23.4实际问题与一次函数 自主学习同步练习题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026学年人教版八年级数学下册《23.4实际问题与一次函数》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．温度是影响声音传播速度的一个关键因素．在大多数情况下，随着温度的升高，声速会增大．根据实验测量和理论计算可知，声音在淡水中的传播速度与温度之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，则v与t之间的函数关系式为（   ） 温度 20 25 30 声速 1480 1505 1530 A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知，点C为直线上的点，且满足为等腰三角形，满足条件的点C共有（   ） A．6个 B．3个 C．4个 D．5个 3．已知一次函数与的图象关于轴对称，过点作轴的垂线，分别交，于点，．当时，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 4．如图，李爷爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 5．亮亮家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某地游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象信息，判断下列说法中正确的是（   ） A．亮亮到家的时间为17时 B．景点离亮亮的家120千米 C．小汽车返程的速度为80千米/时 D．10时至14时小汽车匀速行驶 6．已知小明和小红进行千米跑步练习，两人沿着同一条公路同时从甲地出发，到达乙地后折返甲地，两人全程保持匀速运动，若两人距离甲地的路程（米）与跑步时间（分钟）的函数图象如图所示，则小明完成练习比小红早（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 7．若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，在轴上，已知点，则的坐标是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．一个矩形的周长为16，其中长为，宽为，则与的函数解析式为______． 9．在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数．若在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大，则物体A比B重______． 10．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．若是轴上一点，且的面积为5，则点的坐标为___________． 11．某商店在节日期间开展优惠促销活动：凡购买原价超过200元的商品，超过200元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y（元）与商品原价x（元）之间的函数关系如图所示，则图中a的值是____． 12．生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴），则该植物在第35天的高度为______cm． 13．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，上有一点M，其横坐标为．y轴上有一动点Q，连接，，当点Q的坐标为________时，的周长最小，此时周长最小值为________． 14．如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是______． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 三、解答题 15．为了保障学生的身心健康，落实“健康第一”的教育理念，各校积极组织阳光体育大课间活动，现需购买一批排球和跳绳．已知购进1个排球和3根跳绳共花费155元，购进2个排球和3根跳绳共花费235元． (1)求购进的排球和跳绳的单价； (2)现需购买排球和跳绳共100个，且跳绳的数量不超过排球数量的4倍，那么该如何购买才能使总费用最少，最少费用是多少？ 16．在日常生活中，打印已经成为社区居民必不可少的事项，为了满足居民需求，给辖区居民带来更多优质服务，很多社区推出了共享打印机自助服务．以下是某社区推出的两种打印机收费方式： 方案A：； 方案B：． 其中，x代表打印的张数（张），y代表打印总费用（元）． (1)如果你是该社区的居民，请你通过计算说明选择哪种方案更省钱？ (2)一居民使用打印总费用为多少元时，选择方案B比方案A多打印了20张． 17．我国传统的计重工具—秤的应用，方便了人们的生活，如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） （斤） (1)求出关于的一次函数解析式． (2)问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是多少？ 18．一条公路上依次有A，B，C三地．一辆轿车从地出发途径地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车到各自出发地的距离（单位：）与轿车的行驶时间（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中的值是___________，的值是___________； (2)在货车从地返回地的过程中，求货车距出发地的距离（单位：）与轿车的行驶时间（单位：）之间的函数关系式； (3)求轿车从出发到与货车相距的时间． 19．如图1，在矩形中，，，点P从A出发，沿的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿路线运动，到点A停止．若点P、Q同时出发，速度分别为每秒，，a秒时，P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒，（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是的面积s和运动时间x（秒）的图象． (1)求出a值； (2)设点P已行的路程为，点Q还剩的路程为，请分别求出改变速度后，、与x的函数关系式； (3)当P、Q两点都在边上时，若，求x的值． 20．当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．根据点和，利用待定系数法求解即可得． 【详解】解：设与之间的函数关系式为， 将点和代入得：， 解得， 则与之间的函数关系式为， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．设．构建方程即可解决问题． 【详解】解：设． ∵， ∴， ①当时，点在线段的垂直平分线上，此时． ②当时，， 解得：， 或， ③当时，， 解得， 或； 综上所述，满足条件的点有5个， 故选：D． 3．C 【分析】本题主要考查一次函数图形的性质，由两函数图象关于x轴对称，可得，从而求出k和m的值；再表示出点M和N的纵坐标，得到的表达式，最后在范围内求最大值． 【详解】解：∵ 函数与的图象关于x轴对称， ∴ ，即 ， ∴，即 ， ∴， 当时，， 解得：， ∴两直线的交点坐标为，如图所示， 过点作x轴的垂线，交于点，交于点， ∴， ∵ ， 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最大值为16， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数表达式，解题关键是掌握找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数表达式． 【详解】解：设边的长为，边的长为， ∵菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 又， ∴，解得：， ∴， ∴，且， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了函数图象在实际行程问题中的应用．解题的关键是从图象中准确提取时间与离家距离的对应关系，结合行程问题中速度、时间和路程的关系（速度路程时间），对各选项进行分析判断． 根据图象信息，明确不同时间段对应的离家距离：8时离家0千米，时到时离家距离保持千米不变（停留景点），时后距离逐渐减少（返程），时离家千米．据此分析各选项：计算返程速度需明确返程的路程和时间；判断到家时间需根据返程速度和剩余路程推算；确定景点距离和行驶状态需结合图象中距离的变化情况． 【详解】解：由图象可知： 8时出发，时到达景点，此时离家距离为千米，且时至时离家距离不变，说明在景点停留． 时开始返程，时离家千米，即1小时内行驶了千米，返程速度为千米/时． 剩余返程路程为千米，按此速度还需小时，故到家时间为时． 对选项分析： 选项亮亮到家的时间为时，计算正确． 选项景点离亮亮的家千米，而非千米，说法错误． 选项小汽车返程速度为千米/时，而非千米/时，说法错误． 选项时至时小汽车离家距离不变，处于停留状态，并非匀速行驶，说法错误． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，解题的关键是正确理解图象信息． 根据函数图象，求出两人的速度，进一步计算，求解即可． 【详解】解：由函数图象得， 小红跑步的速度为（米/分钟）， 小明跑步的速度为（米/分钟）， 则小明比小红早（分钟） 故选：． 7．C 【分析】本题考查了点的坐标规律问题，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．求出直线解析式为，然后求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题． 【详解】解：直线与轴的夹角为， 直线与轴交点坐标为， 设直线解析式为：，代入点， 得， 解得：， ∴直线解析式为， 四边形是正方形， ， 把代入，得：， 的坐标为， 四边形是正方形， ， ∴， 同理可得，的坐标为， 坐标为． 的坐标为． 故选：C． 8． 【分析】本题考查了根据实际问题抽象出一次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解决本题的突破点． 根据周长为16，一边长为，则可求另一边长为，从而可列出与的函数关系． 【详解】解：由题意得：一边长为， 则． 故答案为：． 9．7 【分析】本题考查一次函数的应用，设物体A质量为，则在弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度，根据在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大，知在弹簧秤上挂物体B后弹簧的长度，故物体B质量为，即可得物体A比B重． 【详解】解：设物体A质量为，则在弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度， ∵在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大， ∴在弹簧秤上挂物体B后弹簧的长度， 在中，令得：， ∴， ∴物体B质量为， ∴物体A比B重； 故答案为：7． 10．或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何综合，先求出点的坐标为，点的坐标为．设点的坐标为，再根据三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：因为一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 所以当时，；当时，，解得， 所以点的坐标为，点的坐标为． 设点的坐标为， 因为， 所以， 解得或， 所以点的坐标为或， 故答案为：或． 11．340 【分析】本题考查了一次函数的实际运用，设实际付款金额y（元）与商品原价x（元）之间的函数关系式为：，结合图象求出函数关系式，再将代入关系式中求解，即可解题． 【详解】解：设实际付款金额y（元）与商品原价x（元）之间的函数关系式为：， 由题意得， 解得， 即实际付款金额y（元）与商品原价x（元）之间的函数关系式为：， 当时，， 故答案为：． 12．13 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；由图象得出该植物高度与观察时间（天）的函数关系式，然后问题可求解． 【详解】解：由图象可设直线的解析式为，则把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，则，解得：， ∴点， ∴当时，则， 故答案为：13． 13． / 【分析】本题主要考查了一次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．令，得；令，得，可得点、的坐标，再根据点的横坐标为，得出点的坐标；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，因为A和M坐标知道，所以长度为定值，要求周长的最小值，实则是求的最小值，即的长． 【详解】解：对于， 令，得； 令，得， 解得：， ∴， ∵点的横坐标为，且为上有一点， ∴将，即， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图， 则， ∴, ∵, ∴， ∵点是固定点， ∴， ∴周长的最小值为, 又, ∴ ∴, ∴周长的最小值为； 设直线的解析式为， 把代入，得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 故答案为：，． 14． 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像依次判断即可． 【详解】 ，汽车在行驶途中停留了小时，结论正确； 总路程，汽车在整个行驶过程的平均速度是，结论正确； 汽车共行驶了，结论错误； 汽车行驶3小时后的速度，出发离出发地，结论正确． 故答案为：． 15．(1)排球单价为80元，跳绳单价为25元 (2)购买排球20个，跳绳80个时总费用最少，最少费用为3600元 【分析】（1）根据两种购买方案的总花费，设未知数列二元一次方程组求解即可得到单价； （2）先根据跳绳和排球的数量关系列不等式得到排球数量的取值范围，再列出总费用的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出最小总费用． 【详解】（1）解：设排球单价为元，跳绳单价为元， 根据题意列方程组得， 解得 ， 答：购进排球单价为80元，跳绳单价为25元； （2）解：设购买排球个，总费用为元，则购买跳绳个， 根据题意得 ， 解不等式得， 总费用， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值 此时（元）， （根）， 答：购买排球20个，跳绳80个时总费用最少，最少费用为3600元． 16．(1)当时，方案B更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，方案A更省钱 (2)60元 【分析】（1）通过比较两种方案费用的大小关系，分三种情况讨论，得到不同打印张数下更省钱的方案； （2）根据“选择方案B比方案A多打印了20张”列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时， 解得； 当时， 解得； 当时， 解得； 综上所述，当时，方案B更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，方案A更省钱； （2）解：设打印总费用为y元， 根据题意得， 解得 ∴使用打印总费用为60元时，选择方案B比方案A多打印了20张． 17．(1) (2)斤 【分析】（）设一次函数的表达式为，利用待定系数法求解析式即可求解； （）将代入（）的解析式即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为， 由题意得， 解得， ∴一次函数的表达式为， （2）解：当时，． 18．(1)300，2 (2) (3)轿车出发或或与货车相距 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键． （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，根据路程、时间和速度求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，几种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，A、B两地之间的距离为，B、C两地之间的距离为， ， ， 轿车的速度为， ， 根据图象，得， 解得． 故答案为：300，2； （2）解：∵， ， ∵， ， 货车的速度为， 则， ∴在货车从地返回地的过程中，货车距出发地的距离（单位：km）与行驶时间（单位：）之间的函数解析式为． （3）①当时，得， 解得， ②当时，两车之间的距离一直在减小，且总是小于， ③当时，得， 解得， ④当货车到达，轿车离C地时，， 解得． ∴轿车出发或或与货车相距． 19．(1) (2)； (3)或 【分析】本题考查了本题是几何双动点问题，正确理解图象的变化与动点运动位置之间的关系是关键． （1）由图象可知，当点P在上运动时，的面积保持不变，则a秒时，点P在上，再利用面积求a； （2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒，由此列函数关系式即可； （3）在（2）的基础上，两个点相距分为相遇前相距或相遇后两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当点P在上运动时，的面积保持不变，则a秒时，点P在上， ， 即， 解得， ； （2）解：由（1）知，6秒后点P变速，则点P已行的路程为； 点运动的路程总长为（），第6秒时已经走了，故点Q还剩的路程为； （3）解：当P、Q两点相遇前相距时， ， 解得； 当P、Q两点相遇后相距时， ， 解得； 当或时，P、Q两点相距． 20．(1)3 (2) (3)①；②P的坐标为或或 【分析】（1）由点M为“完美点”，且横坐标为2，可得，求得n值即可求解； （2）设“完美点”，由，m，n是非零实数，可得，则故P在直线上； （3）①先求得，由（2）知“完美点”E在直线上，解方程组求得，进而可求解； ②，，分两种情况：当时和当时，利用全等三角形的对应边相等列方程求得a值即可解答． 【详解】（1）解：∵点M为“完美点”，且横坐标为2， ∴ 解得， 则， 点M的纵坐标为 3； （2）解：设“完美点”， ∵，m，n是非零实数， ∴， ∴， ∴P在直线上； （3）解：①在中，令得，令得， ∴，， ∵ ∴， 由（2）知“完美点”E在直线上，又点E在直线上的“完美点”， 解方程组得， ∴， ∴的面积为； ②由，，得, ，， 设，， 当时，如图： ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，如图： ∴， ∴, 解得或， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $