2026年全国高考临门押题卷·数学（二）

数学 2026届全国高考临门押题卷（二） 满分：150分时间：120分钟 福 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知复数之在复平面内对应的点的坐标是(1，一2)，则泛=( A.1+2i B.1-2i C.2+i D.-2+i 2.已知集合{1,2，m,4}的最大元素等于该集合的所有元素之和，则 絮 实数m= A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 3.已知AD为△ABC的高，且AD=√2，则BA·AD= ® A.-2 B.2 如 C.22 D.-22 然 长 4,如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为了 则A,B两点间的距离为 数 闻 糊 戡 A.R B.√2R C.√3R D.2R 5.勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为 圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形。 现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色， 黛 规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂 色方案种数为 茶 A.120 B.240 C.300 D.320 6.已知函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)十g(x) =e,则f(ln2)= () A.0 C.ee-2 D.'-e 2 2 7.已知m>0,n>0,且m十】=1，则当n+2取得最小值时， n m m 个 1 A.3√2-4 .2 C.2√2-2 D.1 8.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其 中四边形ABCD是边长为4的正方形，且△ADE,△BCF均为 等边三角形，EF∥CD,EF=6,则该木楔的体积为 E D A./11 B.25 c.in D.28m 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分 9.已知直线1：kx-y十(1-k)=0,圆C:(x+1)2+(y-2)2=1,以 下说法正确的是 A.1与圆C不一定存在公共点 B.圆心C到l的最大距离为2 C当1与圆C相交时，-}<k<0 2-√2 D.当k=一1时，圆C上有三个点到1的距离为2 l0.若两曲线y=x2-1与y=alnx一1存在公切线，则正实数a的 取值可能是 () A.1 B.e C.e2 D.2e 数学 (二)第1页（共2页） 11.将数列{am}所有项排成如下数阵： al a2 a3 a6 a7 从第二行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2 为公比的等比数列，第一列数a1,a2,a5,a1o,…成等差数列，若 a2=2,a10=8,则 A.a1=-1 B.2a,=168 1=2 C.a225位于第45行第89列 D.2024在数阵中出现2次 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为号，该篮 球运动员某次练习中共罚球3次，若三次练习结果互不影响，记 三次罚球中命中的次数为X,则X的数学期望E(X)= ;若已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的 概率为 3,如图，椭圆C名+是a>b>0的石顶点A是猫物线C y2=2px的焦点，过A作x轴的垂线交C2于点B,线段BO与 C1交于点D,F是C1的焦点，DF∥AB,则C1的离心率e= 14.在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两 点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上. 则线段AD的长度的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}满足a1=1,an=3am-1十4(n≥2).设bn= log3 (a,+2). (1)求证：数列{an十2}是等比数列，并求数列{an}通项公式； 36 (2)设数列cn= ，且对任意正整数n,不等式cn≤λ恒 am·an+1 成立，求实数入的取值范围. 16.(本小题满分15分) 随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生 活的一部分.某地区随机抽取了部分20~40岁的“抖音”用户， 调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表： 日均刷“抖音”时间 日均刷“抖音”时间 性别 超过2小时 不超过2小时 男性 48 72 女性 24 56 (1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为日均刷“抖 音”时间的长短与性别有关？ (2)现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照 性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识 问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为 ,,每个人是香顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有？ 人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率， n(ad-bc)2 参考公式：X2= (a+b)(c+d)(a+c)(6+d),其中n=a+b+c +d. 参考数据： P(X2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，PD⊥AB,且PD=PB, 底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD-子 (1)证明：平面PAC⊥平面ABCD; (2)若PA⊥PC,求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值 、D B 数学 (二)第2页（共2页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)的定义域为D,f(x)为其导函数.若Hx∈D, f(x)>f(x),则称f(x)为D上的“优导函数”. (1)判断f(x)=e十cos2是否是[0，]上的“优导函数”，说明 理由； (2)已知g(x)=ae2z一3x为R上的“优导函数”，求实数a的取 值范围. 踪 19.(本小题满分17分) 刿 设椭圆，苦十x=1的右顶点为A,上焦点为5，直线1与 烟 椭圆交于不同于A的两点B,C. 哦 (1)是否存在l,使F为△ABC的重心，试说明理由； 霄 (2)已知AB·AC=0. (1)证明：l恒过定点； (ⅱ)设点P在L上，且满足AP·BC=0,Q是椭圆上的动点， 求|PQ的最大值，2026届全国高考临门押题卷 <<<<K<<<<<<K(二)<<<<<K<<<<< 1.D解析】由题意可得z=1一2i,则iz=i(1+2i)=一2 十i.故选D. 2.B(解析】根据集合中元素的互异性可得：m≠1，m≠2 且m≠4.当集合m>4时，集合(1,2，m,4}的最大元 素为m;当集合m<4时，集合{1,2，m,4}的最大元素 为4.根据题意可得：集合{1,2，m,4}的所有元素之和 为7+m.且 m>4或m<4 7+m=m文7+m=4,解得m=一3.故 选B 3.A【解析】因为AD为△ABC的 高，所以BD·AD=0,BA· AD=(BD+DA)·AD=BD· AD+DA·AD=BD·AD-B D AD2=0-(W2)2=-2.故选A. 4.C解析】设AB所对的圆心角为a.则由题意，得aR= 行R.所以a=行，所以AB=2Rsin号-2Rn号 2Rx1 2=3R.故选C 5.DI解析】先涂中间，有5种选色，再逐个涂旁边部分， 都有4种选色.由分步乘法计数原理得不同的涂色方 案种数为5×4×4×4=320.故选D. 6.B(解析】由题意知函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函 数，且满足f(x)十g(x)=e,则f(-x)十g(一x)= e,即f(x)-g(x)=e,故f(x)=e+e 2一，则 1 fn2)=e+e_2+z5 2 -=22=1 故选B, 7.A(解析】已知m>0,n>0,且m十 n =1,所以(n+ 2)(m+2)=mm+1+2+名≥2mn·品 1 2 +3= mn mn 22+3,当且仅当mm=2时，即n=2+1,m=2- mn 2时，m十2取得最小值，则0-2二巨=32-4，故 m n√2+1 选A. 8.D【解析】如图，分别过点E A,B作EF的垂线，垂足 分别为G,H,连接DG, D CH,则由题意等腰梯形 BAEF全等于等腰梯形 CDEF,则EG=HF=6-4 =1,AG=GD=BH= 2 HC=√42-1产=√15.取AD的中点O,连接GO,因 数学 为AG=GD,所以G0⊥AD,则G0=√（√15）-2 =m,5aw=Sm=名×TX4=2I.因 为AB∥EF,AG⊥EF,所以AB⊥AG,因为四边形 ABCD为正方形，所以AB⊥AD,又因为AD∩AG= A,AD,AGC平面ADG,所以AB⊥平面ADG,所以 EF⊥平面ADG,同理可证EF⊥平面BCH,∴.多面 体的体积V=V三棱锥E-ADc十V三梭维F-BCH十 V装A-e=2VEE-A十VERm-Be-专X 2WT×1×2+2m×4=28厘 3 故选D. 9.AD解析】如图，直线l:kx 一y+(1-k)=0即k(x一 1)一(y-1)=0,所以直线 1过定点A(1,1).圆C的 圆心为C(-1,2),半径为 1.对A:如图所示，直线1一 0 与圆C不一定有公共点，故 A正确；对B:当直线l变化时，圆心C到直线l的最 大距离为|AC|,且|AC|=√（-1-1)2+(2-1)= √5，故B错误；对C:若直线l与圆C相交，则： --2-<1→-音<k<0,故C错误对D: +1 当k=一1时，直线1：x十y一2=0，此时，圆心到直线 的距离为：d1十2二2=2，又圆C的半径为， √2 -1,所以圆C上到直线1的更离等于1-号-2。 2 的点有三个，故D正确.故选AD. 10.ABDI解析】设切线与两曲线y=x2一1与y=alnx -1的切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x2 -l,得y'=2.x,由y=alnx-1,得y'=a,则两切 x 线方程分别为y-（x-1)=2x1(x-x1)与y一 (alnr,-1)=a(x-x2),化简得y=2x1x-1 xi,y=x十alnx2一a一l,又两条切线为同一条， T2 a 可得 2x1= x2 ,得a=-4x(lnx2-1),令 alnz2-a=-xi g(x)=-4x2(1nx-1)(x>0),得g'(x)=4x(1- 2lnx),当x∈(0，We)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 当x∈(We,+∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， g(x)mx=g(We)=2e,∴.a∈(0,2e].所以实数a的 取值可能是1，e,2e.故选ABD. 参考答案第5页（共24页） 11.ACDI解析】由第一列数a1,a2,as,a1o,…成等差数 列，记为{bn}.设公差为d,又由b2=a2=2,b4=a0 =8,解得：b1=一1，d=3,则第一列的通项公式为b =一1十(k一1)×3=3k一4.又从第二行开始每一行 比上一行多两项，且从左到右构成以2为公比的等 比数列，可得：a2十a3十…+ag=2+4+8十5+10+ 20+40+80=169,故A正确，B错误；又因为每一行 的最后一个数为a1,a4,ag,a16,…,且452=2025，可 得a2o25在第45行的最后一列，因为这一行共有2× 45-1=89个数，则a2025在第45行第89列，故C正 确；由题设可知第i行的第j个数的大小为(3i一4) ×2-1,令(3i-4)×21-1=2024=253×23,若j=1, 则3i-4=2024,i=676;若j=2,则3i-4=1012 无整数解；若j=3,则3i-4=506,i=170;若j=4, 则3i一4=253，无整数解，故D正确.故选ACD. 12.号祭（解析】由题知，三次罚球命中的次数X一B 5 3,台，所以E0X)=3X音吕记事件A为“该运 动员没有全部命中”，记事件B为“恰好命中两次”， 则Pa)-1-(停-P(B)-G×× 48 =125,由条件概率知P(BA)= P(BA)P(B) P(A)P(A) 品故答案为号 1248 13.√2-1【解析】令F(c,0),直线DF:x=c,在椭圆C1: x b +京=1中，令x=c,得D(c,2),点A(号，0)， 在抛物线C:2=2px中，令x=号，得B(号，p), 62 由8-号-至-2得2c==d-c,即+ 2 2e-1=0,而0<e<1,解得e=√2-1，所以C1的离 心率e=√2-1.故答案为：√2-1. 14.2√3-3【解析】由题 意可得A,P两点关 于折线DE对称，连 接DP,设∠BAP= D ∠APD=0,AD= x,则∠BDP=28, DP=x,BD=1-B P 数学 x.在△ABC中，∠APB=π一∠ABP一∠BAP= 2A.在△BDP中，∠BPD三APB=/APDE BD DP 3一20，由正弦定理知：in∠BPD sin∠DBp,即 1-x ，所以x= √5 sn-20)sn 2sin(-20)+5 因为0<0≤行，即0<5-20<行，当行-20= 2 即0=正时，sn(-20)=1,此时x取得最小值 2+√ =25-3,且∠ADE-设所以AD的最小值 为2√3-3.故答案为：2√3-3. 5.(1)证明：由a1=1,am=3am-1+4(n≥2)， 可得am十2=3am-1十6=3(am-1十2)，a1十2=3， 即数列{a,+2}是首项和公比均为3的等比数列， 则am十2=3”，即am=3”-2.…5分 (2)解：数列c,= .am+2 am·am+1an·an+1 3” (3”-2)(30+1-2)' 则+1 3+1 (3”-2)(3+1-2)= (3"+1-2)(3"+8-2) 3” 1, 3 可得{c}递减，可得c.≤c1=),对任意正整数n,不 等式cn≤λ恒成立， 可得X≥，即X的取值范围是[号，十∞).… -3 …………………………………13分 6.解：(1)由题意，2×2列联表如下： 日均刷“抖音”时间日均刷“抖音”时间 性别 合计 超过2小时 不超过2小时 男性 48 72 120 女性 24 56 80 合计 72 128 200 零假设为H。:日均刷“抖音”时间的长短与性别无关， 200×(48×56-24×72)225 则X2= 12 ≈2.083< 120×80×72×128 6.635,…5分 参考答案第6页（共24页） 故依据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断 零假设H。成立， 即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关.…7分 (2)由分层随机抽样可知，抽取男性用户2人，女性 用户1人. 记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件A,“2 人性别不同”为事件B,则P(A)=(子)×(1-专) 、3433 PAB)=CX1-x×号- 4 5101 3 故P(B|A)= P(AB)_-10_8 P(A)-3311 …15分 80 17.(1)证明：连接DB交AC于点O,连接PO. 因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC,且O为BD的 中点 因为PB=PD,所以PO⊥BD. 又因为AC,POC平面APC,且AC∩PO=O,所以 BD⊥平面APC. 又BDC平面ABCD,所以平面APC⊥平面ABCD, …………4分 (2)解：取AB中点M,连接DM交AC于点H,连接 PH. 因为∠BAD= 3 所以△ABD是等 边三角形，所以 DM⊥AB. 又因为PD⊥AB, PD∩DM=D, PD,DMC平面 PDM, 所以AB⊥平面PDM.所以AB⊥PH. 由(1)知BD⊥PH,且AB∩BD=B,所以PH⊥平 面ABCD. 由ABCD是边长为2的菱形，在△ABC中，AH= AM=25 c0s30° 3,AO=AB·cos30°=3 由AP⊥PC,在△APC中， PH=AH·HC-2S×4-8,所以PH 3 3 2√6 ………………………………………8分 3 以O为坐标原点，OB、OC分别为x轴、y轴建立如 图所示空间直角坐标系， 数学 则A(0,-√3,0)，B(1,0,0),C(0,√3,0)，H(0, 9o.P0,525. 所以AB=(1,3,0),CB=(1,-3,0),B驴= (-1,92. 设平面PAB的法向量为n1=(x1y1,之1)， √3,26 m·B驴=0-x1-31+31=0, 所以 1·AB=0x1+3y1=0 令=1得m,=(一3,1，) 设平面PBC的法向量为n2=(x2y2,z2), n2·BP=0 5,26 所以 -x-3y+ 322=0 n·ci=0x2-3y2=0 令y2=1得n2=(W3,1W2), 设平面PAB与平面PBC的夹角为0. 所以，cos0=cosn1n,)=n,n, n1·nz 1-8x6+1X1-号xw2 -++(-号产xW+1+ 3 所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为5 3 ……15分 8.解：1)因为f(x)=e十cos7x∈[0，]， 所以f(x)=e-n营x∈[0， x 则fc)-fx)=cos营+n音xe[0,. 因为受∈[0，]，所以c0s≥0，当x=元时取等 号；2sin艺≥0，当x=0时取等号. 1 所以cos受十号如号>0（等号不能同时成立 即f(x)-f'(x)>0→f(x)>f'(x). 所以函数f(x)=e十cos专是[0，]上的“优导函 数”.…7分 (2)因为g(x)=ae2-3x,x∈R,所以g'(x)= 2ae24-3. 由g(x)=ae2r一3x为R上的“优导函数”， 参考答案第7页（共24页） 所以ae2r-3x>2aer-3在R上恒成立. 所以ae2:<3(1-x)恒成立， 因为e2>0,所以a<e恒成立. 设h(x)=3(1-x) 则n'(x)=3x二e2-(1-x)·2e2 (e2a)2 =3×-1-(1-x)·23(2x-3) ear 由A()<0→2x-3<0→x<号由k'(2)>≥0→x 所以A(x)在（一，）上单调递减，在（号十∞）上 单调递增。 3 3 2 3 所以h(x)mn=h(,)= 2 e= 2e3. 所以a<一 心，即实数a的取值范围是(-o, 3 3 2e3 ）。…………………………17分 19.(1)解：不存在l,使F为△ABC的重心. 根据题意A(1,0),F(0,N3), 设B(x1,y1),C(x2y2),假设存在l,设直线l的斜 率为k,使F为△ABC的重心， 0=1+x+2 x1十x2=-1 所以 3=y+y2+0 解得 y1+y2=3√3 4 又B,C两点为椭圆上的点，则 4+x号=1 两式相减得 -4(x1+x2) (y1+y2) 二2=6，所以=43 x1-x2 9 D 设B,C两点中点为M,则M 坐标为〔古，”)，故 2， M-85, 所以直线1为y-33-43 2=。x士之)，即直线1y月 4g+ 18 数学 将直线（代入椭圆方程苦十-1，得到 43+313)2 9x+ 18 4 -+x2=1, 化简得到496x2+496x+529=0,则其判别式为△= 4962-4×496×529<0, 所以直线！与椭圆无两个交点，故不存在直线1，使 F为△ABC的重心.…6分 ②E明：设直线1：=y中，与椭圆方程+ x2=1联立得(4m2+1)y2+8mty+4t2-4=0,△>0， -8mt 所以 y1+y2=4m2+1 4t2-4 B(x1y1),C(x2y2), y1y2=4m2+1 因为AB·AC=0,AB=(x1-1,y1),AC=(x2-1, y2）, 所以AB·AC=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2 (x1+x2)+1+y1y2=0, 2t x1+x2=my1十t+my2+t= 4m2+1'x1x2=(my1 t2-4m2 +t)(my2+t)= 4m2+11 代人得52-22-3=0，解得1=一或1=1 因为直线l与椭圆交于不同于A(1,0)的两点，所以t ≠16=-号，则1恒过定点(-号0》.…1分 3 (1)解：已知直线1：x=my-,设D(-,0,由 AP.BC=0,知AP⊥BC, 所以点P在以AD为直径的圆上，且圆心为N(兮 0,半径r=音： 因为Q(x,y),所以椭圆上一点到圆心的最大距离为 1QN1=x-+y2= (x∈[-1,1])， 所以当x=一 时，最大距离为。 所以PQ1的最大值为457十号…17分 参考答案第8页（共24页）