专题04 圆综合问题（压轴题专练，12大题型+强化训练）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题04 圆综合问题 命题预测 根据2025年山东省16市的中考数学卷分析，圆综合问题是山东省中考数学解答题的压轴常考题，选择填空压轴也是高频考点；预计在2026年中考数学中，圆综合问题考查形式仍是重点，考生应多投入到圆与三角形综合、圆与四边形综合、圆与相似三角形综合、圆与解直角三角形综合等，考生要想拿高分，这一块内容一定要吃透！ 高频考法 1.垂径定理的综合应用 2.圆周角定理的综合应用 3.切线的性质 4.扇形的弧长与面积相关计算 5.以圆为背景的阴影面积相关计算 6.切线的证明 7.圆与三角形综合 8.圆与四边形综合 9.圆与相似三角形综合 10.圆与解直角三角形综合 11.圆与二次函数综合 12.圆中的最值问题 典例·靶向·突破 题型01 垂径定理的综合应用 1．（2026·山东济宁·模拟预测）如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点，若的半径是13，则切线长的值是（　　） A．13.5 B．15 C．16.5 D．18 【答案】D 【分析】过点分别作，的垂线，，由，的半径是13，作根据垂径定理可以求出，再利用勾股定理可求得弦心距，再由轴对称（翻折）得到点关于的对称点是对应的圆心，，连接，由切线性质可得，，由三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，，，进而在中用勾股定理可求出，长，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，则于， 由垂径定理的， 连接， 在中，， ， 过点作于，同理可得，， 将沿翻折，恰好与弦相切于点， 由翻折对称得，是对应的圆心，连接， ，，， 过点作于， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，，， （勾股定理）， ， ． 故选：D． 2．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的直径，弦交于点E，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理可知，由对顶角相等可知，再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，，从而可求出的长，进而得出的长，由又可求出的长．再次根据勾股定理可求出，从而得出，最后计算即可． 【详解】解：如图，过点O作于点M，连接． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·山东德州·模拟预测）水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 作，，作，设，先说明四边形是矩形，得到，再利用“”说明，得到，根据勾股定理列出方程，求出，，最后根据垂径定理，计算即可求解． 【详解】解：如图，作、交于点、，作于点， 设， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 点到水面的距离为， ，则， 圆形轮盘分布了12个水斗，水斗A和B中间还有2个水斗， ， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 则，即，解得，， 或， ， 点是的中点，即， 或． 故选：D． 题型02 圆周角定理的综合应用 4．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，弦与直径相交于点，连接，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理以及三角形外角的性质． 根据是的外角可求解，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求解． 【详解】解：是的外角， ， ， ． 故选：． 5．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，已知为的切线，点D为上一点，交于点C，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的切线定理，圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据切线得到直角，然后利用圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的切线， ∴， ∴， 根据圆周角定理得，， 故选：A． 6．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，为的切线，点为切点，交于点，，点在上，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质得到，求出，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得，． 题型03 切线的性质 7．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，点是正方形的中心．与相切于点，连接．若，，则正方形的面积是（　　） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质，切线的性质，相似三角形的性质和判定，掌握以上知识点的应用是解题的关键．连接，过点作，交的延长线于点，由切线的性质可以证明，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， 点是正方形的中心， 经过点， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴正方形的面积是26， 故选：A． 8．（2026·山东淄博·模拟预测）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为_________． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质； 设的内切圆切三边于点、、，连接、、，可得四边形是正方形，由切线长定理可知，，可得，，由勾股定理得，再求出内切圆的半径为，进而可求得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， ∴， ， ∴内切圆的半径为， ∴， ∴， ∴的周长为． 故答案为：6． 9．（25-26九年级上·山东聊城·月考）如图，在中，，，的半径为1，点在边上运动，过点的直线与相切于点，则的最大值与最小值的差为____________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，切线的性质，找准最大值与最小值的点是解此题的关键． 作于，由勾股定理可求出，由等面积法得出，再结合当点与点重合时，最大，当与上的高，即点重合时，最小，分别利用勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， ∵在中，，， ∴， 则， ， ∵， ∴当最大时，就最大， ∴如图，当点与点重合时，最大， 由勾股定理可得：， 如图，当与上的高，即点重合时，最小， 由勾股定理可得： ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为， 故答案为：． 题型04 扇形的弧长与面积相关计算 10．（2026·山东济南·二模）如图，正五边形边长为6，以A为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的周长为 _______．（结果保留） 【答案】 【分析】利用正多边形内角和定理以及弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴的长度为， ∴阴影部分的周长为． 11．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是_____． 【答案】 【分析】先根据扇形弧长等于圆锥底面周长计算出圆锥底面的半径，再画出圆锥的截面图，使用勾股定理计算出圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面的半径为， 由题意可知，， 解得， 圆锥的截面图如图所示， 由圆锥的性质可知，，，， 在中，， ∴圆锥的高为． 12．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，曲边三角形的周长为，它可以按下面的方法作出：作一个正三角形，分别以正三角形的各个顶点为圆心、以边长为半径作弧，使弧经过另外两个顶点．然后擦去正三角形，三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形，则的周长为_____． 【答案】9 【分析】本题考查了与圆有关的计算，等边三角形的性质，通过曲边三角形的周长求出对应扇形的半径是解题关键． 由题意可知曲边三角形的三边为以对应顶点为圆心的扇形的弧，圆心角为，求出对应的半径，即为正三角形的边长，即可求解． 【详解】解：由题意，得，，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为： 9． 题型05 以圆为背景的阴影面积相关计算 13．（2026·山东烟台·一模）如图，已知正方形的边长为4，为边的中点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】用扇形的面积减去的面积和半圆的面积即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴ ． 14．（2026·山东烟台·模拟预测）如图，边长为1的正方形的顶点B在上，顶点A、C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接，由正方形的性质可得，，从而得出，，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是边长为1的正方形， ∴，， ∴，， ∴ ． 15．（2026·山东德州·一模）如图，在扇形中，，点，分别在，上，于点，连接，，．若，，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】连接，设，由等腰三角形的性质，结合三角形外角的性质，可得，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，可得，由平行线的判定定理，可得，可得，根据扇形的面积公式可得扇形的面积，即为阴影部分面积． 【详解】解：连接，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为． 题型06 切线的证明 16．（2026·山东潍坊·一模）如图，点，，是上的三点，，且．弦交于点，点是延长线上的一点，连接，． (1)求证：为的切线； (2)如图，若的度数为，连接，求弦，和围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）连接，由等边对等角得，又，则，所以，所以，故，然后通过切线的判定方法即可求解； （）连接，，由的度数为，则，然后证明，所以，再通过即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接，， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（2026·山东临沂·一模）如图，内接于是的直径，弧弧于点交于点，交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理证明，求出，证明，在中，，即可得到结论； （2）证明，再根据证明，即可得到是等腰三角形； （3）设，则，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：是的直径，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 由（1）知，， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：， 设，则， ， ． 18．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，点在的边上，以为半径的与相交于点，与相交于点为的直径，与相交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，由得，由得，可得，得，故可得是的切线； （2）分别求出，，，由证明可得即从而可求出． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ． ， ， ， 于点， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解： ∴， ∵的半径为3， ∴， 由（1）知，， ， ， ， ， 即 ， 的长是． 题型07 圆与三角形综合 19．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． (1)求证：是的切线； (2)为边上的中线，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，先证明，则，继而求出，可推导出是的切线，即可解答； （2）设，得到，求出 ，则，设，则，得到，解得，则，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线，A是切点， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴ 设的半径为r， 则，， ∴， ∴， 解得 ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ， ∵为边上的中线， ， ∴， 即的值是． 20．（2026·山东德州·一模）已知内接于，，为的直径，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）根据是的直径，得出，由三角形内角和，得出，进而求得，根据等弧所对的圆周角相等，即可求解； （2）连接并延长，交于点，连接，先证明，根据切线的性质可得，结合得出四边形是矩形，根据勾股定理求得，设的半径为，则：，，在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：是的直径， . ， ，由三角形内角和， 得. . ， （2）解：连接并延长，交于点，连接 ， 是的垂直平分线， ， 又为的切线， 由（1）得 四边形是矩形 ， ， 在中，. 设的半径为，则：，， 在中，由勾股定理，得：， ， ； 的半径为. 题型08 圆与四边形综合 21．（2026·山东日照·模拟预测）如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点． (1)判断直线是否为的切线，并说明理由； (2)如果，求的长； (3)将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)直线为的切线，理由见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了切线的性质和判定，正切，菱形的判定，平行线的判定，对称，同弧所对的圆周角相等，含30度角的直角三角形性质，切线长定理。 （1）连接，由是圆O的直径可得，进而求得，即可得出直线为的切线； （2）求出，解直角三角形求出，根据含角直角三角形求出即可； （3）根据折叠和已知求出，根据平行线的判定推出，求出，，推出，求出，根据切线长定理可得，，进而结论得证． 【详解】（1）直线为的切线，理由如下： 如图1，连接， ∵是的直径， ， ， ∵， ， ， ∴，即， ∵是的半径， 直线为的切线； （2）为切线， ， ， ， 在中，，， ∴， ， ∵， ∴； （3）如图2，连接， 由题意得：，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， 为切线， ， ， 四边形为平行四边形， ∵、为切线， ∴， 四边形为菱形． 22．（2026·山东威海·模拟预测）如图所示，是线段延长线上的点，矩形的外接圆过的中点． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)若是的切线，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了圆的综合题，切线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． （1）由矩形的对边相等，对角线相等，且四个角为直角得到，，，再由为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到，即垂直于，由为的中点，得到垂直平分，即，等量代换即可得证； （2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，即为与的长，由求出的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义即可求出的值； （3）根据圆周角定理得到是的直径，根据切线的性质得到，设，，根据相似三角形的性质健康得到结论． 【详解】（1）在矩形中，，，， 为圆的直径， ，即， 是的中点， ， ； （2）在中，，， 根据勾股定理得：，， ， 在中，； （3）， 是的直径， 是的切线， ， ， ， 设，， ， ， 解得：，（负值舍去）， ． 23．（2026·山东临沂·模拟预测）如图1，在菱形中，，的半径为，与菱形的两边相切于点E，F，交菱形的两边于点M，N，延长交于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)求的面积； (3)如图2，连接并延长，交延长线于点P，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3) 【分析】（1）连接，证明，得到，即可得证； （2）证明，进而得到的面积等于的面积，进而求出的面积即可； （3）勾股定理求出的长，连接，利用圆周角定理，结合角的和差关系，推出，进而推出，利用相似三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）解：连接，则：， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，， ∵， 又∵，， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴； （3）∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知，，， ∴，， ∴， ∴， 连接，由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型09 圆与相似三角形综合 24．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，为的角平分线，线段的垂直平分线与相交于点，以点为圆心，以长为半径画圆，交边于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接， 根据是的垂直平分线，得出，则， 结合为的角平分线证明，证出，即可证明是的切线． （2）由题意得：， ，在中勾股定理求出​， 证明，求出．连接，证明， 得出​， 即可求解． 【详解】（1）解：连接， 是的垂直平分线，在上， ， ， 是的角平分线， ， ， ∴， ， ， ， 又是的半径， 是的切线． （2）解：由题意得：， ， 在上，且圆心在上， 是的直径， 半径，，， ， 在中： ​， ∵， ∴， ​， 即， 解得． 连接， 是直径， ， 又， ， ​， 即​， ． 25．（25-26九年级下·山东聊城·月考）如图，在中，是边上的点．过点作交于点，垂足为，过点作，垂足为，连接，经过点，，的与边另一个公共点为，连接，． (1)求证：； (2)若，，，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）根据垂直的意义可得，从而可得，，根据同角的余角相等可得，再根据圆周角定理得出，从而可得出结论成立； （2）先根据等边对等角证得，从而可得，于是可求得，再根据圆内接四边形的性质得出，结合，可证明，再根据相似三角形的性质列出比例式，然后利用正切求得，从而可得，进而求得，再利用线段差求得，利用勾股定理求得，再说明是的直径，求得的半径． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 由题意可得：， 由（1）知， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∵点在上， ∴的半径为． 26．（2026·山东淄博·一模）如图，，是的直径，连接，，过点作于点，交于点，交于另一点，延长至点，连接，使． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的半径是 【分析】（1）根据圆周角定理及等腰三角形的性质可推得 ，再结合 ，即可得出，，则结论得以论证； （2）通过论证，，可以得到， ，又结合， 继而得到 ； （3）设，，根据勾股定理可得， 通过论证可得， 最后根据列方程即可. 【详解】（1）解：是的直径， ，即：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线 . （2）证明：是的直径， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ； （3）解：∵， ∴设，， ，， ， ，， ， 又， ， ，即， ， ，， ， ， ， 解得， ，即的半径是. 题型10 圆与解直角三角形综合 27．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点作于点，连接、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求与的长度． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接， 可得，，由直径性质，得，可得，即得直线是的切线； （2）证明，得，得，可得，证明，得，，由，得； 【详解】（1）证明：连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或. 28．（2026·山东济南·二模）如图，与相切于点，直径的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆的切线的性质，解直角三角形等，能够灵活使用定理公式解三角形是解题的关键． （1）连接，由是的切线，是的直径可推得，即可证明结论； （2）先解直角三角形得，由题意可以证得，，从而得，计算得，，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：连接， 是的切线， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ； （2），， ， ，， ， ， ，， ， ， 的半径为． 29．（25-26九年级下·山东东营·期中）如图，为的直径，点D为上一点，连接，点E是的中点，连接，弦与弦交于点F，点C在的延长线上，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）易得，再根据圆周角可得，则，据此得证； （2）设，则，，进而可得，求出x即可得解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 设， 在中， ∵， ∴， ∴在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 题型11 圆与二次函数综合 30．（2025·山东日照·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 31．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点，的坐标； (2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由； (3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)四边形不能是一个菱形．理由见解析 (3)长的取值范围为或或 【分析】（1）令，代入二次函数中即可求解． （2）假设四边形是菱形，则，进而得出即，过点作轴，垂足为，则，，勾股定理求得，这与相矛盾，即可得出结论； （3）利用配方法求出二次函数的对称轴，设出点坐标，求出点坐标，连接，则，求出，即以切线长为边长的正方形的面积为，过点作轴，垂足为，求出三角形的面积，进而得出半径，假设经过点，分两种情况：①当点在点的上方，②当点在点的下方，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ，． 答：点的坐标为，点的坐标为． （2） 不能． 理由如下：由（1）知抛物线对称轴为 假设四边形是菱形，则 由，得， 即 过点作轴，垂足为，则， 由勾股定理得： 这与相矛盾 四边形不能是一个菱形． （3）， 对称轴为． 设， ， ， 连接，则， ， 即以切线长为边长的正方形的面积为， 过点作轴，垂足为， 则，， ， ． 假设经过点，则有两种情况： ①如图，当点在点的上方， ， ，解得或1， ， ． ②如图，当点在点的下方， ， 解得， ， ， 综上所述，或， 当不经过点时，长的取值范围为：或或． 答：长的取值范围为：或或． 32．（2025·山东临沂·模拟预测）已知二次函数ybx+c（b、c为常数）的图像经过点（0，﹣1）和点A（4，1）． (1)求b、c的值； (2)如图1，点C（10，m）在抛物线上，点M是y轴上的一个动点，过点M平行于x轴的直线l平分∠AMC，求点M的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点P是抛物线上的一动点，以P为圆心、PM为半径的圆与x轴相交于E、F两点，若△PEF的面积为2，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)b＝0，c＝﹣1 (2)M（0，4） (3)P（4，1）或（﹣4，1）或（0，﹣1） 【分析】（1）把A（4，1）和（0，﹣1）代入，即可求解； （2）证明△CMD∽△AME，则∴，即可求解； （3）设点P（m，n），nm2﹣2，则m2＝8n+8…①，点E（a，0），则点F（2m﹣a，0）；SEF×n＝2，解得：a＝m②；PM＝PE，即m2+（n﹣4）2＝（m﹣a）2+n2，化简得：a（a﹣2m）＝16﹣8n，将②代入上式得：﹣（m）（m）＝16﹣8n，即可求解． 【详解】（1）把A（4，1）和（0，﹣1）代入得， b＝0，c＝﹣1； （2），设M（0，n）．过点C作CD⊥l，过点A作AE⊥l． 则△CMD∽△AME， ∴ ∴， 解得：n＝4， ∴M（0，4）； （3）设点P（m，n），nm2﹣1，则m2＝8n+8①， 点E（a，0），则点F（2m﹣a，0）； S＝2， 解得：a＝m②； PM＝PE， 即m2+（n﹣4）2＝（m﹣a）2+n2， 化简得：a（a﹣2m）＝16﹣8n，将②代入上式得： ﹣（m）（m）＝16﹣8n， 即m28n﹣16，将①代入上式并解得： 24，解得：n＝±1， 则m＝4或﹣4或0， 故：P（4，1）或（﹣4，1）或（0，﹣1）． 题型12 圆中的最值问题 33．（2025·山东东营·模拟预测）已知：的内接等腰三角形，．在边上任取一点(不与点，重合)，连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① (1)求证：与相切． (2)如图②，连接，与相交于点．求证：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等． (3)如图②，连接，与相交于点．当确定时，线段的长存在最大值．当，时，请直接写出长的最大值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，则，由旋转的性质得，，故，即可求证； （2）点作交于点，证明，得出＝ ，根据旋转的性质以及等角对等边得出＝ ，等量代换得出＝，证明，得出，由＝，即可得证； （3）由，设，则，则，根据，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：连接并延长交于点，连接， 是直径， ， 由旋转的性质得， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）证明：过点作交于点， ， 由旋转的性质知：， ， ， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， ， ， ， ， ． （3）由旋转的性质得：，， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， 当时，有最大值为； 故答案为：． 34．（2025·山东滨州·模拟预测）【问题探究】 如图，为的外接圆，是直径，，点是直径左侧的圆上一点，连接，，，将绕点逆时针旋转得到，若，求四边形的面积； 【问题解决】 如图，为等边的外接圆，半径为，点在弧上运动（不与点，重合）．连接，，．设线段的长为，四边形的面积为．求与的函数关系式，是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，说明理由． 【答案】【问题探究】；【问题解决】，当时，有最大值，． 【分析】问题探究：由旋转的性质可得，得到，，，由圆内接四边形的性质得，即得，即得点、点、点三点共线，又由圆周角定理得，即可得，得到为等腰直角三角形，最后根据即可求解； 问题解决：如图，将绕点逆时针旋转，得到，同理可得点，点，点三点共线，又由，，可得是等边三角形，进而根据 可得，最后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：问题探究：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴点、点、点三点共线，   ∵是直径， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 问题解决：如图，将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴点，点，点三点共线， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 当时，有最大值，． 35．（2025·山东淄博·模拟预测）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 【答案】操作发现：与相切；实践探究：；问题解决：见解析 【分析】操作发现：连接并延长交于点M，连接，根据直径所对圆周角为直角得到，根据旋转的性质得到，由圆周角定理推出，等量代换得到，利用直角三角形的性质即可证明，即可得出结论； 实践探究：证明，得到，结合三角形外角的性质得到，易证，得到，设，则，得到，利用二次函是的性质即可求解； 问题解决：过点E作交于点N，由旋转的性质知：，证明，推出，由旋转的性质得：， 得到，根据，易证，得到，即可证明结论． 【详解】操作发现： 解：连接并延长交于点M，连接， 是直径， ， ， 由旋转的性质得， ， ， ， 是的半径， 与相切； 实践探究： 解： 由旋转的性质得：， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值为； 问题解决： 证明：过点E作交于点N， 由旋转的性质知：， ， ， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， ， ， ， ， ． 1．（2025·山东淄博·二模）如图，⊙O的半径为，点为弦上一点，，点为⊙O上一点，，连接，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正弦的定义式，垂径定理，勾股定理，分母有理化，解题关键是熟练掌握正弦的定义式． 先根据题意得出，得知当时，最小，先求出此时的，再求出此时的即可求出的最大值． 【详解】解：∵，⊙O的半径为， ∴， ∴越小，的值越大， 当时，最小，此时最小， 此时，，连结， ∵， ∴，解得：（负值舍去）， ∵， ∴，解得：（负值舍去）， ∴的最大值是， 故答案为：D． 2．（2025·山东威海·二模）如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理以及点与圆的位置关系，在上方作等边三角形，以点为圆心，2为半径作，则点运动时，点在上运动，作的的高，延长交于点，当点与点重合时面积最大，根据勾股定理求出，可得，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：在上方作等边三角形，以点为圆心，2为半径作，如图， ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点运动时，点在上运动， 作的的高，延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时面积最大，即面积的最大值为， 故选：D． 3．（2025·山东泰安·一模）如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质、圆周角定理、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确找出点的运动轨迹是解题关键．连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理可得点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是，然后利用勾股定理求出，，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵菱形的边长为4，，为边上的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧， 如图，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是， ∴， ∴， ∴， 即线段长度的最大值是， 故选：C． 4．（2026·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，与y轴交于点A、B，与x轴相切于点C，点M的坐标为，则点A的坐标为_________． 【答案】 【分析】连接，过点M作于点E，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，过点M作于点E，如图所示： ∵与x轴相切于点C， ∴轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点M的坐标为， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， ∴， ∴点A的坐标为． 5．（2026·山东济宁·一模）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______． 【答案】 47 【分析】设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， ∵与相切与点， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·山东济宁·二模）已知⊙O是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为3，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【分析】根据边心距求得外接圆的半径，根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可． 【详解】解：如下图，过点O作，垂足为G，连接， 六边形是正六边形， 是3个全等的等边三角形， ， 正六边形的边心距为3，即， ， ， ，即， 解得：， 设圆锥的半径为r，根据题意，得：， 解得：． 7．（2025·山东日照·二模）如图，在中，，点是边上的动点，以点为圆心，为半径的圆交边于点．设． (1)当点是边的中点时，求的值； (2)已知点是线段AE的中点（规定：当点与点重合时，点也与点重合），以点为圆心、为半径作 ①当与边有公共点时，求的取值范围； ②如果经过边的中点，求此时与的公共弦长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过作于点H，由垂径定理可得，再利用三角函数求解即可； （2）①当点E与A重合时可知，过作于点M，求出，可知在点运动过程中，与边始终有公共点，进而即可得出r的范围； ②利用建立方程求解，得到，即此时与A重合，进而即可得解． 【详解】（1）如图，过作于点H，则， ∵， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴，即， 解得； （2）①当点E与点A重合时， 此时与A重合，， ∵， ∴， ∴， ∴，即此时， 过作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴在点运动过程中，与边始终有公共点， ∴； ②如图，记中点为F，过F作，过作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，即， 解得； ∵， ∴在中，， ∵， 解得（负值舍去）， ∴此时E和A重合，即与A重合，如图所示，为公共弦， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即与的公共弦长为． 8．（2026·山东滨州·一模）如图，内接于，，为中点，与相交于点．过作，交延长线于． (1)求证：； (2)求证：； (3)延长交延长线于．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（）利用等弧所对的圆周角相等可得，为公共角，结论可得； （）利用（）中的结论可得为等腰三角形，即，则；利用平行线的性质和对顶角的性质可得，结论可得； （）连接，利用已知条件可以判定，利用同角的余角相等，可得；连接，设与交于点，由垂径定理可得，利用平行线的性质可得，在中，利用直角三角形的边角关系可求得，设圆的半径为，利用勾股定理列出方程，解方程即可求得圆的半径；在中，解直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接，，设与交于点，如图， ∵为中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设圆的半径为，则． 在中， ∵， ∴． 解得：， ∴， 在中， ∵， ∴． 9．（2026·山东菏泽·一模）如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）作，垂足为，连接，由直角三角形的性质得，即得，进而得，确定，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可求证； （）由，可得，设的半径为，则，，证明得，即得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作，垂足为，连接， ∴ ，是的中点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 是的切线． （2）根据题意得：由，， ∴， 设的半径为，则，， ，， ， ， 即， ． 10．（2026·山东枣庄·一模）如图，为的直径，点为上的一点，过点作，垂足为，将沿翻折，点的对应点为，交于点，延长交的延长线于点． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明，即可得出，得到，从而得出是的切线； （2）连接，交于点，证明四边形为矩形，根据垂径定理可得，再利用解直角三角形求得半径，即可解答． 【详解】（1）解：与相切，理由：连接， ， ， 将沿翻折，点的对应点为， ，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，交于点， 为直径， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理可得，， ， 根据勾股定理可得， ． 11．（2026·山东德州·一模）如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)若，请判断和的数量关系．并证明结论； (3)在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积_________． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）证明是等边三角形，得出，由直角三角形的性质可得出结论； （3）由（2）得，，由勾股定理求出的长，由三角形的面积及扇形的面积可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 直线是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：， 证明：直线是的切线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）得，， 半径为1， ， ， 图中阴影部分面积． 12．（2026·山东济南·二模）如图，点，在上，，点在的延长线上，过作的切线，切点为，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】（）连接，由是的切线，则，即，所以，又，则，从而可得，然后通过等角对等边可得； （）设的半径为，则，解得或（舍去），则， 在中，由勾股定理得，从而求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设的半径为，则， ∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为． 13．（2026·山东泰安·一模）【知识技能】如图1，绕点O顺时针旋转得到，作的平分线交线段于点A，连接交于点F． (1)求证：； (2)【数学理解】如图2，若，以点O为圆心，长为半径作圆，求证：与相切； (3)【拓展探索】在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）分别证明，，结合，即可得结论； （2）先证明，结合（1）得，可得，可得，过点O作于点G，则，证明，即可得结论； （3）由旋转的性质，得，，，证明，设，由（2）得，，利用勾股定理可得，可得，再证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵绕点O顺时针旋转得到， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵绕点O顺时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，过点O作于点G，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． （3）解：由旋转的性质，得，，， ∵， ∴， 设， 由（2）得，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 14．（2025·山东德州·一模）如图，在矩形中，，为上一点，且，连结，是中点，连结，以为直径作； (1)用a的代数式表示___________，___________； (2)求证：必过的中点： (3)若与矩形各边所在的直线相切时，求的值； (4)作关于直线的对称点，若落在矩形内部（不包括边界），则的取值范围___________，（直接写出答案） 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)a的值为或 (4) 【分析】本题是圆和四边形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质定理、垂径定理、矩形与折叠问题，第三问和第四问中采用分类讨论的思想，注意不要丢解，第四问有难度，准确画出图形是关键． （1）如图1，根据勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，代入可得结果； （2）如图1，证明四边形是矩形，得，所以必过的中点； （3）因为不可能与边和相切，所以分两种情况：①如图2，当与边相切时，根据中，，列式，求的值；②如图3，当与边相切时，设切点为，根据： 且，列式可得结论； （4）分别计算当最小和最大时，即在边上和边上，作辅助线，根据对称点的连线被对称轴垂直平分，由线段垂直平分线的性质列式可得结论． 【详解】（1）解：如图1， 四边形是矩形， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 设交于，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：；； （2）解：如图1，设交于，连接， 是的直径， ， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， 即必过的中点； （3）解：分两种情况： ①如图2，当与边相切时，设切点为，连接、交于，则， 由（2）得，，， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ②如图3，当与边相切时，设切点为，连接，则，连接，交于， 同理可得，，， ， 由（1）知： 且， ， 解得， 综上所述，若与矩形各边所在的直线相切时，的值为或； （4）解：如图4，当的对称点恰好在边上时，连接交于，连接、，过作，交于，交于，则， 关于直线的对称点， 是的垂直平分线， ，， 由（1）（2）得：，， ， 由勾股定理得： 即， 解得：（舍，， 当时，落在矩形外部（包括边界）； 如图5，当落在边上时，连接、，设交于，连接，延长交于点， ，， ， 四边形为矩形， ， 关于直线的对称点， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 在中，， 解得（负值舍去）， 的取值范围是：， 故答案为：． 15．（2025·山东淄博·三模）如图，是的直径，点C，点D在上，连接，，．连接，，，与交于点E．点F在的延长线上，连接，使得． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，直角三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，过点B作于点H，的半径为r，则，，利用勾股定理列出求得半径，则，，，利用相似三角形的判定与性质求得， ，利用直角三角形的边角关系定理求得，，进而求得；利用等腰三角形的判定与性质得到，则，然后即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，过点B作于点H，如图，     ， 设的半径为r，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆综合问题 命题预测 根据2025年山东省16市的中考数学卷分析，圆综合问题是山东省中考数学解答题的压轴常考题，选择填空压轴也是高频考点；预计在2026年中考数学中，圆综合问题考查形式仍是重点，考生应多投入到圆与三角形综合、圆与四边形综合、圆与相似三角形综合、圆与解直角三角形综合等，考生要想拿高分，这一块内容一定要吃透！ 高频考法 1.垂径定理的综合应用 2.圆周角定理的综合应用 3.切线的性质 4.扇形的弧长与面积相关计算 5.以圆为背景的阴影面积相关计算 6.切线的证明 7.圆与三角形综合 8.圆与四边形综合 9.圆与相似三角形综合 10.圆与解直角三角形综合 11.圆与二次函数综合 12.圆中的最值问题 典例·靶向·突破 题型01 垂径定理的综合应用 1．（2026·山东济宁·模拟预测）如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点，若的半径是13，则切线长的值是（　　） A．13.5 B．15 C．16.5 D．18 2．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的直径，弦交于点E，，， ，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东德州·模拟预测）水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（    ） A． B． C．或 D．或 题型02 圆周角定理的综合应用 4．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，弦与直径相交于点，连接，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，已知为的切线，点D为上一点，交于点C，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，为的切线，点为切点，交于点，，点在上，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型03 切线的性质 7．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，点是正方形的中心．与相切于点，连接．若，，则正方形的面积是（　　） A．26 B．28 C．30 D．32 8．（2026·山东淄博·模拟预测）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为_________． 9．（25-26九年级上·山东聊城·月考）如图，在中，，，的半径为1，点在边上运动，过点的直线与相切于点，则的最大值与最小值的差为____________． 题型04 扇形的弧长与面积相关计算 10．（2026·山东济南·二模）如图，正五边形边长为6，以A为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的周长为 _______．（结果保留） 11．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是_____． 12．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，曲边三角形的周长为，它可以按下面的方法作出：作一个正三角形，分别以正三角形的各个顶点为圆心、以边长为半径作弧，使弧经过另外两个顶点．然后擦去正三角形，三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形，则的周长为_____． 题型05 以圆为背景的阴影面积相关计算 13．（2026·山东烟台·一模）如图，已知正方形的边长为4，为边的中点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是______． 14．（2026·山东烟台·模拟预测）如图，边长为1的正方形的顶点B在上，顶点A、C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为______． 15．（2026·山东德州·一模）如图，在扇形中，，点，分别在，上，于点，连接，，．若，，则图中阴影部分面积为______． 题型06 切线的证明 16．（2026·山东潍坊·一模）如图，点，，是上的三点，，且．弦交于点，点是延长线上的一点，连接，． (1)求证：为的切线； (2)如图，若的度数为，连接，求弦，和围成的阴影部分的面积． 17．（2026·山东临沂·一模）如图，内接于是的直径，弧弧于点交于点，交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； (3)当时，求的长． 18．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，点在的边上，以为半径的与相交于点，与相交于点为的直径，与相交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3，求的长． 题型07 圆与三角形综合 19．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． (1)求证：是的切线； (2)为边上的中线，若，求的值． 20．（2026·山东德州·一模）已知内接于，，为的直径，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的半径． 题型08 圆与四边形综合 21．（2026·山东日照·模拟预测）如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点． (1)判断直线是否为的切线，并说明理由； (2)如果，求的长； (3)将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图，求证：四边形为菱形． 22．（2026·山东威海·模拟预测）如图所示，是线段延长线上的点，矩形的外接圆过的中点． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)若是的切线，求的值． 23．（2026·山东临沂·模拟预测）如图1，在菱形中，，的半径为，与菱形的两边相切于点E，F，交菱形的两边于点M，N，延长交于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)求的面积； (3)如图2，连接并延长，交延长线于点P，求线段的长度． 题型09 圆与相似三角形综合 24．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，，为的角平分线，线段的垂直平分线与相交于点，以点为圆心，以长为半径画圆，交边于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 25．（25-26九年级下·山东聊城·月考）如图，在中，是边上的点．过点作交于点，垂足为，过点作，垂足为，连接，经过点，，的与边另一个公共点为，连接，． (1)求证：； (2)若，，，，求的半径． 26．（2026·山东淄博·一模）如图，，是的直径，连接，，过点作于点，交于点，交于另一点，延长至点，连接，使． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 题型10 圆与解直角三角形综合 27．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点作于点，连接、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求与的长度． 28．（2026·山东济南·二模）如图，与相切于点，直径的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 29．（25-26九年级下·山东东营·期中）如图，为的直径，点D为上一点，连接，点E是的中点，连接，弦与弦交于点F，点C在的延长线上，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 题型11 圆与二次函数综合 30．（2025·山东日照·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 31．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点，的坐标； (2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由； (3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围． 32．（2025·山东临沂·模拟预测）已知二次函数ybx+c（b、c为常数）的图像经过点（0，﹣1）和点A（4，1）． (1)求b、c的值； (2)如图1，点C（10，m）在抛物线上，点M是y轴上的一个动点，过点M平行于x轴的直线l平分∠AMC，求点M的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点P是抛物线上的一动点，以P为圆心、PM为半径的圆与x轴相交于E、F两点，若△PEF的面积为2，请直接写出点P的坐标． 题型12 圆中的最值问题 33．（2025·山东东营·模拟预测）已知：的内接等腰三角形，．在边上任取一点(不与点，重合)，连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① (1)求证：与相切． (2)如图②，连接，与相交于点．求证：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等． (3)如图②，连接，与相交于点．当确定时，线段的长存在最大值．当，时，请直接写出长的最大值为_______． 34．（2025·山东滨州·模拟预测）【问题探究】 如图，为的外接圆，是直径，，点是直径左侧的圆上一点，连接，，，将绕点逆时针旋转得到，若，求四边形的面积； 【问题解决】 如图，为等边的外接圆，半径为，点在弧上运动（不与点，重合）．连接，，．设线段的长为，四边形的面积为．求与的函数关系式，是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，说明理由． 35．（2025·山东淄博·模拟预测）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 1．（2025·山东淄博·二模）如图，⊙O的半径为，点为弦上一点，，点为⊙O上一点，，连接，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·二模）如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东泰安·一模）如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 4．（2026·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，与y轴交于点A、B，与x轴相切于点C，点M的坐标为，则点A的坐标为_________． 5．（2026·山东济宁·一模）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______． 6．（2026·山东济宁·二模）已知⊙O是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为3，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为______． 7．（2025·山东日照·二模）如图，在中，，点是边上的动点，以点为圆心，为半径的圆交边于点．设． (1)当点是边的中点时，求的值； (2)已知点是线段AE的中点（规定：当点与点重合时，点也与点重合），以点为圆心、为半径作 ①当与边有公共点时，求的取值范围； ②如果经过边的中点，求此时与的公共弦长． 8．（2026·山东滨州·一模）如图，内接于，，为中点，与相交于点．过作，交延长线于． (1)求证：； (2)求证：； (3)延长交延长线于．若，，求的长． 9．（2026·山东菏泽·一模）如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 10．（2026·山东枣庄·一模）如图，为的直径，点为上的一点，过点作，垂足为，将沿翻折，点的对应点为，交于点，延长交的延长线于点． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长． 11．（2026·山东德州·一模）如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)若，请判断和的数量关系．并证明结论； (3)在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积_________． 12．（2026·山东济南·二模）如图，点，在上，，点在的延长线上，过作的切线，切点为，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（2026·山东泰安·一模）【知识技能】如图1，绕点O顺时针旋转得到，作的平分线交线段于点A，连接交于点F． (1)求证：； (2)【数学理解】如图2，若，以点O为圆心，长为半径作圆，求证：与相切； (3)【拓展探索】在（2）的条件下，若，，求的长． 14．（2025·山东德州·一模）如图，在矩形中，，为上一点，且，连结，是中点，连结，以为直径作； (1)用a的代数式表示___________，___________； (2)求证：必过的中点： (3)若与矩形各边所在的直线相切时，求的值； (4)作关于直线的对称点，若落在矩形内部（不包括边界），则的取值范围___________，（直接写出答案） 15．（2025·山东淄博·三模）如图，是的直径，点C，点D在上，连接，，．连接，，，与交于点E．点F在的延长线上，连接，使得． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $