湖北大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年湖大附中高一期中数学试卷，以《天工开物》筒车情境、梯形几何等为载体，覆盖三角函数、解三角形、平面向量等核心知识，注重数学眼光观察现实与逻辑思维能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|三角函数定义、解三角形、向量运算|基础概念辨析，如第2题三角形多解问题| |多选|3/18|复数性质、三角函数图像|多角度思维，如第10题三角函数图像综合判断| |填空|3/15|三角恒等变换、向量垂直、外接圆|知识综合，如第14题解三角形与外接圆结合| |解答题|5/77|向量应用、三角函数性质、梯形计算、正三角形动态问题|分层能力考查，如第19题动态最值问题体现数学思维，第7题筒车情境落实数学建模|

高一数学 答案 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B B D B A C 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABD 一．选择题（共8小题） 1．已知的值为（　　） A． B． C． D．5 【解答】解：， ， ， 解得 故选：． 2．在△中，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则角的大小为（　　） A． B． C．或 D．或 【解答】解：，，， 由正弦定理，， 又，则，所以． 故选：． 3．在平行四边形中，为中点，为上一点，且，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：平行四边形，因为是的中点，， 因为，所以， 得． 故选：． 4．已知，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以，，所以， 所以，， 所以，． 故选：． 5．已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意，，， 因为在方向上的投影向量为， 所以，解得， 所以． 故选：． 6．（　　） A． B． C． D． 【解答】解： 故选：． 7．图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶（看作点）到水面的距离为（单位：（若在水面下则为负数），若以盛水桶刚浮出水面时开始计时，与时间（单位：之间的关系为，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈， 所以周期为， 所以， 因为筒车的轴心距水面的高度为，筒车的半径为， 所以，则， 此时， 又时，，则， 即，而，则． 故选：． 8．如图，在四边形中，，，，，点在边上，且，点为边（含端点）上一动点，则的最小值为（　　） A．36 B．39 C．45 D．48 【解答】解：以为坐标原点，、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，连接， 因为，，，所以，可得， 所以，可得，，结合，可得， 因为△中，，所以△是边长等于的等边三角形． 由，，可得，，所以． 设，，，即，，，可得，所以，即， 由此可得，， 所以， 由二次函数的性质，可知时，有最小值，最小值为． 故选：． 二．多选题（共3小题） （多选）9．若复数，则下列选项正确的有（　　） A． B．的共轭复数为 C．为实数 D．在复平面内对应的点位于第二象限 【解答】解：因为，所以，故正确； 复数的共轭复数为，故错误； 为实数，故正确； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故错误． 故选：． （多选）10．已知函数，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是　　 A．函数的解析式为 B．函数在上单调递减 C．该图象向右平移个单位可得的图象 D．函数关于点对称 【解答】解：根据函数，，的部分图象，可得，，． 再根据五点法作图，可得，，，故正确； 在上，，，不单调，故错误； 把的图象向右平移个单位可得的图象，故正确； 令，求得，可得函数关于点对称，故正确． 故选：． （多选）11．如图，在等边△中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线，于不同的两点，则以下选项正确的是（　　） A． B． C． D．的最小值是 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，点在边上，且，则，正确； 对于，点在边上，且，又由△为等边三角形，且， 则，故， 由的结论，，则，则， 故，，正确； 对于，由的结论，，而，， 若， 而、、三点共线，则有，变形可得，错误； 对于，由的结论，，易得、， 则，当且仅当时等号成立， 故的最小值是，正确． 故选：． 三．填空题（共3小题） 12．若，则　　． 【解答】解：因为，则，， 又因为，则， 且， 解得或（舍去）， 所以． 故答案为：． 13．若平面向量，，且，则　10或2　． 【解答】解：，，且， ，即，即， 解得或． 当时，，， 则，． 当时，，， 则，； 综上可知，或2． 故答案为：10或2． 14．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心，已知，则当角取到最大值时的面积为 　　． 【解答】解：设的中点为，因为点为其外接圆的圆心， 所以，连接，由三线合一得：， 则， 即， 所以， 由知，角为锐角， 故， 因为， 所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时等号成立， 此时角取到最大值，， ， 所以△的面积为，故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15．已知点，，． （1）若最小，求实数的值； （2）若与夹角的余弦值为，求实数的值． 【解答】解：（1），， ， 时，取得最小值； （2）根据题意，， 化简得，，解得或． 16．已知函数． （Ⅰ）求的对称轴方程； （Ⅱ）若，求函数的值域． 【解答】解：． （Ⅰ）令，，整理得，． 故函数的对称轴方程为，． （Ⅱ）若，所以， 故，故函数，即． 故函数的值域为． 17．在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，是线段上的一点，，，求． 【解答】解：（1）因为， 所以，即， 所以，又为三角形内角，所以； （2）设，则， 所以，解得，所以， 所以， 再由得． 18．如图，在梯形中，已知，，，，． （1）求； （2）求的长； （3）求的面积． 【解答】解：（1）， ，， ． （2）在中，由正弦定理得，，即， 解得． （3），， ，， 在中，由余弦定理得，， 所以，即，解得或（舍， 故． 19．设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）． （1）求的值； （2）为线段上一点，若，求实数的值； （3）在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值． 【解答】解：（1）是边长为4的正三角形，点、、四等分线段， ； （2）设， 又， 由平面向量基本定理解得，解得； （3）设，，， ， 又，， 当时，即在处时，取得最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $⊙ 湖大附中高一数学答题卡 总分： 一.选择题（共8小题，每小题5分，40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 如 答案 二.多选题（共3小题，每小题6分，18分) 炉 题号 9 10 11 答案 舒 三、填空题：（共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13. 14. ⊙ 四、解答题：77分. 15.(13分) 16.(15分) 17(15分) 1817分) 19(17分) 2025—2026学年度下学期湖大附中高一期中质量检测 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知的值为（　　） A． B． C． D．5 2．在△中，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则角的大小为（　　） A． B． C．或 D．或 3．在平行四边形中，为中点，为上一点，且，则（　　） A． B． C． D． 4．已知，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 5．已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（　　） A． B． C． D． 6．（　　） A． B． C． D． 7．图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶（看作点）到水面的距离为（单位：（若在水面下则为负数），若以盛水桶刚浮出水面时开始计时，与时间（单位：之间的关系为，则（　　） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，，，，点在边上，且，点为边（含端点）上一动点，则的最小值为（　　） A．36 B．39 C．45 D．48 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若复数，则下列选项正确的有（　　） A． B．的共轭复数为 C．为实数 D．在复平面内对应的点位于第二象限 10．已知函数，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是　　 A．函数的解析式为 B．函数在上单调递减 C．该图象向右平移个单位可得的图象 D．函数关于点对称 11．如图，在等边△中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线，于不同的两点，则以下选项正确的是（　　） A． B． C． D．的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则 ． 13．若平面向量，，且，则 ． 14．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心，已知，则当角取到最大值时的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知点，，． （1）若最小，求实数的值； （2）若与夹角的余弦值为，求实数的值． 16．（15分)已知函数． （Ⅰ）求的对称轴方程； （Ⅱ）若，求函数的值域． 17．（15分)在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，是线段上的一点，，，求． 18．（17分）如图，在梯形中，已知，，，，． （1）求； （2）求的长； （3）求的面积． 19．（17分）设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）． （1）求的值； （2）为线段上一点，若，求实数的值； （3）在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值． 湖大附中高一数学试卷第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $