2025-2026学年甘肃省兰州市中考数学预测卷

2025-2026兰州中考数学预测卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1．2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上万亿斤新台阶、亩产提升斤．将用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 【考点】科学记数法—表示较大的数 【答案】B． 【解答】解：1400000000000＝1.4×1012． 故选：B． 2．实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】实数与数轴 【答案】A 【解答】解：由数轴可知1<a<2，-2<b<-1， ∴a是正数，b是负数，且|b|＞|a|． ∵a＞0， ∴-a<0，且-2<-a<-1． ∵b<0， ∴-b＞0，且1<-b<2． ∵|b|＞|a|， ∴a+b<0，a+b的绝对值为|b|-|a|， 又因为b在1到2之间，|a|在1到2之间且|b|＞|a|， ∴-1<a+b<0， ∵-2<b<-1， ∴1<-b<2， a-b＝a+（-b），a＞0，-b＞0， ∴a-b＞0， ∴a-b＞2， ∵-2<-a<-1．-1<a+b<0，1<-b<2， ∴-a<a+b<-b<a-b． 故选：A． 3．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【考点】根的判别式 【答案】C 【解答】解：∵关于x的方程mx2+3x-1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝32-4m•（-1）＞0且m≠0， 解得m且m≠0． 故选：C． 4．如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点，且经过点，上沿经过点且与相交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【考点】多边形内角与外角 【答案】B 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，MN⊥DE， ∴∠ABC＝∠BAE108°，MN是正五边形ABCDE的对称轴， ∴∠ABN＝∠CBN∠ABC＝54°， ∵PQ∥MN， ∴∠AFE＝∠ABN＝54°． 故选：B． 5．将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式 【答案】A 【解答】解：将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是． 故选：A． 6．小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程： 第一步：尺规作图． 作法：（1）作射线； （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，D； （3）以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （4）以点为圆心，长为半径画弧，在的上方交（3）中所画弧于点； （5）过点作射线； （6）以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （7）以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （8）连接． 第二步：把作出的剪下来，放到上． 第三步：观察发现和重合． ∴． 根据小举的操作过程可知，小举是在探究（　　） A．基本事实 B．基本事实 C．基本事实 D．定理 【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定 【答案】C 【解答】解：根据作法可知，∠B′＝∠B，B′C′＝BC，B′A′＝BA． 在△ABC与△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）． 故选：C． 7．习近平总书记说“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书籍．已知每本甲种书比每本乙种书少元，购买本甲种书和本乙种书共花费元．设每本甲种书元，每本乙种书元，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【答案】A 【解答】解：根据题意可得：． 故选：A． 8．如图，在中，点、分别在、边上，且．若，，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质 【答案】D 【解答】解：∵DE∥BC，AB＝6，AD＝4， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 故A正确； ∴， 故C正确； ∵BD＝AB-AD＝6-4＝2， ∴， 故B正确； ∵S△ADES△ABC， ∴S四边形DBCE＝S△ABCS△ABCS△ABC， ∴， 故D错误， 故选：D． 9．一次函数中，若，且随着的增大而减小，则其图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象；一次函数的性质 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【解答】解：由条件可知k<0， ∵b-k<0， ∴0＞k＞b， ∴一次函数y＝kx+b的图象过二、三、四象限，A选项符合题意． 故选：A． 10．某中学为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开展了“烹饪、园艺、木工、电工”四大类劳动课程．为了解本校名学生对每类课程的选择情况，随机抽取了本校名学生进行调查（每位学生只选一类课程），并绘制了如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是（　　） A．此调查属于普查 B．本次调查的样本是名学生 C．选择“烹饪”这一类课程的学生人数占被调查人数的 D．该校名学生中约有人选择“木工”这一类课程 【考点】扇形统计图；全面调查与抽样调查 【答案】D 【解答】解：随机抽取了本校300名学生进行调查，故此调查属于抽样调查，故选项A错误，不符合题意； 本次调查的样本是300名学生所选的课程，故选项B错误，不符合题意； 选择“烹饪”这一类课程的学生人数占被调查人数的，故选项C错误，不符合题意； 该校1500名学生中选择“木工”这一类课程的人数为：1500×（1-40%-27%-17%）＝240，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 11．如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为，的长为，其中关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】动点问题的函数图象 【答案】B 【解答】解：由图2得，当点Q运动到点B处时，AQ为4，即AB为4， 如图，当点P运动到点D处时，路程AP为8，即AD为8， ∵AC⊥PQ， ∴△ADC∽△CDQ， ∴AD：CD＝CD：CQ，即8：4＝4：CQ，∴CQ＝2， ∴BQ＝6， 在Rt△ABQ中，AQ2， ∴m＝2． 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．因式分解：　3a（1+c）（1-c）　． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【专题】整式；运算能力． 【解答】解：先提出公因式3a，再根据平方差公式分解可得： 3a-3ac2＝3a（1-c2）＝3a（1+c）（1-c）．故答案为：3a（1+c）（1-c）． 13．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是x≥-3　． 【考点】二次根式有意义的条件 【答案】x≥-3 【解答】解：由题意可得2x+6≥0， 解得：x≥-3， 故答案为：x≥-3． 14．如图，四边形是边长为的正方形，点在正方形内，是等边三角形，则的面积为　　． 【考点】正方形的性质；等边三角形的性质 【答案】1． 【解答】解：∵△PBC是等边三角形， ∴点P在BC的垂直平分线上， ∴点P到CD的距离为1， ∴S△PCD1， S△PBC2， S△BCD2×2＝2， ∴△PBD的面积为S△PBC+S△PCD-S△BCD1， 故答案为：1． 15．如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为　　． 【考点】扇形面积的计算 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【解答】解：∵∠AOB＝60°，点C，D分别为OA，OB的中点，分别以AO，BO为直径作半圆， ∴CO＝CD， ∴△OCD为的等边三角形， ∴∠OCD＝60°，∠ACD＝120°， ∵OC＝2m，则AC＝2m，OA＝4m， ∴阴影部分的面积＝S扇形OAB-（S△OCD+S扇形ACD） （） ＝（）m2． ∴阴影部分的面积为（）m2． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．计算：． 【考点】实数的运算 【答案】0． 【解答】解：原式 ＝0． 17．解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组 【答案】见试题解答内容 【解答】解：， 解不等式①，得x， 解不等式②，得x≤4， 则不等式组的解集为x≤4． 18．先化简，再从，，，中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【考点】分式的化简求值 【答案】，当x＝-1时，原式． 【解答】解：原式 ， ∵当x＝-2，1，2时，分式无意义， ∴取x＝-1， 当x＝-1时，原式． 19．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数（）的图象与正比例函数的图象交于、两点，其中点的坐标为． （1）分别求出和的值； （2）将直线向上平移后，与反比例函数图象交于、两点，与轴、轴分别相交于点、，若，求直线的函数表达式． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【答案】（1）m＝2，k＝-6； （2）直线CD为yx+4． 【解答】解：（1）把A（-3，m）代入得，m2， ∴A（-3，2）， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴k＝-3×2＝-6； （2）反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A（-3，2），B两点， ∴B（3，-2）， ∴OA＝OB， ∵CD∥AB， ∴S△OBE6， ∴6， ∴OE＝4， ∴E（0，4）， ∴直线CD为yx+4． 20． 2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功，航天员乘组顺利进驻中国空间站．为增加学生对航空航天知识的知晓率，某校组织八、九年级学生进行了航空航天知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用表示，总分分，分及以上为优秀，共分为四个等级：.，. ，. ，. ），部分信息如下： 八年级名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100 九年级名学生的竞赛成绩中等级包含的所有数据为：80，80，80，80，82 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： 　70　 ，　80　 ，　55　 ． （2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的航空航天知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该校八年级有人，九年级有人参加本次竞赛活动，请估计该校八、九年级参加竞赛的学生中共有多少人成绩为优秀． 【考点】方差；用样本估计总体；中位数；众数 【解答】解：（1）由题意可得：70出现的次数最多， ∴a＝70； 由条形图知，九年级中A等级有6人， ∵B等级包含的所有数据为：80，80，80，80，82， 将数据从高到低排列后，第10个和第11个数据都是80， ∴九年级数据的中位数为， ∴b＝80； ∵九年级80及以上的人数有6+5＝11（人）， ∴九年级优秀率为， ∴c＝55； （2）解九年级成绩更好； 理由：九年级的众数和中位数以及优秀率都比八年级的高； （3）若该校八年级有600人，九年级有800人参加本次竞赛活动， 600×30%＝180（人）， 800×55%＝440（人）， 180+440＝620（人） ∴估计该校八、九年级知识竞赛成绩为优秀的总人数为620人． 21．（7分）黄河楼，位于甘肃省兰州市七里河区黄河沿岸，是兰州市的标志性历史建筑之一，弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，某数学兴趣小组测量黄河楼的高度，从点处测得楼顶的仰角是，由点向黄河楼前进米到达点处，由点处测得楼顶的仰角是．楼底点与点、共线，且，求黄河楼的高．（参考数据：，，，） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 【答案】黄河楼CD的高约为95.7米． 【解答】解：由题意得：∠CBD＝60°，∠CAD＝37°，AB＝71.3米， 设BD＝x米，则AD＝AB+BD＝（x+71.3）米， 在Rt△CDB中，∠CBD＝60°， ∴CD＝BD•tan60°＝x（米）， 在Rt△ACD中，∠CAD＝37°， ∴CD＝AD•tan37°≈0.75（x+71.3）米， ∴x＝0.75（x+71.3）， 解得：x≈56.29， ∴CD＝x≈95.7（米）， ∴黄河楼CD的高约为95.7米． 22．【动手实践】阅读与思考 下面是小斌同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 准等距点定义：四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两个端点距离不相等，但到另一条对角线的两个端点的距离相等，那么称这个点为“准等距点”．如图1，在四边形中，点是对角线上的一点，，且，则点就是一个“准等距点”． 根据“准等距点”的定义，我猜想菱形一定有“准等距点”． 例：如图2，在菱形中，点是对角线上的一点，，则点是一个“准等距点”． 下面是我的证明过程： 证明：如图2，四边形为菱形，连接． ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴点是一个“准等距点”； 于是我得到一个结论，四边形的一条对角线垂直平分另一条对角线时，这个四边形有无数个“准等距点”． 随后，我又进一步思考，如何找到四边形的“准等距点”呢？… 任务： （1）如图3，请用尺规作出四边形的一个“准等距点”（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知一个四边形，对角线于点，且，，四边形的面积为．若四边形存在“准等距点”，直接写出的长度． 【考点】四边形综合题 【答案】 （1）四边形ABCD的一个“准等距点”，如图3，Q点即为所求； （2）BE的长度为3． 【解答】 （1）解：四边形ABCD的一个“准等距点”，如图3Q点即为所求； （2）解：BE的长度为3．理由如下： ∵对角线AC⊥BD于点E，且AE≠CE，AC＝8，四边形ABCD的面积为24， ∴BD＝24×2÷8＝6， ∵四边形ABCD存在“准等距点”， ∴AC垂直平分BD， ∴． 23．如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点的直线，分别交、的延长线于点、． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理 【答案】（1）证明见解答； （2）． 【解答】（1）证明：如图1，连接OD， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°； ∵EF∥BC， ∴∠AFE＝∠ACB＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA； 又∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴OD∥AF， ∴∠ODE＝∠AFD＝90°， 即OD⊥EF， 又∵EF过点D， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：∵sin∠ABC， ∴设AC＝3x，AB＝5x， ∴BC＝4x，OB＝OD＝2.5x， ∵BC∥EF， ∴∠ABC＝∠E， 在Rt△OED中，sin∠E＝sin∠ABC， ∵BE＝2， ∴， ∴x， ∴BC＝4x＝4． 24．已知抛物线()，，是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线. （1）当时. ①直接写出与之间的数量关系； ②若，求代数式的值； （2）已知，，点在该抛物线上.当时，总有，求的取值范围. 【考点】二次函数综合题 【答案】解：（1）① ②∵，是抛物线上两点， ∴，关于对称轴对称. ∵抛物线的对称轴为直线，，∴ (2)由题意可知，在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且. ∵点在该抛物线上，， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴. 当点在对称轴的左侧时， ∵当时，总有， ∴ 解得； 当点在对称轴的右侧时， ∵当时，总有 ∴ 解得 综上，的取值范围是或. 25.综合与探究 【问题情境】数学课上，同学们以矩形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知矩形纸片，，． 【操作证明】 （1）如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠矩形纸片，使点与点重合，折痕分别交、边于点、，点的对应点为点．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图2，小慧沿过点的直线折叠该矩形纸片，使点的对应点落在对角线的延长线上，折痕交线段于点，交于点，点的对应点为点． ①求此时线段的长； ②小慧沿平行于的直线继续折叠该矩形纸片，折痕交线段于点，交线段于点．请你借助备用图进行分析，直接写出是等腰三角形时，点到的距离． 【考点】四边形综合题 【答案】（1）CF＝GE． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DEF＝∠BFE， 由折叠可得，∠BFE＝∠DFE，BF＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE． ∴DE＝DF， ∴BF＝DE， ∵AD＝BC， ∴AD﹣DE＝BC﹣BF，即AE＝CF． 由折叠可得，AE＝GE， ∴CF＝GE； （2）①；②或2或． 【解答】解：（1）CF＝GE． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DEF＝∠BFE， 由折叠可得，∠BFE＝∠DFE，BF＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE． ∴DE＝DF， ∴BF＝DE， ∵AD＝BC， ∴AD﹣DE＝BC﹣BF，即AE＝CF． 由折叠可得，AE＝GE， ∴CF＝GE； （2）①如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∵AB＝CD＝6，BC＝8， ∴由勾股定理，得， 由折叠可得，CM垂直平分BH于点N， ∴∠BNC＝90°，BN＝HN． ∵∠CBN＝∠CBD，∠BNC＝∠BCD＝90°， ∴△BCN∽△BDC． ∴， 即， ∴， ∴， ∵DH＝BH﹣BD， ∴； ②记PQ交BD于点K，则PQ垂直平分BH， ∴DK⊥PQ，则DK为点D到PQ的距离， 由折叠可知GH＝AB＝6，∠GHD＝∠ABD， ∴cosH＝cos∠ABD； 情况一：当GH＝DH＝6时，如图， 则BH＝BD+DH＝16， ∴HKBH＝8， ∴DH＝HK﹣DH＝2； 情况二：当GD＝GH＝6时，如图， 过G作GR⊥DH于点R，则DR＝HR， ∴cosH， ∴RHGD， ∴DH＝2RH， ∴BH＝BD+DH， ∴KHBH， ∴DK＝KH﹣DH； 情况三：当GD＝DH时，如图， 过D作DL⊥GH于点L，则GL＝HLGH＝3， 在Rt△DLH中，cosH， ∴DH＝5， ∴BH＝BD+DH＝15， ∴KHBH， ∴DK＝KH﹣DH； 综上，点D到PQ的距离为或2或． 26．在平面直角坐标系中，对于图形及过定点的直线，有如下定义：过图形G上任意一点作于点，若有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线的最佳射影距离，记作，此时点称为图形G关于直线的最佳射影点． （1）如图1，已知，，写出线段关于轴的最佳射影距离　3　； （2）已知点，的半径为，关于轴的最佳射影距离　4　，此时关于轴的最佳射影点的坐标Q（2，3）或（4，3）　； （3）直接写出点关于直线的最佳射影距离的最大值　2　． 【考点】圆的综合题 【答案】（1）3； （2）4；（2，3）或（4，3）； （3）2． 【解答】解：（1）如图1中，在AB上任意取一点Q，过点Q作QH⊥OP于点H，QT⊥PB． ∵A（2，2），B（3，3），P（3，0）， ∴∠QBT＝45°， ∵∠QTB＝90°， ∴TQ＝BT， ∵∠QHP＝∠HPT＝∠QTP＝90°， ∴四边形QTPH是矩形， ∴QH＝PT，PH＝QT， ∴QH+PH＝PT+BT＝PB＝3， ∴d（AB，x轴）＝3， 故答案为：3； （2）如图2中，连接QC，过点Q作QH⊥x轴于点H． 设Q（x，y）， ∵QC，C（3，2）， （x-3）2+（y-2）2＝2， ∴|x-3|， 设d（⊙C，x轴）＝y+|x-3|＝t， 则有t-y， 两边平方整理得，2y2-（4+2t）y+t2+2＝0， ∵Δ≥0， ∴（4+2t）2-8（t2+2）≥0， 解得0≤t≤4， ∴d（⊙C，x轴）＝4，此时Q（2，3）或（4，3）； 故答案为：4；（2，3）或（4，3）； （3）如图3中，过点D作DH⊥直线l于点H，设DH＝x，PH＝y． ∵D（0，），P（3，0）， ∴PD2， ∴x2+y2＝（2）2， ∵x+y， ∴xy的值最大时，x+y的值最大， 即△PDH的面积最大时，x+y的值中点，此时△PDH是等腰直角三角形， ∴x＝y2， ∴x+y的最大值为2， ∴d（点D，l）的最大值为2． 故答案为：2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026兰州中考数学预测卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1．2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上万亿斤新台阶、亩产提升斤．将用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 2．实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 4．如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点，且经过点，上沿经过点且与相交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（　　） A． B． C． D． 6．小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程： 第一步：尺规作图． 作法：（1）作射线；（2）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点E、D；（3）以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（4）以点为圆心，长为半径画弧，在的上方交（3）中所画弧于点；（5）过点作射线；（6）以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（7）以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（8）连接． 第二步：把作出的剪下来，放到上． 第三步：观察发现和重合，∴． 根据小举的操作过程可知，小举是在探究（　　） A．基本事实 B．基本事实 C．基本事实 D．定理 7．习近平总书记说“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书籍．已知每本甲种书比每本乙种书少元，购买本甲种书和本乙种书共花费元．设每本甲种书元，每本乙种书元，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，点、分别在、边上，且．若，，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 9．一次函数中，若，且随着的增大而减小，则其图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．某中学为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开展了“烹饪、园艺、木工、电工”四大类劳动课程．为了解本校名学生对每类课程的选择情况，随机抽取了本校名学生进行调查（每位学生只选一类课程），并绘制了如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是（　　） A．此调查属于普查 B．本次调查的样本是名学生 C．选择“烹饪”这一类课程的学生人数占被调查人数的 D．该校名学生中约有人选择“木工”这一类课程 11．如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为，的长为，其中关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．因式分解：___________． 13．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 14．如图，四边形是边长为的正方形，点在正方形内，是等边三角形，则的面积为___________． 15．如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为___________． 第14题图 第15题图 三、解答题（本大题共11个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算：． 17．（5分）解不等式组：． 18．（5分）先化简，再从，，，中选取一个合适的数作为的值代入求值． 19．(7分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数（）的图象与正比例函数的图象交于、两点，其中点的坐标为． （1）分别求出和的值； （2）将直线向上平移后，与反比例函数图象交于、两点，与轴、轴分别相交于点、，若，求直线的函数表达式． 20．（7分）2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功，航天员乘组顺利进驻中国空间站．为增加学生对航空航天知识的知晓率，某校组织八、九年级学生进行了航空航天知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用表示，总分分，分及以上为优秀，共分为四个等级：．，．，．，． ），部分信息如下： 八年级名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100 九年级名学生的竞赛成绩中等级包含的所有数据为：80，80，80，80，82 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________． （2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的航空航天知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该校八年级有人，九年级有人参加本次竞赛活动，请估计该校八、九年级参加竞赛的学生中共有多少人成绩为优秀． 21．（7分）黄河楼，位于甘肃省兰州市七里河区黄河沿岸，是兰州市的标志性历史建筑之一，弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，某数学兴趣小组测量黄河楼的高度，从点处测得楼顶的仰角是，由点向黄河楼前进米到达点处，由点处测得楼顶的仰角是．楼底点与点、共线，且，求黄河楼的高．（参考数据：，，，） 22．（7分）【动手实践】阅读与思考 下面是小斌同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 准等距点定义：四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两个端点距离不相等，但到另一条对角线的两个端点的距离相等，那么称这个点为“准等距点”．如图1，在四边形中，点是对角线上的一点，，且，则点就是一个“准等距点”．根据“准等距点”的定义，我猜想菱形一定有“准等距点”． 例：如图2，在菱形中，点是对角线上的一点，，则点是一个“准等距点”．下面是我的证明过程： 证明：如图2，四边形为菱形，连接． ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴点是一个“准等距点”； 于是我得到一个结论，四边形的一条对角线垂直平分另一条对角线时，这个四边形有无数个“准等距点”． 随后，我又进一步思考，如何找到四边形的“准等距点”呢？… 任务： （1）如图3，请用尺规作出四边形的一个“准等距点”（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知一个四边形，对角线于点，且，，四边形的面积为．若四边形存在“准等距点”，直接写出的长度． 23．（7分）如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点的直线，分别交、的延长线于点、． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 24．（8分）已知抛物线()，、是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线. （1）当时. ①直接写出与之间的数量关系； ②若，求代数式的值； （2）已知，，点在该抛物线上.当时，总有，求的取值范围. 25．（8分）综合与探究 【问题情境】数学课上，同学们以矩形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知矩形纸片，，． 【操作证明】 （1）如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠矩形纸片，使点与点重合，折痕分别交、边于点、，点的对应点为点．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图2，小慧沿过点的直线折叠该矩形纸片，使点的对应点落在对角线的延长线上，折痕交线段于点，交于点，点的对应点为点． ①求此时线段的长； ②小慧沿平行于的直线继续折叠该矩形纸片，折痕交线段于点，交线段于点．请你借助备用图进行分析，直接写出是等腰三角形时，点到的距离． 26．（9分）在平面直角坐标系中，对于图形及过定点的直线，有如下定义：过图形G上任意一点作于点，若有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线的最佳射影距离，记作，此时点称为图形G关于直线的最佳射影点． （1）如图1，已知，，写出线段关于轴的最佳射影距离___________； （2）已知点，的半径为，关于轴的最佳射影距离___________，此时关于轴的最佳射影点的坐标___________； （3）直接写出点关于直线的最佳射影距离的最大值___________； 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $