第五章 特殊平行四边形【期末复习讲义】基础版-2025-2026学年浙教版数学八年级下册

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第五章 特殊平行四边形【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+17个题型讲练+真题实战练 共44题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 矩形与折叠问题 题型二 根据矩形的性质与判定求角度 题型三 根据矩形的性质与判定求线段长 题型四 根据矩形的性质与判定求面积 题型五 根据菱形的性质与判定求角度 题型六 根据菱形的性质与判定求线段长 题型七 根据菱形的性质与判定求面积 题型八 中点四边形 题型九 正方形折叠问题 题型十 根据正方形的性质与判定求角度 题型十一 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十二 根据正方形的性质与判定求面积 题型十三 根据正方形的性质与判定证明 题型十四 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 题型十五 (特殊)平行四边形的动点问题 题型十六 四边形中的线段最值问题 题型十七 四边形其他综合问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质：有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 知识点二 三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段； 三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 知识点三 反证法 反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 矩形与折叠问题 【例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，将矩形纸片沿对折，使与重合，再将沿折叠，使点A的对应点N落在折痕上，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为______． 题型讲练二 根据矩形的性质与判定求角度 【例2】（24-25九年级下·四川资阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 【变式】（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　） A．2.5 B． C． D．3 题型讲练三 根据矩形的性质与判定求线段长 【例3】（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图1，在一条公路上有A，B两站相距，C，D为两个小镇，小镇C到公路的距离（的长）为，小镇D到公路的距离（的长）为． (1)求小镇C，D之间的距离； (2)如图2，现计划在A，B两站之间的公路上修建一个加油站E，使E到C，D两镇的距离相等，请通过计算说明加油站E应建在公路上距A站多远处？（结果取整数） 【变式】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，在直角梯形中，，，，则梯形的周长为______． 题型讲练四 根据矩形的性质与判定求面积 【例4】（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过作，分别交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【变式】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 题型讲练五 根据菱形的性质与判定求角度 【例5】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式】（2025·四川达州·三模）如图，在中，点F为上一点，连接并延长到点E，使，连接，，连接交于点G．若． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 题型讲练六 根据菱形的性质与判定求线段长 【例6】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接．设点的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 【变式】（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，在中，，分别是，的中点，连接，是上一点，且点到，的距离相等，连接，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若四边形B的周长为，，求的长． 题型讲练七 根据菱形的性质与判定求面积 【例7】（2026·云南玉溪·一模）如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【变式】（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，． (1)证明：四边形为菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 题型讲练八 中点四边形 【例8】（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知：四边形是菱形，依次连接各边中点得到四边形．求证：四边形是矩形． 【变式】（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，E，F，G，H分别是矩形四边的中点． (1)求证：四边形是菱形 (2)若四边形的面积为24，，求矩形的周长． 题型讲练九 正方形折叠问题 【例9】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，则的长是______． 【变式】（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 题型讲练十 根据正方形的性质与判定求角度 【例10】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）直角梯形中，是边上的一点，恰好使，并且，则的长是__________． 【变式】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为________． 题型讲练十一 根据正方形的性质与判定求线段长 【例11】（25-26八年级下·河南商丘·期中） 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向运动到点，点从点出发，沿方向运动到点，点，的速度均为每秒1个单位长度．设点，的运动时间为（秒）． (1)求与之间的距离； (2)求当为何值时，四边形是平行四边形，并求此时四边形的面积； (3)分别过点，作于点，于点，若以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，直接写出t的值． 【变式】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）（1）【问题提出】如图1，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形为正方形． （2）【问题拓展】如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 题型讲练十二 根据正方形的性质与判定求面积 【例12】（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 【变式】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 题型讲练十三 根据正方形的性质与判定证明 【例13】（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中），已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)的长为______，______； (2)求证：矩形是正方形. 【变式】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 题型讲练十四 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【例14】（24-25八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 题型讲练十五 (特殊)平行四边形的动点问题 【例15】（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 【变式】（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 题型讲练十六 四边形中的线段最值问题 【例16】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图在矩形中，，，点E是边的中点，点F是矩形左侧的一个动点，且，连接，线段的最大长度_____________． 【变式】（25-26八年级下·四川广安·期中）如图，在中，，，为边上的一个动点，过点作于点，于点，则长的最小值为________． 题型讲练十七 四边形其他综合问题 【例17】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 【变式】（23-24八年级下·山东济宁·阶段检测）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为_________． (2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图1，梯形中，，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在四边形的边上匀速运动．设P点的运动时间为x秒，的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（   ） A．7 B．11 C．13 D．16 2．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图，菱形的对角线交于点O，E是中点，，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 3．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图，正方形的边长为是边上的一动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·青海·期中）如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为_____． 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为2和3两部分，则该矩形的面积为______． 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，则重叠部分的面积为________． 7．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，一副七巧板是由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成：如图，整个七巧板拼图是个大正方形，若七巧板中平行四边形的面积为16，则图中小正方形的面积为___________． 8．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是36，求与之间的距离． 9．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，四边形是一个矩形（），E是上一点，将矩形沿折叠，点B与边上的点F重合． (1)判定四边形的形状并说明理由； (2)若矩形是黄金矩形，，求的长．（结果保留根号） 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的两个端点均在格点上，按下列要求画图． (1)在方格纸中画出矩形，点C，D都在格点上； (2)请用无刻度的直尺取的中点E（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第五章 特殊平行四边形【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+17个题型讲练+真题实战练 共44题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 矩形与折叠问题 题型二 根据矩形的性质与判定求角度 题型三 根据矩形的性质与判定求线段长 题型四 根据矩形的性质与判定求面积 题型五 根据菱形的性质与判定求角度 题型六 根据菱形的性质与判定求线段长 题型七 根据菱形的性质与判定求面积 题型八 中点四边形 题型九 正方形折叠问题 题型十 根据正方形的性质与判定求角度 题型十一 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十二 根据正方形的性质与判定求面积 题型十三 根据正方形的性质与判定证明 题型十四 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 题型十五 (特殊)平行四边形的动点问题 题型十六 四边形中的线段最值问题 题型十七 四边形其他综合问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质：有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 知识点二 三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段； 三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 知识点三 反证法 反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 矩形与折叠问题 【例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，将矩形纸片沿对折，使与重合，再将沿折叠，使点A的对应点N落在折痕上，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠的性质可得，，，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∴ ． 【变式】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，由勾股定理得出，从而可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴ 题型讲练二 根据矩形的性质与判定求角度 【例2】（24-25九年级下·四川资阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后证出，根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式】（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　） A．2.5 B． C． D．3 【答案】D 【分析】由矩形中，对角线分得到的两个角的度数之比是，，且，得，，由，得，，由，得，得，得，即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵对角线分得到的两个角的度数之比是， ∴设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴设，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 题型讲练三 根据矩形的性质与判定求线段长 【例3】（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图1，在一条公路上有A，B两站相距，C，D为两个小镇，小镇C到公路的距离（的长）为，小镇D到公路的距离（的长）为． (1)求小镇C，D之间的距离； (2)如图2，现计划在A，B两站之间的公路上修建一个加油站E，使E到C，D两镇的距离相等，请通过计算说明加油站E应建在公路上距A站多远处？（结果取整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作于点E，则四边形是矩形，在中，由勾股定理求出即可； （2）设，则，根据，由勾股定理得出，代入数据求解即可． 【详解】（1）解：如图1，作于点E， 依题意： ∴四边形是矩形 ∴ 在中， 由勾股定理得： 即小镇C，D之间的距离为． （2）解：如图2，设，则 由勾股定理得： ∵ ∴ 即： 解得： 即加油站E应建在距A站约处． 【变式】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，在直角梯形中，，，，则梯形的周长为______． 【答案】 【分析】作于点，得到四边形是矩形，是等腰直角三角形，再求得，据此求解即可． 【详解】解：作于点， ∵直角梯形，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴梯形的周长为． 题型讲练四 根据矩形的性质与判定求面积 【例4】（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过作，分别交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，，，， ， ， ，， ， ． 【变式】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】18 【分析】作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴. 题型讲练五 根据菱形的性质与判定求角度 【例5】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解； （2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则（负值舍去）， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴． 【变式】（2025·四川达州·三模）如图，在中，点F为上一点，连接并延长到点E，使，连接，，连接交于点G．若． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形判定与性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角得出，结合得出，根据平行四边形的性质得出，，，根据平行线的性质得出，根据等角对等边得出，然后根据证明即可； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得出，，再证明四边形是菱形，然后根据菱形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴平分． 题型讲练六 根据菱形的性质与判定求线段长 【例6】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接．设点的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由四边形是矩形，可得，进一步求解即可． （2）当时，四边形是菱形，结合，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 四边形是矩形， ，． ∴， 当时，四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， 由题意知：． 由，得， 解得：． 当时，四边形是矩形． （2）解：由（1）知：， 又∵， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 在中，， ，且， 即有， 解得：， 当时，四边形是菱形． 【变式】（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，在中，，分别是，的中点，连接，是上一点，且点到，的距离相等，连接，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若四边形B的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形的中位线定理，得到，结合，证明四边形平行四边形，平行结合角平分线，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，得到，结合菱形的性质，线段的和差关系，求出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，点、分别是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点到，的距离相等， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）知：，四边形是菱形， ∵菱形的周长为， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型讲练七 根据菱形的性质与判定求面积 【例7】（2026·云南玉溪·一模）如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式】（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，． (1)证明：四边形为菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，再证明，则可证明四边形为平行四边形；由直角三角形的性质得到，据此可证明平行四边形为菱形； （2）由平行四边形的性质得到，求出，证明，，可得到，，则；可证明，，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型讲练八 中点四边形 【例8】（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知：四边形是菱形，依次连接各边中点得到四边形．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】连接，，交于点，与交于点，中位线的性质可以推导出四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，再结合中位线的性质可以推导出即可证明结论． 【详解】解：连接，，交于点，与交于点， ∵，分别是，的中点， ∴，， 同理可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式】（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，E，F，G，H分别是矩形四边的中点． (1)求证：四边形是菱形 (2)若四边形的面积为24，，求矩形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的对角线相等和三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据菱形的性质和矩形的性质可推出，然后根据勾股定理得到，最后利用矩形的周长，根据完全平方公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵E，H分别是，的中点， 且， 同理可得：且，且， 且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，连接，， ∵四边形的面积为24，且四边形是菱形， ， ∵E，F，G，H分别是矩形四边的中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ， 同理可得：， ， ， ∵E，H分别是矩形边，的中点，， ， ， ， ∴矩形的周长 ， ∴矩形的周长为． 题型讲练九 正方形折叠问题 【例9】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，则的长是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，结合正方形的性质和折叠的性质证明，即可解题； （2）设，则，结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【变式】（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 /0.875 【分析】利用矩形的性质得，利用折叠的性质可得，当与重合时，设，则，在中，根据勾股定理可得； 连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 当与重合时，由折叠可得， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当四边形为正方形时，如图，连接， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型讲练十 根据正方形的性质与判定求角度 【例10】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）直角梯形中，是边上的一点，恰好使，并且，则的长是__________． 【答案】4或6 【分析】本题考查正方形的判定与性质，旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，正确作出辅助线是解题的关键． 过点B作交的延长线于F，证明四边形是正方形，则把绕点B顺时针旋转得到，再，得到，设，则，，根据勾股定理，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点B作交的延长线于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 把绕点B顺时针旋转得到， 则． ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴． 设，则， ∴． 在中， ， 即， 整理得 ， 解得， ∴的长是4或6． 故答案为：4或6． 【变式】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可． 【详解】解：当时， ， ， 由折叠可得：，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ； 当时， ，， ， 由折叠可知，，， ， 点、、共线， ， 综上所述，的度数为或． 当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，； 故答案为：或或． 题型讲练十一 根据正方形的性质与判定求线段长 【例11】（25-26八年级下·河南商丘·期中） 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向运动到点，点从点出发，沿方向运动到点，点，的速度均为每秒1个单位长度．设点，的运动时间为（秒）． (1)求与之间的距离； (2)求当为何值时，四边形是平行四边形，并求此时四边形的面积； (3)分别过点，作于点，于点，若以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)，四边形的面积为54 (3)2或8 【分析】（1）过点作于点，证明四边形是矩形，求出，再利用勾股定理求出即可； （2）先列式得出，，，要使四边形是平行四边形，只需即可，列式求解即可； （3）先证明四边形是矩形，四边形是矩形，分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，得出要使以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，只需即可，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即与之间的距离为； （2）解：设点，的运动时间为（秒）， ∵点，的速度均为每秒1个单位长度．，， ∴，，， 要使四边形是平行四边形， ∵， ∴只需即可， ∴， 解得：， 此时， 由（1）可知，与之间的距离为， ∴四边形的面积为； （3）解：∵，，， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 当在左侧时，如图， 要使以，，，四个点为顶点的四边形是正方形， 则只需， ∵与之间的距离为， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当在右侧时，如图， 要使以，，，四个点为顶点的四边形是正方形， 则只需， ∵与之间的距离为， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上，或． 【变式】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）（1）【问题提出】如图1，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形为正方形． （2）【问题拓展】如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据矩形的性质、折叠的性质，得出，，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，得出四边形是矩形，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，即可证明四边形为正方形； （2）根据矩形与正方形的性质，推出，，根据折叠的性质，得出，，根据勾股定理计算，由计算出的长，设，则，根据勾股定理，，列出方程求解，由，计算得出答案即可． 【详解】解：（1）证明：∵在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴四边形为正方形； （2）∵四边形是矩形，，，由（1）得四边形为正方形， ∴，，， ∴，， ∵将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型讲练十二 根据正方形的性质与判定求面积 【例12】（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 【变式】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 【答案】25 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 题型讲练十三 根据正方形的性质与判定证明 【例13】（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中），已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)的长为______，______； (2)求证：矩形是正方形； 【答案】(1)；45 (2)见解析 【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理即可得到答案； （2）过点E作于点M，于点N，可证明四边形是矩形，且，则可证明，得到，据此可证明矩形是正方形． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点E作于点M，于点N， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，且， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 【变式】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论；由（1）知，四边形是正方形，得出．由，，求出，勾股定理得出，得出．再证明，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形是正方形． （2）解：平分， ． 在和中， ， ， ． ∵四边形是正方形， ． ∵， ， ，， ． ， ， ． 题型讲练十四 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【例14】（24-25八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【变式】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 题型讲练十五 (特殊)平行四边形的动点问题 【例15】（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 【答案】当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定条件：有一个角是直角的平行四边形是矩形，已知，，故只要使得，四边形即为矩形，分类讨论点Q的不同情况，用含t的式子表示，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 当时，四边形是矩形，设运动的时间为秒， 点在边上以每秒的速度从点向点运动，到达点时停止， 点的运动时间为：（秒）， 又点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动， 点从点到点的运动时间为：（秒）， 有以下四种情况： ①当时，此时点从点向点运动，，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ②当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ③当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ④当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形， 综上所述：当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形． 【变式】（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】根据平行四边形的性质可知当直线将四边形截出一个平行四边形时，或，设运动时间为，可得，，根据或列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ∴当直线将四边形截出一个平行四边形时，或， ∵、的速度分别为和， ∴，， ∵，， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 综上所述：经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 题型讲练十六 四边形中的线段最值问题 【例16】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图在矩形中，，，点E是边的中点，点F是矩形左侧的一个动点，且，连接，线段的最大长度_____________． 【答案】 【分析】使用勾股定理计算出，由“三角形的两边之和大于第三边”可知，，因此当，，三点共线时，最大． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当，，三点共线时，取得最大值． 【变式】（25-26八年级下·四川广安·期中）如图，在中，，，为边上的一个动点，过点作于点，于点，则长的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：根据勾股定理，可得， 根据过点作于点，于点， 可得， 又， 四边形是矩形， 如图连接，根据矩形的对角线相等可得， 根据垂线段最短可得时，线段的值最小， 有， ， 长的最小值为． 题型讲练十七 四边形其他综合问题 【例17】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 【答案】概念理解：是，见解析；性质探究：，见解析；问题解决：1 【分析】（1）先利用证明，再根据全等性质的得出，然后证明，再根据垂美四边形的定义得出结论； （2）先证明，再利用勾股定理列出式子：，，，，然后分别求出，，证明； （3）先利用邻补角的意义求出，再利用三角形面积公式分别求得， ，再求出四边形的面积． 【详解】解：概念理解：四边形是垂美四边形；理由如下： 如图，连接、交于点， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ∴四边形是垂美四边形； 性质探究：； 证明如下： 记和交于点， 由题可知， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ； 问题解决： 如图，连接，过作于点， ， ， 在中，， ∴， ， ， ． 【变式】（23-24八年级下·山东济宁·阶段检测）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为_________． (2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由． 【答案】(1)135 (2)成立，见解析 【分析】（1）根据新定义，得，结合，，计算即可． （2）连接，根据得到，结合，得到，继而得到得证． 本题考查了四边形综合题，新定义难题，等腰三角形的判定和性质，四边形的内角和定理，熟练掌握新定义，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据新定义，得， ∵，， ∴， 故答案为：135． （2）连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图1，梯形中，，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在四边形的边上匀速运动．设P点的运动时间为x秒，的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（   ） A．7 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】根据S关于x的函数图象可知，当P运动到点B时，此时，，即可求出，当点P运动到点C时，此时，即可求出，过点B作于点E，则四边形为矩形，则，再利用勾股定理求出，最后根据求解即可． 【详解】解：根据S关于x的函数图象可知，当P运动到点B时，此时，， 即， ∴， 当点P运动到点C时，此时， 即， ∴， 过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴，，， ∴， 在中，， 当点P运动到点D时，此时， ∴． 2．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图，菱形的对角线交于点O，E是中点，，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由菱形的性质可得，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O，， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴ ． 3．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图，正方形的边长为是边上的一动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到，使，连接，，证明，得，根据，，得是线段的垂直平分线，则，由此得，因此当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此得当点，，共线时，为最小，最小值为线的长，继而得的最小值为线段的长，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：延长到，使，连接，，如图所示: ∵四边形是正方形，且边长为3， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为线段的长， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的最小值是， 4．（25-26八年级下·青海·期中）如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为_____． 【答案】 【分析】先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长，再通过菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，从而求出菱形的高． 【详解】解：如图，令交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∵菱形面积， 设边上的高为h， ∵菱形面积， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为2和3两部分，则该矩形的面积为______． 【答案】10或15 【分析】根据矩形的性质得到对边平行且相等，结合角平分线的定义可推出等角，进而得到，分两种情况进行讨论，分别计算矩形的面积即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∴， ①当，时， ，， 矩形的面积 ； ②当，时， ，， 矩形的面积 ； 综上所述：该矩形的面积为10或15． 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，则重叠部分的面积为________． 【答案】10 【分析】设，证明，得到，，利用勾股定理求出长，根据即可求解． 【详解】解：设 依题意可知，，， 在中， 即 解得 ． 7．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，一副七巧板是由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成：如图，整个七巧板拼图是个大正方形，若七巧板中平行四边形的面积为16，则图中小正方形的面积为___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质证明，而，则有平行线间的距离相等得到平行四边形的边上的高等于，即可得到． 【详解】解：如图 ∵正方形，等腰 ∴， ∴， ∵四边形是正方形，为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴平行四边形的边上的高等于， ∴． 8．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是36，求与之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到；由直角三角形的性质得到，则可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可求出的长，进而求出的长，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵在中，，是斜边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设与之间的距离为h， ∴， ∴， ∴与之间的距离为． 9．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，四边形是一个矩形（），E是上一点，将矩形沿折叠，点B与边上的点F重合． (1)判定四边形的形状并说明理由； (2)若矩形是黄金矩形，，求的长．（结果保留根号） 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由矩形得到，由折叠得到，，即可证明四边形是正方形； （2）首先得到，然后由正方形得到，然后由求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵是矩形 ∴ ∵折叠后点B与F重合， ∴， ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形； （2）解：∵， ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∵四边形是黄金矩形 ∴，即 ∴ ∴． 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的两个端点均在格点上，按下列要求画图． (1)在方格纸中画出矩形，点C，D都在格点上； (2)请用无刻度的直尺取的中点E（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的面积． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解，5 【分析】本题考查矩形的定义，矩形的性质，勾股定理，能够利用方格画图和计算是解题的关键． （1）根据矩形的定义，可以构造出直角，从而画出矩形； （2）利用矩形的性质：对角线互相平分即可得到中点，再利用勾股定理即可计算面积． 【详解】（1） 取格点，，根据网格性质可得，， 则四边形为矩形； （2）解：如图，通过格点构造了矩形，连接与的交点即为，连接； 根据勾股定理得，，， 是的中点， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $