2.4 正弦型函数（教案）--语文版《数学 拓展模块一》《上好课》

语文版《数学 拓展模块一》 第二单元 三角计算 2.4 正弦型函数 一、教材 语文出版社《数学》（拓展模块一） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节课是语文版数学拓展模块一第二单元三角计算的重要应用内容，核心知识点包括正弦型函数的图像与性质、参数，，的几何意义及应用，为后续学习三角函数模型的实际应用、函数图像变换提供了概念与代数框架基础。教材以生活中的周期性现象为逻辑主线，既衔接了学生对正弦函数图像与性质的已有认知，又深化了从基本函数到复合函数变换的数学思维，提升学生用代数方法描述周期性变化规律的能力。 五、学情分析 多数学生已具备对正弦函数图像与性质的认知基础，并且对与周期性变化相关的生活现象有明确认知，这为他们学习正弦型函数打下了基础。但如果只采用纯理论推导的讲解可能无法引起学生的学习兴趣，还容易对正弦型函数中，，三个参数的几何意义理解不透彻，混淆不同参数对图像变换的影响规律。因此可以通过与生活关联的周期现象场景、课堂练习帮助学生掌握正弦型函数的概念，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握正弦型函数的定义及参数的含义； 2.能熟练绘制正弦型函数的图像，结合图像分析其周期性、单调性、最值等性质； 3.通过对正弦型函数的学习与应用，提升运用三角函数模型分析周期性变化现象的能力，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。 七、教学重点 1.正弦型函数的定义及参数的含义； 2.正弦型函数的图像。 八、教学难点 结合的图像分析其周期性、单调性、最值等性质。 九、教学方法 案例法：通过案例帮助学生理解正弦型函数的定义、图像和性质，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对正弦型函数的定义、图像和性质进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究正弦型函数的定义、图像和性质，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 振动是自然界中普遍存在的一种运动形式，如钟摆的运动、气缸中活塞的往复运动、心脏的跳动等．振动的运动形式很多，而最简单、最基本的运动形式是简谐振动． 简谐振动是指物体相对于平衡点的位置随时间按正弦型函数（或余弦型函数）规律变化的运动，其数学表达式为．这类函数有哪些性质？它的图像与正弦函数的图像之间又有哪些联系呢？ 接下来，我们一起进入关于正弦型函数的知识点学习。 通过生活实例的具体分析引出新知识点：正弦型函数的定义、图像和性质。 新知讲授 1.正弦型函数 我们把形如（其中，，都是常数）的函数叫做正弦型函数．它在物理学和工程技术方面都有着广泛的应用． 显然，当，，时，函数就是．下面，我们就来研究，，对图像的影响． （1）对图像的影响． 为了研究方便，我们令，，并对任取不同的数值，在同一坐标系中作出这些函数在一个周期上的图像，观察它们与的图像之间的关系． 这里，我们以为例来研究． 根据与的图像可以看出，对于同一个值，函数图像上点的纵坐标等于的图像上点的纵坐标的2倍.由此，我们可以得到如下结论： 一般地，函数（且）的图像，可看作是将函数的图像上所有点的纵坐标扩大（当时）或缩小（当时）到原来的倍（横坐标保持不变）而得到的. (2)对图像的影响. 令，，分别取和，在同一平面直角坐标系中分别作出和在一个周期上的图像，如图所示. 通过对比，与的图像，我们可以得到如下结论： 一般地，函数（且）的图像，可看作是将函数的图像上所有点的横坐标缩小（当时）或扩大（当时）到原来的（纵坐标保持不变）而得到的. （3）对图像的影响． 令，，分别取和，在同一平面直角坐标系中分别作出和在一个周期上的图像，如图所示． 通过对比，与的图像，我们可以得到如下结论： 一般地，函数的图像，可看作是将函数的图像上的所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位而得到的． 根据以上三个结论，我们可以归纳出下面的结论： 一般地，函数，的图像可看作是这样得到的：先将函数的图像上的所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位；然后把所得各点的横坐标缩小（当时）或扩大（当时）到原来的（纵坐标保持不变）；最后把所得各点的纵坐标扩大（当时）或缩小（当时）到原来的倍（横坐标保持不变）。 （4）正弦型函数（，，都是常数）的主要性质。 ①定义域：实数集。 ②值域：，即最大值为，最小值为。 ③周期：。 在物理学中，做简谐振动的物体对平衡位置的位移与时间的关系也是形如的函数。 其中，表示做简谐振动的物体离开平衡位置的最大距离，我们把它叫做简谐振动的振幅；表示物体往复振动一次所需要的时间，叫做振动的周期；表示单位时间内往复振动的次数，叫做振动的频率；叫做相位；叫做初相（当时的相位）。 总结正弦型函数的定义、图像和性质。 案例分析 1.正弦型函数 【例题】如图是某简谐振动的一段图像．试根据图像回答下列问题： （1）这个简谐振动的振幅、周期和频率各是多少？ （2）从点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复振动？如果从点算起呢？ （3）写出这个简谐振动的函数表达式. 【解析】（1）从图像上可以看出，这个简谐振动的振幅为；周期为，可得频率为. （2）如果从点算起，到曲线上的点，表示完成了一次往复振动；如果从点算起，则到曲线上的点，表示完成了一次往复振动. （3）设这个简谐振动的函数表达式为，，则；由，得；由图像可知，初相. 因此，所求的函数表达式为，. 2.正弦型函数的应用 我们知道，正弦型函数（其中，，都是常数）的最小正周期为。由于，，因此我们把形如（其中，，都是常数）的函数叫做余弦型函数，它的最小正周期也是。 【例题】求下列函数的最大值、最小值以及最小正周期。 （1）； （2）； （3）。 【解析】（1）， 函数的最大值为，最小值为，最小正周期为。 （2）， 函数的最大值为，最小值为，最小正周期为。 （3） ， 函数的最大值为，最小值为，最小正周期为。 【例题】宏志中学的气象研究课外小组获得该市某天4～12时的温度变化数据，他们发现这段时间的温度变化曲线近似满足函数。 （1）求该天4～12时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式。 【解析】(1)由图可知，这段时间的最大温差是。 (2)由图可以看出，4～12时的图像是函数的半个周期的图像，，。因为，所以。 将，，，，代入，可得。 因此，所求解析式为 通过案例来帮助学生更好地理解正弦型函数的定义、图像和性质。 学以致用 【练习】已知函数，求： 函数的最小值、最大值及最小正周期． 【解析】 ， 其中，所以最小值为，最大值为，最小正周期为. 【练习】已知函数 的图象如图所示. (1)求这个函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值。 【解析】（1）函数 的图象如图所示， 由图像可知，函数的最大值为，则， 最小正周期为，则，解得， 此时函数， 将点代入得， 则，解得， 因为，所以， 所以. （2）当时，， 所以当，此时时，函数值最小为； 当，此时时，函数值最大为。 同学们，我们现在已经掌握了正弦型函数的相关知识点，那现在请同学们结合所学知识点解决下列问题，稍后请同学分享自己的答案。 某地海水的潮汐高度y（米）与时间t（小时）的关系近似满足函数： 求：该地潮汐的最大高度和完成一次潮汐循环的周期. 答案：对比标准形式得 振幅=3，所以最大高度为3米。频率，。 通过即时练习以及知识回顾，进一步加强学生对正弦型函数的定义、图像和性质的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】函数的振幅和周期分别为（ ） A．， B．3， C．，1 D．3，1 【解析】由函数可知函数的振幅为，周期为. 故选：B . 【练习2】函数（其中）的部分图像如图所示，则该函数的解析式是（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知最大值是3，则， ，解得， 因为，解得， 则， 经过点，代入得， 即，则， 解得， 因为，所以，即， 故选：C. 【练习3】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【解析】已知， 则为了得到函数的图象， 只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度， 故选：A. 【练习4】已知函数的图像如图所示，则函数的解析式为（ ）    A． B． C． D． 【解析】由图象可知，又，所以，解得， 将点代入解析式得，所以， 因为，所以， 所以函数. 故选：A. 【练习5】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【解析】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍， 得到函数， 其最小正周期. 故选：D. 【练习6】已知函数的图像与x轴的两个相邻交点的距离为4，且最高点M到x轴的距离为，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【解析】函数的图像与x轴的两个相邻交点的距离为4， 所以最小正周期为，，解得， 最高点M到x轴的距离为，则， 所以， 故选：. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺。 知识梳理 正弦型函数 （1）定义： 我们把形如（其中，，都是常数）的函数叫做正弦型函数；把形如（其中，，都是常数）的函数叫做余弦型函数。 （2）性质： ①定义域：实数集。 ②值域：，即最大值为，最小值为。 ③周期：。 函数，的图像： ①先将函数的图像上的所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位；②然后把所得各点的横坐标缩小（当时）或扩大（当时）到原来的（纵坐标保持不变）；③最后把所得各点的纵坐标扩大（当时）或缩小（当时）到原来的倍（横坐标保持不变）。 帮助学生构建完整的知识网络，强化记忆。 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 正弦型函数 （1）定义： 我们把形如（其中，，都是常数）的函数叫做正弦型函数；把形如（其中，，都是常数）的函数叫做余弦型函数。 （2）性质： ①定义域：实数集。 ②值域：，即最大值为，最小值为。 ③周期：。 函数，的图像： ①先将函数的图像上的所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位；②然后把所得各点的横坐标缩小（当时）或扩大（当时）到原来的（纵坐标保持不变）；③最后把所得各点的纵坐标扩大（当时）或缩小（当时）到原来的倍（横坐标保持不变）。 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过生活中的周期现象引入正弦型函数概念，多数学生能初步理解正弦型函数的图像特征，掌握，，对图像的基本影响规律。但在课堂检测中也发现：个别学生对不同参数的图像变换影响易混淆，尤其是相位变换与周期变换的顺序理解不清，因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $