全称量词与存在量词课件-2027届高三数学一轮复习

全称量词与存在量词 ∀ ∃ ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) D AC (0，3) [－1，＋∞) B B C AC D D ACD (－∞，－2] A C [知识梳理] 1．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给” 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的” 2.全称量词命题和存在量词命题 命题名称 定义 命题结构 符号简记 全称量 词命题 含有全称量 词的命题 对M中任意一个x，p(x)成立 存在量 词命题 含有存在量 词的命题 存在M中的元素x，p(x)成立 3.全称量词命题与存在量词命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 4.常见词语的否定 [热身训练] 1．命题“∀x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是( ). A．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1 B．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1 C．∃x≤0，使得(x＋1)ex≤1 D．∃x>0，使得(x＋1)ex≤1 2．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有( ). A．∃x∈R，x2－x＋<0 B．所有的菱形都是平行四边形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 3．已知命题“∃x∈R，x2－2ax＋3a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是 ． 【解析】由题意知“∀x∈R，x2－2ax＋3a>0”为真命题，所以Δ＝4a2－12a<0，解得0＜a＜3. 4．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝logx－m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是 ． 【解析】当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－1－m，由题意得f(x)min≥g(x)min，即0≥－1－m，所以m≥－1. 5．设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0.若p，q都为真命题，则实数m的取值范围为 ． 【解析】若命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；若命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题，则Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)<0，解得m>.又p，q都为真命题，所以实数m的取值范围是{m|m≤4}∩＝. 题型1　全称量词命题、存在量词命题的真假判断 【例1】(1)(2025·河北唐山一模)已知命题p：∀x∈R，x2>0；命题q：∃x>0，ln x<0.则( ). A．p和q都是真命题 B．p是假命题，q是真命题 C．p是真命题，q是假命题 D．p和q都是假命题 【解析】对于命题p：∀x∈R，x2>0.当x＝0时，x2＝0，故命题p是假命题；对于命题q：∃x>0，ln x<0.当x＝时，ln ＝－1<0，故命题q是真命题． (2)下列存在量词命题为假命题的是( ). A．存在x∈Q，使4－x2＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数 【解析】选项B，对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝＋>0恒成立． 判断全称量词命题和存在量词命题的真假的方法 (1)要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用已经学过的定义、定理进行证明，而要判定一个全称量词命题为假命题，只需举出一个反例即可． (2)判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题． 【变式】(1)下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是( ). A．∀x∈R，x2－3x＋5>0 B．任意两个无理数之和仍是无理数 C．∃x∈R，x2－3x＋>0 D．至少存在两个质数的平方是偶数 【解析】A，B是全称量词命题，C，D是存在量词命题．对于C，当x＝0时，x2－3x＋＝>0，故C正确；对于D，质数中，只有2的平方是偶数，故D错误． (2)(多选)下列命题是真命题的是( ). A．∀x∈R，x2－2x＋3>0 B．∀x>0，log2x>0 C．∃m∈R，使得3m<2m D．∃a，b∈R，且a>b>0，使得a<b 【解析】∀x∈R，x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立，故A正确；当x＝1时，log21＝0，故B错误；当m＝－1时，3-1<2-1，故C正确；因为函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且a>b>0，所以a>b，故D错误． 题型2　全称量词命题和存在量词命题的否定 【例2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明． (1)存在实数x，使得x2＋2x＋3＞0； (2)菱形都是正方形； (3)方程x2－8x＋12＝0有一个根是奇数． 【解析】(1)该命题是存在量词命题．该命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2＋2x＋3≤0，该命题的否定是假命题． (2)该命题是全称量词命题．该命题的否定是：菱形不都是正方形，该命题的否定是真命题． (3)该命题是存在量词命题．该命题的否定是：方程x2－8x＋12＝0的每一个根都不是奇数，该命题的否定是真命题． 在含有一个量词的命题的否定中，全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可．对于存在量词命题真假的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判定该命题为真命题；对于全称量词命题真假的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判定该命题为假命题． 【变式】(1)若命题p：∃x>0，sin x<x，则¬p为( ). A．∃x≥0，sin x>x B．∀x≤0，sin x≥x C．∃x>0，sin x≥x D．∀x>0，sin x≥x (2)定义新运算：a⊕b＝ln (ea＋eb).设f(x)＝(x⊕1)＋(x⊕2)，命题p：∃x∈R，f(x)≤3，则( ). A．¬p：∀x∈R，f(x)≤3，且¬p为假命题 B．¬p：∀x∈R，f(x)>3，且¬p为假命题 C．¬p：∀x∈R，f(x)≤3，且¬p为真命题 D．¬p：∀x∈R，f(x)>3，且¬p为真命题 【解析】因为a⊕b＝ln (ea＋eb)，且ex>0，所以x⊕1＝ln (ex＋e)>ln e＝1，x⊕2＝ln (ex＋e2)>ln e2＝2，所以f(x)＝(x⊕1)＋(x⊕2)>3，所以命题p：∃x∈R，f(x)≤3为假命题，所以¬p：∀x∈R，f(x)>3，且¬p为真命题． 题型3　结合命题真假求参数取值范围 【例3】(1)(多选)(2024·慈溪检测)已知命题p：∀x∈[0，1]，2x－2≥m2－3m恒成立，命题q：∃x∈[1，3]，x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是( ). A．命题p的否定是“∃x∈[0，1]，2x－2<m2－3m” B．命题q的否定是“∀x∈[1，3]，x2－ax＋4≥0” C．当命题p为真命题时，1≤m≤2 D．当命题q为假命题时，a<4 【解析】命题p的否定是“∃x∈[0，1]，2x－2<m2－3m”，故A正确；命题q的否定是“∀x∈[1，3]，x2－ax＋4>0”，故 B错误；若命题p为真命题，则当x∈[0，1]时，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正确；若命题q为假命题，则∀x∈[1，3]，x2－ax＋4>0为真命题，即a<x＋(1≤x≤3)恒成立，因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以a<4，故D正确． (2)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为 ． 【解析】由命题p为真命题，得a≤0.由命题q为真命题，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2. 根据命题的真假求参数取值范围的策略 (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求参数的取值范围． (2)对于含有量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． 【变式】(1)已知命题p：∃x∈(－1，3)，x2－a－2≤0.若p为假命题，则实数a的取值范围为( ). A．(－∞，－2)　　　 B．(－∞，－1) C．(－∞，7)　　　 D．(－∞，0) 【解析】命题p：∃x∈(－1，3)，x2－a－2≤0，则¬p：∀x∈(－1，3)，x2－a－2>0，所以a<x2－2(－1<x<3)恒成立，即a<(x2－2)min＝－2. (2)已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0，命题q：∀x>0，x＋>a，若p是假命题且q是真命题，则实数a的取值范围为( ). A．(1，＋∞)　　　 B．(－∞，2] C．(1，2)　　　 D．(－1，2] 【解析】命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0为假命题，则∀x∈R，x2＋2x＋a>0为真命题，所以Δ＝22－4a<0，解得a>1；命题q：∀x>0，x＋>a为真命题，由x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，可知a<2.综上，实数a的取值范围为(1，2). 与量词有关的恒成立与能成立问题 与量词有关的成立问题，注意区分恒成立与能成立，解答此类问题的关键在于转化的等价性． 【例题】已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是 ；若对任意x1∈[0，3]，任意x2∈[1，2]，有f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是 ． 【解析】当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，对任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，等价于f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，所以m≥.当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，对任意x1∈[0，3]，任意x2∈[1，2]，有f(x1)≥g(x2)，等价于f(x)min≥g(x)max，即0≥－m，所以m≥. (1)恒成立问题的转化：a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max；a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)min. (2)能成立问题的转化：a>f(x)能成立⇒a>f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max. (3)设函数f(x)，g(x)，对任意的x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≥g(x2)，则f(x)min≥g(x)min. (4)设函数f(x)，g(x)，对任意的x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≤g(x2)，则f(x)max≤g(x)max. (5)设函数f(x)，g(x)，存在x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≥g(x2)，则f(x)max≥g(x)min. (6)设函数f(x)，g(x)，存在x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≤g(x2)，则f(x)min≤g(x)max. 【变式】已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是 ． 【解析】依题意知f(x)max≤g(x)max.因为f(x)＝x＋在上是减函数，所以f(x)max＝f＝.又g(x)＝2x＋a在[2，3]上是增函数，所以g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥. $