吉林辽源市田家炳高级中学校2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

一、单选题 1.下表是离散型随机变量X的概率分布列，则常数α的值是() 3 4 5 6 1 1 P 3 6 A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据分布列的性质建立等式求解即可. 【详解】因为离散型随机变量X的概率之和为1， 所以a++甘+日1，解得a= 故选：B 2.已知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人，男生中喜欢羽 毛球运动的有10人.现从这个班级随机抽取一名学生，已知抽到的是女生，则该生喜欢羽 毛球运动的概率为() A.吉 B月 c. D.5 6 【答案】B 【分析】有条件概率计算即可， 【详解】由题可知：抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为品= 故选：B 3.已知f(x)=x+x3,则f(1)=() A.2 B.1 C.-1 D.4 【答案】D 【详解】由f(x)=x+x3, 得f(x)=1+3x2, 所以f(1)=1+3=4 4.5!+C:+A的结果是() A.85 B.105 C.180 D.200 【答案】D 【分析】应用组合数及排列数公式计算求解， 【详解】5！+C+A=120+ 8×7×6×5×4 1×2×3×4×5 +4×3×2=120+56+24=200. 故选：D 5.曲线y= -1在点(1,0)处切线的斜率为（） 3x+1 B. 4 c.- D. 【答案】B 【分析】求导，利用导数的几何意义求解 【详解】因为f)=品所以f=6》3- (3x+1) (3x+1)2 曲线f()=在点(1,0)处切线的斜率为f()= 3x+1 6.志愿者甲参加第21届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、 骑共享单车的概率分别为，是分且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概 率分别为是系若某一天甲去文博会工作，则他按时到达的概率为《) 173 A.240 93 B.173 80 C.173 D. 1 【答案】A 【分析】根据全概率公式及条件概率公式直接求解 【详解】设事件A表示“甲乘地铁”，事件B表示“甲乘公交车，事件C表示“甲骑共享单车”， 事件D表示“甲按时到达文博会”， 则P(A)=年P(B)=P(C)=克P(DIA)=专P(DIB)=子P(DIC)=子 则P(D)=P(A)P(DIA)+P(B)P(DIB)+P(C)·P(DIC) 故选：A 7.将5名程序专家全部分配到1,2,3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1 名专家，其中A专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有() A.26种 B.36种 C.38种 D.50种 【答案】D 【分析】利用两个计数原理以及分组分配问题的解法结合组合数的性质求解即可. 【详解】当1号实验室有1人时，即A专家，其余4名专家分配到2号和3号实验室， 且每个实验室至少1人，分配方案有24-2=14种： 当1号实验室有2人时，先从其余4名专家中选1人到1号实验室有C4种方法， 再将其余3名专家分配到2号和3号实验室且每个实验室至少1人有2一2=6种方法， 故共有C4(23-2)=24种： 当1号实验室有3人时，分配方案有CA号=12种； 可得不同的分配方案共有14+24+12=50种. 故答案为：50 8.己知函数f(x)= Inx,x>0, x2-x,X≤0， 若直线y=kx与y=f(x)有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是() A.(∞) B.(o) c.(-1,0u得 D.(-2,0u周 【答案】C 【分析】先求出直线与y=f(x)相切时的斜率，作出函数y=kx与y=f(x)的图象，由数形 结合求解即可. 【详解】设y=lnx与y=kx相切于点(xo,lnxo), 则k=儿=。=÷兴解得0=e,此时北= l-s0+c+0x=0 由△=(k+1)2=0,可得k=-1,此时切点为(0,0)， 作出函数y=kx与y=f(x)的图象如图， =-x-X 由图象可知，当-1<k≤0或k=时，直线y=kx与y=f(x)有三个不同的交点， 二、多选题 9.如图是y=f(x)的导数y=f(x)的图象，则下面判断错误的是() 3 01245 A.在(-3,1)内f(x)是增函数 B.在(3,4)内f(x)是减函数 C.在x=1时f(x)取得极大值 D.当x=4时f(x)取得极小值 【答案】AC 【分析】由y=f(x)的图象，可得函数f(x)的单调性，从而即可求解 【详解】解：对A,y=f()的图象，可知x∈(-3，-到时，f)<0,x∈（-，1)时 f(x)>0, 所以f(x)在(-3，-)上单调递减，在(-三，1)上单调递增，故选项A错误： 对B,由y=f(x)的图象，可知x∈(3,4)时，f(x)<0,所以f(x)在(3,4)上单调递减，故选 项B正确； 对C,y=f)的图象，可知x∈(，2)时，f)>0, 所以f()在(-，2)上单调递增，因为x=1左右两边的单调性相同，所以f()取不到极大值， 故选项C错误： 对D,由y=f(x)的图象，可知x∈(2,4)时，f(x)<0,x∈(4,5)时，f(x)>0, 所以f(x)在(2,4)上单调递减，在(4,5)上单调递增， 所以在x=4时f(x)取得极小值，故选项D正确. 故选：AC 10.若(3x-1)5=ao+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则下列说法正确的是（) A.a0=1 B.a3=270 C.a1+a2+a3+a4+as=32 D.a1+a3+a5=528 【答案】BD 【详解】己知(3x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 令x=0,得a0=(0-1)5=-1,选项A错误. 由二项式通项T+1=C53x)5-r(-1),令5-r=3得r=2, 则a3=C号·33·(-1)2=270，选项B正确 令x=1,得32=ao+a1+a2+a3+a4+a5, 代入a0=-1得a1+a2+a3+a4+a5=33,选项C错误. 令x=-1,得-1024=a0-a1+a2-a3+a4-a5, x=1时，32=a0+a1+a2+a3+a4+a5: 两式相减，解得a1+a3+a5=528,选项D正确 11.关于函数f)=x-4x+4,下列说法正确的是（) A,它的极大值为号极小值为-手 B.当x∈B,4时，它的最大值为袋，最小值为-专 C.它的单调递减区间为-2,2] D.它在点(0，)处的切线方程为y=-4x+4 【答案】ACD 【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判 断ABC,由导数的几何意义可判断D 【详解】函数f)=2-4x+4,f()=x2-4=(x-2)0x+2) 由f(x)=(x-2)(x+2)>0,得x>2或x<-2,此时函数单调递增： 由f'(x)=(x-2)(x+2)<0,得-2<x<2,此时函数单调递减，C正确： 当x=-2时，函数)取得极大值f(-2)=9 当x=2时，函数f()取得极小值f(2)=-手A正确： 当x∈B,4时，f)单调递增，它的最大值为f(④=号-4×4+4= 3 最小值为f3)=号-4×3+4=1，B错误： f(0)=-4,f(0)=4,它在点(0,4处的切线方程为y=-4x+4,D正确。 故选：ACD 三、填空题 12.(x-3y)6展开式中含x4y2项的系数是 (用数字作答) 【答案】135 【详解】(x-3y)‘展开式中含x4y2的项为Cx4(-3y)2=135x4y2, 故(x-3y)‘展开式中含x4y2项的系数是135 13.如图，一个圆环分成A,B,C,D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域 涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为·（用数字作答） 【答案】12 【详解】若AD同色，3种颜色（全部用完），有A=6种， 若BC同色，3种颜色（全部用完），有A=6种， 所以共有6+6=12种 14.已知函数f()=x2-ax+blx,且x=1是f()的一个极值点，若函数f(9)在[2，+o) 上单调递增，则a的取值范围是 【答案】)(-∞，2)U(2,3] 【详解】由f)=x2-ax+blx,可得f(①)=-a,f()=x-a+名 依题意，f(1=1-a+b=0,即得a-b=1, 此时切线方程为y=2-a,该直线与x轴平行，所以2-a≠0，a≠2， 所以a-b=1(a≠2)： 函数f()在[2，+o)上单调递增等价于f()=x-Q+≥0在[2，+0)上恒成立， 即x-a+≥0在[2，+o)上恒成立，也即a≤x+1在[2，+m)上恒成立， 故得a≤3且a≠2，即a的取值范围是(-∞，2)U(2,3]. 四、解答题 15.现有4个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有3人、4人、5人、6人. (1)选1人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每组选1名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选2人发言，这2人需来自不同的小组，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)18 (2)360 (3)119 【分析】(1)根据分类加法计数原理即可求解： (2)根据分步乘法计数原理即可求解： (3)根据分步乘法、分类加法计数原理即可求解； 【详解】(1)分四类：第一类，从一组中选1人，有3种方法： 第二类，从二组中选1人，有4种方法： 第三类，从三组中选1人，有5种方法： 第四类，从四组中选1人，有6种方法 所以不同的选法共有3+4+5+6=18种方法。 (2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四组中选1名组长， 所以不同的选法共有3×4×5×6=360种方法： (3)分六类：第一类，从一、二组中各选1人，有3×4=12种方法： 第二类，从一、三组中各选1人，有3×5=15种方法： 第三类，从一、四组中各选1人，有3×6=18种方法： 第四类，从二、三组中各选1人，有4×5=20种方法； 第五类，从二、四组中各选1人，有4×6=24种方法： 第六类，从三、四组中各选1人，有5×6=30种方法： 所以不同的选法共有12+15+18+20+24+30=119种方法。 16.一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台. (1)若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到A品牌的条件下，第二次 抽到B品牌的概率； (2)若从中随机抽取2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列和期望. 【答案】(1号 (2)分布列见解析，号 【分析】(1)法一：求得n(C),n(CD),利用条件概率公式求解即可；法二：P(C),P(CD), 利用条件概率公式求解即可。 (2)由条件确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，进而求 得数学期望 【详解】(I)由题意得，设事件C:第一次抽到A品牌；设事件D:第二次抽到B品牌 法-：q=cg=27,n(cD)=c9=21,Po9-g-号-号 每次不放回抽取，则在第一次抽到A品牌的条件下，第二次抽到B品牌的概率名 法二：P(C)= 器品p(cD)-盖-Po0-碧-要号 3 10 (2)设挑选2台电脑中A品牌的台数为X,则X的可能取值为0,1,2.根据古典概型的知识可得 X的分布列为 pW-0)紫，PX=)整Px-)第古 c0-151 用表格表示X的分布列，如图所示 0 7 7 1 P 15 15 15 ·E(X)=0× +1X 7 品+2×言= 17.将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排 (1)求2个白球均不排在两端的所有排法种数： (2)记X为2个白球之间红球的个数，求X的分布列， 【答案】(1)36 (2) X 0 2 3 2 3 1 1 p 5 10 5 10 【分析】(1)根据分步乘法计数原理，先选好白球位置，剩下的给红球；(2)先确定X所有 可能取值，再计算相应的概率 【详解】(1)先从中间的3个空位中选出2个空位排2个白球，再把3个红球全排放入剩下 的3个空位，共AA=36(种)， 所以2个白球均不排在两端的所有排法种数为36. (2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3， 则 P(X=0)=A3A42 A-5 P(X=1)= CAA 3 A 10 P(X=2)= A3A3A3 1 A P(X=3)= AA 1 A店10 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 2 3 1 1 5 10 5 10 18.己知函数f(x)=e2x-2x. (1)求函数f(x)的导函数： (2)求f(x)的极值； (3)若对于任意x∈R,不等式f(x)>2(e-1)x+m恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)y=1 (2)极小值为f(0)=1,无极大值 (3)m<0 【分析】(1)求导，即可得斜率，进而可求直线方程， (2)求导，根据导数求解单调性，即可求解极值， (3)将恒成立问题参数分离，构造函数g(x)=e2x-2ex,即可求导求解最值求解。 【详解】(1)由f(x)=e2x-2x得f'(x)=2e2x-2, （2)令f(x)=2e2x-2>0,则x>0,故f(x)在(0，+o)单调递增， 当x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减， 所以当x=0时，f(x)取极小值f(0)=1,无极大值， (3)由f(x)>2(e-1)x+m得e2x-2x>2(e-1)x+m, 故e2x-2ex>m, 构造函数g()=e2x-2ex,则g)=2e2x-2e,令g()=2e2x-2e>0,则x> 故当x>时，g'()>0,g()单调递增，x<时，g()<0,g)单调递减， 故当x=g()取极小值也是最小值，9（月=e-e=0, 所以m<g)min'即m<0 19.己知函数fx=lnx+,a∈R. (1)求函数f(x)的导函数： (2)若a=1,求函数f(x)单调区间： 3)若函数f()在[1，e上的最小值是，求a的值 【答案】(1)当a=1时，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，+∞)： (2)a=Ve. 【分析】(1)先确定函数定义域，对函数求导，令导数为0找到临界点，再分区间判断导数 符号，根据导数正负确定函数的单调递增、递减区间： (2)先求导得到导数表达式，按参数a与区间[1，的位置关系分三类讨论，分别求每类下的 最小值，结合已知最小值求解α，并验证是否符合分类条件 【详解】(1)当a=1时，fx)=lnx+三，其定义域为(0，+o): (2)对f求导得：f)=立=，令f)=0,即号=0， 因为x2>0,所以x-1=0,解得x=1. 当0<x<1时，x-1<0,x2>0,则f(x)<0,所以f(x)在(0,1)单调递减： 当x>1时，x-1>0,x2>0,则f'(x)>0,所以f(x)在(1，+∞)上单调递增. 因此f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，+∞) (3)对f()=+求导，可得f()=-是= 当a≤1时：在区间[1，e]上，x-a≥0，x2>0, 所以f(x)≥0，f(x)在[1，e上单调递增. 则f(x)在[1，e上的最小值为f(1)=ln1+a=a,由a=多，与a≤1矛盾，舍去. 当1<a<e时：当1≤x<a时，x-a<0,x2>0,f'(x)<0,f(x)单调递减： 当a<x≤e时，x-a>0,x2>0,f(x)>0,f(x)单调递增 所以f(x)在[1，e]上的最小值为f(a)=lna+a=na+1, 由lna+1=多，即lna=,解得a=Ve,满足1<a<e 当a≥e时：在区间[1，e]上，x-a≤0，x2>0, 所以f(x)≤0，f(x)在[1，e]上单调递减. 则f()在[1，e上的最小值为f(e)=ne+=1+ 由1+=3，解得a=与a≥e矛盾，舍去， 综上，a的值为√田家炳高中2025-2026第二学期期中考试题 高二数学试卷 A.- B. c.- D. 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 6.志愿者甲参加第21届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享 注意事项： 单车的概率分别为京京且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为 L,答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚。 子若某一天甲去文博会工作，则他按时到达的概率为() 3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试 A器 B.9 C. D. 题卷上答题无效。 7.将5名程序专家全部分配到1,2,3号3个A1实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 其中A专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有() 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。) A.26种 B.36种 C.38种 D.50种 1,下表是离散型随机变量X的概率分布列，则常数a的值是() 8.已知函数f(x)= nx,x之0，。若直线y=kx与y=f)有三个不同的交点，则实数k的取值 -x2-x,x≤0， 范围是() A.（∞，) B.(o) c.(-10u得 D.(-2,0u得 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 A. B. C. D,品 符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。) 2.己知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人，男生中喜欢羽毛球运 9.如图是y=fx)的导数y=f(x)的图象，则下面判断错误的是() 动的有10人。现从这个班级随机抽取一名学生，己知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概 率为() 323 701245 A.吉 B. C. D. 3.已知f(x)=x+x3,则f(1)=() A.在(-3,1)内f(x)是增函数 B.在(3,4)内f(x)是减函数 A.2 B.1 C.-1 D.4 C.在x=1时f(x)取得极大值 D.当x=4时f(x)取得极小值 4.5+C+A1的结果是() 10.若(3x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+asx,则下列说法正确的是() A.85 B.105 C.180 D.200 A.a0=1 B.a3=270 5.曲线=品在点(1,0)处切线的斜率为() C.a1+a2+ag+a4+a5=32 D.a1+as+as=528 高二数学试题 第1页（共4页） 高二数学试题 第2页（共4页） 11.关于函数f(x)=x-4x+4,下列说法正确的是() 17.将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排」 (1)求2个白球均不排在两端的所有排法种数： A.它的极大值为程极小值为-等 (2)记X为2个白球之间红球的个数，求X的分布列. B.当x∈B,4利时，它的最大值为，最小值为-音 C.它的单调递减区间为-2， D.它在点(0,4)处的切线方程为y=-4x+4 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 18.已知函数f(x)=e2红-2x. 12.(x-3y)展开式中含xy2项的系数是（用数字作答）. (1)求函数f(x)的导函数： 13.如图，一个圆环分成A,B,C,D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色， (2)求f(x)的极值： 要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为·（用数字作答） (3)若对于任意x∈R,不等式f(x)>2(e-1)x+m恒成立，求实数m的取值范围. 19.己知函数f(x)=nx+,aeR 14.已知函数f(x)=x2-ax+blnx,且x=1是fx)的一个极值点，若函数f(x)在[2，+o)上单 (1)求函数f(x)的导函数： 调递增，则a的取值范围是 (2)若a=1,求函数f(x)单调区间： 四、解答题：（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) (3)若函数f(x)在[1，e上的最小值是影，求a的值。 15.现有4个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有3人、4人、5人、6人， (1)选1人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每组选1名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选2人发言，这2人需来自不同的小组，有多少种不同的选法？ 16.一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台. ()若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到A品牌的条件下，第二次抽到B 品牌的概率； (2)若从中随机抽取2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列. 高二数学试题 第1页（共4页） 高二数学试题 第2页（共4页）