2.5 生产、生活中的三角计算及应用举例（教案）--语文版《数学 拓展模块一》《上好课》

该中职数学教案聚焦三角计算在生产生活中的应用，通过圆木锯矩形木料的实例导入，引导学生用已学的正弦定理、余弦定理等知识解决面积最大问题，搭建从三角理论到实践应用的学习支架。 以生产生活案例为主线，如气温变化曲线、木板对接等，结合案例法和探究法，培养数学抽象与数学建模素养。学生能提升实际问题转化能力，教师可借助分层练习和知识梳理高效教学，夯实三角应用基础。

语文版《数学 拓展模块一》 第二单元 三角计算 2.5 生产、生活中的三角计算及应用举例 一、教材 语文出版社《数学》（拓展模块一） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节课是语文版数学拓展模块一第二单元三角计算的重要内容，是三角知识从理论到实践的关键衔接章节。本章核心是引导学生将已学的正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式，应用到生产生活的实际场景中，解决测量距离、高度、角度，以及工程、航海等相关实际问题。。教材以实际场景为逻辑主线，注重理论与实践结合，突出三角知识的实用性，同时渗透数形结合、转化与化归等数学思想，为学生后续解决更复杂的实际数学问题奠定基础。 五、学情分析 多数学生已具备对正弦定理、余弦定理、三角恒等变换的认知基础，并且对与三角计算相关的生活场景有明确认知，这为他们学习生产生活中的三角计算及应用打下了基础。但如果只采用纯公式套用的讲解可能无法引起学生的学习兴趣，还容易对实际场景抽象为三角模型的过程理解不透彻，无法准确选择合适的三角定理或公式解决问题。因此可以通过与生产生活关联的场景演示、分步建模与练习帮助学生掌握本节内容，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理、二倍角公式等三角知识； 2.能将实际问题抽象为解三角形、三角化简求值模型，规范运用三角公式与定理求解； 3.通过对三角计算在生产生活中的应用学习，提升将实际问题转化为数学问题的能力，培养数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 七、教学重点 1.正弦定理、余弦定理、二倍角公式等三角知识的应用； 2.将实际问题抽象为解三角形、三角化简求值模型。 八、教学难点 能准确识别生产生活中可转化为三角计算的实际问题 九、教学方法 案例法：通过案例帮助学生理解生产、生活中的三角计算及应用举例，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对生产、生活中的三角计算及应用举例进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究生产、生活中的三角计算及应用举例，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 如图所示，要把一段半径为的圆木锯成横截面为矩形的木料，请思考怎样锯才能使横截面的面积最大？ 分析： 设矩形的一条对角线与一条边的夹角为，则矩形的长和宽分别为，。于是，矩形的面积为 因为，所以。 由于，所以，当，即，时，矩形的面积最大，最大面积是。这时圆的内接矩形是正方形。 三角计算在生产、生活中有着非常广泛的应用，无论是解决某些几何问题和物理问题，还是实际测量问题，都要用到三角函数，下面我们举例说明。 通过生活实例的具体分析引出新知识点：生产、生活中的三角计算及应用举例。 新知讲授 【案例一】如图所示，某地一天7～15时的气温变化曲线近似满足函数。（其中，，，） （1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段曲线的函数表达式； （3）根据写出的函数表达式，计算该地在12时的气温（结果保留到小数点后两位）。 【解析】（1）由图像可知，这段时间的最大温差为。 （2）根据图像可以看出，7～15时的图像是函数的半个周期的图像，所以 ，解得. ，， 函数表达式为. 将，代入，得 ， 解得. 这段曲线的函数表达式为 ，. （3）将代入，得 ， 该地在12时的气温大约是. 【案例二】如图所示，如果要将宽度分别是20cm和40cm的两块木板对接成的角，那么我们应该怎样制作(结果保留到小数点后两位)？ 【解析】设一块木板在对接处的角度是，则另一块在对接处的角度是. 根据图，我们有，. 由此，我们得到， 即 . ，即. 利用计算器可求得. 答：将宽为的木板在对接处的角度大约设置为，便可使两块木板对接成. 生产生活中的三角计算及应用举例 通过案例总结生产、生活中的三角计算及应用举例。 案例分析 【例题】如图所示，墙上有一个三角形灯架，灯所受的重力为，且，都是细杆，只受沿杆方向的力，试求杆，所受的力（结果保留到小数点后一位）. 【解析】如图所示，作，将沿到，到两个方向进行分解，作平行四边形，则，. 由题设条件可知，，，， 则. 在中，由正弦定理，得 ，. 因此， ， . 答：灯杆OA所受的拉力大小为11.3 N，灯杆OB所受的拉力大小为12.3 N. 【例题】如图所示是曲柄连杆机构. 当曲柄BC绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动. 当曲柄在 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在点 处. 已知连杆AB长为340 mm，曲柄BC长为85 mm，曲柄自 按顺时针方向旋转 ，求活塞移动的距离 (连杆的端点A移动的距离 )(结果保留到个位). 【解析】在 中，由正弦定理，可得 或 （舍去）， . 由正弦定理，可得 因此， . 答：活塞移动的距离约为81 mm. 【例题】已知函数，. （1）求函数的最大值、最小值以及最小正周期； （2）求使函数取得最大值、最小值时的取值集合； （3）用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图. 【解析】（1） ， ，， （2）当函数取得最大值时，， ，即 的取值集合为 当函数取得最小值时，， ，即 的取值集合为 （3）列表，并描点，连线，如图所示. 通过案例来帮助学生更好地理解生产、生活中的三角计算及应用举例。 学以致用 【练习】如图，设两点在河的两岸，测量者在与A同侧的河岸边选取点C，测得的距离是，，求两点间的距离. 【解析】已知， 所以， ， . 由正弦定理， 得， 故两点间的距离为. 【练习】已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的最大值和最小值，以及取得最大值时的值 【解析】（1）, ； （2）由（1）， 当，即时，取最大值，且最大值为； 当，即时，取最小值，且最小值为. 在主题公园中，某摩天轮座舱距离地面的高度（米）与运行时间（分钟）的函数关系是. 问题：请计算摩天轮运行过程中，座舱距离地面的最高高度与最低高度. 答案： 因为天轮座舱距离地面的高度（米）与运行时间（分钟）的函数关系是， 又的最大值是，最小值是， 所以座舱距离地面的最高高度米，最低高度米. 通过即时练习以及知识回顾，进一步加强学生对生产、生活中的三角计算及应用举例的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，那么单摆来回摆动的振幅（厘米）和一次所需的时间（秒）为（ ） A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，2 【解析】因为距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为， 所以单摆来回摆动的振幅为3和一次所需的时间为， 故选：A 【练习2】如图，有一半径为的水轮，水轮圆心距离水面，已知水轮自点开始以转4圈的速度旋转，若水轮上的点到水面的距离与时间的关系满足函数，则有（ ）    A． B． C． D． 【解析】因为水轮自点开始以转4圈的速度旋转， 所以周期，故. 因为水轮半径为，故. 故选：A. 【练习3】2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为，那么（ ） A． B． C． D． 【解析】由大正方形面积为25,小正方形面积为1.易得大正方形边长为5,小正方形边长为1. 由图形可知，, 故 , 因为为锐角,故 . 故 故选：B. 【练习4】某港区全年全日船舶进出港不受航道及潮水的限制.如图是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线，近似满足函数.据此可知，这段时间水深（单位:m）的最大值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 【解析】由题意可得，当取最小值时，函数取最小值，解得，故函数解析式为， 所以当取最大值l时，函数取最大值. 故选：C. 【练习5】如图，这是一半径为的水轮示意图，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，若当水轮上点从水中浮出时（图中点）开始计时，则（ ） A．点距离水面的高度与之间的函数关系式为 B．点第一次到达最高点需要 C．在水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于 D．当水轮转动时，点在水面下方，距离水面 【解析】因为从开始计时，所以水轮的高度和时间的函数关系式为：. 当第一次到达最高点，由 ，即第一次到达最高点需要； 由 ， ，. 即水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高低不低于. 当时，. 故选：D 【练习6】把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，，设，把面积y表示为的表达式，则有（ ） A． B． C． D． 【解析】由题知，，， 所以，在中，， 所以，其矩形木料的面积为. 故选：D 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺。 知识梳理 生产生活中的三角计算及应用举例 帮助学生构建完整的知识网络，强化记忆。 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 生产生活中的三角计算及应用举例 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过生产生活中的实际测量问题引入三角计算应用，多数学生能初步理解实际问题与三角模型的关联，掌握利用正弦定理、余弦定理解决简单实际问题的基本步骤。但在课堂检测中也发现：个别学生在复杂问题中无法准确识别已知条件并选择合适的三角公式，因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $