聚焦向量工具应用：空间角与距离的高效运算策略-《中学生数理化》高考数学2026年4月刊

知识情效型学备考师指向中学生教理化 高三数学2026年4月 聚焦向量工具应用： 空间角与距离的高效运算策略 ■江苏省吴县中学 张芳 立体几何中空间角与距离的求解始终是 新高考考试的重点，在备考过程中，利用向量 形。又∠ABC=,故AQ⊥AB。因为PA 法求解空间角和距离问题的难点有三个：一 ⊥平面ABCD,AQ,AB二平面ABCD,所以 是建系困难，对于斜棱柱、折叠模型等非规则 PA⊥AQ,PA⊥AB。如图 几何体无法确定合适的坐标系原点与三维坐 2,以A为坐标原点，AQ, 标轴；二是运算难，坐标计算、向量求解烦琐， AB,AP所在直线分别为x 容易出错，且容易忘记某一点的坐标值；三是 轴，y轴，之轴，建立空间直角 方法僵化，遇到所有问题都是坐标法，而对于 坐标系Axyz。 斜几何体，采用基底法会更加简单，即根据题 设P(0,0,2a),则B(0, 图2 型选择适合的方法。本文立足于近几年的高 2,0),C(4,2,0),M(2,-1, 考考情分析，聚焦向量工具的高效应用，构建 a),D(4,-2,0),所以MC=(2,3,-a), 了“坐标法通解十基底法特解”的运算体系， AD=(4,-2,0),BM=(2,-3,a),BC= 破解备考痛点，帮助同学们实现“运算快、准 (4,0,0)。 确率高、得分稳”的目标。 设MC与AD所成的角为0，则cos0= 策略一、坐标法：通用的“高效运算工具” IMC.AD 70 坐标法的核心是“将几何问题代数化”， IMCIAD √13+a×√20 70,解得 运算逻辑为“建系→求坐标→向量运算→代 a=1。 入公式”，适用于所有规则几何体及可转化为 设点M到直线BC的距离为d,因为 规则几何体的创新模型（折叠、动点），是基础 cos<BMi,BC)=Bi·BC1 8 薄弱同学的“保底选择”，也是尖子生的“提速 |BM1IBC14X√14 工具”。 14 > ,所以d=|BMI sin(BM,BC)=√I4X 例1如图1，在四棱锥P-ABCD中， PA⊥平面ABCD,AB∥CD, 1-() =10。 ∠ABC=,AB=2,BC 所以点M到直线BC的距离为√/IO。 CD=4,M为棱PD的中点， (2)由(1)知，P=(0,2,-2),PC=(4, 直线CM与AD所成角的余弦 2,-2),BC=(4,0,0),MC=(2,3,-1)。 图1 值为。 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y, PB·n=2y-2z=0, z),则 令y=1, (1)求点M到直线BC的距离； P亡·n=4x十2y-2x=0, (2)求二面角P-BC-M的余弦值。 得x=0,≈=1，所以n=(0,1,1)。 解析：(1)取CD的中点为Q,连接AQ。 设平面BCM的一个法向量为m=(a, 因为AB=2,CD=4,所以AB=CQ。又因 BC·m=4a=0, b,c),则 令b=1, 为AB∥CQ,所以四边形ABCQ为平行四边 M元.m=2a+3b-c=0, 3 中学生数理化高数学2026年4月 知识篇科学备考新指向 得a=0,c=3,所以m=(0,1,3)。 因为BC-AC-AB=c-b,BB=AA 设二面角P-BC-M的平面角为a,由图 a,所以BB·BC=a·(c-b)=a·c-a·b 知a为锐角，则cosa=|cos〈m,n)| =|a|c|cos∠A1AC-|a|Ib|cos∠A1AB= m·n 4 m n √2X/10 ,所以二面角p 2√5 O,即BB⊥BC,故BC⊥BB1。 所以四边形BB1C1C为矩形。 BC-M的余弦值为2V5 5 (2)由题意知BC=BB+B1C=AA 方法小结：(1)建坐标系：①垂直优先：依 +BC,又因为BC=AC-A店=c一b,所以 托线面垂直、面面垂直关系，使坐标轴与垂直 BC=a+c-b,故|BC|=√(a+c-b)F= 棱重合；②共点为原点：选取三条两两垂直直 √/a2+c2+b2+2a·c-2a·b-2b·c=w√/13。 线的交点为原点，简化坐标表达式；③多点落 同理A1C-=c-a,AC1=√(-a)z 轴：使关键节点（顶点、中点）落在坐标轴上， √/a2+c2-2a·c=√7。 减少参数数量。(2)求坐标：采用“直接法十 故BC·A1C=(a十c-b)·(c-a)= 转化法”求解。直接法适用于正方体、长方体 等规则几何体，可依据边长直接确定坐标；转 c2-a2-b·c+a·b=-4 化法适用于非规则几何体，通过中点公式、向 所以cos(BC·A,C)= BC·AC 量平移、投影计算求解。计算后可借助两点 IBCIACI 间距离公式验证坐标的准确性。(3)向量运 -4 4√91 √13×√7 91 算：采用“公式化运算十简化技巧”减少冗余 运算。核心向量包括直线方向向量与平面法 所以异面直线BC:与A,C所成角的余 向量，后者可通过平面内两条不共线向量叉 乘或解方程组求解。法向量求解技巧：①解 骏价为。 方法小结：核心运算步骤与技巧：(1)基 方程组时消去分母，规避分数运算；②赋值优 底选取的“三优原则”：优先选“已知长度、已 先选取1或一1，简化计算：③验证：利用平面 知夹角”的线段（如棱、对角线）；优先选“两两 内的向量与法向量的数量积为0的性质检验。 夹角易求”的线段（如60°、90°、120°）；优先选 策略二、基底法：斜几何体的“高效运算 “端点重合”的线段，便于向量分解。(2)运算 工具” 技巧：“分解简化十数量积优先”：向量分解优 当几何体无明显线面垂直关系（如斜棱 先利用已知关系，数量积运算先代入已知长 柱)，且建系困难或坐标计算复杂时，选取空 度与夹角，避免复杂推导。 间不共面的三条线段作为基底，通过“向量分 策略三、向量法与参数化结合：动态模型 解十数量积运算”求解，可以规避建系障碍， 的“高效运算工具” 提高运算效率。 对于空间几何中的动点模型，需结合向 例2如图3，在三 量法与参数化思想，将动态角、距离问题转化 棱柱ABC-A1B,C1中，AB 为函数关系，通过求函数最值解决问题，凸显 =AC=2,AA1=3,∠A1AB “向量十函数”的跨模块融合特征。 =∠A1AC=60°，∠BAC= 图3 a,记AA1=a,AB=b,AC=c。 例3在三棱锥A-BCD中，CB⊥ CD,CD=2CB=2,AB与 (1)求证：四边形BB1C1,C为矩形； 平面BCD所成的角为0。 (2)若&=60°，求异面直线BC1与A1C 所成角的余弦值。 (1)若0=90°，∠BAC 解析：(1)在三棱柱ABC-A1B,C1中，四 =30°，如图4，过点B作平 图4 边形BB,C,C为平行四边形。 面BEF⊥AD,分别交AC, 知识篇科学备考新指向中学生数理化 高三数学2026年4月 AD于点E,F。 ①求器的位， △CGH周长的最小值为CG+CG=10 2 2。 ②若G为DA的中点，H为平面BEF (2)以B为坐标原点，BC所在直线为x 内的动点，求△CGH周长的最小值。 轴，过点B平行CD的直线为y轴，垂直于平 (2)若0=60°，AB=1,求平面ACD与 面BCD的直线为之轴，建立如图6所示的空 平面BCD所成角的取值范围。 间直角坐标系Bxyz,则 解析：(1)①由CD=2CB=2,得CD= C(-1,0,0),D(-1,2,0)。 2,CB=1。过点C作CM∥AB,以C为坐标 因为AB与平面BCD所成 原点，CB,CD,CM所在直线分别为x轴，y 的角0=60°，AB=1,所以3 轴，之轴，建立如图5所示的空间直角坐标系 点A在平面BCD的投影 图6 Cxy≈。 由∠BAC=30°，得 是以B为圆心、2为半径 ∠ACB=60°，AC=2BC =2,AB=√3BC=3,则 的圆，且点A到平面BCD的距离为 2 A(1,0,3),D(0,2,0), 设A(2coB,合sm8,经)B为点A在 B(1,0,0),所以BA= 图5 平面BCD内的投影与点B的连线和BC的 (0,0,√3)，AD=(-1,2, -√3)。 夹角，则C方=(02,0)，C-(2os+1 设AF=λAD,则B京=BA+入A 1 因为BF⊥AD,所以B京·AD=BA· A市+A市=-8十8=0，解得A=景 设平面ACD的一个法向量为m=(x1, y1,1),则m·C市=2y1=0,m·CA 故品的值为 8 (分cosA+1小，+号sin9+ 21=0,令x ②设G关于平面BEF的对称点为G', 则HG=HG',所以CH+HG=CH+HG', =√3，得m=(3,0,-cosB-2)。 当C、H、G'共线时，CH十HG有最小值，最 易知平面BCD的一个法向量为n=(0, 小值为CG。 0,1),设平面ACD与平面BCD所成的角为 因为G在AD上，AD⊥平面BEF,AD &,且a∈(o,],则cosa=cosm,n- 与平面BEF交于点F,所以F为GG的中点。 m·n cos B+2 因为A定= a0-(-8是8）： Imlnl √(cos3+2)2+3 令cos3+2=t∈[1,3]，则cosa= 所以F(5.3,53 84,8 因为G为AD的中 1 13 2+3 3 2’2」 点，所以G(1，） 因为F为GG'的中 1+ 点，所以G(，3）. 又y=cos 在(o,] 上单调递减，所以 所以1CG'|= a∈ ,即平面ACD与平面BCD所成 )+()+(T- 63」 2 角的取值范为[吾，]。 又因为1cG1=,/+1+ 3 =√2，所以 方法小结：核心运算步骤与技巧：(1)参 5 中学生表理化智顿学科号务幸新有向 创新题型攻坚： 动态与跨模块立体几何解题指南 ■江苏省吴县中学 郝松宝（正高级教师） 江佳慧 近几年全国卷立体几何命题突破“规则 静态立体几何问题”，解题逻辑为“分析不变 几何体十固定运算”的传统命题方式，动态模 量·利用面面垂直或线面垂直关系建系·向 型、跨模块综合等创新题型占比显著提升。 量运算求解”。 此类题型不仅考查空间关系、角与距离等核 例1如图1，在边长为4的正方形 心知识，更聚焦考查同学们的模型转化与跨 ABCD中，E,F,G分别是AB,CD,AD的 模块衔接能力，已成为核心素养考查的关键 中点，先沿着虚线段FG将等腰Rt△FDG裁 载体。在复习备考的实践中，同学们应对此 掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF 类题型时普遍存在三大瓶颈：①动态模型处 折起，分别连接AB、CG,得到了一个空间五 理能力不足：折叠问题易混淆几何关系的“变 面体（如图2）。 与不变”，动点问题难以完成动态情境向静态 量化的转化；②跨模块衔接能力薄弱：无法精 准定位几何与函数、解析几何的核心关联点， 导致解题思路断裂；③运算准确性不足：参数 化后的函数化简、导数求最值等环节易出现 图1 图2 失误，形成“会而不对”的典型问题。本文聚 (1)若O是四边形EBCF的对角线的交 焦动态与跨模块两类创新题型，构建三大体 点，求证：AO∥平面GCF 系化解题策略：折叠模型的“变与不变”关系 分析、动点模型的“参数化十函数化”转化、跨 (2)若图2中的∠AEB=暂求直线AB 模块问题的“模块拆解十核心衔接”融合。该 与平面GCF所成角的正弦值。 策略精准契合近几年全国卷考情，下面结合 (3)在(2)的条件下，试问：在棱AG上是 典型模拟试题进行深度解析，帮助同学们规 否存在点P,使得平面EBP与平面GCF所 避高频易错点，并提供切实可行的备考指南。 策略一、动态模型之折叠问题—“变与 成的二面角的余弦值为②，若存在，求出 不变”分析法 点P的位置；若不存在，请说明理由。 折叠问题的核心是“抓住不变量，转化为 解析：(1)如图3，取CF的中点M,连接 数化：设动点坐标为参数，表示所有相关点坐 点规避，形成了“建系精准化、运算技巧化、公 标；(2)向量运算：将方向向量、法向量表示为 式标准化”的高效备考方案。用好向量工具 参数的函数；(3)构建函数：将角与距离表示 的前提是“建系合理、运算精准、方法适配”， 为参数的函数；(4)求解最值：利用导数或均 结合自身情况做好“建系难、运算慢、易出错” 值不等式求函数最值。 等痛点问题的突破，如果掌握好向量的标准 新高考背景下，向量工具已成为空间角 化运算过程，并能正确运用一定优化技巧的 与距离求解的“主导运算手段”，其核心优势 话，那么在解决一些关于空间角和距离的问 在于“将几何问题代数化，降低空间想象难 题时就会达到“运算高效、结果精准、得分稳 度”。本文构建的“坐标法通解十基底法特 定”的目的，这是完整解答立体几何大题的关 解”二元运算体系，精准对接近几年全国卷考 键所在。 情，通过真题深度解析、运算技巧提炼、易错 (责任编辑王福华)