充分条件与必要条件课件-2027届高三数学一轮复习

　充分条件与必要条件 充分 必要 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 B A C (－∞，0] {a|a≥2} {a|a＜2} B A C B B B A A C C [知识梳理] 1．充分条件、必要条件 (1)对命题“若p，则q”而言，当它是真命题时，记作p⇒q，称p是q的 条件，q是p的 条件；当它是假命题时，记作p q，称p不是q的 条件，q不是p的 条件． (2)①若p⇒q，且q p，则p是q的 条件； ②若p q，且q⇒p，则p是q的 条件； ③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的 条件，记作p⇔q； ④若p q，且q p，则p是q的 条件． (3)证明“充要条件”应分为两个环节，一是充分性，二是必要性．应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明，证明时要分清哪个是条件，哪个是结论． 2．常用结论 (1)定义判断法：通过判断p⇒q与q⇒p是否成立确定p是q的什么条件． (2)集合判断法：确定条件p，q相应的集合，若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，则 ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的充分不必要条件； ④若BA，则p是q的必要不充分条件； ⑤若A＝B，则p是q的充要条件． [热身训练] 1．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的( ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数f(x)＝3x－3－x，∀a，b∈R，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的( ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知集合A＝，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ． 5．条件p：x＞a，条件q：x≥2. (1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 ； (2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是 ． 【解析】设A＝{x|x＞a}，B＝{x|x≥2}． (1)因为p是q的充分不必要条件，所以AB，所以a≥2. (2)因为p是q的必要不充分条件，所以BA，所以a＜2. 题型1　充分、必要条件的判断 【例1】(1)数学中有一类数字被称为水仙花数，水仙花数是指一个三位数，它的每一个数位上数字的3次幂之和等于它本身．例如：33＋73＋03＝370，370是水仙花数．设集合U＝{153，155，212，371}，A＝{x|x是水仙花数，x∈U}，B＝{x|x＝3k，x∈U，k∈Z}，则“x∈A”是“x∈B”的( ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】因为153＝13＋53＋33，371＝33＋73＋13，所以A＝{153，371}，又B＝{153}，所以BA，所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件． (2)(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的( ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】因为函数f(x)的定义域为D，若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M，充分性成立；若对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M，f(x)的值域不一定是R，必要性不成立． (3)(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的( ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】因为a3＝b3等价于a＝b，3a＝3b等价于a＝b，所以a3＝b3等价于3a＝3b，所以“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件． 充分条件、必要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断，多适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数的推断问题． (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 【变式】(1)(2025·聊城三模)“a＋b<－2，且ab>1”是“a<－1，且b<－1”的( ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)若a，b都是实数，则“>”是“log3a>log3b”的( ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】a，b都是实数，那么log3a>log3b⇒a>b>0⇒>，反之不成立，例如：a＝2，b＝0，满足>，但是log3b无意义，所以“>”是“log3a>log3b”的必要不充分条件． 题型2　结合充要条件求参数的取值范围 【例2】(1)(邵阳二模)已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1].若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是( ). A．(－∞，3]　　　 B．(2，3] C．0　　　 D．[2，3] 【解析】若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则BA，所以且等号能同时取得，解得2<m≤3，即m的取值范围是(2，3]. (2)①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，从这两个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，并求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}． ①当a＝2时，求A∩B； ②若 ，求实数a的取值范围． 【解析】①由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|－1<x<3}，当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}． ②选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a的取值范围为(－1，1). 选②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a的取值范围为(－1，1). (1)p：x∈M是q：x∈N的充分不必要条件⇔MN；p：x∈M是q：x∈N的必要不充分条件⇔NM. (2)在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验，在利用集合关系列不等式时，不等式能不能取到等号直接决定端点值的取舍，在这里容易增解或漏解． 【变式】(1)(2025·山东德州高三联考)设p：log2(x－1)<m，q：>1.若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( ). A．(－∞，0]　　　 B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞)　　　 D．(－∞，－1] 【解析】由log2(x－1)<m，得0<x－1<2m，即1<x<2m＋1.由>1，得0<x<2.若p是q的充分不必要条件，则2m＋1≤2，解得m≤0. (2)(2024·信阳模拟)已知集合A＝{x|x2－4＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为( ). A．{－1，0，1}　　　 B．{－1，1} C．{1}　　　 D．{－1} 【解析】由题意得A＝{－2，2}，BA，当B＝∅时，a＝0，符合题意；当B≠∅时，a≠0，此时B＝，所以＝2或＝－2，所以a＝±1.综上，实数a的所有可能取值构成的集合为{－1，0，1}． 题型3　充要条件的证明 【例3】证明：ac<0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个异号实数根的充要条件． 【解析】充分性：若ac<0，则Δ＝b2－4ac>0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，记方程的两个实数根为x1，x2，根据根与系数的关系得x1x2＝<0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根．必要性：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个异号实数根，记方程的两个实数根为x1，x2，则x1x2＝<0，即ac<0.所以ac<0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个异号实数根的充要条件． 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 【变式】已知ab≠0，求证：a3＋b3＋ab－a2－b2>0的充要条件是a＋b>1. 【解析】充分性(条件⇒结论)：因为ab≠0，所以a2－ab＋b2＝＋b2>0，又a＋b>1，所以a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>a2－ab＋b2>0，所以充分性成立； 必要性(结论⇒条件)：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)>0，且a2－ab＋b2＝＋>0，所以a＋b－1>0，所以a＋b>1，所以必要性成立．综上，a3＋b3＋ab－a2－b2>0的充要条件是a＋b>1. “交汇型”充分、必要条件的判断 “交汇型”充分、必要条件的问题通常是选取合适的数学背景，把考点巧妙地融入试题中，虽然它的构思巧妙、题意新颖，但是它考查的还是基本知识和基本技能． 【例题】甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：A＝{x|0＜Δx＜2}，B＝{x|－3≤x≤5}，C＝，然后他们三人各用一句话来正确的描述“Δ”表示的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：Δ表示的数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件．则“Δ”表示的数字是( ). A．3或4　　　 B．2或3 C．1或2　　　 D．1或3 【解析】因为Δ表示的数为小于5的正整数，所以A＝{x|0＜Δx＜2}＝，因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件，所以C是A的真子集，A是B的真子集，故＞且≤5，所以Δ∈，故“Δ”表示的数字是1或2. 解这类问题的关键在于找到“交汇点”，理解题意以及合理地运算推理． 【变式】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】因为S4＋S6＞2S5⇔4a1＋d＋＞2⇔6d＋15d＞20d⇔d＞0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件． $