动能守恒定律：单次碰撞的多过程问题、两物体多次碰撞问题 专项训练-2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第一册

动能守恒定律：单次碰撞的多过程问题、两物体多次碰撞问题专项训练 动能守恒定律：单次碰撞的多过程问题、两物体多次碰撞问题专项训练 考点目录 单次碰撞的多过程问题 两物体多次碰撞问题 考点一 单次碰撞的多过程问题 解题思路点拨：分阶段拆解运动过程，碰撞前用运动学或机械能守恒求碰前速度；碰撞瞬间用动量守恒、恢复系数求碰后速度；碰撞后再单独分析各自匀变速或机械能变化，分段列式联立求解。 例1．（25-26高二下·河南信阳·月考）如图所示，光滑水平面上有一质量且足够长的长木板其左端放置一质量的小物块（可视为质点），两者均处于静止状态，在距离长木板右侧x处（x未知）有一个固定挡板，长木板的左端正上方有一固定点，长不可伸长的轻绳一端系于点，另一端连接质量为的小球。初始时轻绳处于水平状态且恰好无拉力。将小球由静止释放，下摆至最低点时与小物块发生弹性碰撞，、间的动摩擦因数。长木板与挡板间的碰撞为弹性碰撞，重力加速度取。求： (1)小球与小物块碰撞后瞬间，的速度大小； (2)若长木板与挡板发生2次碰撞后静止，求木板到挡板的距离的值。 例2．（25-26高二上·浙江·期末）如图所示装置由水平传送带、竖直圆轨道、组合滑板组成。长为的传送带以的速率顺时针转动，竖直圆轨道半径，质量的组合滑板由长为的粗糙水平段和半径也为的光滑四分之一圆弧段组成，水平段上表面与左侧台面齐平。一质量的小滑块从传送带左端静止释放，通过圆轨道后，滑上组合滑板。已知小滑块与传送带之间的动摩擦因数，与组合滑板水平段之间的动摩擦因数，不计其余摩擦，各处平滑连接。 (1)若小滑块恰好通过圆轨道最高点，求其到达圆心等高处时对轨道的压力大小； (2)若小滑块能到达组合滑板，求的范围； (3)若足够长，小滑块冲上组合滑板后，两者始终不分离，求的范围。 例3．（2026·四川广安·模拟预测）如图所示，质量的小球被一不可伸长、长度的轻质细线悬挂于点，轻质细线与竖直方向夹角，轻质细线已绷紧；在光滑水平面上，放一薄板，，在板的最右端放一质量的滑块，滑块与板的动摩擦因数，滑块在点正下方，小球和滑块都可看成质点。现将小球由静止释放，经，小球与滑块发生完全弹性碰撞，碰后经，滑块从薄板左端冲出。不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球释放瞬间，轻质细线上的拉力大小； (2)小球释放后到与滑块碰撞前瞬间，轻质细线拉力的冲量大小； (3)薄板的长度。 变式1．（25-26高二上·江西上饶·期末）如图所示，滑块静止于水平轨道点，长为且滑块与水平轨道间的动摩擦因数。B点正上方点用轻绳悬挂一小球，小球与AB相切但无挤压，BC为台阶，CD为足够长的光滑水平直轨道。紧靠台阶右侧停放着木板1和带轻质挡板的木板2，长度均为，与点等高，两木板不粘连。滑块与木板1、2上表面动摩擦因数分别为和（未知）。已知滑块、木板1、2的质量相等为、小球的质量为。现给滑块一个水平向右的瞬时冲量，滑块滑至点时与小球发生正碰（碰撞时间极短），碰后滑块滑上木板1，小球则在竖直平面做半径的圆周运动，小球运动至最高点时轻绳的拉力。滑块、小球均可视为质点。取。 (1)滑块与小球碰撞前瞬间滑块的速度大小； (2)滑块与小球碰撞后瞬间滑块的速度大小； (3)若滑块与挡板发生的是弹性碰撞，要使滑块能接触挡板，又最终没有滑离木板2，求滑块与木板2之间的动摩擦因数的取值范围（答案可用分数表示）。 变式2．（25-26高二上·广西百色·期末）火星基地的自动化机械测试区，搭建了一套机器人移动性能验证装置如图所示，长为，倾角的光滑下滑轨道与光滑超导水平导轨平滑衔接，紧靠D点静置一台质量的无动力超导转运平台（平台上表面与D点齐平），平台右端静置一可视为质点的质量的备用零件箱B。质量，可视为质点的小型探测机器人A从下滑轨道顶端由静止释放，沿超导水平轨道滑至P点后水平投射，恰好从固定在光滑测试面上的光滑圆弧缓冲轨道的C点的切线方向进入，机器人A滑上平台后与零件箱B发生碰撞并粘连在一起，碰撞时间极短，已知C点与圆弧圆心O的连线与竖直方向夹角，圆弧轨道的半径，机器人A、零件箱B与转运平台间的动摩擦因数均为，转运平台与测试面之间无摩擦，基地模拟重力加速度g取，不计火星基地内模拟的大气阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)探测机器人A到达C点时的速度大小； (2)探测机器人A刚到达圆弧缓冲轨道末端D点时对轨道的压力； (3)为避免A、B粘连体滑出转运平台，平台的长度L至少多大。 变式3．（25-26高二上·江苏镇江·期末）如图所示，半径为R的四分之一圆弧体1固定在光滑水平面上，水平面上的小车左端水平部分与圆弧体1的最低点B等高且平滑接触。小车上表面右端固定一个四分之一圆弧体2，圆弧面最低点D与小车上表面水平部分平滑连接。圆弧面、光滑，小车水平部分粗糙。一质量为m可视为质点的小滑块P，从A点由静止释放，经B点后滑上小车，恰好能滑到E点，最后刚好不能从小车C点滑离。已知小车及圆弧体2总质量M，，重力加速度为g。求： (1)滑块P滑到圆弧面B点时对圆弧轨道的压力大小； (2)上述过程摩擦产生的热量； (3)圆弧轨道2的半径。 考点二 两物体多次碰撞问题 解题思路点拨：先由动量守恒和能量规律求出第一次碰后速度；抓住每次碰撞速度规律重复、运动具有周期性，归纳速度、位移通式；结合空间边界条件，判断碰撞次数、时间和位置。 例1．（25-26高二下·陕西西安·期中）如图所示，竖直平面内质量、半径的圆形光滑轨道A静置在光滑平台上，与光滑平台在最低点相切，质量的木板D静置在平台右侧光滑的水平地面上，上表面与平台齐平，质量的滑块C静止在木板D左端，竖直弹性挡板固定在木板D右侧。将质量的滑块B（视为质点）从圆形光滑轨道的上端由静止释放，B运动至光滑平台后与C发生弹性碰撞。已知初始状态木板D右端到挡板的距离，滑块C与木板D之间的动摩擦因数，木板D足够长且与弹性挡板碰撞后以原速率反弹。B与C只碰撞一次，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)B从释放到滑到光滑平台的过程中，A的位移大小； (2)B与C碰撞后，C的速度大小； (3)D与弹性挡板发生碰撞的总次数。 例2．（2026·宁夏银川·一模）如图所示，光滑圆弧（O为其圆心）轨道PQ与光滑水平轨道QN平滑连接，圆弧半径R=5m，QN的长度l=2.5m，轨道在N点与足够长粗糙水平地面NE平滑连接。一质量为m=1kg的小物块A从与圆心O等高处P点由静止开始沿轨道下滑，在N点与质量为M=4kg的静止小物块B发生弹性正碰，碰撞时间极短。A、B与地面间的动摩擦因数均为μ=0.5，A、B均可看作质点，重力加速度g=10m/s2。求： (1)小物块A在第一次经过圆弧轨道最低点Q时对轨道的压力大小； (2)第一次碰撞后瞬间A、B的速度大小； (3)A、B均停止运动后，二者之间的距离。 例3．（2026·江苏南京·一模）如图所示，倾角为的固定斜面上有一右端带垂直挡板的木板，质量。现将质量的光滑小滑块放到距离挡板处，两者同时由静止释放。已知木板与斜面间的动摩擦因数，小滑块与挡板发生弹性碰撞，整个过程小滑块未脱离木板，斜面足够长，取，，。求： (1)释放瞬间滑块的加速度大小； (2)第1次碰撞过程中，滑块所受合力的冲量大小； (3)从释放到第3次碰撞系统产生的总热量。 变式1．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）如图所示，静止在光滑水平面上的物体B是由平板ab、固定在平板最左端a点的薄挡板和四分之一光滑圆弧轨道bc组成，圆弧bc的半径为R=2m，其最低点b与平板ab的上平面相切。刚开始时，滑块A（可视为质点）静置于a点，t=0时刻，给滑块A一向右的瞬时速度v0=12m/s，已知平板ab部分的长度为L=3m，A、B的质量分别为m1=2kg、m2=4kg，A与B的ab部分之间的摩擦因数为μ=0.6，重力加速度g=10m/s2，A与挡板碰撞时间极短且不计A与挡板碰撞过程的能量损失，在此后的运动过程中，求： (1)滑块A上升的最大高度； (2)滑块A与挡板第一次碰撞后的速度； (3)滑块A最终在平板ab上相对B静止时的位置。 变式2．（25-26高二上·山东聊城·期末）如图所示，一质量M＝0.1kg平板车静止在光滑水平面上，距平板车右端L处有一竖直固定挡板Q，一质量m＝0.3kg物块静止于平板车最左端，一质量＝0.2kg小球用长＝1.25m不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。当物块刚好与平板车速度相同时，平板车与挡板发生第一次碰撞，平板车和挡板碰撞过程中没有机械能损失，物块一直未脱离平板车。小球、物块均可视为质点，物块与平板车间的动摩擦因数为，不计空气阻力，重力加速度g取。求： (1)小球从释放到与物块碰撞前，小球所受合力的冲量I； (2)小球与物块碰撞后的瞬间，物块的速度； (3)平板车右端到挡板Q的初始距离L； (4)平板车在整个运动过程中的总路程S（若0＜x＜1，则＝0）。 变式3．（25-26高二上·河南平顶山·期末）如图所示，长为的轻绳一端固定于O点，另一端与质量的小球相连。小球在O点正下方且未与地面接触。质量的凹槽静置在光滑水平面上，其左侧与小球恰好接触。质量的小物块放置于凹槽内且与右侧挡板接触。初始系统静止，现将小球拉至与O点等高处且使轻绳伸直，由静止释放小球，小球运动至最低点与凹槽发生弹性碰撞。碰后瞬间在O点正下方处固定一细钉，小球恰能在竖直面内绕做圆周运动上升至最高点，且小物块与凹槽发生了两次弹性碰撞后不再发生第三次碰撞（若物块到达某一端时二者恰好共速，视为未发生碰撞）。已知凹槽左右挡板内侧间距，不计空气阻力，重力加速度。求： (1)O到点的距离； (2)凹槽与物块间动摩擦因数的取值范围。 2 学科网（北京）股份有限公司 $动能守恒定律：单次碰撞的多过程问题、两物体多次碰撞问题专项训练 动能守恒定律：单次碰撞的多过程问题、两物体多次碰撞问题专项训练 考点目录 单次碰撞的多过程问题 两物体多次碰撞问题 考点一 单次碰撞的多过程问题 解题思路点拨：分阶段拆解运动过程，碰撞前用运动学或机械能守恒求碰前速度；碰撞瞬间用动量守恒、恢复系数求碰后速度；碰撞后再单独分析各自匀变速或机械能变化，分段列式联立求解。 例1．（25-26高二下·河南信阳·月考）如图所示，光滑水平面上有一质量且足够长的长木板其左端放置一质量的小物块（可视为质点），两者均处于静止状态，在距离长木板右侧x处（x未知）有一个固定挡板，长木板的左端正上方有一固定点，长不可伸长的轻绳一端系于点，另一端连接质量为的小球。初始时轻绳处于水平状态且恰好无拉力。将小球由静止释放，下摆至最低点时与小物块发生弹性碰撞，、间的动摩擦因数。长木板与挡板间的碰撞为弹性碰撞，重力加速度取。求： (1)小球与小物块碰撞后瞬间，的速度大小； (2)若长木板与挡板发生2次碰撞后静止，求木板到挡板的距离的值。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球C下摆过程机械能守恒 解得碰撞前C的速度 设碰撞后C的速度为，B的速度为 ，碰撞过程中，动量守恒 机械能守恒 解得 （2）若长木板A与挡板D恰好发生2次碰撞后静止，在木板碰到挡板D前，AB不能共速； 根据牛顿第二定律，小物块B的加速度为， 长木板A的加速度为， 小物块B一直做匀减速运动至静止，运动时间 长木板A前进距离x，碰到挡板D原速反弹，向左匀减速运动，加速度大小不变，经过相同时间减速为零； 之后重复以上的运动，设长木板A第一次碰到挡板前时间为，则有 木板到挡板的距离 解得 例2．（25-26高二上·浙江·期末）如图所示装置由水平传送带、竖直圆轨道、组合滑板组成。长为的传送带以的速率顺时针转动，竖直圆轨道半径，质量的组合滑板由长为的粗糙水平段和半径也为的光滑四分之一圆弧段组成，水平段上表面与左侧台面齐平。一质量的小滑块从传送带左端静止释放，通过圆轨道后，滑上组合滑板。已知小滑块与传送带之间的动摩擦因数，与组合滑板水平段之间的动摩擦因数，不计其余摩擦，各处平滑连接。 (1)若小滑块恰好通过圆轨道最高点，求其到达圆心等高处时对轨道的压力大小； (2)若小滑块能到达组合滑板，求的范围； (3)若足够长，小滑块冲上组合滑板后，两者始终不分离，求的范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小滑块恰从C到D的过程，根据动能定理有 小滑块恰好通过圆轨道最高点，则在D点有 小滑块在C点，轨道对小滑块的支持力 根据牛顿第三定律，小滑块对轨道的压力大小。 （2）小滑块能通过圆轨道最高点，则 根据 可得小滑块在圆轨道最低点的速度大小 故小滑块到达传送带最右端速度 所以小滑块在传送带上一直做匀加速直线运动，则。 （3）足够长，则小滑块冲上滑板时的速度为 小滑块冲上组合滑板后，两者始终不分离，设两者共速的速度为，根据动量定理有 解得 该过程系统损失的动能 若小滑块恰好到最高点，有 解得 若小滑块恰好到达滑块最左端，有 解得 综上可知的范围是。 例3．（2026·四川广安·模拟预测）如图所示，质量的小球被一不可伸长、长度的轻质细线悬挂于点，轻质细线与竖直方向夹角，轻质细线已绷紧；在光滑水平面上，放一薄板，，在板的最右端放一质量的滑块，滑块与板的动摩擦因数，滑块在点正下方，小球和滑块都可看成质点。现将小球由静止释放，经，小球与滑块发生完全弹性碰撞，碰后经，滑块从薄板左端冲出。不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球释放瞬间，轻质细线上的拉力大小； (2)小球释放后到与滑块碰撞前瞬间，轻质细线拉力的冲量大小； (3)薄板的长度。 【答案】(1)2.5N (2)2.5N·s (3)1.25m 【详解】（1）对小球，释放瞬间有 解得 （2）对小球，从释放到碰前瞬间有 解得 由动量定理得， 由矢量三角形得 代入数据得 （3）小球和滑块碰撞时，由动量守恒和能量守恒得 联立解得， 碰后，物体做匀减速直线运动，有 解得 物体的位移 解得 物体做匀加速直线运动，有 解得 物体C的位移为 解得 薄板C的长度 变式1．（25-26高二上·江西上饶·期末）如图所示，滑块静止于水平轨道点，长为且滑块与水平轨道间的动摩擦因数。B点正上方点用轻绳悬挂一小球，小球与AB相切但无挤压，BC为台阶，CD为足够长的光滑水平直轨道。紧靠台阶右侧停放着木板1和带轻质挡板的木板2，长度均为，与点等高，两木板不粘连。滑块与木板1、2上表面动摩擦因数分别为和（未知）。已知滑块、木板1、2的质量相等为、小球的质量为。现给滑块一个水平向右的瞬时冲量，滑块滑至点时与小球发生正碰（碰撞时间极短），碰后滑块滑上木板1，小球则在竖直平面做半径的圆周运动，小球运动至最高点时轻绳的拉力。滑块、小球均可视为质点。取。 (1)滑块与小球碰撞前瞬间滑块的速度大小； (2)滑块与小球碰撞后瞬间滑块的速度大小； (3)若滑块与挡板发生的是弹性碰撞，要使滑块能接触挡板，又最终没有滑离木板2，求滑块与木板2之间的动摩擦因数的取值范围（答案可用分数表示）。 【答案】(1)3m/s (2)2m/s (3) 【详解】（1）对滑块分析，由动量定理 滑块从A运动到B过程，由动能定理 解得 （2）设小球在最高点时速度为v1，由牛顿第二定律可得 设小球与滑块碰后速度为v2，小球从最低点运动到最高点过程，由机械能守恒定律可得 滑块与小球碰后滑块速度记为vC，滑块和小球，由动量守恒定律可得 解得 （3）设滑块刚滑上木板2时的速度为v3，此时木板1和2的速度为v4，将滑块和两块木板看成系统，由动量守恒和能量守恒可得， 解得，或，（舍去） 滑块滑上木板2以后，木板2与木板1分离，将滑块和木板2看成系统，最终滑块与木板2两者共速，由动量守恒得 若滑块刚好接触挡板，由能量守恒 若滑块与挡板碰后，滑块滑到木板2左端恰好与木板2相对静止，由能量守恒定律有 联立方程解得 变式2．（25-26高二上·广西百色·期末）火星基地的自动化机械测试区，搭建了一套机器人移动性能验证装置如图所示，长为，倾角的光滑下滑轨道与光滑超导水平导轨平滑衔接，紧靠D点静置一台质量的无动力超导转运平台（平台上表面与D点齐平），平台右端静置一可视为质点的质量的备用零件箱B。质量，可视为质点的小型探测机器人A从下滑轨道顶端由静止释放，沿超导水平轨道滑至P点后水平投射，恰好从固定在光滑测试面上的光滑圆弧缓冲轨道的C点的切线方向进入，机器人A滑上平台后与零件箱B发生碰撞并粘连在一起，碰撞时间极短，已知C点与圆弧圆心O的连线与竖直方向夹角，圆弧轨道的半径，机器人A、零件箱B与转运平台间的动摩擦因数均为，转运平台与测试面之间无摩擦，基地模拟重力加速度g取，不计火星基地内模拟的大气阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)探测机器人A到达C点时的速度大小； (2)探测机器人A刚到达圆弧缓冲轨道末端D点时对轨道的压力； (3)为避免A、B粘连体滑出转运平台，平台的长度L至少多大。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设探测机器人A到达P点的速度为，由动能定理有 解得 探测机器人A从P点水平投射做平抛运动，设到达C点时的速度大小为，则有 解得 （2）设到达点时的速度大小为，从点到点，由动能定理有 解得 在D点时由牛顿第二定律有 解得 （3）机器人A与零件箱B碰撞过程动量守恒，则 解得 AB粘连在一起在转运平台运动过程中，AB与转运平台系统动量守恒，则 解得 设AB与转运平台共速过程，对滑动距离为，则由功能关系有 解得 平台的长度L至少为。 变式3．（25-26高二上·江苏镇江·期末）如图所示，半径为R的四分之一圆弧体1固定在光滑水平面上，水平面上的小车左端水平部分与圆弧体1的最低点B等高且平滑接触。小车上表面右端固定一个四分之一圆弧体2，圆弧面最低点D与小车上表面水平部分平滑连接。圆弧面、光滑，小车水平部分粗糙。一质量为m可视为质点的小滑块P，从A点由静止释放，经B点后滑上小车，恰好能滑到E点，最后刚好不能从小车C点滑离。已知小车及圆弧体2总质量M，，重力加速度为g。求： (1)滑块P滑到圆弧面B点时对圆弧轨道的压力大小； (2)上述过程摩擦产生的热量； (3)圆弧轨道2的半径。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑块从A到B由动能定理得 在B点受轨道支持力满足， 解得 根据牛顿第三定律 （2）考虑从滑块滑上C点到滑块最终回到C点，系统动量守恒 解得 滑块从E点下滑回到C点，系统动量守恒，因此滑块和小车在E点时速度大小相同，也为 由能量守恒得 解得 考虑滑块在小车上运动的全过程，系统动能损失全部转化为热量，满足 解得 因此全过程中摩擦产生的热量 （3）由上述分析可知 解得 考点二 两物体多次碰撞问题 解题思路点拨：先由动量守恒和能量规律求出第一次碰后速度；抓住每次碰撞速度规律重复、运动具有周期性，归纳速度、位移通式；结合空间边界条件，判断碰撞次数、时间和位置。 例1．（25-26高二下·陕西西安·期中）如图所示，竖直平面内质量、半径的圆形光滑轨道A静置在光滑平台上，与光滑平台在最低点相切，质量的木板D静置在平台右侧光滑的水平地面上，上表面与平台齐平，质量的滑块C静止在木板D左端，竖直弹性挡板固定在木板D右侧。将质量的滑块B（视为质点）从圆形光滑轨道的上端由静止释放，B运动至光滑平台后与C发生弹性碰撞。已知初始状态木板D右端到挡板的距离，滑块C与木板D之间的动摩擦因数，木板D足够长且与弹性挡板碰撞后以原速率反弹。B与C只碰撞一次，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)B从释放到滑到光滑平台的过程中，A的位移大小； (2)B与C碰撞后，C的速度大小； (3)D与弹性挡板发生碰撞的总次数。 【答案】(1)0.45m (2)4m/s (3)6次 【详解】（1）A、B组成的系统满足水平方向动量守恒，则有 等式两边同时乘以时间，并求和可得 又 联立解得A的位移大小为 （2）B从释放到滑动光滑平台的过程中，A、B系统机械能守恒，则有 解得， B与C发生弹性碰撞，由动量守恒和机械能守恒可得 ， 解得， （3）由牛顿第二定律可得，C的加速度大小为 D的加速度大小为 D向右运动第一次与弹性挡板碰撞，由运动学公式可得 解得 碰撞前D的速度为 C的速度为 碰撞后D的速度反向，大小不变，则 此后C和D的加速度大小始终不变，每次D与挡板碰撞，D的速度大小不变，方向反向，但C的速度一直在减少，每次D从挡板向左运动再回来做往返运动的时间为 C的速度减少 经过6次碰撞后，C的速度变为 由动量守恒定律可得 解得 则C和D最终静止，不会与挡板发生第7次碰撞，即木板D与挡板发生6次碰撞。 例2．（2026·宁夏银川·一模）如图所示，光滑圆弧（O为其圆心）轨道PQ与光滑水平轨道QN平滑连接，圆弧半径R=5m，QN的长度l=2.5m，轨道在N点与足够长粗糙水平地面NE平滑连接。一质量为m=1kg的小物块A从与圆心O等高处P点由静止开始沿轨道下滑，在N点与质量为M=4kg的静止小物块B发生弹性正碰，碰撞时间极短。A、B与地面间的动摩擦因数均为μ=0.5，A、B均可看作质点，重力加速度g=10m/s2。求： (1)小物块A在第一次经过圆弧轨道最低点Q时对轨道的压力大小； (2)第一次碰撞后瞬间A、B的速度大小； (3)A、B均停止运动后，二者之间的距离。 【答案】(1)30N (2)6m/s，4m/s (3)1.04m 【详解】（1）小物块A从与圆心O等高处P点由静止开始沿轨道下滑运动到Q点，根据机械能守恒定律可得 解得 在Q点，根据牛顿第二定律可得 解得 根据牛顿第三定律可得，小物块在第一次经过圆弧轨道最低点Q时对轨道的压力大小为30N； （2）由于AB发生弹性碰撞，根据动量守恒定律可得， 联立解得， 即碰后A的速度大小为6m/s，方向水平向左，B的速度大小为4m/s，方向水平向右； （3）第一次碰撞后B向右做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律可得 速度减为零所需时间为 位移为 A向左运动滑上圆弧后返回来向右运动的时间 即A再次返回Q点时，B已经停止运动，A经过Q点向右做匀减速直线运动，到达B停止的位置时，有 解得 AB发生第二次碰撞，有， 联立解得， A向左做匀减速直线运动，有 B向右做匀减速直线运动，有 所以A、B均停止运动后，二者之间的距离为 例3．（2026·江苏南京·一模）如图所示，倾角为的固定斜面上有一右端带垂直挡板的木板，质量。现将质量的光滑小滑块放到距离挡板处，两者同时由静止释放。已知木板与斜面间的动摩擦因数，小滑块与挡板发生弹性碰撞，整个过程小滑块未脱离木板，斜面足够长，取，，。求： (1)释放瞬间滑块的加速度大小； (2)第1次碰撞过程中，滑块所受合力的冲量大小； (3)从释放到第3次碰撞系统产生的总热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对滑块受力分析：由 解得： （2）对木板受力分析：由于 所以木板静止，当滑块运动到挡板处时，速度为 与挡板弹性碰撞，动量、能量守恒， 解得， 故滑块所受合力冲量大小为 （3）此后，物块做初速度为0，加速度仍为的匀加速直线运动，木板做速度为2m/s 的匀速直线运动， 由 解得再次相遇。 第二次碰撞前，物块速度为，木板速度为2m/s，碰撞后 解得，，即滑块以2m/s初速度，做匀加速直线运动，木板以4m/s做匀速直线运动， 由 可得仍然经过再次相遇，第三次碰撞。 则此过程中，木板与斜面摩擦产生的热为： 若用v-t图像解答，亦可得分。 变式1．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）如图所示，静止在光滑水平面上的物体B是由平板ab、固定在平板最左端a点的薄挡板和四分之一光滑圆弧轨道bc组成，圆弧bc的半径为R=2m，其最低点b与平板ab的上平面相切。刚开始时，滑块A（可视为质点）静置于a点，t=0时刻，给滑块A一向右的瞬时速度v0=12m/s，已知平板ab部分的长度为L=3m，A、B的质量分别为m1=2kg、m2=4kg，A与B的ab部分之间的摩擦因数为μ=0.6，重力加速度g=10m/s2，A与挡板碰撞时间极短且不计A与挡板碰撞过程的能量损失，在此后的运动过程中，求： (1)滑块A上升的最大高度； (2)滑块A与挡板第一次碰撞后的速度； (3)滑块A最终在平板ab上相对B静止时的位置。 【答案】(1)3m (2)8m/s (3)停在a点右侧2m处（或距离b点左侧1m处） 【详解】（1）A上升到最大高度时，系统水平方向动量守恒，最高点时A、B速度相同，有 a到最高点根据能量守恒 解得 （2）滑块A与挡板第一次碰撞后，A、B组成的系统动量守恒， 解得或0（舍去） （3）根据能量守恒 解得 所以A最终停在a点右侧2m处（或距离b点左侧1m处）。 变式2．（25-26高二上·山东聊城·期末）如图所示，一质量M＝0.1kg平板车静止在光滑水平面上，距平板车右端L处有一竖直固定挡板Q，一质量m＝0.3kg物块静止于平板车最左端，一质量＝0.2kg小球用长＝1.25m不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。当物块刚好与平板车速度相同时，平板车与挡板发生第一次碰撞，平板车和挡板碰撞过程中没有机械能损失，物块一直未脱离平板车。小球、物块均可视为质点，物块与平板车间的动摩擦因数为，不计空气阻力，重力加速度g取。求： (1)小球从释放到与物块碰撞前，小球所受合力的冲量I； (2)小球与物块碰撞后的瞬间，物块的速度； (3)平板车右端到挡板Q的初始距离L； (4)平板车在整个运动过程中的总路程S（若0＜x＜1，则＝0）。 【答案】(1)，方向水平向右 (2)4m/s，方向水平向右 (3)1.5m (4)5.5m 【详解】（1）小球从释放到与物块碰撞前，由机械能守恒定律   解得v＝5m/s 小球合力的冲量，方向水平向右。 （2）小球与物块碰撞过程，由动量守恒定律   由动能不变   解得， 故物块的速度大小为4m/s，方向水平向右 （3）从物块开始运动到与平板车共速过程中 对平板车和物块，由动量守恒定律，   解得 对平板车，由动能定理   解得 （4）对平板车，由牛顿第二定律   解得 平板车与挡板碰撞后第二次达到共同速度的大小为 由动量守恒定律   解得 同理可得，第三次达到共同速度的大小 以此类推，第n次达到共同速度的大小 平板车走过的总路程 变式3．（25-26高二上·河南平顶山·期末）如图所示，长为的轻绳一端固定于O点，另一端与质量的小球相连。小球在O点正下方且未与地面接触。质量的凹槽静置在光滑水平面上，其左侧与小球恰好接触。质量的小物块放置于凹槽内且与右侧挡板接触。初始系统静止，现将小球拉至与O点等高处且使轻绳伸直，由静止释放小球，小球运动至最低点与凹槽发生弹性碰撞。碰后瞬间在O点正下方处固定一细钉，小球恰能在竖直面内绕做圆周运动上升至最高点，且小物块与凹槽发生了两次弹性碰撞后不再发生第三次碰撞（若物块到达某一端时二者恰好共速，视为未发生碰撞）。已知凹槽左右挡板内侧间距，不计空气阻力，重力加速度。求： (1)O到点的距离； (2)凹槽与物块间动摩擦因数的取值范围。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球从水平位置摆至竖直位置过程，由动能定理有 代入数据解得小球运动至最低点时的速度为 设小球与凹槽弹性碰撞后速度为，凹槽的速度为，则由动量守恒定律有 由机械能守恒定律有 联立解得， 即小球与凹槽弹性碰撞后以的速度反弹，之后小球绕恰好做完整的圆周运动，到达最高点时重力提供向心力，则有 小球与凹槽碰撞后从最低点运动到最高点的过程中，由动能定理有 代入数据，联立解得小球绕恰好做完整的圆周运动的半径为 所以O到点的距离为 （2）凹槽与物块组成的系统动量守恒，则有 解得 设物块在凹槽上相对滑动的路程为s，由于凹槽与物块发生两次弹性碰撞后不再发生第三次碰撞，说明相对滑动的总路程满足 其中，所以有 由能量守恒定律有 当时，解得 当时，解得 故凹槽与物块间动摩擦因数的取值范围为 2 学科网（北京）股份有限公司 $