2026届高考冲刺数学解答题专训01（全国通用）

**基本信息** 聚焦高考解答题高频模块，以真题引领预测题支撑，系统覆盖统计与概率、数列、立体几何、解析几何、函数导数核心题型，强化知识逻辑与解题规范。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计与概率|4题|列联表与独立性检验、线性回归、分层抽样|从数据收集到分析推断，体现数据意识与应用意识| |数列|4题|等差数列证明、前n项和、递推关系|概念生成→性质应用→求和运算，培养推理能力| |立体几何|4题|面面垂直证明、空间角、外接球|空间观念→位置关系→度量计算，发展几何直观| |解析几何|4题|椭圆/双曲线/抛物线方程与性质、直线与圆锥曲线|方程思想→几何性质→代数运算，强化模型观念| |函数导数|4题|单调性、最值、不等式证明|导数工具→函数性质→综合应用，提升运算能力|

2026届高考冲刺解答题专训01 高考真题再现 1．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有关 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 3．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； （ii）写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 5．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值. （2）利用反证法可证三角不等式有解； （3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值. 【详解】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 考前预测A组 6．（2026·上海静安·二模）下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 年销售量у（万台） 2 3.5 2.5 8 9 (1)用计算器计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数） (2)为了调查A、B两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2列联表． 知晓 不知晓 合计 A地区 80 20 100 B地区 40 60 100 合计 120 80 200 试根据表中数据判断A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平） 附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心；的计算公式； 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)在犯错误的概率不超过0.05 的前提下，认为A、B两地区的人群对该品牌净化的知晓情况有显著差异 【分析】（1）计算出样本中心以及回归系数和，即可求解； （2）利用列联表中的数据，代入公式计算观测值，并与临界值3.841进行比较，从而判断两个分类变量是否有关. 【详解】（1）由表可知，样本中心 为： . .则 . 所以，净化器的年销售量 关于年份代码 的线性回归方程为：. （2）根据 列联表中的数据，计算 的观测值： . 因为 ， 所以，在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为 A、B 两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况有显著差异. 7．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在递增数列中，. (1)求的值，并证明：数列是等差数列； (2)若等比数列中，，数列的前项和，证明：. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）代入可求，对条件等式进行变形可化简得到的关系式，由此完成证明； （2）根据条件先求的通项公式，由此可知的通项公式，再采用放缩法完成证明. 【详解】（1）由题意，解得或， 又因为是一个递增的数列，所以， 下面证明数列是一个等差数列： 因为， 所以，即， 又因为，所以，故数列是一个等差数列； （2）由（1）知，是一个公差为的等差数列，且，所以， 由题意是一个等比数列， 设的公比为，由，得，解得，故， 由于当时，，所以， 所以， 故． 8．（25-26高三下·广东江门·开学考试）如图，在三棱锥中，，，，，分别是的中点，为上靠近点的四等分点，为上靠近点的四等分点． (1)证明：四点共面． (2)证明：平面平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过证明来证得四点共面. （2）通过证明平面来证得平面平面． （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值即可． 【详解】（1）因为分别是的中点，所以. 因为为上靠近点的四等分点，为上靠近点的四等分点, 所以，所以，所以四点共面. （2）因为，所以，所以. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （3）连接，因为，所以， 由（2）知，平面平面，平面平面， 而平面，所以平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴, 以过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 易得为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 9．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，的上顶点和两焦点连线构成面积为的等边三角形，过点且与轴不重合的动直线交于，两点. (1)求的方程. (2)若的平分线垂直于轴， （ⅰ）求； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）4（ⅱ） 【分析】（1）由题意可得，解方程求出，即可求出的方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，与的方程联立，得到的值，由 的平分线垂直于x轴，得：，再代入坐标，代入韦达定理可得答案；（ⅱ）设直线的方程为，与的方程联立，得到的值，表示出，结合的范围，即可得出答案. 【详解】（1）依题意，得，解得 所以的方程是. （2）（ⅰ）设直线的方程为， 与的方程联立，得，消去，得， ， 设，，则， 由题知，的平分线垂直于轴等价于，且直线与有两个交点. 由，得，即， 可得， 化简得，即， 由的任意性，可得，因此的值为4. （ⅱ）由（ⅰ）知，即，直线的方程为， 与的方程联立，得，消去，得， ，得， 则，，说明，两点在轴同侧， 所以 , 因为，所以，则， 所以，即， 所以， 故的取值范围为. 10．（2026·河南·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求方程的所有实数解； (2)证明：当时，； (3)若在上恒成立，求a的值． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先将代入，再用辅助角公式化简方程，最后根据正弦函数性质求解. （2）构造函数，求导分析其单调性得最小值，再结合函数性质判断其他区间函数值情况，最终得出. （3）构造函数，根据可知，即，并代入检验即充分性即可. 【详解】（1）当时，， 则，所以， 所以， 即或， 解得或． 所以方程的所有实数解为或． （2）令，则， 当时，因为在上单调递增，且， 所以当 时，单调递减； 当 时， 单调递增， 所以． 当时，因为，所以， 综上所述，当时，，即． （3）构造函数， 则， 因为对任意内恒成立， 且，可知为极小值点，则，即， 若，因为，则， 由（2）知，当时，成立， 所以在上单调递增， 则，由的单调性知， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以，满足题意， 综上所述，． 考前预测B组 11．（2026·浙江·三模）为研究运动习惯对疾病N的预防效果，研究所通过统计，得到如下列联表： 运动习惯 疾病N 合计 未患病 患病 无运动习惯 85 65 150 有运动习惯 105 45 150 合计 190 110 300 (1)依据小概率值的独立性检验，分析运动习惯是否与患该疾病有关. (2)从300人中任选一人，A表示“选到的人有运动习惯”，B表示“选到的人患有疾病N”．《流行病学》中常用来研究某习惯导致的患病率，称为人群归因风险，请利用样本数据，估计PAR的值，并解释其现实意义. 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)认为有运动习惯与是否患病有关 (2)，答案见解析 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对作答. （2）由给定公式，利用条件概率公式计算得到即可求解. 【详解】（1）零假设为：运动习惯与患病之间无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为有运动习惯与是否患病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）， 如果所有人都有运动习惯，总人群患疾病N的概率会下降 12．（2026·云南昆明·二模）设数列满足． (1)证明：为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）化简应用裂项及迭代得出通项，再应用等差数列通项公式计算证明； （2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】（1）由得： ， 所以，                                 所以，即得，                         由等差数列的定义知：数列为以3为首项，4为公差的等差数列 ； （2）由（1）知：， 所以  ，                                  所以， 所以，           所以， 所以； 13．（24-25高一下·河南平顶山·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，M，N，E分别为BC，AC，PC的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，，三棱锥的外接球为球O. （ⅰ）证明：A，B，C，O四点共面； （ⅱ）求直线PO与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）求证平面和平面即可得证平面平面； （2）（ⅰ）求证外接圆圆心即为球心即可得证； （ⅱ）依次在、和求得、和，设到平面的距离为，进而依次求得和，接着利用求出，再由即可求解. 【详解】（1）因为M，N，E分别为BC，AC，PC的中点， 所以，因为在平面外，平面， 所以平面，平面，又，所以平面平面； （2）（ⅰ）证明：取中点，连接，因为，，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且， 设外接圆圆心为，半径为，则， 所以，所以， 所以Q点即为球心O，所以A，B，C，O四点共面； （ⅱ）由（ⅰ）可得， 在中，， 在中， 在中，，故， 设到平面的距离为，则， 又， 所以， 设直线与平面所成的角为，故. 14．（2026·贵州黔西南·二模）已知双曲线的离心率为2，且过点. (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，，点是右支上异于的任意一点，直线，分别与直线交于点，. （i）证明：； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及将点代入方程，即可联立求解， （2）求解直线，的方程，进而可得，的坐标，即可求解（i），构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解（ii）. 【详解】（1）由题意可得解得， 故方程为 （2）（i）， 故直线直线， 令, 在曲线上，故，则，故 ， （ii）， 令，则， 当故在上单调递减，在上单调递增， 故，当，故， 因此，故， 15．（2026·河南许昌·三模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)证明：（e为自然对数的底数）； (3)已知，数列的前项和为，试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)的递增区间是，；递减区间是：，． (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】(1)求导后将导数转化为二次因式，利用恒成立，只需判断的符号，即可快速得到单调区间 (2)构造辅助函数，分三区间讨论：用放缩非负，用导数单调，用不等式放缩，最终得证明 (3)借第二问指数不等式，奇偶代换相加放缩，用半角公式转化得到下界，最后裂项相消，直接证明 【详解】（1） ， 显然， ，当 时，，． 当 时，，． 所以，的递增区间是，；递减区间是：，． （2）设． 当时，，， 所以，满足题目条件． 当时，又， 所以，单调递增，而，所以，． 当时，设，为偶函数；当时，，在上单调递增，即，又因为为偶函数，易知，所. 又设，在单调递减，在单调递增，即，所以，所以即． 综上可得，（当且仅当时取等号）． 所以，． （3）．理由如下： 由（2）知，用代替x，得． 两式相加得：，取， 则． 又因为， 所以，所以． 所以，，即成立 考前预测C组 16．（2026·河南许昌·三模）科技进步催生了大批智慧养老科技产品．在某养老服务中心，室内、、物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求．该中心配备有多台摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助．为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警．在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列联表： 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 m 100 未使用 n 68 合计 200 (1)求m，n的值，并依据小概率值的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？ (2)在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X，求X的数学期望及方差． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)，，认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生 (2)X的期望；X的方差． 【分析】（1）本题先由列联表数据求出参数,设立独立性检验零假设,代入卡方公式计算值并与临界值比对,依据小概率值否定零假设,判定使用智能设备与预防摔倒有关； （2）再确定摔倒老人中使用和未使用智能设备的人数,明确随机变量的取值,用组合数求对应概率,进而计算出的数学期望与方差. 【详解】（1）由表中数据可得，． 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 92 100 未使用 32 68 100 合计 40 160 200 零假设为：使用智能设备与有效预防摔倒的发生无关． 故根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生． （2）易知5名“发生摔倒”的老人中有1人使用智能设备，4人未使用智能设备， 故X的所有可能取值为1，2， ，， 所以X的期望； X的方差． 17．（2026·贵州黔西南·二模）已知数列满足：，且对任意，有. (1)求，，并比较大小； (2)证明：数列是等比数列； (3)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，, (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接代入即可求解， （2）利用等比数列的定义，代入化简即可求解， （3）利用放缩法得，即可由等比数列求和公式得解. 【详解】（1），， ，故. （2），因此是等比数列，且公比为， （3）由（2）可知是等比数列，且公比为，首项为， 故，故，故， 由于，故， 因此. 18．（2024·四川凉山·三模）如图，在正四棱柱中，，，点分别在棱，，，上，，，． (1)证明：点在平面中； (2)点为线段的中点，求锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，中点，连接，，，证明出，得出四点共面，即可证明点在平面中； （2）以为坐标原点，，，为，，轴建系，由面面夹角的向量公式计算即可． 【详解】（1）取中点，中点，连接，，，则，， 由正四棱柱得，，则， 又点为中点，所以，即四边形为平行四边形， 同理可得，四边形为平行四边形，所以且，则， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 所以四点共面，即点在平面中． （2）以为坐标原点，，，为，，轴建系如图， 易得，，，， 则， 设平面与平面法向量分别为，， 由，即，令，则， 由，即，令，则， 设二面角平面角为则， 所以锐二面角的余弦值为． 19．（25-26高三下·浙江杭州·月考）设抛物线是直线上的动点，是抛物线的两条切线，且与抛物线分别相切于两点． (1)设是抛物线上任意一点，求最小值； (2)记的中点是，求的轨迹方程； (3)记抛物线的焦点是，记，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设，最小值等于点到直线的距离的最小值，即可求解； （2）设，设，利用切线方程及韦达定理求出轨迹方程. （3）过点分别作准线：的垂线，垂足分别为，先证明，利用线段垂直平分线的性质及抛物线定义推理得证.． 【详解】（1）由是抛物线上任意一点,设， 点到直线的距离为， 当时，取得最小值为， 故最小值为． （2）设， 抛物线上任一点，过点的切线方程为：， 下面证明:当过点的切线的斜率存在时,设切线方程为: , 与抛物线,消去得，， 整理得，， 则， 得，而， 得，得， 得， 则切线方程为：，得， 而，代入上式，得，即． 当过点的切线的斜率不存在时，切线方程为：，此时切点为坐标原点，也满足上式， 故抛物线上任一点，过点的切线方程为：， 由点是直线上的动点， 设，则切线均过点， 即，又，代入得， ， 得， 同理，， 所以是方程的两根， 由韦达定理得，， 因为的中点是，所以， ， 联立方程：，消去，得， 故的轨迹方程为：． （3）过点分别作准线：的垂线，垂足分别为， 由点，得，而，得， 由（2）知，由，及， 得，而，得， 则 ， 得，即， 由抛物线的定义得，则为线段的垂直平分线， 得，同理可得， 得， 所以， 则, 同理， 得，由，得， 故． 20．（2026·湖南长沙·一模）已知函数，. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若存在，使得，求实数t的取值范围； (3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析. 【分析】（1）先求函数在 处的函数值得切点坐标,再用乘积法则求导得导函数,代入 算出切线斜率,最后由点斜式写出切线方程并整理. （2）由已知可得存在 ,使得 成立,因为 时, ,故存在 ,用参变分离法可得出 ,利用导数求出函数 在 上的最大值即可求解; （3）令 ,利用导数分析 在 上的单调性,利用零点存在性定理可知 ,求得 ,证明出 ,结合 的单调性,即可证得结论成立. 【详解】（1），即切点为. 将代入，得，即切线斜率. 由点斜式，代入，. 得切线方程为，整理为. （2）由题意知，存在，使得成立， 因为时，，即， 故原不等式等价于存在，使得. 令，其中， ， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则， 故实数的取值范围是. （3），理由如下： 由可得， 令，则. 因为，则， 所以，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以，存在唯一的，使得， 即， 同理可得， 且， 因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 因为函数在上单调递减， 故，即， 取，则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考冲刺解答题专训01 高考真题再现 1．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 3．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 5．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 考前预测A组 6．（2026·上海静安·二模）下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 年销售量у（万台） 2 3.5 2.5 8 9 (1)用计算器计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数） (2)为了调查A、B两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2列联表． 知晓 不知晓 合计 A地区 80 20 100 B地区 40 60 100 合计 120 80 200 试根据表中数据判断A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平） 附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心；的计算公式； 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 7．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在递增数列中，. (1)求的值，并证明：数列是等差数列； (2)若等比数列中，，数列的前项和，证明：. 8．（25-26高三下·广东江门·开学考试）如图，在三棱锥中，，，，，分别是的中点，为上靠近点的四等分点，为上靠近点的四等分点． (1)证明：四点共面． (2)证明：平面平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 9．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，的上顶点和两焦点连线构成面积为的等边三角形，过点且与轴不重合的动直线交于，两点. (1)求的方程. (2)若的平分线垂直于轴， （ⅰ）求； （ⅱ）求的取值范围. 10．（2026·河南·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求方程的所有实数解； (2)证明：当时，； (3)若在上恒成立，求a的值． 考前预测B组 11．（2026·浙江·三模）为研究运动习惯对疾病N的预防效果，研究所通过统计，得到如下列联表： 运动习惯 疾病N 合计 未患病 患病 无运动习惯 85 65 150 有运动习惯 105 45 150 合计 190 110 300 (1)依据小概率值的独立性检验，分析运动习惯是否与患该疾病有关. (2)从300人中任选一人，A表示“选到的人有运动习惯”，B表示“选到的人患有疾病N”．《流行病学》中常用来研究某习惯导致的患病率，称为人群归因风险，请利用样本数据，估计PAR的值，并解释其现实意义. 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 12．（2026·云南昆明·二模）设数列满足． (1)证明：为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 13．（24-25高一下·河南平顶山·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，M，N，E分别为BC，AC，PC的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，，三棱锥的外接球为球O. （ⅰ）证明：A，B，C，O四点共面； （ⅱ）求直线PO与平面所成角的正弦值. 14．（2026·贵州黔西南·二模）已知双曲线的离心率为2，且过点. (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，，点是右支上异于的任意一点，直线，分别与直线交于点，. （i）证明：； （ii）求的取值范围. 15．（2026·河南许昌·三模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)证明：（e为自然对数的底数）； (3)已知，数列的前项和为，试比较与的大小关系，并说明理由． 考前预测C组 16．（2026·河南许昌·三模）科技进步催生了大批智慧养老科技产品．在某养老服务中心，室内、、物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求．该中心配备有多台摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助．为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警．在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列联表： 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 m 100 未使用 n 68 合计 200 (1)求m，n的值，并依据小概率值的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？ (2)在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X，求X的数学期望及方差． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17．（2026·贵州黔西南·二模）已知数列满足：，且对任意，有. (1)求，，并比较大小； (2)证明：数列是等比数列； (3)记数列的前项和为，证明：. 18．（2024·四川凉山·三模）如图，在正四棱柱中，，，点分别在棱，，，上，，，． (1)证明：点在平面中； (2)点为线段的中点，求锐二面角的余弦值． 19．（25-26高三下·浙江杭州·月考）设抛物线是直线上的动点，是抛物线的两条切线，且与抛物线分别相切于两点． (1)设是抛物线上任意一点，求最小值； (2)记的中点是，求的轨迹方程； (3)记抛物线的焦点是，记，证明：． 20．（2026·湖南长沙·一模）已知函数，. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若存在，使得，求实数t的取值范围； (3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $