2026年全国高考临门押题卷·数学（四）

数学 2026届全国高考临门押题卷（四） 满分：150分时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知a∈R,若之=2√2-ai,且之·z=9,则a A.±1 B.±√2 C.±3 D.土5 2.已知集合A={2a十3}，B={1,a2},若A二B,则a= A.-1 B.3 C.-1或3 D.1 如 3.(1- 污x》°的展开式中x的系数为 部 n 长 A.-6 B.6 区 6 郑 C.6 D. 辐 1 相 4.函数f(x)=e2+1- x2+2 一1的零点所在的区间为 戡 A.(-2,-1) B.(1,2) C.(0,1) D.(-1,0) 5.已知直线y=kx一3与曲线y=lnx相切，则实数k的值为() A.e B. 黛 C.e2 D. 6.我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过 立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法.测量时使用 的标杆高度为h(称为“表高”)，太阳天顶距为（太阳光线与垂直 于地面方向的夹角，且0°<0<90).根据三角学知识，标杆在地 面上的影长l与表高h满足关系：l=htan.假设对同一表高进行 两次测量，第一次测量时太阳天顶距为α，影长为表高的2倍，第 二次测量时太阳天顶距为B,且满足tan(a一)=3，则第二次测 量时影长是表高的 B倍 c品 D.1倍 7.已知棱长为√3的正方体ABCD一A1B1C1D1的中心为O,若球 O的球面与该正方体的棱有公共点，则球O的表面积的取值范 围是 ( A.[3π，6π] B.[3π，9π] C.[6π，9π] D.[6π，12π] 8.已知F1,F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共 点，且∠F1PF2=45°，则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小 值为 () A号 B. C.1 D.√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分 9.若lna>lnb,c∈R,则下列说法正确的是 B.B6+c aa十c C.a3>63 D.alna>bInb 10.已知到点F1(一a,0)和F2(a,0)的距离之积为定值m2的点的 轨迹称为伯努利双纽线C,a>0.若m=3,曲线C过坐标原点 O,点P(xo,yo)为曲线C上一点，则下列说法正确的有() 数学 (四)第1页（共2页） A.a=3 B.曲线C与y轴有三个交点 C.|xo|≥|yol D.ly.l<g 11.端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经E桥、F桥、G 桥、H桥及I桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点. 现有5名志愿者参加其中三座桥一G桥、H桥及F桥的服务，要 求这三个服务点都有人参加，设事件A为“甲在G桥服务点”，事 件B为“乙和丙分到一起”，则下列结论中正确的是() A.事件A与事件B相互独立 BPA)=号 C.P(B)-5 D.P(BIA)- 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=(m+1,3),b=(√5,2m),若|2a+b|=|a+2b|, 则实数m= 13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,A=号 sinC=2sinB,则△ABC的面积是 14.一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个 蜂房（如图），例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号 蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用αm表示蜜蜂爬 到n号蜂房的方法数，则a1o= ;a2022a2024一a2023 9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=2√3 sinxcosx+2cos2x-1(x∈R). (1)求f(的值； (2)求函数f(x)的单调递减区间； (3)若f(x)= z,∈[，，求c0s2z,的值. 6 16.(本小题满分15分) 如图，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左 移动的摄率为了，向右移动的概率为若该质点每次移动一个 单位长度，记经过n(n∈N‘)次移动后，该质点位于X的位置. (1)当n=4时，求P(X=一2)，P(X>0); (2)当n=5时，求随机变量X的分布列及数学期望. -5-4-3-2-1012345X 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB= 2BC=2CD=2AD=2PD=2,CD∥AB,M为棱PA的中点，N 为棱PC上的动点. (1)证明：PA⊥BD; (②若二面角M-BD-N的余弦值为，求的值。 D M D 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C:之2+1(@>b>0)的离心率为，左右 点分别为F1,F2,点P为C上的动点，△FPF2的周长为6. (1)求C的标准方程； (2)延长线段PF1,PF2分别交C于Q,M两点，连接QF2,并延 长线段QF2交C于另一点N,若直线PQ和MN的斜率均存 在，且分别为1点，试判断是否为定值若是，求出该定值者 不是，说明理由. 数学 (四)第2页（共2页 19.(本小题满分17分)》 已知函数f(x)-ax--blnx(a,b,c∈R). (1)当a=b=1,c=一2时，求函数f(x)的最小值； (2)设a,b为函数f(x)的极值点，且a<b,若a,b,c是一个三 踪 角形的三边长，求a十b一c的取值范围.2026届全国高考临门押题卷 <K<<K<<K<K<K<K<<（四)<<K<<K<<<K<K<K< 1.A【解析】由题设z·z=(2√2一ai)(2√2+ai)=8+a2 =9,则a=士1.故选A. 2.Bl解析】由题意得a2≠1，则a≠1且a≠一1.若2a十 3=1,解得a=-1,不合题意，舍去.若2a十3=a2,解 得a=-1(舍去)或a=3,则a=3.此时A={9},B= {1,9},符合题意，故a=3.故选B. 3.BI解析】1一 二x)的展开式中x5的系数为C 4.D解折因f(-2)=e1-名<0f(-1D=了<0， f0)=e->0f)=g-专>0f(2)=e2-6> 3 7 0,则由零点存在性定理可知，函数f(x)的零点所在 的区间为（一1,0）.故选D. 5.C解折】设切点为，ln,y=之则长=云所以 直线方程为y=二-3.又因为(x,lnx)在直线y= 工-3上，所以1nx。=1-3=-2,解得xo=e2,所以 工 =清-e心，故运C 6.D(解析】由题意，第一次测量时太阳天顶距为a,影长 为表高的2倍，又标杆在地面上的影长1与表高h满 足关系：l=htan0,所以tana=2,又因为第二次测量 1 时大阳天顶距为B,且满足tan(a一B)= 十2a,解得tang=1,则第二次测量时影长1- 2-tanB htan3=h×1=h,即第二次测量时影长是表高的1 倍.故选D 7.C解析】由题意知，当球 D O是正方体的棱切球时， 球与棱有公共点，如图1， 此时球的半径r1= 40 √W3)+W3) 2 2 D 当球O是正方体的外接 球时，球与棱有公共点， 图1 如图2，此时球的半径r2= √(3)+(W3)+3) 2 之，所以球的半径，∈[ 3 0 2, 故球的表面积S6 图2 9π].故选C. 数学 8.A【解析】如图，设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的半 实轴长为a2,则根据椭圆及双曲线的定义：|PF:|十 |PF2|=2a1,|PF1|-|PF2l=2a2,∴.|PF1|=a1+ a2,lPF2|=a1-a2,设|F1F2|=2c,∠F1PF2=45°， 则在△PF,F2中由余弦定理得，4c2=(a1十a2)2十 (a1-a2)2-2(a1+ ↑y D a2）(a1-a2） c0s45°，化简得：(2 -√2)a+(2+√2) a=4c2,即2-2 ei +2+2 =4,又 2-2+2+E≥22-2_2E,22≤4，即e1e: e ele2 ee2'ee2 ≥号，当e=1+2)e时等号成立，即椭圆和双曲 线的高心率乘积的最小值为号故法人 9.AC解析】因为y=lnx在(0，十∞o)为增函数，由lna ≥6有a>b>0,b-=a<0,对于A:由。-号 6）,因为c≥0，所以-￡-6-2≤0→ ab ab 故A正确对干队由2年-8号当 c<0a+c>0时8-8牛-8>0，即2> 十放B错误：对于C:令f(x)=x,可知f2)在 R上单调递增，由a>b>0有a3>b3,故C正确；对于 D:令g(x)=xlnx,则g'(x)=1+lnx,由g'(x)>0 有>8(：)<0有0<x<名，所以g)在0， 己)上单调递减，在（日，+∞）止单调递增，所以当a> e b>1时，g(a)>g(b)→alna>blnb,当0<b<a< e 时，g(a)<g(b)→alna<blnb,故D错误.故选AC. 10.ACDI解析】对于A,由m=3时，C过坐标原点O,所 以|0十a|·|0-a|=9,所以|a|2=9,所以a=3,故 A正确；对于B,设Q(x,y)是曲线C上任意一点，则 √(x十3)2+y2·√(x-3)2+y=9,化简得(x2+ y2)2=18(x2-y2),当x=0时，y=-18y2,只有一 解y=0,所以B错误；对于C,由(x2+y2)2=18(x2 一y2)≥0，所以|x。|≥|yo|,故C正确；对于D,由 (x2+y2)2=18(x2-y2),得x4+(2y2-18)x2+y +18y2=0,将其看成是关于x2的方程，则△= (2y2-18)2-4(y+18y2)=-144y2+182≥0，故 1y≤号，所以D正确.故选ACD, 参考答案第13页（共24页） 11.ABD【解析】对于B选项，5名志愿者参加其中三座 桥，G桥、H桥及F桥的服务，要求这三个服务点都 有人参加，可以分为2,2,1和3,1,1，其中分为2,2,1 时，共有。A=90种情况，其中分为3,1,1时 其有CCCA=60种情况，故共有90+60=D0 种，其中甲独自在G桥服务点，此时剩余4名志愿者 可以分为2,2和3,1，当剩余4名志愿者分为2,2 时，有CCA=6种情况，当剩余4名志愿者分为3 1时，有CCA=8种情况，当甲和另外一个人在G 桥服务点，从剩余4名志愿者中先选1人，剩余3人， 分为两组，故有CCCA=24种情况，当甲和另外 2人在G桥服务点，从剩余4名志愿者中先选2人， 剩余2人，分为两组，故有CA=12种情况，故 n(A)=6+8+24+12=50,所以P(A)=150=。, B正确；对于C选项，乙和丙分到一起，当5名志愿者 分为2,2,1时，有CC1A=18种情况，当5名志愿 者分为3,1,1时，先从剩余3名志愿者中选择1人和 乙，丙一起，再将剩余2人进行全排列，有CA=18 种情况，故P(B)=8-号C错误：对于A选 150 项，AB表示甲在G桥服务点，乙和丙分到一起，若甲 单独在G桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者 分为2,2,1，则有A=2种情况，若甲单独在G桥服 务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为3,1,1，从 剩余2人中选择1人和乙，丙一起，有C2A=4种情 况，若甲和另外一个人在G桥服务点，先从除了乙， 丙外的剩余2名志愿者中选1人，再进行排列，则有 C2A=4种情况，当甲和另外2人在G桥服务点，则 一定是和乙，丙一起，剩余2人进行全排列，共有A =2种情况，综上，n(AB)=2+4十4十2=12， PMB)-品-品因为PA)P(B)=号×若-号 =P(AB),故事件A与事件B相互独立，A正确；对 2 于D选项，P(B1A)=P(AB)_256 P(A)=1=25D正确.故 3 选ABD 12.-1或号【解析1由2a+b1=a+2b两边平方化简 得4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,所以a2= b2,即(m十1)2+9=5+4m2,化简得3m2-2m-5= 0,解得m=-1或m-号故答案为：-1或} 数学 )3T解析】由正弦定理化简5inC=2sinB得c=2五 再由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA结合题干信息 可得，9=b2+4钻2-46c0s3,得6=5，c=25,则 △ABC的面积是号cnA=号×5X2,5X9- 35故答案为3 4.891【解析】依题意，an=am-1十am-2(n∈N”,n≥ 3),a1=1,a2=2,所以a3=3,a4=5,a5=8,a6=13, a7=21,a8=34,ag=55,a10=89;当n≥2时，amam+2 一ai+1=am（am+1十am）-a+1=anam+1十a员一a+1 =a是十am+1（am-am+1）=a日一am+1am-1= 一(am-1am+1一a),又a1a3一a员=一1，所以数列 {a,an+2一a+1}是首项为一1，公比为一1的等比数 列，所以a2022a2024-a023=(-1)X(-1)2022-1=1. 故答案为：89；1. 5.解：(1)因为f(x)=23 sinx cosx十2cos2x-1 =√3sin2x+cos2x 2(3 sin+cos2x)-2sin(2x) ，1 所以f(爱)=2sin(2×看+答)=2sin2=2.… …4分 (2)由1)可知f)=2sin(2x+名， 令2张x+吾≤2x+百≤2kx+受k∈Z 解得x+晋<<kx+行k∈Z 所以函数f)的单调递减区间为[x十若，kx+ 3 (k∈Z).…8分 (3)又：f,)=2sin(2+8)=gsin(2z,十 元、 3 6)=5 ,∈匠.则2+后∈， .cos(2 π )<0, es(2x+)=-1-sim(2x+）= π、 4 5 所t以coe92,=cos[(2x,十君）-吾 =60s(2x,+名)cos若+sm(2z,+君)sin君 …13分 参考答案第14页（共24页） 16.解：(1)当n=4时，质点所能到达的位置X必满足 |X≤4且X为偶数， 若“X=一2”则表示四次移动中向右1次，向左3次， 因此PGX=-2)=Ccrx号-品 …3分 P(X>0)=P(X=2)+P(X=4) -8181271 …5分 (2)当n=5时，质点所能到达的位置X必满足|X ≤5且X为奇数， 因此随机变量X的所有可能取值为一5，一3，一1,1， 3,5, P(x=-5)=c(3=28 1 1 P(X=-3)=Cg(3)× 210 3243 PX=-1D=C3x 2243 40 3 80 X=1)=C2)2×(2）2 3 P(X=3)=C(r= 80 pX=)=c哈rx导=器 2 因此随机变量X的分布列为 X -5 -3 -1 1 3 5 1 10 40 80 80 32 P 243 243 243 243 243 243 所以随机变量X的数学期望为： E(X)=(-5)× +(-8 10 40 243+（-1)×243 +1 ×器+3×器+5×器-号 80 325 …15分 17.(1)证明：取AB的中点 E,连接DE, 因为AB=2CD,AB∥ M CD,所以BE∥CD且 BE=CD, 所以四边形BCDE为平A 行四边形， 所以DE=BC=AD=AE, 所以△ADE为等边三角形，则∠BAD=∠DEA= 3’ 所以∠BDE=∠DBE=若，所以∠ADB=受，所以 AD⊥BD, 因为PD⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, 数学 所以PD⊥BD, 又PD,ADC平面PAD,AD∩PD=D, 所以BD⊥平面PAD, 又PAC平面PAD,所以PA⊥BD.…6分 (2)解：如图，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系， 由(1)知∠CBD=∠CDB=8,BD=5, 则B0n5.0.c(-号9o0.D000Mg0, 3.P0.01. 放Di=(0w50,Di=(分0，宁》， 设平面MBD的法向量为n=(x,y,之)， n·DB=3y=0 则有 m…Di=+=0 1 ,可取n=(1,0,-1), 设PN=λPC(∈[0,1])， 则DN=DP+PN=DP+λPC=(0,0,1)+ a-日9-D-(-291-0 设平面NDB的法向量为m=(a,b,c), m·DB=√3b=0 则有 m·DN=-1 /2Aa士gb士<1=A)c=0 b=0 所以 令a=2(1-1),则c=入， a=2(1-λ)c 所以m=(2-2入，0，入)， m·n |2-3λ 则1cos<m,n)1=m·n=2·5-8x+4 -0 10, 化简得10以2-13以+4=0，解得入=号或入=分， 4 1 4 经检验，当入=5时，二面角M一BD一N为钝二面角， 所以入=2' 1 所以C …15分 18.解：(1)设椭圆的焦距|F,F2|=2c,|PF,|十|PF2 =2a, 所以△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F:F2|= 2a+2c=6,即a十c=3. 又椭圆C的离心率为2，所以一子， a2 解得a=2,c=1,所以b=√22-1=√3， 所以C的标准方程为子+片1.…………5分 参考答案第15页（共24页） (®是是定值 由(1)得F1(-1,0),F2 (1,0), 设P（x1,y1),Q（x2, y2),M(x3,y3),N(x4, y4), 又P,Q,F1三点共线，所 以y, =y? 工十12十，化简得 x1y2-x2y1=y1-y2, 则直线PF,的方程为x=)+1,直线Q,的 方程为x=工？一1 2y+1, x=1 由 y+1 ,化简得(2x1-5)y2-2(x1-1) 后+苦-1 y1y+3y=0, 3yi 由根与系数关系可知，y1y:=2x1-5' 所以y2,-5x之二1 3y1 y1 y:+1=5x,-8 2x1-51 3y2 5x2-8 同理y4=2x2-5x4=2x2-5’ 3y2 3y1 又1=g二当42=y=2红：-52-百 x2-x1 x4-x35x2-85x1-8 2x2-52x1-5 2(x1y2-x2y1)-5(y2-y1) -3(x2-x1) 一2y2二y1）-5y一y2=子×2=了×k -3(x2-x1） 所以瓷- …17分 19.解：(1)当a=b=1,c=-2时，f(x)=x+2-1nx 且x>0, 21x2-x-2 则f'(x)=1子-正=x =（x+1)(x-2) 当0<x<2时，f'(x)<0,当x>2时，f'(x)>0, 所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调 递增， 所以f(x)mim=f(2)=3-ln2.…5分 (2)由题意得f'(x)=a十5-。_ax-6x+且工 x2 x >0, 数学 因为a,b为函数f(x)的极值点，且a<b, ax2-bx+c=a(x-a)(x-b)=a[x2-(a+b) x+ab, 所以 Aa（a+b)=b,即a二b—a,显然a≠1，则 la'b=c la2b=c .a2 b21一a, c=1-a 由a<6,则。>a>0放已。1-。>0，所 1-a 以号a<1,易知6>c 由a,b,c是一个三角形的三边长，则a十c>b,即 所以a3-2a+1>0, 1 令h(a)=a3-2a+1且2<a<1,则h'(a)=3a2-2, 当<a< 3 时，h'(a)<0,当6<a<1时，h(a >0, 所以h(a)在( ，3)上单调递减，在( ,16 31)上单调 递增， A5)-5-2x6+1=0,a)=r -2×1+1=0, -2a+1>0, 综上<a<5,而a+6-=a+。。 =a3十a2十a, 由y=a+。+a在（兮，5。止单调遥增， 当a=则a+a2+a=(宁+(宁+日- 当a-5时d-2a-1, 则。+a+a-。2+a-1-5号+3×5号 2 -1=5-1, 故y∈（日w5-1),即a+b-c的取值范围为（名， √5-1).…17分 参考答案第16页（共24页）