精品解析：黑龙江牡丹江市第三高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：郑连友 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 复数 的虚部是（    ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】复数 的虚部是. 2. ，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 则， 则 3. 棱长是2的正方体的体对角线长是（    ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正方体是特殊的长方体，代入长方体体对角线公式求解. 【详解】因为正方体的棱长为2，则其体对角线长为. 4. 在长方体中，与棱异面的棱有（ ）条 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】结合长方体的特征及异面直线的定义判断即可. 【详解】 与异面的是4条棱． 5. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可求解. 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 6. 在中，若，，，则的周长等于（ ） A. 8 B. 16 C. 10 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件利用余弦定理求出，从而可求出的周长 【详解】因为，，， 由余弦定理得， 所以. 所以的周长为. 故选：C. 7. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法还原，可求各边长度和周长. 【详解】由题可作出图形，如下图所示： 由，可知，，， 所以， 故的周长为. 8. 过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥，垂足为O，连接PA，PB，PC，若PA=PB=PC，则点O是△ABC 的 A. 垂心 B. 外心 C. 内心 D. 重心 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题已知：PO⊥，PA=PB=PC，可由射影定理得：OA=OB=OC. 即：点O是△ABC 的外心． 考点：射影定理的运用. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意单位向量的模都相等. B. 若，是平面内的两个不同的点，则 C. 若向量，，则 D. 零向量与任意向量平行 【答案】AD 【解析】 【分析】根据单位向量、向量共线的定义判断即可； 【详解】解：对于A：根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，故A正确； 对于B：与互为相反向量，故B错误； 对于C：若时，与不一定共线，故C错误； 对于D：零向量与任意向量平行，故D正确； 故选：AD 10. （多选）给出下面四个命题正确的是（ ） A. 分别在两个平行平面内的两直线平行 B. 若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面 C. 如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，则这两个平面平行 D. 如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 【答案】BD 【解析】 【分析】根据面面平行的性质和判定定理逐一判断即可. 【详解】A：因为分别在两个平行平面内的两直线平行或异面，所以本选项说法不正确； B：根据面面平行的性质可知本选项说法正确； C：由面面平行的判定定理可知必须是相交直线，不能是任意两条直线，所以本选项说法不正确； D：根据面面平行的定义可知本选项说法正确. 故选：BD 11. 在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（ ） A. 该几何体为圆台 B. 该几何体的母线长为5 C. 该几何体的体积为93π D. 该几何体的表面积为56π 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆台的结构特征可得几何体为圆台，求得母线长，圆如的体积与表面积可得结论. 【详解】由题意可知该几何体为圆台，该圆台的母线， 体积为，表面积为． 故选：ABD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 半径为1的球的体积为_________________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用球的体积公式求解即可． 【详解】半径为1的球的体积为：. 故答案为：. 13. 设复数 ,则 _________． 【答案】 【解析】 【详解】易知，所以. 14. 设向量,若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】由与的夹角为锐角，则，列出不等式解出，要去掉使与同向（与的夹角为0）的的取值． 【详解】∵与的夹角为锐角，∴，即，解得， 当与共线时，可得，解得， 所以当时，与同向， ∴实数的取值范围是． 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【小问1详解】 由向量， 因为，可得，解得. 【小问2详解】 由向量，可得， 因为，可得， 即，解得或. 16. 如图，在中，，，D是BC边上一点，且， （1）求的长； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解； （2）在中，先利用余弦定理求得，再利用正弦定理即可得解. 【小问1详解】 在中，，则， 在中，，即，得. 【小问2详解】 因为在中，， 所以， 则， 又，即，解得， 所以. 17. 如图，直三棱柱中，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）平面将三棱柱分成两部分，求这大小两部分体积的比值. 【答案】（1）证明见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理可证结论. （2）分别计算棱柱和棱锥的体积，可求两部分的体积之比. 【小问1详解】 如图： 连接交于点，连接， 则为的中点，又为线段的中点，则， 因为平面平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 由题知，所以， 所以三棱柱的体积. 三棱锥的体积， 所以多面体的体积. 所以. 18. 已知四面体 的各棱长均为2 （1）求四面体 的表面积； （2）求四面体 的体积； （3）求异面直线和 所成角的正弦值. 【答案】（1）4 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式求得一个面面积，即可求解； （2）确定四面体的高，结合体积公式即可求解； （3）取中点，连接、，通过证明平面，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知该四面体为正四面体，4个面都是全等的边长为2的正三角形， 单个正三角形的面积为： ， 因此四面体的表面积为： ； 【小问2详解】 设在底面的投影为，由正四面体结构可知：是正三角形的中心， 又正三角形的高为​， 则， 因此四面体的高， 底面积​， 由体积公式： ； 【小问3详解】 取中点，连接、， 因为，所以；同理，所以， 又，平面， 因此平面， 而平面，故， 即异面直线与所成角为，， 所以异面直线MA和BC 所成角的正弦值是1. 19. 在锐角△ABC中，, （1）求△ABC的周长的取值范围； （2）求△ABC的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再由和角公式化简题设等式求得，，利用正弦定理将三角形的周长表示为关于角的正弦型函数，结合锐角三角形与正弦函数的性质即可求得其范围； （2）利用（1）的结论，将三角形的面积表示为关于角的正弦型函数，结合正弦函数的性质即可求得其范围. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 因， 代入整理得，因，则，故得，则. 又因，由正弦定理，， 则， 于是△ABC的周长为， 因是锐角三角形，则，解得， 则，则， 故△ABC的周长的取值范围是. 【小问2详解】 设△ABC的面积为，则 ， 因，则，故得， 于是△ABC的面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：郑连友 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 复数 的虚部是（    ） A. 3 B. 4 C. D. 2. ，则（    ） A. B. C. D. 3. 棱长是2的正方体的体对角线长是（    ） A. 2 B. C. D. 4. 在长方体中，与棱异面的棱有（ ）条 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，，，则的周长等于（ ） A. 8 B. 16 C. 10 D. 20 7. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A. B. C. D. 12 8. 过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥，垂足为O，连接PA，PB，PC，若PA=PB=PC，则点O是△ABC 的 A. 垂心 B. 外心 C. 内心 D. 重心 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意单位向量的模都相等. B. 若，是平面内的两个不同的点，则 C. 若向量，，则 D. 零向量与任意向量平行 10. （多选）给出下面四个命题正确的是（ ） A. 分别在两个平行平面内的两直线平行 B. 若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面 C. 如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，则这两个平面平行 D. 如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 11. 在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（ ） A. 该几何体为圆台 B. 该几何体的母线长为5 C. 该几何体的体积为93π D. 该几何体的表面积为56π 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 半径为1的球的体积为_________________． 13. 设复数 ,则 _________． 14. 设向量,若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 __________． 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 如图，在中，，，D是BC边上一点，且， （1）求的长； （2）若，求. 17. 如图，直三棱柱中，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）平面将三棱柱分成两部分，求这大小两部分体积的比值. 18. 已知四面体 的各棱长均为2 （1）求四面体 的表面积； （2）求四面体 的体积； （3）求异面直线和 所成角的正弦值. 19. 在锐角△ABC中，, （1）求△ABC的周长的取值范围； （2）求△ABC的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $