8.3简单几何体的表面积和体积（分层作业）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练以“刷基础-提能力-破难关”三层设计，覆盖多面体、旋转体到组合体的表面积与体积，梯度从公式直接应用到综合情境问题，适配新授课分层巩固需求，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |刷基础|多面体表面积与体积、旋转体体积|以选择填空为主，直接应用公式，如长方体表面积计算| |提能力|旋转体表面积、棱台与圆台表面积体积|结合实际情境（升篓）和动态问题（动点最值）| |破难关|组合体表面积体积、外接球与内切球|复杂情境（玉琮模型）和综合计算，发展创新意识|

8.3 简单几何体的表面积和体积 刷基础 题型一 多面体的表面积 1．在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 2．一正三棱锥侧面三角形的顶角为，则该三棱锥的侧面积与底面积之比为（    ） A． B．2 C． D．3 3．若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 4．如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，，边上的中点为．三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为（    ） A． B． C．12 D． 5．已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求： (1)正四棱锥的底面边长和斜高； (2)正四棱锥的侧面积． 题型二 多面体的体积 6．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与原正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 7．如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 8．在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是（    ） A． B．2 C． D． 9．正三棱柱底面边长为2，高为1，则其体积为________. 10．如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 题型三旋转体的体积 11．（多选题）圆柱的侧面展开图是长12cm、宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为（   ） A． B． C． D． 12．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________． 13．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的高为__________，圆锥的体积为__________． 14．若圆锥的母线长为，底面周长为，则其侧面积为__________，体积为__________． 15．已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积______________． 提能力 题型一 旋转体的表面积 16．已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 17．一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是________． 18．现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”．“小球”的直径为38mm，“大球”的直径为40mm，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 19．如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则该圆锥的表面积为____________.    20．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 题型二棱台的表面积和体积 21．已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（   ） A．148 B． C．168 D．80 22．某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 23．四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为1，2，侧棱长为，则该四棱台的高为______，侧面积为______． 24．若一个三棱台的上、下底面面积分别为8，18，高为5，则该棱台的体积为______________． 25．在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），求： (1)四棱台的表面积； (2)四棱台的体积； (3)求的最小值. 题型三 圆台的表面积和体积 26．已知圆台的上、下底面面积分别为和，其侧面积为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 27．某班级学生到工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ） A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为 28．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（    ） A． B． C． D． 29．在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（   ） A．该几何体为圆台 B．该几何体的母线长为5 C．该几何体的体积为93π D．该几何体的表面积为56π 30．已知圆台的上底面和下底面的面积分别为，体积为，则圆台的侧面积为____________. 破难关 题型一 组合体的表面积和体积 31．如图，圆台的上底面直径为1，下底面直径为2，高为1，以圆台下底面为底面，上底面中心为顶点，挖去一个圆锥，则剩下几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 32．三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的圆筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（   ）    A． B． C． D． 33．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ）    A． B． C． D． 34．如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 题型二 外接球和内切球的表面积与体积 35．在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 36．已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球体积为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 37．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 38．半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为，则这个半球的体积为______________． 39．在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3 简单几何体的表面积和体积 刷基础 题型一 多面体的表面积 1．在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】直接根据底面边长和侧棱长即可求解. 【详解】解：因为长方体中，底面是边长为1的正方形，， 所以该长方体的表面积为： 故选：A 2．一正三棱锥侧面三角形的顶角为，则该三棱锥的侧面积与底面积之比为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】由正三棱锥侧面三角形的顶角为，可知侧面三角形为等腰直角三角形，进而可得到侧棱长与底面边长的关系，进一步可得答案. 【详解】由正三棱锥知：所有侧棱长相等且底面为等边三角形. 由侧面三角形顶角为，可得侧面三角形为等腰直角三角形， 设侧棱长为，底面边长为，在侧面三角形中，可得， 侧面积为，底面积为， 所以. 故选：A    3．若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】根据侧面积之和为底面积的2倍得到斜高和底面边长的关系，由勾股定理得到方程，求出斜高，进而求出底面积和侧面积，相加得到表面积. 【详解】如图，是正四棱锥的高，所以，是斜高，    由各侧面的面积之和是底面积的2倍可得，所以， 在中，，，所以， 所以， 底面积，侧面积为， 表面积． 故选：D． 4．如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，，边上的中点为．三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为（    ） A． B． C．12 D． 【答案】A 【分析】根据图形求出相关线段长，判断截面形状，逐一计算其面积，求和即得. 【详解】由题意得，，， 从而，所以， 所以，，， ，，， 所以三棱柱截去三棱锥后几何体的表面积为: ． 故选：A. 5．已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求： (1)正四棱锥的底面边长和斜高； (2)正四棱锥的侧面积． 【答案】(1)底面边长为，斜高为 (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的性质结合勾股定理计算求解； （2）根据正四棱锥侧面积计算公式计算求解. 【详解】（1）如图，在正四棱锥中，高， 侧棱， 则为直角三角形， 在中，， ， ∵四边形为正方形， ． 作交于，则为的中点，．连接，则即为正四棱锥的斜高． 在中，，， ，即正四棱锥的斜高为． 故正四棱锥的底面边长为，斜高为； （2）由（1）知，． 所以正四棱锥的侧面积为． 题型二 多面体的体积 6．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与原正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为，结合锥体体积公式求棱锥的体积，再求正方体体积，由此可得结论. 【详解】设正方体的棱长为，则棱锥的体积， 又正方体的体积， 所以． 故选：D. 7．如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三棱锥和三棱台的体积公式，分别求出相应多面体的体积，再计算体积之比． 【详解】设棱台的高为，，则， ， ， 又， ， ，故C正确． 故选：C． 8．在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据该正八面体是由底面边长为，高为1的两个同底的正四棱锥组成求解. 【详解】由题意得：该正八面体是由底面边长为，高为1的两个同底的正四棱锥组成， 所以该正八面体配位多面体模型的体积为， 故选：C 9．正三棱柱底面边长为2，高为1，则其体积为________. 【答案】 【详解】该正三棱柱底面积，又高为1，故其体积. 10．如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出正四面体和正方体的表面积即可； （2）计算三棱锥的体积，利用割补法计算. 【详解】（1）因为是正方体， 所以， 所以三棱锥的表面积为， 而正方体的表面积为， 故三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值． （2）三棱锥，，，是完全一样的． 因为三棱锥的体积为，正方体的体积为， 所以三棱锥的体积为 题型三 旋转体的体积 11．（多选题）圆柱的侧面展开图是长12cm、宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则，或， 或， 或. 12．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________． 【答案】/ 【分析】由圆锥侧面展开图的面积公式结合条件即可求得底面半径，再由锥体体积公式进行计算即可. 【详解】易知圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为， 则，，则高． 则圆锥的体积， 故答案为：. 13．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的高为__________，圆锥的体积为__________． 【答案】 / / 【分析】设圆锥底面圆半径为，根据圆锥的底面周长与展开扇形的弧长相等关系列方程求，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积． 【详解】设圆锥底面圆半径为，则， ， ∴圆锥的高； 圆锥的体积． 故答案为：；. 14．若圆锥的母线长为，底面周长为，则其侧面积为__________，体积为__________． 【答案】 【分析】求出圆锥的底面半径和高，结合圆锥的侧面积和体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的母线长为，高为，底面半径为，由底面周长为，得， 所以圆锥的侧面积为， 又，由圆锥的体积公式可得． 故答案为：；. 15．已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积______________． 【答案】 【分析】根据圆的面积公式和圆台的侧面积公式求出圆台的上、下底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆台的高，最后利用圆台的体积公式求解. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h， 则，，，． 又，， ， ． 故答案为： 提能力 题型一 旋转体的表面积 16．已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为 ，高为h， 又因为圆锥的轴截面是等腰三角形， 所以该轴截面是等腰直角三角形，则圆锥的高等于底面半径 所以圆锥的母线长， 圆锥侧面积：； 圆柱侧面积：； 圆锥和圆柱的侧面积之比为. 故选：B. 17．一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是________． 【答案】 【详解】因圆柱的底面半径为，母线长为， 则该圆柱的侧面积是. 18．现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”．“小球”的直径为38mm，“大球”的直径为40mm，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据球的表面积公式和改革前后球的外径，分别算出“小球”的表面积和“大球”的表面积，计算出它们表面积之比，即可得到本题的答案． 【详解】因为，， 所以． 故选：C 19．如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则该圆锥的表面积为____________.    【答案】 【分析】根据扇形的弧长与圆锥底面周长的关系可求得小圆半径和扇形半径之间的关系，继而结合正方形的对角线长，列式求出底面圆的半径，继而求得圆锥的表面积，即得答案. 【详解】如图1，过圆心作于，于， 则四边形为正方形，设小圆半径为，扇形半径为，则， 小圆周长为，扇形弧长为， 剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥，，解得， 即，， 正方形铁皮边长为，， ，； 在图2中，圆锥的表面积. 故答案为：.    20．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 【答案】CD 【分析】根据圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积公式计算逐一判断. 【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误； 圆锥的母线长，则侧面积为，B错误； 球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为，圆锥的表面积为， 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确． 故选：CD 题型二 棱台的表面积和体积 21．已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（   ） A．148 B． C．168 D．80 【答案】A 【分析】根据已知条件和正四棱台的特征计算侧面等腰梯形的面积，然后利用表面积的定义计算可得结果． 【详解】因为正四棱台的侧面都是等腰梯形， 又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、8，体积为,设其高为，则，故 所以侧面梯形的斜高为， 则梯形的面积， 上，下底底面面积分别为，， 所以该四棱台的表面积为． 22．某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据台体的体积公式求台体的高，再计算台体的斜高，进而可求四棱台的侧面积. 【详解】如图,点分别是棱台上下底面的中心，分别取边的中点,连接. 设四棱台的高为， 则. 由图知，, 设正四棱台的斜高. 所以正四棱台的侧面积为：. 故选：D 23．四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为1，2，侧棱长为，则该四棱台的高为______，侧面积为______． 【答案】 【详解】设四棱台的上、下底面中心分别为，连接，，， 则四边形为直角梯形，为四棱台的高． ，，，， 又，． 在侧面中，，，， ∴斜高为，． 24．若一个三棱台的上、下底面面积分别为8，18，高为5，则该棱台的体积为______________． 【答案】 【分析】利用台体的体积公式计算即可. 【详解】解析：． 故答案为： 25．在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），求： (1)四棱台的表面积； (2)四棱台的体积； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出正四棱台上下底面的面积，再求侧高，由此得出侧面积，最后即可得出表面积； （2）先求出正四棱台的高，再根据体积公式即可得体积； （3）将侧面展开在同一平面，判断出点共线时，最小，结合余弦定理即可求出． 【详解】（1）由题可知，四边形为正方形，所以， 分别取的中点，则为侧面的高， 因为侧面为等腰梯形，则侧面的高， 所以一个侧面的面积为， 故正四棱台的表面积为. （2）连接，取中点，连接，过点作， 则正四棱台的高为，且，则， 在梯形中，， 所以四棱台的体积. （3）把四边形展开至同一个平面，当点共线时，最短， 由侧面展开图知： 由余弦定理得，，解得， 所以的最小值为. 题型三 圆台的表面积和体积 26．已知圆台的上、下底面面积分别为和，其侧面积为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆台的高，再利用圆台的体积公式进行计算. 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，，母线长为，高为， 由圆台的上、下底面面积分别为和，得，所以，， 由圆台侧面积公式可得，所以， 所以， 所以该圆台的体积 . 故选：A 27．某班级学生到工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ） A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为 【答案】BCD 【分析】由勾股定理可求圆台的高，判断A；由梯形面积公式可判断B，由圆台的侧面积、体积公式可判断CD. 【详解】由题意，且，可知轴截面为等腰梯形， 作于E，则， 故，即该圆台的高为，A错误； 该圆台轴截面面积为，B正确； 该圆台的侧面积为，C正确； 圆台的体积为，D正确， 故选：BCD 28．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法规则还原出原图形，进而确定旋转体的形状，再利用几何体体积公式计算即可. 【详解】由题意，， 所以 ， 如图，原四边形 中，， 则以直角梯形的边为轴旋转一周得到的几何体为圆台， 故其体积为. 29．在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（   ） A．该几何体为圆台 B．该几何体的母线长为5 C．该几何体的体积为93π D．该几何体的表面积为56π 【答案】ABD 【分析】由圆台的结构特征可得几何体为圆台，求得母线长，圆如的体积与表面积可得结论. 【详解】由题意可知该几何体为圆台，该圆台的母线， 体积为，表面积为． 故选：ABD. 30．已知圆台的上底面和下底面的面积分别为，体积为，则圆台的侧面积为____________. 【答案】 【分析】借助圆台体积公式与侧面积公式计算即可得. 【详解】设该圆台的高为，母线长为，上下底面半径分别为、， ，则， ，，则，， 则，故圆台的侧面积. 故答案为：. 破难关 题型一 组合体的表面积和体积 31．如图，圆台的上底面直径为1，下底面直径为2，高为1，以圆台下底面为底面，上底面中心为顶点，挖去一个圆锥，则剩下几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算圆台的体积和挖去的圆锥的体积，然后作差即可. 【详解】由题可知：上底面和下底面的半径分别为， 所以， 所以剩下几何体的体积为. 故选：B 32．三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的圆筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用组合体体积减去圆柱体体积就可得结果. 【详解】    计算正方体体积：， 计算上下两个圆柱的体积：， 再计算内空圆柱的体积：， 最后可得组合体体积： 故选：A 33．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将区域还原到圆柱中求得其面积，由区域和全等可求得总面积. 【详解】由题意可知区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分， 将区域还原到如图所示圆柱中.    由图可知，，， 由扇形的弧长公式可知，的长为， 结合圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：B 34．如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 【答案】 【分析】由题意可得该几何体为一个圆台从半径较小的底面挖去一个圆锥，由圆台、圆锥的表面积、体积公式运算即可得解. 【详解】由，得． 又因为，所以． 因为，， 所以． 所以几何体的表面积 ． ． ． ． 题型二 外接球和内切球的表面积与体积 35．在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 36．已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球体积为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出轴截面，利用等面积结合勾股定理求出母线长即可得解. 【详解】作出圆锥的轴截面，如图，作出符合题意的图形， 记内切球的半径为，圆锥的母线长为，高为， 由题知，解得， 由三角形面积公式可得，即①， 又②，联立①②解得， 故圆锥的侧面积. 37．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】A 【分析】四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得直径，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 38．半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为，则这个半球的体积为______________． 【答案】 【分析】方法一：过正方体对角面作截面，利用勾股定理求半球的半径即可求得其体积； 方法二：将其补成球和内接长方体，根据正方体的棱长求出半球的半径即可求得其体积. 【详解】方法一： 过正方体对角面作截面如图所示，设半球的半径为，因为正方体的棱长为，所以，． 在Rt中，由勾股定理，得，即， 所以，故． 方法二： 将其补成球和内接长方体，设原正方体棱长为，球的半径为， 则根据长方体外接球的直径等于其对角线长，得，即， 所以，故． 故答案为： 39．在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为_____． 【答案】 【分析】根据正弦定理，勾股定理，即可求解． 【详解】根据题意及正弦定理可得上下底面三角形的外接圆的半径为， 又，且其外接球的球心为上下底面三角形外心连线的中点，设外接球的半径为， 则根据勾股定理可得，所以， 所以该三棱柱的外接球的体积为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $