河北唐山市开滦第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

**基本信息** 高一年级期中数学试卷覆盖复数、向量、立体几何、解三角形等核心知识，通过基础辨析（如棱柱概念判断）、情境应用（河岸测量距离）、动态探究（线段动点向量取值范围）等层次设计，考查数学抽象、逻辑推理与几何直观素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数纯虚数判断、向量线性运算、解三角形实际应用|结合图形情境（如扇形与三角形面积计算），考查空间观念| |多选题|3|复数几何意义、斜二测画法直观图、向量平行垂直|多角度辨析（如棱柱性质判断），培养批判性思维| |填空题|3|三点共线、圆锥侧面展开图、三角形周长最值|聚焦知识交汇（如向量共线与坐标运算），提升运算能力| |解答题|5|向量夹角、复数方程、解三角形综合应用|分层设问（如解三角形求角与面积），强化逻辑推理与数学表达|

2025-2026年度唐山市开滦一中第二学期高一年级期中 数学试卷 命题人:李娅 复核人:邢情 一、单选题 1．若复数为纯虚数，则（    ） A．– 2 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为，且复数为纯虚数， 所以. 2．如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件得出，利用平面向量的减法化简可得出关于、的表达式. 【详解】在中，是线段上的靠近的三等分点，则， 即，解得. 3．如图，在半径为的圆中，有一条长度为2的弦，则（    ）    A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】A 【分析】取的中点，连接，则，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】取的中点，连接，则， 所以. 4．下列说法中，正确的是（ ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 【答案】D 【分析】根据棱台、棱锥、棱柱的定义和性质对各选项逐一进行判断即可. 【详解】对于A，用一个平面去截棱锥，当平面与底面平行时，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故A错误； 对于B，棱柱的侧面都是平行四边形，棱柱的底面可为任意平面多边形，故B错误； 对于C，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，如斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，故C错误. 对于D，由棱锥的定义可判断D正确. 5．在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 设，， 则. 代入，得. 又，所以，解得. 因此. 6．如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，. 中，，，，， 由正弦定理得，解得， 扇形区域面积为. 7．如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 8．已知正三角形ABC的边长为6，，P是线段DE上的动点（含端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取线段的中点，建立平面直角坐标系，设，根据数量积的坐标公式结合二次函数即可求值域． 【详解】取线段的中点，连接，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 因为正三角形ABC的边长为6，所以， 故， 又，所以 设，则， 所以，， 故. 二、多选题 9．已知复数（i是虚数单位），则下列命题中正确的是（     ） A． B．z在复平面上对应点在第二象限 C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由复数除法、模的计算公式即可验算；对于B，由复数的几何意义即可判断；对于CD，由复数乘法即可验算. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，z在复平面上对应点在第四象限，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 10．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长． 【详解】对于A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，故A错误； 对于B选项，由斜二测法可知，故B正确； 对于C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，故C正确； 对于D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，故D错误． 11．已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用向量模的三角不等式可判断C选项；利用投影向量的定义以及平面向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，化简可得，A对； 对于B选项，若，则， 又因为，解得或，B错； 对于C选项，， 当且仅当、同向时，即当时，即当时，等号成立， 故的最大值为，C对； 对于D选项，若，则， 则在上的投影向量为，D错. 三、填空题 12．若点，，，且，，三点共线，则______. 【答案】 【详解】由题意得：，，若三点共线，则存在唯一实数，使， 即：，解得：，所以. 13．已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______． 【答案】 【详解】设该圆锥的高为，母线为, 依题意可得，解得， 所以圆锥的母线长为， 因此可得该圆锥的侧面展开图对应扇形的弧长为，半径为； 设对应圆心角的弧度数为，则，因此. 14．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________. 【答案】6 【详解】由三角形内角和得，故. 由正切和角公式， 代入得：，整理得. 结合题设，联立得. 因，故. 已知，由余弦定理， 代入得：. 由基本不等式，得， 即，当且仅当时取等号. 因为，所以. 故，当且仅当时取等号. 因此周长，即周长最大值为. 四、解答题 15．， (1)若，求的大小； (2)若，求，夹角的大小． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示列式求解. （2）利用向量垂直的坐标表示及向量夹角公式求解. 【详解】（1）向量，，由，得， 所以. （2）依题意，，由，得，解得， 由向量，，得， ， 因此，而， 所以向量，夹角的大小为. 16．已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值； （2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值. 【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时，    ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； （2）当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若，，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角关系即可得出答案； （2）先利用余弦定理求得边，再结合面积公式即可得出答案. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即，则， 因为，所以， 可得，所以. （2）由余弦定理得， 即，解得（舍去）或， 所以的面积. 18．已知向量，． (1)若与的夹角为，求实数m值及的模； (2)若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据向量的数量积的坐标公式来求解的值； （2）先求出的坐标，再根据向量夹角为锐角时数量积大于0且两向量不共线来确定的取值范围. 【详解】（1）因为，，所以，， 所以，解得，． （2）由条件可得且与不平行， 当时，， 可得，解得， 若，则，则， 所以的取值范围是 19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A． (2)已知AD平分且交BC于点D，． （ⅰ）若，求a； （ⅱ）求周长的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解； （2）（ⅰ）由，利用正弦定理得到，再根据AD平分，由求得b，c，再利用余弦定理求解； （ⅱ）由和得到，利用“1”的代换，得到的最小值，再由余弦定理，得到的最小值. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，因为，所以； （2）（ⅰ）因为，由正弦定理得：， 因为AD平分， 所以， 因为， 所以， 将代入上式得，解得，， 由余弦定理得，解得. （ⅱ）由， 得， 将代入上式得，即，即， 则， 当且仅当时，等号成立，则的最小值为8； 由余弦定理得， ， 令，则， 因为 ，当时，的最小值为， 则的最小值为， 所以周长的最小值为. 试卷第12页，共13页 试卷第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度唐山市开滦一中第二学期高一年级期中 数学试卷 命题人:李娅 复核人:邢情 一、单选题 1．若复数为纯虚数，则（    ） A．– 2 B．2 C． D． 2．如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在半径为的圆中，有一条长度为2的弦，则（    ）    A．2 B．4 C．8 D．12 4．下列说法中，正确的是（ ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 5．在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 6．如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（   ） A． B． C．4 D． 8．已知正三角形ABC的边长为6，，P是线段DE上的动点（含端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知复数（i是虚数单位），则下列命题中正确的是（     ） A． B．z在复平面上对应点在第二象限 C． D． 10．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 11．已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则在上的投影向量为 三、填空题 12．若点，，，且，，三点共线，则______. 13．已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______． 14．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________. 四、解答题 15．， (1)若，求的大小； (2)若，求，夹角的大小． 16．已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若，，求的面积； 18．已知向量，． (1)若与的夹角为，求实数m值及的模； (2)若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A． (2)已知AD平分且交BC于点D，． （ⅰ）若，求a； （ⅱ）求周长的最小值． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $