考点3 二次函数与二次不等式、二次方程练习-2025-2026学年高二下学期数学学考复习

考点3 二次函数与二次不等式、二次方程 基础巩固 1.(2025浙江7月学考)函数f(x)=的定义域为(　　) A.(-3,0) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3]∪[3,+∞) D.(-3,3) 2.(2024浙江嘉兴高一阶段练习)对任意的x∈(0,+∞),x2-2mx+1>0恒成立,则m的取值范围为(　　) A.(-1,1) B.(-∞,1) C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 3.在R上定义运算􀱇:a􀱇b=ab+2a+b,则不等式x􀱇(x-2)>0的解集为(　　) A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) 4.已知a∈R,则“a≥1”是“关于x的一元二次方程ax2-2x+1=0没有实数根”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2025浙江丽水期末)已知不等式x2+bx+c<0的解集为(3,4),则cx2+bx+1>0的解集为(　　) A.(-,-) B.(-∞,-)∪(-,+∞) C.() D.(-∞,)∪(,+∞) 6.已知f(x)=2ax2-2(4-a)x+1,g(x)=ax,若对任意x∈R,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(-∞,0) 7.(多选)若函数y=x2-4x-2的定义域为[0,m],值域为[-6,-2],则实数m的值可能为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 8.(多选)已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1<x2),则(　　) A.x1+x2=2 B.x1x2<-3 C.x2-x1>4 D.-1<x1<x2<3 9.设p:|x-1|≤1,q:x2-(2m+1)x+(m-1)(m+2)≤0.若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是　 .  10.(2024浙江杭州高一月考)若关于x的不等式x2+2x<对任意的a>0,b>0恒成立,则实数x的取值范围是　 .  11.已知函数f(x)=x2-ax+b,a,b∈R. (1)若函数f(x)在(-,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围; (2)若不等式f(x)<x-1的解集为(-3,2),求关于x的不等式<0的解集. 能力提升 12.(2024浙江丽水阶段测试)已知min{a,b}=设f(x)=min{x-2,-x2+4x-2},则函数f(x)的最大值是(　　) A.-2 B.1 C.2 D.3 13.(多选)若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤1(a>0)的解集为{x|-1≤x≤2},则3a+2b+c的值可以是(　　) A. B. C. D. 14.(2024浙江大学附中期末)已知函数f(x)=4x-2x+1+4,x∈[-1,1],则函数y=f(x)的值域为　　　　　.  15.设函数f(x)=x+1,g(x)=x2-x+2a,若∀x1∈[-2,0],∃x2∈[-1,1],使得f(x1)=g(x2),则a的取值范围为　　　　　.  16.函数g(x)=x2-2ax+2a-1. (1)若g(x)的最小值为0,求a的值; (2)对于集合A={m|1≤m≤5},若∀m∈A,∃x∈[-2,2],使得m=g(x)成立,求实数a的取值范围. 参考答案 基础巩固 1.C　解析 因为x2-9≥0,所以x≥3或x≤-3,即函数f(x)=的定义域为(-∞,-3]∪[3,+∞).故选C. 2.B　解析 对任意的x∈(0,+∞),x2-2mx+1>0恒成立,即对任意的x∈(0,+∞),2m<x+恒成立,因为x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,故2m<2,故m的取值范围为(-∞,1).故选B. 3.C　解析 由a􀱇b=ab+2a+b可知x􀱇(x-2)=x(x-2)+2x+x-2>0,即有x2+x-2>0,解得x<-2或x>1.故选C. 4.B　解析 一元二次方程ax2-2x+1=0没有实数根,则Δ=4-4a<0,即a>1,故a≥1是一元二次方程ax2-2x+1=0没有实数根的必要不充分条件.故选B. 5.D　解析 因为不等式x2+bx+c<0的解集为(3,4),所以3,4是方程x2+bx+c=0的两个实数根,由根与系数的关系可知b=-7,c=12,代入cx2+bx+1>0,可得12x2-7x+1>0,解得x<或x>,所以cx2+bx+1>0的解集为(-∞,)∪(,+∞).故选D. 6.B　解析 若a=4,则f(x)=8x2+1,g(x)=4x,满足题意,可排除A,D;若a=2,则f(x)=4x2-4x+1=(2x-1)2,g(x)=2x,显然满足题意.故选B. 7.ABC　解析 函数y=x2-4x-2的图象如图所示,因为函数在[0,m]上的值域为[-6,-2],结合图象可得2≤m≤4,故选ABC. 8.ABC　解析 因为关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1<x2),所以a<0,且x1,x2是方程ax2-2ax+1-3a=0的两根,所以x1+x2=2,x1·x2=-3<-3,故A,B正确;又因为x2-x1==2>4,由x2-x1>4,x1+x2=2易得-1<x1<x2<3是错误的,故C正确,D错误. 9.[0,1]　解析 不等式|x-1|≤1的解集为[0,2],不等式x2-(2m+1)x+(m-1)(m+2)≤0的解集为[m-1,m+2],由题意知[0,2]⫋[m-1,m+2],∴等号不能同时成立,解得0≤m≤1. 10.(-4,2)　解析 因为关于x的不等式x2+2x<对任意的a>0,b>0恒成立,所以x2+2x<()min. 由基本不等式可知≥2=8,当且仅当a=4b时,等号成立,即x2+2x<8,解得-4<x<2. 11.解 (1)由题意得≤-,解得a≤-1, 故实数a的取值范围为(-∞,-1]. (2)不等式f(x)<x-1可化为x2-(a+1)x+b+1<0, 依题意可得-3,2是方程x2-(a+1)x+b+1=0的两个根,所以解得 所以不等式<0等价于(5-2x)(2x+7)<0, 所以解集为(-∞,-)∪(,+∞). 能力提升 12.B　解析 当x-2≤-x2+4x-2,即x∈[0,3]时,f(x)=x-2,在x∈[0,3]上单调递增,所以f(x)max=f(3)=3-2=1;当x-2>-x2+4x-2,即x∈(-∞,0)∪(3,+∞)时,f(x)=-x2+4x-2=-(x-2)2+2,在(-∞,0)内单调递增,在(3,+∞)上单调递减,因为f(0)=-2,f(3)=1,所以f(x)<f(3)=1,综上,函数f(x)的最大值为1.故选B. 13.BC　解析 设f(x)=ax2+bx+c,其中a>0, 因为不等式0≤ax2+bx+c≤1(a>0)的解集为{x|-1≤x≤2},所以f(x)恒大于等于零且f(-1)=f(2)=1,故Δ≤0,即b2-4ac≤0①,且a-b+c=1②, 4a+2b+c=1③, 由②③可得b=-a,c=1-2a, 代入①,可得9a2-4a≤0,解得0≤a≤,由a>0知0<a≤,故3a+2b+c=f(2)-a=1-a∈[,1), 结合选项,3a+2b+c的值可能是.故选BC. 14.[3,4]　解析 设t=2x,因为x∈[-1,1],所以t∈[,2],此时f(x)=g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3,当t=1,即x=0时,函数取得最小值,此时最小值为f(0)=3,当t=2,即x=1时,函数取得最大值,此时最大值为f(1)=4.故函数y=f(x)的值域为[3,4]. 15.[-,-]　解析 因为∀x1∈[-2,0],∃x2∈[-1,1],使得f(x1)=g(x2),所以f(x)在[-2,0]上的值域是g(x)在[-1,1]上的值域的子集.因为f(x)在[-2,0]上的值域为[-1,1],所以g(x)max≥1且g(x)min≤-1,又因为g(x)=x2-x+2a图象的对称轴为直线x=,开口向上,所以当x∈[-1,1]时,g(x)max=g(-1)=2a+2,g(x)min=g()=2a-,所以2a+2≥1且2a-≤-1,解得-≤a≤-,所以a的取值范围为[-,-]. 16.解 (1)因为函数g(x)=x2-2ax+2a-1的值域为[0,+∞),所以Δ=(-2a)2-4(2a-1)=0,解得a=1. (2)由题意可知函数g(x)=x2-2ax+2a-1的图象开口向上,对称轴为直线x=a, ①当a≤-2时,函数g(x)在[-2,2]上单调递增, 则g(x)min=g(-2)=6a+3,g(x)max=g(2)=-2a+3, 故此时a≤-2; ②当-2<a≤0时,函数g(x)在区间[-2,a]上单调递减,在(a,2]上单调递增, g(x)min=g(a)=-a2+2a-1,g(x)max=g(2)=-2a+3,故此时-2<a≤-1; ③当0<a<2时,函数g(x)在区间[-2,a]上单调递减,在(a,2]上单调递增,g(x)min=g(a)=-a2+2a-1,g(x)max=g(-2)=6a+3,故此时≤a<2; ④当a≥2时,g(x)在[-2,2]上单调递减, ∴g(x)max=g(-2)=6a+3,g(x)min=g(2)=-2a+3, 故此时a≥2. 综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $