10.1.3 两角和与差的正切公式教学设计-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

教学设计 10.1.3 两角和与差的正切 教学设计 一、基本信息 课题 10.1.3 两角和与差的正切 学科 数学 教材版本 苏教版（2019）高中数学必修第二册 年级 高一 课时 1 课时 二、教学目标 1. 数学抽象：理解两角和与差的正切公式的推导逻辑，掌握公式的结构特征和适用条件，体会三角恒等变换的转化思想. 2. 逻辑推理：能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出正切公式，掌握公式的变形形式，能对公式进行逆向应用和拓展应用. 3. 数学运算：熟练运用两角和与差的正切公式进行三角函数的化简、求值和简单证明，提升三角运算的准确性和灵活性. 4. 数学建模：能运用两角和与差的正切公式解决实际生活中的角度测量问题，体会数学的应用价值. 三、教学重难点 （一）教学重点 1. 两角和与差的正切公式的推导过程. 2. 两角和与差的正切公式的结构特征及直接应用. 3. 两角和与差的正切公式的变形应用. （二）教学难点 1. 两角和与差的正切公式的适用条件理解. 2. 角的范围对正切公式应用的影响. 3. 公式的逆向变形及综合应用. 四、教学方法与教具准备 （一）教学方法 启发式教学法、探究式教学法、讲练结合法、转化类比法 （二）教具准备 多媒体课件（展示公式推导过程和例题）、三角板、直尺、彩色粉笔 五、教学过程 （一）复习回顾与情境导入（5 分钟） 1. 复习旧知 · 回顾两角和与差的正弦、余弦公式： · 提问：正切函数与正弦、余弦函数的关系是什么？（，） 2. 情境引入 · 提出问题：已知，，能否不通过计算、、、，直接求出和的值？ · 引导学生思考：能否利用已学的正弦、余弦和角公式推导出正切的和角公式？由此引出本节课课题 —— 两角和与差的正切. （二）新知探究（22 分钟） 1. 两角和的正切公式推导 · 推导过程： 当时， 分子、分母同时除以（要求且），得： · 适用条件：，，，. 2. 两角差的正切公式推导 · 引导学生用代替，代入两角和的正切公式： 因为，所以： · 适用条件：，，，. 3. 公式结构特征与变形 · 结构特征：分子是正切的和（差），分母是 1 与正切乘积的差（和），即 “分子同号，分母异号”. · 常用变形公式： （） · 设计意图：通过推导让学生理解公式的来源，分析结构特征帮助学生记忆，变形公式为后续综合应用打下基础. （三）例题讲解（12 分钟） 例 1（基础直接应用） 已知，，其中，，求和的值，并判断所在的象限. · 解： 因为，，所以，又，故在第三象限. · 设计意图：巩固公式的直接应用，同时结合角的范围判断三角函数值的符号，强化学生对公式适用条件的理解. 例 2（特殊角求值） 求和的值. · 解： · 设计意图：让学生学会将非特殊角转化为特殊角的和差，利用公式求值，体会转化思想. 例 3（公式变形应用） 求的值. · 解： 因为，所以原式 · 设计意图：引导学生逆向应用公式，培养学生的逆向思维能力，掌握公式的变形技巧. （四）课堂练习（5 分钟） 1. 计算： . 2. 已知，，则 . 3. 证明：. 4. 判断：若、是方程的两个根，则.（ ） （五）课后小结（1 分钟） 1. 两个公式：两角和与差的正切公式及其适用条件. 2. 一个特征：公式 “分子同号，分母异号” 的结构特征. 3. 两类变形：公式的正向变形和逆向变形. 4. 一种思想：转化与化归的数学思想（将正切转化为正弦、余弦推导，将非特殊角转化为特殊角求值）. 六、板书设计 10.1.3 两角和与差的正切 一、公式推导 二、公式内容 1. 适用条件： 2. 适用条件： 三、常用变形 四、例题解答区 （此处预留空间用于现场推导例 3 及学生板演） 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $