课标变化1：新增数学是重大科技创新发展的基础 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 以国家重大科技成果和现实场景为载体，系统整合几何、概率、函数等模块，突出数学建模与实际应用的逻辑链，强化数学眼光与思维的专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何应用|6题（椭圆/圆台/圆锥/抛物面）|结合航天/建筑/3D打印场景，考查空间想象与运算能力|从平面曲线到空间几何体，构建“实际问题-数学抽象-模型求解”逻辑链| |概率统计|2题（智慧交管/充电桩）|以计数原理和数列建模为核心，体现数据分析与应用意识|通过实际情境中的数据处理，强化概率思想与数学建模能力| |函数与导数|2题（神经网络/超椭圆）|结合AI与设计场景，考查函数性质与导数应用|从函数图像到性质分析，培养数学抽象与逻辑推理能力| |综合应用|2题（扫地机器人/光学器件）|多知识点交叉，强调数学语言表达与问题解决|整合三角、立体几何与优化思想，提升综合应用能力|

课标变化1：新增数学是重大科技创新发展的基础（专项训练） 1． 单选题 1.(太空飞船)神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得， 故， 故选：D. 2．(智慧交管)（2026山东潍坊2月模拟）某智慧交通管理平台为优化城市主干道通行效率，实时监测并记录各路口信号灯的运行模式.每个时段（例如早､晚高峰或特定监控周期）的运行模式对应一个代码（如下表）： 运行模式 代码 绿波协调 0 红灯截流控制 1 区域协调 -1 现按时间顺序记录某路口5个时段的运行模式，如编码表示5个时段中第1，3时段是“绿波协调”运行模式，则该路口某天这5个时段的运行模式中出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为（    ） A．40 B．51 C．131 D．210 【答案】B 【详解】出现绿波协调个的可能种数有：； 出现绿波协调个的可能种数有：； 出现绿波协调个的可能种数有：； 则出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为. 故选：B 3.(高铁列车）我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离s，则此时P到铁轨上表面的距离为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当列车行驶的距离为s时，车轮转过的角度为，此时P到铁轨上表面的距离为． 4.(3D打印技术)某校科技社利用3D打印技术制作实心模型.如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台.其中半球的体积为144πcm3，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半.打印所用原料密度为1.5g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（1.5π≈4.7） （ ） A.3045.6g B.1565.1g C.972.9g D.296.1g 【答案】C 【解析】设半球的半径为，因为，所以，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以，所以该实心模型的体积为，所以制作该模型所需原料的质量为.故选C. 5.（“中国名片”）逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路､中国桥等一张张闪亮的“中国名片”.如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在三处测得道路一侧山顶的仰角依次为，其中，则此山的高度为（ ） A. B.C. D. 【答案】D 【解析】 如图，设点在地面上的正投影为点，则 ， 设山高，则. 在中，， 由余弦定理得，整理得， 所以，故选D. 二．多选题 6.（神经网络）（广东省惠州市2026届高三下学期4月模拟考试(二模)T10） 深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数是其中重要的激活函数之一，则（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间上不单调 C. 存在唯一极值点 D. 恒成立 【答案】ACD 【解析】对A：因为恒成立， 所以当时，；当时，；当时，. 所以函数有且仅有一个零点，故A正确； 对B：因为， 当时，，所以函数在上单调递增，故B错误； 对C：由B可得. 设，易知在上单调递增，且，， 所以存在，当时，. 当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增. 所以存在唯一极值点，故C正确； 对D：由C，，且， 所以，因为，所以. 所以，故D正确. 7.（logo）(北京市工业大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中)2021年3月30日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo．新Logo将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线，则下列有关曲线的说法中正确的是（    ）    A．对任意的且，曲线总关于原点成中心对称 B．当时，曲线上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C．当时，曲线围成的图形面积可以为2 D．当时，曲线上的点到原点最近距离为 【答案】ABD 【详解】对于A：在曲线中,以替换,以替换,方程不变,则曲线关于原点成中心对称，故A正确； 对于B：当时,令,得；令,得.曲线总过四个整点，故B正确； 对于C：当时,由，得：，且等号不同时成立， ∴.又与坐标轴围成的面积为，且在内部，则曲线围成图形的面积小于2，故C错误. 对于D：当时,曲线的方程为：，不妨令均大于0，曲线化为，即，则，令，则，当且仅当且，即时等号成立，结合对称性可知，曲线上点到原点距离的最小值为，故D正确. 故选：C 三、填空题 8. （新能源汽车）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了_____________万个充电桩；从第1年起，约_____________年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 【答案】 ①. 2.88 ②. 8 【详解】由题意可知第3年新建设万个充电桩； 假设第年后充电桩总量达到30万个，则， 即， 取对数得， 即约8年内，可达到要求. 故答案为：2.88，8 9．（神州十二号返回舱）（2025北京门头沟.一模）如图是神州十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1200m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上.在A测得点B的仰角∠DAB＝30°，且BC的视角∠BAC满足sin∠BAC＝，则此时返回舱底端离地面距离CD＝____________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，计算过程中，球半径四舍五入保留整数，长度单位：m). 【答案】 【解析】设半球半径为，则，∴，∴． 法一：在中，由正弦定理得，∴，．【答案】 法二： 设 又∠DAB＝30°， 解得 10.（无人机）（四川省绵阳市2025-2026学年高三上学期第二次诊断）如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题可知，故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得，又由题知，如图建立平面直角坐标系   则，由两点之间线段最短可得， 所以， 故答案为： 11. （无人机）（2026北京平谷.一模）无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知10架无人机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10的数列，该数列的前4项成等比数列，后7项成等差数列，且，，，则______，数列所有项的和为______． 【答案】 ① 144 ② 1073 【解析】设前项构成的等比数列公比为，则，即，解得； 设后项构成的等差数列公差为，则分别是第一项和第六项，所以，即，解得； 因为是等差数列的第四项，所以； 因为是等差数列与等比数列的公共项，现将其只看作等差数列的首项， 则数列所有项的和可看作前项等比数列与后项等差数列的和， 所以 12（中国天眼）中国天眼FAST（500米口径球面射电天文望远镜），于2016年9月25日落成启用.天眼是当之无愧的国之重器，它的灵敏度是世界上排名第二的美国阿雷西博望远镜的三倍左右，它的直径达到了500米，它的反射面积相当于30个足球场的大小.如图是中国天眼的剖面，当我们观测某个方向的天体目标时，在天体和球心到反射面点的连线上选取一个点作为抛物面的焦点，把以点为中心周边的镜面通过下拉索拉动，使球面变形成抛物面（抛物面是指抛物线绕着他的对称轴旋转180°所得到的面），这个抛物面把天体目标发出的平行光聚焦到焦点上，我们的接收机（馈源）就安装在这个焦点上，可见虽然天眼是一个球面形状，但观测时球面已经变成抛物面了.若垂直并交于点，米，米，则___________米，___________.  【答案】          【解析】根据题意，此时观测曲面为抛物面，弧为抛物线上的一部分，为抛物线的焦点，故如图，建立平面直角坐标系， 所以设抛物线的方程为，因为，， 所以，，所以，即， 所以抛物线的方程为，所以， 所以 所以米，米，所以在中，. 故答案为：； 4. 解答题 13.（智能扫地机器人）（2025上海）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【详解】（1）由题意得，设，，则，，由题意得. 在中，由余弦定理得 ，解得或（舍去），∴ （2）由（1）知，，. ∴. 14.（光学器件制作）光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抹一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA'＝a，现经过AB作与底面ABC所成角为θ的截面，且截面与B'C'，A'C'分别交于不同的两点E，F． （1）试求截面面积S随θ变化的函数关系式S（θ）； （2）当E和F分别为和的中点时，需要在线段AF上寻找一个点Q，用纳米纤维导管连接EQ，使得EQ与AB'所在直线的夹角最小，试求出纤维导管EQ的长． 【解析】（1）该几何体是直棱柱，故平面平面， 而平面平面，，故平面， 因为过的截面与平面的交线都与垂直， 又平面平面，平面平面ABEF=EF，所以， 所以截面ABEF为直角梯形，且截面与底面的平面角为， 则，， 过F作于点D，则，， 所以梯形ABEF面积 ， 所以； （2）以A为坐标原点，直线AC、AB、分别为x，y，z轴， 建立如图空间直角坐标系， 则，， 而E和F分别为和的中点，故，. 设，，则，则， 所以.设EQ与的夹角为， 则 ，设，则 则， 当且仅当时，即时,取得最大值，为. 因为余弦函数在上单调递减， 所以当时直线EQ与AB'的夹角最小，此时，， 所以，所以纤维导管EQ的长为. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 课标变化1：新增数学是重大科技创新发展的基础（专项训练） 1． 单选题 1.(太空飞船)神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（ ） A. B. C. D. 2．(智慧交管)某智慧交通管理平台为优化城市主干道通行效率，实时监测并记录各路口信号灯的运行模式.每个时段（例如早､晚高峰或特定监控周期）的运行模式对应一个代码（如下表）： 运行模式 代码 绿波协调 0 红灯截流控制 1 区域协调 -1 现按时间顺序记录某路口5个时段的运行模式，如编码表示5个时段中第1，3时段是“绿波协调”运行模式，则该路口某天这5个时段的运行模式中出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为（    ） A．40 B．51 C．131 D．210 3.(高铁列车）我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离s，则此时P到铁轨上表面的距离为 （ ） A． B． C． D． 4.(3D打印技术)某校科技社利用3D打印技术制作实心模型.如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台.其中半球的体积为144πcm3，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半.打印所用原料密度为1.5g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（1.5π≈4.7） （ ） A.3045.6g B.1565.1g C.972.9g D.296.1g 5.（“中国名片”）逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路､中国桥等一张张闪亮的“中国名片”.如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在三处测得道路一侧山顶的仰角依次为，其中，则此山的高度为（ ） A. B.C. D. 二．多选题 6.（神经网络）（广东省惠州市2026届高三下学期4月模拟考试(二模)T10） 深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数是其中重要的激活函数之一，则（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间上不单调 C. 存在唯一极值点 D. 恒成立 7.（logo）2021年3月30日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo．新Logo将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线，则下列有关曲线的说法中正确的是（    ）   A．对任意的且，曲线总关于原点成中心对称 B．当时，曲线上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C．当时，曲线围成的图形面积可以为2 D．当时，曲线上的点到原点最近距离为 三、填空题 8. （新能源汽车）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了_____________万个充电桩；从第1年起，约_____________年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 9．（神州十二号返回舱）如图是神州十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1200m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上.在A测得点B的仰角∠DAB＝30°，且BC的视角∠BAC满足sin∠BAC＝，则此时返回舱底端离地面距离CD＝____________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，计算过程中，球半径四舍五入保留整数，长度单位：m). 10.（无人机）（四川省绵阳市2025-2026学年高三上学期第二次诊断）如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为 . 11. （无人机）无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知10架无人机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10的数列，该数列的前4项成等比数列，后7项成等差数列，且，，，则______，数列所有项的和为______． 12（中国天眼）中国天眼FAST（500米口径球面射电天文望远镜），于2016年9月25日落成启用.天眼是当之无愧的国之重器，它的灵敏度是世界上排名第二的美国阿雷西博望远镜的三倍左右，它的直径达到了500米，它的反射面积相当于30个足球场的大小.如图是中国天眼的剖面，当我们观测某个方向的天体目标时，在天体和球心到反射面点的连线上选取一个点作为抛物面的焦点，把以点为中心周边的镜面通过下拉索拉动，使球面变形成抛物面（抛物面是指抛物线绕着他的对称轴旋转180°所得到的面），这个抛物面把天体目标发出的平行光聚焦到焦点上，我们的接收机（馈源）就安装在这个焦点上，可见虽然天眼是一个球面形状，但观测时球面已经变成抛物面了.若垂直并交于点，米，米，则___________米，___________. 4. 解答题 13.（智能扫地机器人）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 14.（光学器件制作）光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抹一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA'＝a，现经过AB作与底面ABC所成角为θ的截面，且截面与B'C'，A'C'分别交于不同的两点E，F． （1）试求截面面积S随θ变化的函数关系式S（θ）； （2）当E和F分别为和的中点时，需要在线段AF上寻找一个点Q，用纳米纤维导管连接EQ，使得EQ与AB'所在直线的夹角最小，试求出纤维导管EQ的长． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $