第五章 特殊平行四边形【期末复习讲义】培优版-2025-2026学年浙教版数学八年级下册

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第五章 特殊平行四边形【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+17个题型讲练+真题实战练 共44题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 矩形与折叠问题 题型二 根据矩形的性质与判定求角度 题型三 根据矩形的性质与判定求线段长 题型四 根据矩形的性质与判定求面积 题型五 根据菱形的性质与判定求角度 题型六 根据菱形的性质与判定求线段长 题型七 根据菱形的性质与判定求面积 题型八 中点四边形 题型九 正方形折叠问题 题型十 根据正方形的性质与判定求角度 题型十一 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十二 根据正方形的性质与判定求面积 题型十三 根据正方形的性质与判定证明 题型十四 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 题型十五 (特殊)平行四边形的动点问题 题型十六 四边形中的线段最值问题 题型十七 四边形其他综合问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质：有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 知识点二 三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段； 三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 知识点三 反证法 反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 矩形与折叠问题 【例1】（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图，矩形纸片中，，，点、分别在边、上，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最小值为______．    【变式】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在长方形中，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为___________． 题型讲练二 根据矩形的性质与判定求角度 【例2】（25-26八年级下·湖北宜昌·期中）如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 【变式】（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知点A是第二象限的一点，点P是x轴上一动点，以为边作正方形； (1)如图1，当点A的坐标为，点P的坐标为时，则点C的坐标为______； (2)如图2，若点P与原点O重合，与y轴交于点E，连接，点F是线段上一点，连接，，若，①求证；②设的面积为，的面积为，若，求的值（用表示）； (3)如图3，点若A的坐标为，点D的坐标为，在点P的运动过程中，请直接写出的最小值______． 题型讲练三 根据矩形的性质与判定求线段长 【例3】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论中：①四边形是矩形；②当时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；其中正确的有（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 【变式】（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，，点E在边上，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为t秒（），连接，当点P运动到点B时，． (1)________； (2)当四边形是平行四边形时，求t的值； (3)连接，当的面积为6时，求t的值； (4)作点A关于直线的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出t的值． 题型讲练四 根据矩形的性质与判定求面积 【例4】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，平分，延长与相交于点E，下列结论中正确的为（    ） ①四边形为矩形；②为的中位线；③；④≌． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【变式】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在等腰中，于点D．动点从点出发，沿着的路径以每秒个单位长度的速度运动到点停止，过点作于点，作于．在此过程中四边形的面积与运动时间的函数关系图象如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 题型讲练五 根据菱形的性质与判定求角度 【例5】（24-25八年级下·四川广安·期末）平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，不论k为何值，直线都经过x轴上点A (1)如图1，若直线过点C，求直线的解析式和点A的坐标 (2)如图2，将线段沿某个方向平移，点B、C对应的点M、N恰好在直线和直线上，当时，请你判断四边形的形状，并说明理由 (3)如图3，点P由点C向下平移个单位得到，点Q是x轴上的动点，以P、Q为顶点作菱形，且．直线经过顶点R，当点Q在x轴上运动（点R不与点A重合）时，k的值是否会发生变化？若不变，求出k的值；若变化，请说明理由 【变式】（23-24八年级下·山东泰安·期末）在中，点是上任意一点，延长交的延长线于点． (1)在图1中，当时，求证：是的平分线； (2)根据（1）的条件和结论， ①如图2，若，点是的中点，请求出的度数； ②如图3，若，且，连接、，请直接写出的度数． 题型讲练六 根据菱形的性质与判定求线段长 【例6】（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点，点E是上一点，且，连接，下列结论： ； ； ； ，成立的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，矩形中，，对角线相交于，．点关于的对称点为，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，连接CF，则线段长的最小值为______． 题型讲练七 根据菱形的性质与判定求面积 【例7】（25-26八年级下·重庆·周测）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【变式】（23-24八年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，对于点和线段，如果点，，，按逆时针方向排列构成菱形，则称线段是点的“菱线段”，点是点的“菱点”．例如，图1中线段是点的“菱线段”．    (1)如图，已知点的坐标是． 点，，，，其中点的“菱点”有__________； 若线段是点的“菱线段”，且菱形的面积是2，求点的坐标； (2)记，若线段与线段都是点的“菱线段”，且线段与线段都经过点，直接写出的取值范围． 题型讲练八 中点四边形 【例8】（25-26八年级下·湖北武汉·月考）如图，长方形中，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）综合与实践 某数学兴趣小组在探究苏科版八年级数学教材时，经历了如下过程：如图，正方形的边长为，、、、分别是上的动点，且． 【知识回顾】（1）求证：四边形是正方形； 【规律探究】（2）判断直线是否经过一个定点，并说明理由； 【拓展延伸】（3）设线段的中点为，当点从点运动到点的过程中，求点运动的路径长． 题型讲练九 正方形折叠问题 【例9】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 【变式】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）在边长为6的正方形中，，分别是边、上的点，连接．将四边形沿翻折，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若为中点，则_______；若为上任意一点，则的最小值是_______． 题型讲练十 根据正方形的性质与判定求角度 【例10】（23-24八年级下·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，是轴上一个动点，将线段绕点顺时针旋转到线段（即，）． (1)如图1，当点在线段上（点不与、B重合），求点的纵坐标； (2)如图2，当取最小值时，请画出图形，并求出点的坐标； (3)如图3，点在线段上（点不与、B重合），射线交轴于点，交射线于点，且，求． 【变式】（24-25八年级下·北京海淀·期中）已知四边形是正方形，点在边上，点是点关于直线的对称点，点在直线上，且．    (1)根据题意，在图中补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 题型讲练十一 根据正方形的性质与判定求线段长 【例11】（25-26八年级下·四川·期中）如图，在中，，平分，点D为上一点，连接并绕点D逆时针旋转得到，连接，若，，，，则的长为____． 【变式】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，矩形纸片的长与宽比值为，将纸片沿、折叠，使得点B的对应点F在线段上，点C的对应点H在线段上，则的值为__________． 题型讲练十二 根据正方形的性质与判定求面积 【例12】（24-25八年级下·浙江温州·期中）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成正方形，连接、，记的面积为，四边形的面积为，若A、E、G三点共线，，，则阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．12 D．20 【变式】（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则___________．    题型讲练十三 根据正方形的性质与判定证明 【例13】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式】（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，设．得到以下结论：①；②；③；④．则上述结论正确的是______． 题型讲练十四 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【例14】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    【变式】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，将沿方向平移至的位置，针对四边形与四边形，下列说法正确的是（） A．周长与面积都相等 B．周长等，面积不等 C．周长不等，面积等 D．周长面积都不相等 题型讲练十五 (特殊)平行四边形的动点问题 【例15】（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【变式】（25-26八年级下·安徽宿州·月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动；点从点开始沿边向点以的速度运动．点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)设运动时间为，用含的代数式表示线段的长：________，________； (2)求运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？ (4)若点运动的速度为，直接写出：当为多少时，四边形为正方形？当为多少时，四边形为菱形？ 题型讲练十六 四边形中的线段最值问题 【例16】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，连接和，点为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点落在轴上． (1)则的长为______，的度数为______； (2)在点运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，当点运动到使菱形的顶点恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若点为射线上的动点，连接、，交于点，连接．在运动过程中，的最小值为______． 【变式】（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 题型讲练十七 四边形其他综合问题 【例17】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图①，在菱形中，点O为对角线的中点，将对角线绕点O逆时针旋转到，且旋转角α满足，构造出四边形，连结． (1)四边形是哪种特殊的四边形？请写出你的猜想，并证明． (2)若，设的面积为，的面积为，当时，求的值． (3)如图②，若四边形是正方形，当经过中点时，探究三条边存在的等量关系．请给出结论，并说明理由． 【变式】（24-25八年级下·上海宝山·月考）已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)如图2，如果，求的面积； (2)如图1，若不平行于，求证：四边形是等腰梯形； (3)如果，当是直角三角形时，求的长． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）“弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成一个大的正方形，汉末数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连接并延长交于点M、交于点N．若，则以下说法正确的有（   ）个． ①   ②   ③   ④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在中，，，为的中点，在外构造等边，连接、．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③四边形是菱形；④．其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，正方形中，对角线，相交于点，过点作射线，，分别交，于点（点不与重合），且，连接，给出下列结论，其中不一定成立的是（    ） A． B．四边形的面积等于正方形面积的 C． D．平分 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，E为正方形中边上的一点，M、N分别为边、上的动点，且，若，，则的最小值为______． 5．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，将正方形顶点A折叠至边上的点E，折痕为．若，，则的长是________． 6．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图，矩形中，，点为边上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为_____． 7．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，将矩形对折，使点与点重合，折痕分别与矩形的边和相交于点、，交对角线于，为线段上一个动点，若，，则的最小值为______． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接． 求证： (1)矩形是正方形． (2)． (3)． 9．（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，． (1)求证：是菱形； (2)请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号） ①；②M是的中点；③；④． 10．（25-26八年级下·江苏南通·期中）菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，． (1)如图1，连接，求证； (2)如图2，若E是的中点，，相交于点P，求证：点P在上； (3)若，M，N分别是，的中点，连接，求的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第五章 特殊平行四边形【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+17个题型讲练+真题实战练 共44题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 矩形与折叠问题 题型二 根据矩形的性质与判定求角度 题型三 根据矩形的性质与判定求线段长 题型四 根据矩形的性质与判定求面积 题型五 根据菱形的性质与判定求角度 题型六 根据菱形的性质与判定求线段长 题型七 根据菱形的性质与判定求面积 题型八 中点四边形 题型九 正方形折叠问题 题型十 根据正方形的性质与判定求角度 题型十一 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十二 根据正方形的性质与判定求面积 题型十三 根据正方形的性质与判定证明 题型十四 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 题型十五 (特殊)平行四边形的动点问题 题型十六 四边形中的线段最值问题 题型十七 四边形其他综合问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质：有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 知识点二 三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段； 三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 知识点三 反证法 反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 矩形与折叠问题 【例1】（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图，矩形纸片中，，，点、分别在边、上，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最小值为______．    【答案】 【分析】根据折叠的性质，结合线段垂直平分线的性质得出，可得当点与点重合时，取最大值，取最小值，则，利用勾股定理列方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，    ∵将矩形纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为， ∴是的垂直平分线， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，取最小值， ∵当点与点重合时，取最大值， ∴当点与点重合时，取最大值，取最小值， 设则， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 【变式】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在长方形中，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为___________． 【答案】或 【分析】分两种情况：点落在对角线上和点落在对角线上，分别根据折叠的性质结合勾股定理进行讨论求解，即可得出点运动的距离． 【详解】解：分两种情况： 当点落在对角线上时，连接，如图所示， 将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上， ， ，， 点为线段的中点， ， ，， ， ， ，即，， ， ，， ， ， ，即点运动的距离为； 当点落在对角线上时，连接，，设与的交点为，作于，则四边形为矩形，如图所示， ，，， 由折叠可知， 点为线段的中点， ， 在中，， ，即， ， 在中，， ，即， ， 在中，， ， 点运动的距离为； 综上所述，点运动的距离为或． 题型讲练二 根据矩形的性质与判定求角度 【例2】（25-26八年级下·湖北宜昌·期中）如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 【答案】(1)平行四边形是矩形，理由见详解 (2)见详解 (3)点的位置不变，点是的中点，理由见详解 【分析】（1）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可判定； （2）设，根据等边对等角，三角形内角和定理得到，由此即可求解； （3）根据题意可得，结合（2）得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形是矩形，理由如下， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； （2）证明：设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：点的位置不变，点是的中点，理由如下， 将绕点顺时针旋转适当的角度，得到， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，即点的位置不变． 【变式】（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知点A是第二象限的一点，点P是x轴上一动点，以为边作正方形； (1)如图1，当点A的坐标为，点P的坐标为时，则点C的坐标为______； (2)如图2，若点P与原点O重合，与y轴交于点E，连接，点F是线段上一点，连接，，若，①求证；②设的面积为，的面积为，若，求的值（用表示）； (3)如图3，点若A的坐标为，点D的坐标为，在点P的运动过程中，请直接写出的最小值______． 【答案】(1) (2)①见详解；② (3) 【分析】（1）过点作轴，过点作轴，证明，得出，即可求解． （2）①过点作交于点，交于点，根据题意可得，得出四边形是矩形，，证明，再证明，得出，即可得，，证出是等腰直角三角形，根据勾股定理可得． ②根据，得出，根据四边形是矩形，得出，表示出， ，得出，根据，得出，结合，根据勾股定理得出，即可得． （3）如图，连接，过点作轴，根据题意得出轴，，证明，得出，证明是等腰直角三角形，得出，故点C在直线上运动，作点D关于直线的对称点，则，故，当点三点共线时，最小，即最小，过点A作轴于点H，则，根据勾股定理即可得出． 【详解】（1）解：过点作轴，过点作轴， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点P的坐标为， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． （2）解：①过点作交于点，交于点， 根据题意可得， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ②∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作轴， ∵点A的坐标为，点D的坐标为， ∴轴，， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故点C在直线上运动， 作点D关于直线的对称点， 则， 故， 当点三点共线时，最小，即最小， 过点A作轴于点H， 则， ∴， 即的最小值为． 题型讲练三 根据矩形的性质与判定求线段长 【例3】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论中：①四边形是矩形；②当时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；其中正确的有（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点E可以在上，也可以在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点E与点D重合时，的最大值为4，则长度的最大值为2，据此可判断③． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴四边形是矩形，故①正确； 当点E在上时， ∵分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点是的中点； 当点E在上时，同理可得，但此时点不是的中点，故②错误； 由②可知，， ∵点E沿四边形的边运动至点停止，且， ∴的最大值为4，此时点E与点D重合， ∴的最大值为2，故③正确； 综上，正确的有①③，共2个． 【变式】（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，，点E在边上，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为t秒（），连接，当点P运动到点B时，． (1)________； (2)当四边形是平行四边形时，求t的值； (3)连接，当的面积为6时，求t的值； (4)作点A关于直线的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)9 (3)t的值为或7 (4)t的值为或7或8 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）平行四边形的对边相等，则，据此建立方程求解即可； （3）分类讨论，当点P在上和上，再根据三角形的面积公式建立关于t的方程求解即可； （4）分三种情况进行讨论：当点P在边上，点落在边上时，当点P在边上，落在边上时，当点P在边上，点落在边上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在上时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点P在上时，如图， ∵，， ∴， ∴， 综上，当的面积为6时，t的值为或7； （4）解：①如图，当点P在边上，点落在边上时， ∵点A关于对称点为， ∴，， 过E作于点F，则四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得； ②如图，当点P在边上，落在边上时， 同理可得， ∴， ∵， ∴ ， 在中，， 即， 解得； ③如图，当点落在边上时， 此时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 综上，t的值为或或8． 题型讲练四 根据矩形的性质与判定求面积 【例4】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，平分，延长与相交于点E，下列结论中正确的为（    ） ①四边形为矩形；②为的中位线；③；④≌． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得 是等腰三角形，结合推出是的中点，进而证明四边形是矩形；利用三角形中位线定理判断的性质；利用矩形对角线互相平分及三角形面积公式判断面积关系；通过计算线段长度判断三角形全等． 【详解】解：四边形是平行四边形 ， 平分 四边形是平行四边形 平行四边形是矩形，故①正确； 由上可得，在 中，是的中点， 是 中点 是的中位线，故②正确； 四边形是矩形 对角线互相平分，即是中点 ∵矩形中，， ∴ ∴ 是中点 ，故③正确 在 Rt 中，， 由勾股定理得 ，为中点 与 不全等，故④错误 综上所述，正确的结论是①②③． 【变式】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在等腰中，于点D．动点从点出发，沿着的路径以每秒个单位长度的速度运动到点停止，过点作于点，作于．在此过程中四边形的面积与运动时间的函数关系图象如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图中拐点的纵坐标，得到四边形的面积，此时点运动到点，可证明四边形是正方形，面积为，那么正方形的边长为，易得为等腰直角三角形，即得到长为，进而求出长度为，解题的关键理解拐点的纵坐标表示的意义及动点此时所在的位置． 【详解】解：∵动点从点出发，沿着的路径运动， ∴第一个拐点的位置在点处，此时点运动到点， ∵图中拐点的纵坐标， ∴四边形的面积为， ∵，， ∴， ∵， ∴ 四边形是矩形， ∵是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴四边形是正方形，， ∴是等腰直角三角形， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型讲练五 根据菱形的性质与判定求角度 【例5】（24-25八年级下·四川广安·期末）平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，不论k为何值，直线都经过x轴上点A (1)如图1，若直线过点C，求直线的解析式和点A的坐标 (2)如图2，将线段沿某个方向平移，点B、C对应的点M、N恰好在直线和直线上，当时，请你判断四边形的形状，并说明理由 (3)如图3，点P由点C向下平移个单位得到，点Q是x轴上的动点，以P、Q为顶点作菱形，且．直线经过顶点R，当点Q在x轴上运动（点R不与点A重合）时，k的值是否会发生变化？若不变，求出k的值；若变化，请说明理由 【答案】(1)， (2)四边形是菱形，见解析 (3)不变， 【分析】（1）根据与x轴、y轴分别交于点B、C，，得到，，设直线的解析式为，把代入求解即可． （2）当时，，根据点M在直线上，不妨设，结合，可看做向右平移个单位，向上平移个单位得到，结合，得到，根据点N在直线上，得到，后利用两点间距离公式，计算邻边长度，判定形状即可． （3）先证明，是等边三角形，再证明，根据全等的性质得到，设直线与y轴的交点为H，确定，，利用直角三角形的性质，一次函数过点的意义解答即可． 【详解】（1）解：∵不论k为何值，直线：都经过x轴上点A， ∴有无数解， ∴， 解得， ∴ ∵与x轴、y轴分别交于点B、C，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入得， 解得； ∴直线的解析式为． （2）解：四边形是菱形．理由如下： 当时，直线， ∵点M在直线上， 不妨设， ∵， ∴可看做向右平移个单位，向上平移个单位得到， ∵， ∴， ∵点N在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 根据平移的性质，得四边形是平行四边形． ∴四边形是菱形． （3）解：k的值不变，且．理由如下： ∵，点P由点C向下平移个单位得到， ∴， 连接， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 连接， ∵四边形是菱形，且． ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线与y轴的交点为H， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故k的值不变，且． 【变式】（23-24八年级下·山东泰安·期末）在中，点是上任意一点，延长交的延长线于点． (1)在图1中，当时，求证：是的平分线； (2)根据（1）的条件和结论， ①如图2，若，点是的中点，请求出的度数； ②如图3，若，且，连接、，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据等边对等角，利用四边形是平行四边形，可得，由等量关系可得即可证明结论； （2）①先说明是等腰直角三角形可得，再证明可得，然后证明是等腰直角三角形即可证明结论；②延长相较于H，连接，求证四边形是平行四边形，再求证是等边三角形，求证，再根据全等三角形的性质及角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）解：①如图2，连接 ∵在平行四边形中，， ， ， ， 又， ∴是等腰直角三角形，即：， 由（1）可得：， ， 又∵是的中点， ， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形，即：； ②如图3，延长相较于H，连接． ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形为平行四边形 由（1）可得：AD=DF，CE=CF ∴平行四边形是菱形．平行四边形是菱形． ∵， ∴,, ∴是等边三角形，即， 在与中，， ∴， ∴， ∴． 题型讲练六 根据菱形的性质与判定求线段长 【例6】（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点，点E是上一点，且，连接，下列结论： ； ； ； ，成立的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先证明，得到四边形是菱形，利用菱形的性质，三角形中位线求解即可； 【详解】解：平行四边形的对角线交于点 ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 故， 故正确； ； 故错误； ， 故正确； ， ， 故正确. 【变式】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，矩形中，，对角线相交于，．点关于的对称点为，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，连接CF，则线段长的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，，，，由矩形性质可得，，，，然后证明是等边三角形，则，又点与关于对称，所以，，从而可得四边形是菱形，所以，又将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，所以，，证明，所以，要使最小，则需最小，根据垂线段最短可知，当时，最小，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵点与关于对称， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使最小，则需最小，根据垂线段最短可知，当时，最小，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴线段长的最小值为． 题型讲练七 根据菱形的性质与判定求面积 【例7】（25-26八年级下·重庆·周测）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理，解题关键是利用矩形对角线性质、垂直平分线性质推出四边形的边的关系，结合特殊三角形性质与勾股定理计算进而求出面积． （1）由矩形性质得，结合、是的垂直平分线，证得，再由垂直平分线性质得、，推出，判定四边形是菱形． （2）由矩形及垂直平分线性质得是等边三角形，推出，结合，用勾股定理求出；再由菱形性质得，结合中角的性质求出，最后用菱形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ， ， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形为矩形， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 即 ， 解得 ， ， 四边形是菱形， ， 在中， ， ， ． 【变式】（23-24八年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，对于点和线段，如果点，，，按逆时针方向排列构成菱形，则称线段是点的“菱线段”，点是点的“菱点”．例如，图1中线段是点的“菱线段”．    (1)如图，已知点的坐标是． 点，，，，其中点的“菱点”有__________； 若线段是点的“菱线段”，且菱形的面积是2，求点的坐标； (2)记，若线段与线段都是点的“菱线段”，且线段与线段都经过点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】（1）①根据菱形的性质可知，利用勾股定理逐一计算即可得到答案；②根据题意，点由两种情况，作轴，根据菱形的性质和面积可知，，利用勾股定理求得的长度，当点在点的上方，得到，当点在点的上方，得到，即可得到点坐标； （2）过点作的平行线，以、为圆心，长为半径作，，当，分别与直线有两个交点，且线段、线段经过点时，满足条件．根据菱形的性质、等腰三角形性质和三角形内角和可证明，当线段与线段完全重叠时，点只有一条“菱线段”符合题意，此时取得最小值，可根据计算得到；当线段与线段的点与点重叠时，此时t取得最大值，根据点、在可得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：① 的坐标是 四边形是菱形 点，，， ，，， 点，点的“菱点” 故答案为：，． ②根据题意，点有两种情况， 四边形是菱形 ， 如图所示，作轴交轴于，则   菱形的面积是2 ，即 当点在点的正上方， 当点在点的正下方， 点的坐标为或． （2）如图1，过点作的平行线，以、为圆心，长为半径作，，当，分别与直线有两个交点，且线段、线段经过点时，满足条件．    图1中，四边形、是菱形， ，，， ，，， ， ， 当线段与线段完全重叠时，点只有一条“菱线段”， 此时取得最小值，如图2所示， 四边形是菱形， ， 又 ， 此时 ，解得： 当线段与线段的点与点重叠时，点有两条“菱线段”，此时取得最大值，如图3所示， 此时点、在 当时，满足条件． 故答案为：． 题型讲练八 中点四边形 【例8】（25-26八年级下·湖北武汉·月考）如图，长方形中，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的性质可得，观察图形找出变化规律，即可求解． 【详解】解：如图，连接． 矩形中，，， ， 分别是和的中点， ， 以此类推，，， …… ， ． 【变式】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）综合与实践 某数学兴趣小组在探究苏科版八年级数学教材时，经历了如下过程：如图，正方形的边长为，、、、分别是上的动点，且． 【知识回顾】（1）求证：四边形是正方形； 【规律探究】（2）判断直线是否经过一个定点，并说明理由； 【拓展延伸】（3）设线段的中点为，当点从点运动到点的过程中，求点运动的路径长． 【答案】（1）见解析；（2）直线经过一个定点，这个定点为正方形的中心（、的交点）；理由见解析；（3）点运动的路径长为． 【分析】（1）由正方形的性质得出，，证出，由证明三角形全等，得出，，证出四边形是菱形，再证出，即可得出结论； （2）连接、，交点为；先证明，得出，证出为对角线、的交点，即为正方形的中心； （3）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，，，设，则，点运动的路径直线上，进而利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可得：， ∴ 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形； （2）解：直线经过一个定点，这个定点为正方形的中心（、的交点），理由如下： 连接、，交点为，如图所示： 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，，即为的中点， 正方形的对角线互相平分， 为对角线、的交点，即为正方形的中心； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，设，则， ∴，， ∵为的中点， ∴即， ∵， ∴在直线上， 当时，，当时，，解得 ∴点运动的路径长为． 题型讲练九 正方形折叠问题 【例9】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 【答案】 【分析】连接，求出正方形的边长为4，由正方形的性质可得 ，则，由折叠的性质可得，，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为16， ∴； 如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）在边长为6的正方形中，，分别是边、上的点，连接．将四边形沿翻折，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若为中点，则_______；若为上任意一点，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】根据翻折的性质得出，若为中点，则，在中，根据勾股定理得出，解方程即可；为上任意一点，过D作交于P，连接，根据平行四边形的判定与性质可得出，证明，得出，证明，得出，延长至点Q，连接，，根据垂直平分的性质得出，则，故当D、E、Q三点共线时，取最小值，最小值为，然后在中，根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：∵正方形的边长为6， ∴，，， ∵翻折， ∴， 当为中点时，， 在中，， ∴， 解得； 过D作交于P，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴垂直平分，，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， 延长至点Q，连接，，则垂直平分， ∴， ∴， ∴当D、E、Q三点共线时，取最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 题型讲练十 根据正方形的性质与判定求角度 【例10】（23-24八年级下·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，是轴上一个动点，将线段绕点顺时针旋转到线段（即，）． (1)如图1，当点在线段上（点不与、B重合），求点的纵坐标； (2)如图2，当取最小值时，请画出图形，并求出点的坐标； (3)如图3，点在线段上（点不与、B重合），射线交轴于点，交射线于点，且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过D点作于点P，证明，问题即可作答； （2）在（1）中求出，即可知点D在直线上，作点A关于直线的对称点，连接，此时有最小值，根据对称性可得，再利用待定系数法求出直线的解析式为，问题随之得解； （3）过F点作轴于点T，过D点作轴于点S，过C点作于点W，连接，先证明，即有，可得，再证明四边形是矩形，接着证明、是等腰直角三角形，即可得，进而可得，即有矩形是正方形，则有，再证明，可得，进而可得，问题随之得解． 【详解】（1）过D点作于点P，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的纵坐标； （2）在（1）中求出，即可知点D在直线上，作点A关于直线的对称点，连接，此时有最小值，如图，    ∵，点A与点关于直线的对称， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， 即； （3）过F点作轴于点T，过D点作轴于点S，过C点作于点W，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式】（24-25八年级下·北京海淀·期中）已知四边形是正方形，点在边上，点是点关于直线的对称点，点在直线上，且．    (1)根据题意，在图中补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析； (2)的度数为； (3)，证明见解析． 【分析】（1）根据题意即可补全图形； （2）根据正方形的性质和对称的性质证明是等腰直角三角形，然后利用平角定义即可解决问题； （3）过点作于点，证明是等腰直角三角形，得，，然后证明，可得，进而可以得到结论． 【详解】（1）解：如图，即为补全的图形；    （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴的度数为； （3）解：， 证明：如图，过点作于点，    由（2）知， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型讲练十一 根据正方形的性质与判定求线段长 【例11】（25-26八年级下·四川·期中）如图，在中，，平分，点D为上一点，连接并绕点D逆时针旋转得到，连接，若，，，，则的长为____． 【答案】/ 【分析】过点O作于点F，于点G，于点H，连接，证明，得出，，证明四边形为正方形，得出，证明，得出，同理可得：，即可得出，设，则，，，根据勾股定理得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点O作于点F，于点G，于点H，连接，如图所示： 则， 根据旋转可得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设，则，，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 整理得：， ， ， ， ， 开平方得：， 解得：或（舍去）， ∴． 【变式】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，矩形纸片的长与宽比值为，将纸片沿、折叠，使得点B的对应点F在线段上，点C的对应点H在线段上，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 设，根据矩形长宽比得出，利用折叠性质判定四边形为正方形，从而求出和的长，再根据折叠性质判定四边形为正方形，求出和的长，代入计算即可． 【详解】解：设 ， 矩形的长与宽比值为， ， 由折叠的性质知，， 、、， 四边形是矩形 ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 、， ， 由折叠的性质可知：， 、、， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ， 点在线段上， ， ． 题型讲练十二 根据正方形的性质与判定求面积 【例12】（24-25八年级下·浙江温州·期中）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成正方形，连接、，记的面积为，四边形的面积为，若A、E、G三点共线，，，则阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【分析】先证明，可得，从而得到四边形是正方形，设，则，再由，列式计算即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意得，，， ， 四边形为正方形， ， 即， 在和中， ， ， ， 同理：， ， 四边形为菱形， ∵A、E、G三点共线，即，，和，，和，，也在同一条直线上， ， ， 菱形为正方形，则， 设，则， ， ， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 【变式】（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则___________．    【答案】8 【分析】延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，先证明，可得四边形是正方形， 从而得到，再证得，可得，，从而得到，然后证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，    在中，∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8 题型讲练十三 根据正方形的性质与判定证明 【例13】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】证明得到，又可得四边形是矩形，得到，即可判断①；由点为的中点，可得和为的中位线，即可判断②；由，可得，进而可得，即可判断③；由四边形为正方形，得，，可证明，得到，即得，又由，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； 若点为的中点，则， ∵，， ∴，， ∴和为的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由①可知四边形是矩形， ∴四边形是正方形，故②正确； 若，则， ∵， ∴，故③错误； 若四边形为正方形，则，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④． 【变式】（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，设．得到以下结论：①；②；③；④．则上述结论正确的是______． 【答案】①②③④ 【分析】先证明，可得到，继而证得，故①正确；延长交延长线于点M，再证明，可得，由，可得，故②正确；由勾股定理和面积可得：，故③正确；过点作于点，，交的延长线于点N，则四边形是矩形，证明，得到，则可证明四边形是正方形，得到，故④正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点是中点，点是中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图所示，延长交的延长线于点， 在和中， ， ， ， ， ， ∴，故②正确； ， ， ， ， ∴，故③正确； 如图所示，过点作于点，，交的延长线于点N， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④． 题型讲练十四 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【例14】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    【答案】 【分析】过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，利用勾股定理表示出，，然后由，，，，推出，即可得出，得到最后结果． 【详解】解：过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，      设正方形的边长为，，， ，，，， ，，四边形的面积为， ，， 由，，，， 得到， ， 即， 又四边形的面积是， ， 解得：，即正方形的面积为． 【变式】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，将沿方向平移至的位置，针对四边形与四边形，下列说法正确的是（） A．周长与面积都相等 B．周长等，面积不等 C．周长不等，面积等 D．周长面积都不相等 【答案】C 【分析】根据四边形周长及面积公式即可解答本题，注意两四边形底边为同边AD 【详解】∵沿方向平移得到． ∴四边形与四边形均为平行四边形． ∵． ∴四边形与四边形周长不相等． ∵四边形与四边形底边同为AD，且高相等． ∴四边形与四边形面积相等． 故本题选择C. 题型讲练十五 (特殊)平行四边形的动点问题 【例15】（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为2或 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； （2）当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【变式】（25-26八年级下·安徽宿州·月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动；点从点开始沿边向点以的速度运动．点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)设运动时间为，用含的代数式表示线段的长：________，________； (2)求运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？ (4)若点运动的速度为，直接写出：当为多少时，四边形为正方形？当为多少时，四边形为菱形？ 【答案】(1)， (2)运动时间为时，四边形为平行四边形 (3)运动时间为时，四边形为矩形 (4)当为时，四边形为正方形，当为时，四边形为菱形 【分析】此题考查了正方形，菱形，平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质． （1）根据题意速度乘以时间即可得出，，进而即可求得； （2）由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案； （3）由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案． （4）根据四边形为正方形，可得，进而求得，再根据，建立方程，求得；当四边形为菱形，过点作于点，根据勾股定理求得的长，进而求得，从而求得，根据，建立方程求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，，则， 故答案为：， （2）由题意可得：，， ， ， 设当运动时间为秒时，此时四边形为平行四边形． 由得，， 解得：， 当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． （3）， ， 设当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． 由得：， 解得： ， 又 平行四边形为矩形． 当运动时间为秒时，四边形为矩形． （4）解：点运动的速度为，则 ∵四边形为正方形 ∴ ∴，则 解得： ∴当为时，四边形为正方形， 如图，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴当四边形为菱形时， ∴ ∴ 解得： ∴当为时，四边形为菱形； 综上所述，当为时，四边形为正方形，当为时，四边形为菱形 题型讲练十六 四边形中的线段最值问题 【例16】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，连接和，点为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点落在轴上． (1)则的长为______，的度数为______； (2)在点运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，当点运动到使菱形的顶点恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若点为射线上的动点，连接、，交于点，连接．在运动过程中，的最小值为______． 【答案】(1)， (2)存在， (3) (4) 【分析】（1）过点作于，根据各点坐标得出，，，，四边形是矩形，求出，利用勾股定理求出，是等腰直角三角形，得出； （2）利用正方形的性质及角的和差关系得出，即可证明，得出，即可得出； （3）过点作轴于，延长交延长线于，延长交轴于，根据菱形的性质及平行线的性质得出，可得，得出，，可得是等腰直角三角形，得出,即可得出点坐标； （4）设，，根据菱形点性质，结合中点坐标公式求出，即可得出点在直线上运动，根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵点、、的坐标分别为、、， ∴，，，， ∴， ∴四边形是矩形，，， ∴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴点运动过程中，能使得四边形为正方形，点坐标为． （3）解：如图，过点作轴于，延长交延长线于，延长交轴于， ∴四边形是矩形，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点的坐标为． （4）解：如图，设，， ∵四边形是菱形，、，交于点， ∴点为中点， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当轴时，取最小值，最小值为． 【变式】（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）过点作交于点， 可证出，得，，利用勾股定理得到，进而可证得结论； （3）过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形，可以得到，当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长，然后根据等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，则， ∵四边形是正方形，O为的中点， ∴，，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即当G、P、D三点共线时，最小，最小值为的长， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴最小值为． 题型讲练十七 四边形其他综合问题 【例17】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图①，在菱形中，点O为对角线的中点，将对角线绕点O逆时针旋转到，且旋转角α满足，构造出四边形，连结． (1)四边形是哪种特殊的四边形？请写出你的猜想，并证明． (2)若，设的面积为，的面积为，当时，求的值． (3)如图②，若四边形是正方形，当经过中点时，探究三条边存在的等量关系．请给出结论，并说明理由． 【答案】(1)矩形，证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据菱形的性质以及旋转的性质解答即可； （2）连接，延长交于G，根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，可得，证明，可得，可得到，即可求解； （3）连接，证明，可得，再结合勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形为矩形， 证明：四边形为菱形， ∴O是中点， ∴， 由旋转知， ∴四边形为矩形； （2）解：连接，延长交于G，如图①， ∵四边形为菱形，AC=4， ∴，， ∴， 在中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图②， ∵四边形为正方形， ∴， ∵过中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 【变式】（24-25八年级下·上海宝山·月考）已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)如图2，如果，求的面积； (2)如图1，若不平行于，求证：四边形是等腰梯形； (3)如果，当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)的面积 (2)见解析 (3)的长为或 【分析】本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用矩形性质和勾股定理求三角形面积； （2）通过折叠和平行四边形性质证明四边形是等腰梯形； （3）分情况讨论直角三角形中不同角为直角时的长度． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ， 由（1）得：， 设，则，在Rt中，由勾股定理得， 解得：， ， ∴的面积； （2）证明：由折叠的性质得：， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 若不平行于 ∴四边形是梯形 ∵ ∴四边形是等腰梯形 （3）解：分 4 种情况： 如图，当时，延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ∴是的中点， 在 中，， ； 如图，当时， ， ， 由折叠的性质得：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 在同一直线上， ， 中，， ； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵与交于点， ∴不符合题意舍去； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵与交于点， ∴不符合题意舍去。 综上所述，当是直角三角形时，的长为或． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）“弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成一个大的正方形，汉末数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连接并延长交于点M、交于点N．若，则以下说法正确的有（   ）个． ①   ②   ③   ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由得，即可证明，从而可判断①正确；再证明即可判断②正确；由等腰三角形的判定易得，在中利用勾股定理可求得，从而可判断③正确；由得，进而有，在中由勾股定理即可求得，从而可判断④正确． 【详解】解：由题意得：，，； ∵，， ∴， 即点G是的中点， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵， 又∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得： 即， 故③正确； ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故④正确． 综上，四个全部正确． 2．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在中，，，为的中点，在外构造等边，连接、．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③四边形是菱形；④．其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据直角三角形性质及等边三角形的判定，证明为等边三角形，进而得出四边形为菱形，即可判定①③；利用一组对边平行且相等判定四边形为平行四边形，即可判定②；通过平行四边形和菱形的性质可得，即可判定④，综上即可求解． 【详解】解：，， ，， 为的中点， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ∴四边形是菱形，故③正确； ，故①正确； ，， ， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ∵四边形是平行四边形， ， 为中点， ， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，正方形中，对角线，相交于点，过点作射线，，分别交，于点（点不与重合），且，连接，给出下列结论，其中不一定成立的是（    ） A． B．四边形的面积等于正方形面积的 C． D．平分 【答案】D 【分析】利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质逐一分析即可判断． 【详解】解：A、∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故选项成立，不符合题意； B、由A可知， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即四边形的面积等于正方形面积的，故选项成立，不符合题意； C、由A可知， ∴，故选项成立，不符合题意； D、由A可知， ∴， ∵， ∴， ∴当时，，即， ∴不一定平分，故选项不一定成立，符合题意． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，E为正方形中边上的一点，M、N分别为边、上的动点，且，若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，根据正方形的性质和平行四边形的判定与性质分别证明四边形和四边形是平行四边形得到，，，由得当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长，证明得到，进而利用勾股定理求解即可求解． 【详解】解：过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，则四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长， ∵四边形是正方形，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在，， 即的最小值为． 5．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，将正方形顶点A折叠至边上的点E，折痕为．若，，则的长是________． 【答案】 【分析】连接，，过点F作于点M，根据折叠得出，，证明，得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：连接，，过点F作于点M，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 根据折叠可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ， ∵， ∴， 解得：， 即． 6．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图，矩形中，，点为边上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为_____． 【答案】5或 【分析】分两种情况：当时，是等腰直角三角形，；当时，A，，C三点共线，设，利用勾股定理解即可． 【详解】解：当时，如图： 由轴对称的性质得，， 矩形中，， 是等腰直角三角形， ； 当时，如图： 由轴对称的性质得，，，， ， A，，C三点共线， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得，即， 综上可得，的长为5或． 7．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，将矩形对折，使点与点重合，折痕分别与矩形的边和相交于点、，交对角线于，为线段上一个动点，若，，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】 连接交于点P，由轴对称的性质可知此时的值最小．证明得，先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】解：如图， 连接交于点P， 由折叠知，点E与点F关于对称， ∴， ∴，即此时的值最小，最小值为的长． ∵矩形中，， ∴， ∴． 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接． 求证： (1)矩形是正方形． (2)． (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）过点作、，利用正方形对角线平分内角，证明四边形是正方形，得到．利用同角的余角相等，证明，结合和两个直角，用证明．由全等得，又因为是矩形，邻边相等的矩形是正方形，所以是正方形． （2）由正方形得；由已证的正方形得．利用，同时减去公共角，得到．根据判定，． （3）由（2）的全等，得对应角相等，即．利用正方形对角线性质得，因此．，所以． 【详解】（1）证明：过点E作于点M，作于点N，设、交于点H， ∵四边形是正方形，是对角线，， ∴，， ∴四边形是矩形且，， ∴、都是等腰直角三角形即， ∴矩形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴则， ∵， ∴则， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴四边形是正方形 （2）∵四边形是正方形 ∴即且， ∵四边形是正方形， ∴即且， ∴， 在和中 ； ∴； （3）∵四边形是正方形是对角线， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，． (1)求证：是菱形； (2)请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号） ①；②M是的中点；③；④． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④任意一个即可（答案不唯一） 【分析】（1）连接、，根据平行四边形的性质得出点O为、的交点，，根据平行线的性质得出，根据角平分线的判定可得出，根据等角对等边得出，然后根据菱形的判定即可得证； （2）添加①，根据四边形内角和求出，然后根据正方形的判定即可得证；添加②M是的中点，根据线段的垂直平分线的性质得出，结合平行四边形的性质可得出，然后根据正方形的判定即可得证；添加③，证明，得出，则可判断垂直平分，设与的交点为H，则，根据等积法可得出，根据勾股定理得出，则，结合完全平方公式可得出，则，则可判断四边形是菱形，结合，得出菱形是正方形，则，然后根据正方形的判定即可得证；添加④，根据等边对等角和三角形内角和定理得出，则，然后根据正方形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：连接、， ∵在中，点是它的对称中心， ∴点O为、的交点，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：添加①， ∵，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加②M是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加③， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴垂直平分， 设与的交点为H， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴菱形是正方形， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加④， ∵， ∴， ∵， ∴， 又是菱形， ∴是正方形， 故添加①，②，③，④中的任意一个条件，即可使是正方形 10．（25-26八年级下·江苏南通·期中）菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，． (1)如图1，连接，求证； (2)如图2，若E是的中点，，相交于点P，求证：点P在上； (3)若，M，N分别是，的中点，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质易得到是等边三角形，进而得到，从而证明； （2）连接，根据等边三角形和全等三角形的性质易证明、，进而得到，证得，则，进而证得点在的角平分线上，根据菱形的性质得到平分，从而得出结论； （3）连接，取的中点O，连接，，，过点N作于点G，根据三角形中位线的性质求出、，进而求出，在中，根据含角的直角三角形的性质得到 ，利用勾股定理求出的长，在中，利用勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：连接， 是等边三角形，E是的中点， ， 由（1）可知，， 、， 点是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 、， 点在的角平分线上， 四边形是菱形， 平分， 点在上； （3）解：连接，取的中点O，连接，，，过点N作于点G， ， ， ， 由（2）知，， ，分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， 同理可得：，， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $