小球不放回，所以第一次取出2个不同颜色的小球后， 盒子中还有8个小球，其中5个小球是红色的，3个是白色的， 此时第二次再取出小球时，取到的也是2个不同颜色的小球的概率是， 所以第一次取到的2个的小球颜色不同，且第二次也取到的2个小球颜色也不同的概率为 ． 23．（2026高二·全国·课堂例题）从1，2，3，4，5，6，7，8这8个数中不放回地抽取两次，每次都抽取2个数，若已知第一次抽到的2个数是偶数，求第二次抽到的2个数的和是偶数的概率． 【答案】 【分析】先求出第一次抽到的2个数是偶数的概率，然后求出第一次抽到的2个数是偶数的前提下第二次抽到的2个数的和是偶数的概率即可. 【详解】1，2，3，4，5，6，7，8这8个数中，有4个奇数，4个偶数， 设事件为第一次抽取的2个数是偶数，事件表示第二次抽到的2个数的和是偶数，则，第一次抽取2个偶数后，还剩下6个数，其中2个偶数，4个奇数， 此时第二次抽到的2个数的和是偶数的概率为. 24．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）已知，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据条件概率公式分别计算各个选项即可. 【详解】因为， 所以，所以B正确， 不能确定，A不正确； 因为，所以C正确， 不能确定，D不正确． 故选：BC. 25．（2026高二·全国·课堂例题）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率的性质求解即可 【详解】因为． 故选：B 26．（2026高二·河北保定·开学考试）甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为和,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案. 【详解】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C, 则； 则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为； 故选：A. 【点睛】本题考查条件概率的计算,是基础题,注意认清事件之间的关系,结合条件概率的计算公式正确计算即可.属于基础题. 27．（2026高三·上海·单元测试）开元通宝是我国唐代的一种货币，向开元通宝上任意投掷一粒芝麻，第一次投进方空的概率约为0.5，在第一次投到开元通宝上的条件下第二次也投进方空的概率约为0.3，则这样连续两次都可把芝麻投进方空的概率是__________． 【答案】0.15 【分析】由条件概率公式即可求解. 【详解】设“第一次投进方空”为事件，“第二次投进方空”为事件， 则由题意， 从而由条件概率公式可知，. 故答案为：0.15. 28．（2026高二·全国·课堂例题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式直接求解即可. 【详解】由题知，． 故选：B 29．（2026高二·山西晋中·月考）袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球.今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第一个人取球的情况，利用概率的乘法公式即可求解. 【详解】设事件A：第一个人取出的为黄球,事件B：第一个人取出的是白球，事件C：第二个人取出的为黄球. 则有:，.,. 所以 故选：A 30．（2026高二·全国·课堂例题）（1）已知，求． （2）已知，求和． 【答案】（1）0.24；（2）0.34；. 【分析】根据条件概率公式和全概率公式，列式求解. 【详解】（1）因为，所以，， ． （2）由题意可知，， 所以， ，所以． 31．（2026高二·全国·课堂例题）已知，求． 【答案】， 【分析】根据条件概率公式贺全概率公式计算即可. 【详解】由题意可得， ， 所以， ，所以． 32．（2026高二·全国·课后作业）盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中（新球用后成了旧球）．第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率． 【答案】 【分析】利用条件概率公式及全概率公式求解. 【详解】设A表示第二次取出3个球均为新球，为第一次取出3球中有i个新球，i＝0，1，2，3， 则，，，， ，，，， 所以． 33．（2026高二·全国·课后作业）甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率． 【答案】飞机被击落的概率为0.458. 【分析】设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”， 设Hi＝“飞机被第i人击中”，i＝1，2，3，先由独立互斥概率公式求得, i＝1，2，3，然后利用全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)求得P(B). 【详解】设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A1B＋A2B＋A3B， 依题意，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1. 由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)， 为求P(Ai)，设Hi＝“飞机被第i人击中”，i＝1，2，3，可求得： ， P(A2)＝P(H1H2＋H1H3＋H2H3)， P(A3)＝P(H1H2H3)， 将数据代入计算得 P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，P(A3)＝0.14， 于是P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458. 即飞机被击落的概率为0.458. 34．（2026高二·全国·课堂例题）已知某地居民肝癌的发病率为0.0004．通过对血清甲胎蛋白进行检验可以检测一个人是否患有肝癌，但这种检测方法可能出错，具体是：患有肝癌但检测显示正常的概率为0.01，未患有肝癌但检测显示有肝癌的概率为0.05．目前情况下，肝癌的致死率比较高，肝癌发现得越早，治疗越有效，因此有人主张对该地区的居民进行普查，以尽早发现肝癌患者．这个主张是否合适？ 【答案】不合适，理由见详解 【分析】根据题意，利用贝叶斯公式求解“检测显示患有肝癌的居民确实患有肝癌的概率”即可判断是否合适. 【详解】上述情境中，如果患有肝癌，那么检测出来的概率为．然而，普查的主张是否合适，主要取决于检测结果显示患有肝癌时，实际上患有肝癌的概率． 设表示患有肝癌，表示检测结果显示患有肝癌， 则， 从而有，． 根据贝叶斯公式，则检测显示患有肝癌的居民确实患有肝癌的概率为． 这就表明，检测结果显示患有肝癌但实际上患有肝癌的概率还不到，也就是说，如果进行普查的话，在现有条件下，100个显示患有肝癌的人中，可能只有1个人是真正患有肝癌的．从这个意义上来说，进行普查并不是一个好主意． 35．（2026高二·全国·课后作业）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得及. 【详解】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得， ， 故选：B． 36．（2026高二·黑龙江双鸭山·期中）某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是______；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是______． 【答案】 0.4/ 0.3/ 【分析】合理设出事件，利用全概率计算出这个人迟到的概率，用贝叶斯概率公式计算出如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率. 【详解】设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”， 则，，，，，， ， 由全概率公式得： ； 如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得到他乘船迟到的概率为： . 故答案为：0.4；0.3 37．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）下列公式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由互斥事件加法公式及全概率公式逐项判断即可； 【详解】由互斥事件概率的加法公式：；A错B对； 全概率公式：；C错D对；． 故选：BD 38．（2026高三·全国·一轮复习）已知，，，则（　　） A． B． C．0.33 D．0.1 【答案】A 【分析】根据已知利用全概率公式得，即可求解. 【详解】解：由全概率公式可得： 可得，解得：. 故选：A. 39．（2026高二·全国·课后作业）设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________． 【答案】 【分析】设“中途停车修理”为事件， “经过的是货车”为事件， “经过的是客车” 为事件，则，然后代入贝叶斯公式计算. 【详解】设“中途停车修理”为事件， “经过的是货车”为事件， “经过的是客车” 为事件，则，，，，，由贝叶斯公式有. 故答案为： 40．（2026高二·浙江宁波·期末）已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为___________． 【答案】/0.84375 【分析】合理设出事件，利用全概率公式进行求解. 【详解】设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的5道题为事件B，选到有思路的两道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，则，，，由全概率公式可得： 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.1条件概率与全概率公式7题型分类 一、条件概率的概念 1．一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 二、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 三、条件概率的性质 1．P(Ω|A)＝1． 2．如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 3．设和B互为对立事件，则P()＝1－P(B)． 四、条件概率的两种解法 1．定义法：先求和，再由求． 2．基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数，再求事件A发生的条件下事件B包含的基本事件数，得. 五、全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 六、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0，有P()=.i＝1，2，…，n. 七、贝叶斯公式的运用条件 1．A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知. 2．事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知. 3．P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到. 4．求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(). （一） 由定义求条件概率 利用定义计算条件概率的步骤： (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 题型1：利用定义求条件概率 1．（2026高二·广西桂林·阶段检测）袋子中有8个大小相同的小球，其中5个红球，3个蓝球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到蓝球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·江西·阶段检测）先后两次抛一枚质地均匀的骰子，记事件“第一次抛出的点数小于3”，事件“两次点数之和大于3”，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026高二·全国·单元测试）芜湖有很多闻名的旅游景点．现有两位游客慕名来到芜湖，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择丙景点”，事件B为“两人选择的景点不同”，则条件概率（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二·宁夏·期中）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，已知乙地下雨的条件下，甲地下雨的概率为.求两地同时下雨的概率为______. 5．（2026高二·海南·期中）海南的中学生中有的同学爱好排球，的同学爱好足球，的同学爱好排球或爱好足球.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好足球，则该同学也爱好排球的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 6．（2026高二·重庆江津·月考）甲、乙两支队伍进行篮球系列赛，赛制为“五局三胜”制，甲队在每局比赛中获胜的概率均为，乙队在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.在甲获得系列赛冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（   ） A． B． C． D． 题型2：由样本点数求条件概率 7．（2026·山西临汾·模拟预测）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2026高二·广东东莞·期中）一袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球，如果不放回地依次取2个小球.在第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（2026高二·北京·期中）抛掷甲､乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子点数的概率为__________. 10．（2026高二·山西晋中·期中）一枚质地均匀的正四面体骰子，各个面上分别有1，2，3，4个点.抛掷该骰子两次，已知着地一面上的点数之和为4，则两次都是奇数点的概率是（    ） A． B． C． D． 题型3：乘法公式的应用 11．（2026高二·江苏淮安·月考）已知，，则（     ） A． B． C． D． 12．（2026高二·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 13．（2026·江西·模拟预测）某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类．已知某同学答对所有选择题的概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________． 14．（2026·浙江·模拟预测）已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______. 15．（2026高二·河南南阳·期末）已知，，则______. （二） 条件概率的性质与应用 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率． 题型4：条件概率的性质与应用 16．（2026高二·江西·期中）已知随机事件，，若，，，则_________. 17．【多选】（2026·全国·模拟预测）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 18．【多选】（2026·江苏南通·模拟预测）已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A． B． C． D． 19．（2026高二·辽宁大连·月考）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______． 20．（2026高二·山东济南·期中）已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 21．【多选】（2026·江西赣州·模拟预测）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 22．【多选】（2026高二·浙江·期中）若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则独立 D． （三） 全概率公式 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用． 题型5：全概率公式的应用 23．（2026高二·陕西西安·阶段检测）已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（    ） A． B． C． D． 24．（2026高二·江苏宿迁·阶段检测）甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，丙袋中有个白球和个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（    ） A． B． C． D． 25．（2026高二·全国·专题练习）一玩具制造厂的某一配件由、、三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂、、的次品率分别为，，，提供配件的份额分别为，，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，则抽到的是次品的概率为（ ） A． B． C． D． 26．（2026高二·江西吉安·阶段检测）2023年冬天我国多地爆发流感，已知在三个地区分别有的人患了流感，这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取1人，则这个人患流感的概率为__________. （四） 贝叶斯公式 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小． 题型6：贝叶斯公式的应用 27．（2026高二·江苏苏州·期中）某工厂有三个车间生产同一种通讯器材，第1个车间生产该通讯器材的优等品率为，第2和第3个车间生产该通讯器材的优等品率均为，生产出来的产品混放在同一个仓库里．已知第1，2，3车间生产的通讯器材数量分别占总数的，，． (1)现从仓库中任取一个该通讯器材，试问它是优等品的概率是多少？ (2)如果取到的通讯器材是优等品，计算它是第个车间生产的概率． 28．（2026高二·河南·期中）某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 29．（2026高二·广东广州·期中）设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. (1)求的值； (2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； (3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 30．（2026高二·广东广州·期中）甲箱的产品中有6件正品和2件次品，乙箱的产品中有5件正品和2件次品． (1)从甲箱中任取2件产品，求至少取到1件次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2件产品放入乙箱，再从乙箱中任取1件产品，求取出的这件产品是正品的概率． 31．（2026高二·吉林长春·阶段检测）某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为（    ） A． B． C． D． 32．（2026·江苏宿迁·模拟预测）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（    ） A． B． C． D． 33．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（    ） A．0.2 B．0.05 C． D． 34．（2026高三·云南·阶段检测）某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（   ） A． B． C． D． 35．（2026高二·宁夏银川·阶段检测）某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4. (1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率； (2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率. 题型7：全概率公式和贝叶斯公式的综合应用 36．【多选】（2026高二·江苏南京·期中）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“先从甲箱中取出2个球中恰有个红球”为事件（），“从乙箱中取出1个球是黑球”为事件，则（   ） A． B． C． D． 37．【多选】（2026高二·浙江台州·期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件，存在如下关系：.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为.则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 38．【多选】（2026·广东·模拟预测）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 39．【多选】（2026高三·河北唐山·期中）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（   ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B．第二次取到1号球的概率 C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大 D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 1．（2026高二·全国·课后作业）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·全国·课后作业）根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为，则在下雨条件下刮东风的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二·全国·课堂例题）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为______． 4．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026高二·广东佛山·期末）袋中有大小和形状都相同的3个白球和2个黑球，现从袋中不放回地依次抽取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高二·湖南·课后作业）集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． 7．（2026高二·全国·课后作业）集合，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到偶数的概率． 8．（2026高二·全国·课后作业）5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率是______． 9．（2026高二·全国·课后作业）将外形相同的球分做装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母，3个球标有字母；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率． 10．（2026高二·全国·课后作业）在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少答对其中的4道题即可通过；若至少答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 11．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2026高二·陕西延安·月考）将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件{两个点数互不相同}，{出现一个5点}，则(　　) A． B． C． D． 13．（2026高二·广东广州·期末）随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末.现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”、“白云山”、“海珠湿地公园”、“大夫山森林公园”、“火炉山森林公园”这5个户外景点中随机选择1个景点度周末.记事件A为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件B为“两个家庭选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026高二·新疆乌鲁木齐·月考）某班学生考试成绩统计如下：数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是_______． 15．（2026高二·全国·课堂例题）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 16．（2026高二·全国·课堂例题）已知，则（    ） A．0.3 B．0.108 C．0.2 D．0.1 17．（2026高二·全国·课堂例题）某厂的产品中有的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为______. 18．（2026高二·全国·课堂例题）一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是（    ） A． B． C． D． 19．（2026高二·全国·课堂例题）假设在市场上出售的电脑中，甲品牌的占，合格率为，乙品牌的占，合格率也为，在市场上随机买一台电脑， (1)求该电脑是甲品牌合格品的概率； (2)求该电脑是乙品牌不合格的概率． 20．（2026高二·上海浦东新·期中）已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，若市民感染新冠病毒，则标本检出阳性的概率为99%，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率是______．（用数值表示） 21．（2026高二·全国·课堂例题）在一个不透明的盒子中有10个大小相同的小球，其中6个红色的小球、4个白色的小球，不放回地从盒子中连续取两次小球，每次任取2个小球，求： (1)第一次取到2个红色的小球且第二次也取到2个红色的小球的概率； (2)第一次取到2个白色的小球且第二次取到2个红色的小球的概率． 22．（2026高二·全国·课堂例题）在一个不透明的盒子中有10个大小相同的小球，其中6个红色的小球、4个白色的小球，不放回地从盒子中连续取两次小球，每次任取2个小球，求第一次取到的2个小球颜色不同，且第二次也取到的2个小球颜色也不同的概率． 23．（2026高二·全国·课堂例题）从1，2，3，4，5，6，7，8这8个数中不放回地抽取两次，每次都抽取2个数，若已知第一次抽到的2个数是偶数，求第二次抽到的2个数的和是偶数的概率． 24．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）已知，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 25．（2026高二·全国·课堂例题）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2026高二·河北保定·开学考试）甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为和,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 27．（2026高三·上海·单元测试）开元通宝是我国唐代的一种货币，向开元通宝上任意投掷一粒芝麻，第一次投进方空的概率约为0.5，在第一次投到开元通宝上的条件下第二次也投进方空的概率约为0.3，则这样连续两次都可把芝麻投进方空的概率是__________． 28．（2026高二·全国·课堂例题）若，则（    ） A． B． C． D． 29．（2026高二·山西晋中·月考）袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球.今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 30．（2026高二·全国·课堂例题）（1）已知，求． （2）已知，求和． 31．（2026高二·全国·课堂例题）已知，求． 32．（2026高二·全国·课后作业）盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中（新球用后成了旧球）．第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率． 33．（2026高二·全国·课后作业）甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率． 34．（2026高二·全国·课堂例题）已知某地居民肝癌的发病率为0.0004．通过对血清甲胎蛋白进行检验可以检测一个人是否患有肝癌，但这种检测方法可能出错，具体是：患有肝癌但检测显示正常的概率为0.01，未患有肝癌但检测显示有肝癌的概率为0.05．目前情况下，肝癌的致死率比较高，肝癌发现得越早，治疗越有效，因此有人主张对该地区的居民进行普查，以尽早发现肝癌患者．这个主张是否合适？ 35．（2026高二·全国·课后作业）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（    ） A． B． C． D． 36．（2026高二·黑龙江双鸭山·期中）某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是______；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是______． 37．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）下列公式正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（2026高三·全国·一轮复习）已知，，，则（　　） A． B． C．0.33 D．0.1 39．（2026高二·全国·课后作业）设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________． 40．（2026高二·浙江宁波·期末）已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为___________． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $