2026年全国高考临门押题卷·数学（六）

数学 2026届全国高考临门押题卷（六） 满分：150分时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知复数x在复平面内对应的点是(2，一1)，则之+2 1 ( 15 中 B.22 2.设集合A={x|0<x≤4，x∈N},B={x|2≤6}，则A∩B=( A.{1,2} B.[1,2] 铷 C.{1,2,3}》 D.[1,3] 敏 的 3.已知单位向量a,b满足|2a-b|=2,则|a+2b|= ☒ A.2 B.√5 C.√6 D.22 斯 4.下列函数中，既是偶函数又在(0,2)上单调递减的是 ( ) 南 A.y=x2-4 B.y=-x3 智 C.y=lzl+T 1 D.y=cosx 5.已知等比数列{a,}的前n项积为T,且T,= 4,T 2,则 T8= ( A.16 B.4 C.2 D.1 6.某食品保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函 数关系y=e虹+b(k,b为常数)，若该食品在0℃的保鲜时间是 168小时，在20℃的保鲜时间是42小时，则该食品在30℃的保 鲜时间是 ( A.21小时 B.22小时 赵 C.23小时 D.24小时 7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,斜率为k的直线l与C交于两个 不同的点A,B,且F为线段AB的一个三等分点，则2=() A.4 B.8 C.12 D.16 8.某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，七个公司A1,A2, A3,A4,A5,A6,A,分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路 相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路 走)的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在 A.路口C B.路口D C.路口E D.路口F 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分. 9.某社会机构统计了某市四所大学2024年毕业生人数及自主创业 人数如表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数x/千人 3 4 5 m 自主创业人数y/千人 0.1 0.2 0.4 0.5 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归 方程为y=0.14x一0.33，则 A.y与x正相关 B.m=6 C.当x=3时，残差为一0.01 D.样本的相关系数r为负数 数学·信息冲刺压轴训练（六）第1页（共2页） 10.如图所示圆柱，ABDC为其轴截面，P,Q为其上底圆周上两个 动点，圆柱底面半径和高都为2，下列说法正确的是 () D D A.圆柱面上从点A到点D最短路径为椭圆曲线 B.圆柱面上从点A到点D最短路径长度为2√π2十1 C.过AD作截面与圆柱面的交线为椭圆，当椭圆短轴垂直于轴 截面ABDC时，椭圆离心率为 5 D.设PQ垂直于轴截面ABDC,四面体PAQD体积最大值为2，√3 11.已知a为常数，函数f(x)=x(e一ax)有且只有一个极值点 x0,则 () A.a≤0 B.xo∈[-1,0) C.f(xo)为极大值点 D.f(x)<0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为a,b, 在已知a十b<8的条件下，a>2b的概率为 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,若{an}和{√Sn}均是公差不为 0的等差数列，公差分别记作d,d1,且d=2d1,则Sm= 14.已知f(x)=ax十sinoz(u>0),f(0)=f(分)=1，则 ·若f(x)在（后，受）上单调递减，则u= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 在 △ABC 中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c， ，且满足 $$\frac { a } { \cos A } = \frac { 2 c - b } { \cos B }$$ (1)求角A； (2)若 $$B C = \sqrt 2 ， B C$$ 边中线AD长为1，求 △ABC 的面积. 16.(本小题满分15分) 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概 率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对， 再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下 试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全 相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个 红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子， 假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 (先验概率)，再从 该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到 摸出红球，则试验结束. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概 率（先验概率）进行调整， (ⅰ)求选到的袋子为甲袋的概率； (ⅱ)将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试 验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一 个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束 的概率更大. 17.（本小题满分15分) 如图为正四棱台ABCD一A1B1C1D1与正四棱锥P一ABCD 拼接而成的几何体 (1)证明：AC⊥平面PB1D1; (2)若该四棱台的高为2，A1B1=3,AB=4,PA=2√6，求二面 角P一BC一C1的正弦值. B A 数学 (六)第2页（共2页） 18.(本小题满分17分) 包知椭圆卫行 +若=1a>6>0)的离心率为2，点 PI,)在E上，直线y三)x+m与E交于A,B两点，点 关于x轴的对称点为C,O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)证明：△BOC的面积为定值； (3)若点B在直线AC的右侧，求直线BC在y轴上的截距的最 小值. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=2ln(x+1)+sinx+l. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若不等式f(x)≤a(x十I)十sinx恒成立，求整数a的最小值； (3)证明：当x≥0时，有f(x)≤(x+1)2e.2026届全国高考临门押题卷 <K<K<K<K<K<<K<<K<(六)<<<<<K<<K<K< 1.C解析】因为复数z在复平面内对应的点是(2，一1)， 所以x=2-i,则之+2-4--(4-i0(1+)_5+31 2-1=1-i=1-i01+iD=2 =+2故选C 2.A【解析】由题意可得A={1,2,3,4},2≤6→x≤ log26,2<1og26<3,所以A∩B={1,2).故选A. 3.CI解析】由|2a-b=2,则|2a-b12=4a2-4a·b +bP=4一a·6+1=4,解得a…b=,所以a十 2b1=√(a+2b)7=√a2+4a·b+41b下= 1+4x+4=6,故选C 4.DI解析】y=x2-4在(0,2)上单调递增，A错误；y= 一x为奇函数，B错误)y=|x十工为偶函数，当x >0时y=x+十士为对勾函数，在(01D上单调递减， 在(1,2)上单调递增，故不合题意，C错误；y=cosx为 偶函数，且在(0，π)上单调递减，(0,2)二(0，π)，故符 合题意，D正确.故选D. 5.A【解析】因为等比数列{an}的前n项积为Tm,且T3 =号工，=号，可得T,=a1a,aa0,=T0a, 404a,=2,所以a:a,=2,由等比数列的性质，可得 1 1 Tg=a1a2a3a4a5a6a7ag=(a4a5)=2=16.故选A. 6.A【解析】当x=0时，e=168,当x=20时，e2ot+b= 2所以e=品=e“=分当x=0时e =(e)Pe=-(分)X168=21.故选A 7.B解析】设A(x1y1),B(x2,y2), F1,0,不妨设A=号A店，所以 (1-x1,-y1)= 1 3(x2-x1,y2 x+2x1=1 y),则3 ,令y1=t,y2 y2+2y1=0 t2 -21,所以x=4x2=t,则3二=1→t=2, =二头-=-兰所以=8故法B x2-x13t2 4 数学 8.B解析】观察图形知，A1,A2,Aa,A4,A,A6,A,七 个公司要到中转站，先都必须沿小公路走到小公路与 大公路的连接点，令A1到B、A2到C、A3到D、A4 到D、A到E、A6到E、A,到F的小公路距离总和 为d,BC=d1,CD=d2,DE=d3,EF=d4,路口C为 中转站时，距离总和Sc=d+d1十d2+d2+(d3+ d2)+(d3+d2)+(d4+d3+d2)=d+d1+5d2+3dg 十d4,路口D为中转站时，距离总和Sp=d+(d,十 d2)+d2+d3+d3+(d4+d3)=d+d1+2d2+3d3+ d4,路口E为中转站时，距离总和Se=d十(d,十d2 +d3)+(d2+d3)+d3+d3+d,=d+d,+2d2+4d 十d,路口F为中转站时，距离总和Se=d十（d1十 d2+d3+d,)+(d2+d3+d,)+2(d,+d,)+2d,=d +d1+2d2+4d3+6d4,显然Sc>Sp,Sr>SE>SD, 所以这个中转站最好设在路口D.故选B. 9.AB(解析】，经验回归方程为y=0.14x一0.33，斜率 为0.14>0，函数单调递增，∴.y随着x的增大而增 大，即y与x正相关，故A正确；，样本中心点(x,y) 必在回归线方程上，y=0.1+0.2十0.4+0.5=0.3， 4 将y=0.3代入回归方程，得0.3=0.14x一0.33，解 得元=4,5，x=3十4+5十m=4,5,解得m=6,故B 4 正确；当x=3时，预测值y=0.14×3-0.33=0.09, 实际值为0.1，.残差=0.1一0.09=0.01≠-0.01， 故C错误；经验回归方程为y=0.14x一0.33，斜率 为0.14>0，∴.样本的相关系数r>0,故D错误.故选 AB. 10.CD解析】对于AB,两点之间 线段最短，所以有两种可能的 最短路径，如图1，设ABDC A B 是侧面展开，则AB=AB= 图1 2π，BD=2,此时AD=√4十4π2=2元2十1，如图2， 设ABDC是圆柱轴截面，则 C D AB=4,BD=2,此时AC十 CD=6,因为2√π2+1-6= 图2 B 2(√π2+1-3)>0，所以圆柱 面上从点A到点D最短路径不是椭圆曲线，且最短 路径长度也不是2√π2十1，故AB错误；对于C,过 AD作截面与圆柱面的交线为椭圆，当椭圆短轴垂直 于轴截面ABDC时，2b=2R=4,2a=√22+42= 25,解得a=5,b=2,c=1,所以离心率为e=￡= 参考答案第21页（共24页） 店令，放C正确；对于D,如图3，设PoncD了 R,∠PDC=0,0∈(0，)，四 面体PAQD体积V=3PR SAAD+3RQ·SAAD 图3 号PR·Sam=号x4o0sn0X 3 2 X4cos20×2) in20(cos20+1).所以V-8×31-cos20) 8 (c0s20+1)2=64 1+cos20)3×(3-3cos20)≤ 27 64,3+3cos20+3-3cos20、 27 )=12,所以V≤23，当 且仅当c0s29=2时等号成立，即9=名故D正确， 故选CD. 11.ABD【解析】f'(x)= (x十1)e-2a.x,由题 y=(x+1)e 意得f'(x)有且仅有 y=2ax 一个变号零点，故曲线 y=(x+1)e与直线 y=2ax有且只有一个 穿越型交点，令g(x)=(x+1)e,则g'(x)=(x+ 2)e,令g'(x)>0,则x>-2,令g'(x)<0,则x< 一2，所以g(x)在（一∞，一2）上单调递减，在（一2， +∞)上单调递增，且g(一1)=0，由图可知，若直线 y=2ax与函数g(x)有且只有一个交点，则a≤0， 一1≤x。<0,故AB正确；已知交点为x,当x<x0 时，(x+1)e<2a.x,f'(x)<0;当x>xo时(x+1) e>2ax,f'(x)>0,故f(xo)为极小值点，故C错 误：ax。=1e代人f(,)得f(z) 2 x1-x）e,因为-1≤x<0,所以f(xo)<0,D 2 正确.故选ABD. 12.【解析】根据题意，一先一后抛掷两枚质地均匀的 骰子，设得到的点数分别为a,b,设事件A=“a十b 8”,事件B=“a>2b”,则A={(1,1),(1,2),(1, 3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2, 4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4 2),(4,3),(5,1),(5,2),(6,1)},则n(A)=21,AB ={(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(6,1)},则n(AB)= 数学 5,故在已知a+b<8的条件下，a>2b的概率 P(B1A)-》-品故答案为： 5 3.n2【解析】设√Sm=√S1十(n-1)d1→S.=S1十 (n-1)2d+2S1d1(n-1),故Sm+1=S1+n2d+ 2√S,d1n,两式相减可得am+1=(2n-1)d十 2√S1d1,由于{an}为公差为d的等差数列，故d= 2d,结合d=2d1,且d,d1均不为0，故d=2d1=2, 所以am=a1+2(n-1)=2n十a1-2,an=(2n-3) d+2√S1d1=2n-3+2√S1,故a1-2=-3+ 2S1,解得a1=1,故Sn=S1+(n-1)2d+2S1 d1(n-1)=1+(n-1)2+2(n-1)=n2.故答案为：n2. 4.1 【解析】由f(0)=1,可得f(0)=acos0十sin0= a=l,所以f(x)=coSwz十sinox(w>0),即f(x) =Esax+)(o>0),所以f(品)=cos受十 sin受-1，由f(爱)=厄sin肾+)=1，可得+ 牙-誓+2张x或+晋-+2k,k∈Z.即。w=6 44 或a=昌+6，，又f)在（后登）上单司道 减，所以（管+置+)（受+2张，受+2， +≥+2 k∈Z,可得： +<+ ,k∈Z解得十 2 12k≤w≤2 十4k(k∈Z),又u=6k或w= +6 ∈2，所以当k=0时w=号满足题意.故答案为： 3 12 a 2c-b 5.解：(1)由 可 cosA cosB 知，acosB=2 c cosA- D bcosA, A C 也即sinAcosB=2 sinCcosA-sinBcosA,sin(A+ B)=2sinCcosA, 又因为sin(A十B)=sin(x-C)=sinC, 所以eoA-A-子 …6分 ②由Ai-号a店+aC. 两边平方得1=6+e2+2c·0sA)=号(6+ c2+bc), 参考答案第22页（共24页） 又a2=b2+c2-2 bc cosA, 所以2=b2十c2-bc,解得bc=1,所以S△ABc= besin 4 ……………………13分 16.解：(1)设试验一次，“取到甲袋”为事件A1,“取到乙 袋”为事件A2, “试验结果为红球”为事件B,“试验结果为白球”为 事件B2. P(B1)=P(A1)P(B1IA1)+P(A2)P(B1|A2)= 1、9 1211 2×10+2×10=20 所以试验一次结果为红球的概率为品 20 …4分 (2)(i)因为B1,B2是对立事件，P(B2)=1一 P(B1)=20' 9 P(A,B2)P(B2A)P(A1) 所以P(A:B,)=P(B) P(B2) 11 10×21 9 20 所以选到的袋子为甲袋的概率为行 …9分 (I)由(1)得P(A:B,)=1-PA:B,)=1-号 所以方案①中取到红球的概率为：P,=P(A1|B2) PB,A,+P(A:B,)P(B,IA,)=号×8+8× 25 1018 方案②中取到红球的概率为：P2=P(A2|B2) PB,A+PA,B,P(B,1a,)=S×品+日× 237 10=45 因为沿。，所以方案②中取到红球的概率更大。 …15分 17.(1)证明：记AC与BD 的交点为O,由PO⊥平 面ABCD,ACC平面 0 ABCD, 可知AC⊥PO, 而AC⊥BD,PO∩BD =O,POC平面PBD, BDC平面PBD, 故AC⊥平面PBD. 数学 由题易得平面PB,D1与平面PBD为同一平面， 故AC⊥平面PB1D1.…4分 《2)解：显然PO三PA2-(2AB)2=4 如图所示，以O为 坐标原点，OD的方 B 向为x轴正方向， D O心的方向为y轴 正方向，PO的方向 为之轴正方向，建立 空间直角坐标系 Oxyz, 则C(0,2√2,0)，B （-22,0,0),P(0,0,-4),C1(0,3 2,2), 则BC=(2√2,2√2,0)，PC=(0,2√2,4)，C1C=(0, √ 2,-2), 记平面PBC与平面BCC,的法向量分别为n1= (x1y1,z1),n2=（x2y2,z2）, n1·BC=0nx1十y1=0 则 ,即 n1·PC=0'y+2z1=0 令x1=1,则y1=一√2，x1=√2， 所以取n1=(√2，-√2,1)， n2·BC=0n|x2十y2=0 又 ,即 n2·C1C=0y2-2√2z2=0 令x2=1,则y2=2√2，x2=-2W2, 所以取n2=(-2W2,22,1), 记二面角P一BC一C1的平面角为0， n1·n2 7 7√85 则|cos|=n1·1n,5X√7 85 可知sin0=√1-cos9=6V85】 85, 所以二面角P-BC-C,的正弦值为5Y85 0… 85 ………………………………15分 22 18.(1)解：由椭圆E 1 方=1的离心率为2， 得a61 a ,6 3 4' 参考答案第23页（共24页） 由点P1,)在E上，得时+8=1，联立解得。 =4,b2=3, 所以E的方程为号+苦1 …4分 (2)证明：设A(x1,y1),B(x2y2),则C(x1,-y1), 1 2x+m y= 由 消去y并整理得x2十mx十m2-3=0, z'Ly2 (4+31 △=m2-4(m2-3)>0→m2<4,x1+x2=-m, x1x2=m2-3, Sx=3oB11ocsn∠B0c=21O1d1· √J1-cos2∠BOC -2Io0c-(o.0 =2@f+(x+)-(21x&-y 1 1 1 =2x1y2+z2911=711(7:+m)+x2(21+m) =2+m+小=号m2-3-m2= 所以△BOC的面积为定值.…10分 (3)解：由点B在直线AC的右侧，得x2>x1,设直线 BC与y轴的交点为T(0,t), 当x1x2=0时，点B,C中有一个点与椭圆E的上顶 点重合，此时T即为E的上顶点，t=√3， 当x1x:≠0时，由B,C,T共线，得y二= ,即+m1 1 1 -2x1-m-t x2 整理得t=二x1x?一m(x1十x2) 3 >0 x2-x1 x2-x1 而x2-x1=√(x1十x2)2-4x1x2 =√m2-4(m2-3)=√12-3m≤2√5，当且仅当m 三0时取等号，t公%， 所以直线BC在y轴上的截距的最小值为 2… ………………………………17分 19.)解：f)-异+cor,则f0)=0异+co0 2 =3, 又f(0)=2ln(0+1)+sin0+1=1, 数学 故曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y一 1=3(x-0), 即y=3x十1.…4分 (2)解：若不等式f(x)≤a(x+l)+sinx恒成立，即 21n(x+1)+1≤a(x+1)恒成立， 即a≥21nx十1）十1在(-1，+∞)上恒成立，即a≥ 2nx+1在(0，十o)上恒成立， 2 ·x-(2lnx+1) 令g)-2n+,则g)= 1-21nx 当x∈(0，e)时，g'(x)>0,当x∈(e,+∞)时， g'(x)<0, 即g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+∞)上单调 递减， 即g(x)≤g(e)=21ne+1=2e专，故a≥2e, e 又<e<1,放1<2e<2, 故整数a的最小值为2.…10分 (3)证明：令h(x)=x-sinx(x≥0)，则h'(x)=1- cosx≥0， 故h(x)在[0，+o∞)上单调递增，故h(x)=x-sinx ≥0-sin0=0, 即当x≥0时，x≥sinx, 由(x+1)2e>0,则ln[(x+1)2e]=2ln(x+1)+x ≥2ln(x+1)+sinx, 令t=2ln(x+l)+sin.x(x≥0)，则f(x)=2ln(x+ 1)+sin.x+1=t+1>0, 故当x≥0时，要证f(x)≤(x+1)2e,只需证f(x) ≤(x+1)2eir, 即只需证ln[f(x)]≤ln[(x+1)2eir], 即只需证ln[2ln(x+l)+sinx+1]≤2ln(x+1)+ sinx, 即只需证ln(t+1)≤t, 令ma=lh+1)->-1D,m')=h-1= -t t+1' 则当t∈(-1,0)时，m'(t)>0,当t∈(0，+∞)时， m'(t)<0, 故m(t)在（一1,0）上单调递增，在(0，十∞)上单调 递减， 则m(t)=ln(t+1)-t≤m(0)=lnl-0=0, 故1n(t十1)≤t,即得证.…17分 参考答案第24页（共24页）