剖析离散型随机变量的分布列及其性质-《中学生数理化》高二数学2026年4月刊

中学生款理化餐驱蕴学怒典幅案破方法 剖析离散型随机变量的分布列及其性质 ■江苏省盐城市时杨中学 刘长柏 离散型随机变量是描述随机试验结果的 综上所述，专所有可能取值的集合为{1， 变量，其关键特征是“取值可一一列举”，分布 2,3,4}。 列清晰地呈现了随机变量所有可能取值及对 =2的意义为第一次取到白球，第二次 应的概率。解题时需要理解概念中的关键要 取到红球，并且停止取球。 素，运用概率模型计算离散型随机变量各个取 点评：解决此类问题的关键是明确随机 值对应的概率，从而得到其分布列，为后续的 变量的所有可能取值，以及取每一个值对应 期望、方差计算乃至实际问题解决奠定基础。 的意义，即一个随机变量的取值对应一个或 下面借助例题剖析离散型随机变量及其分布 多个随机试验的结果。 列与性质，希望对同学们的学习有所帮助。 二、求离散型随机变量的分布列 一、离散型随机变量的取值 例3某县教育局从县直学校推荐的 例1甲、乙两班进行足球对抗赛，每 6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名 场比赛赢的队伍得3分，输的队伍得0分，平 教师中，语文、数学、英语教师各2人。 局的话，两队各得1分，共进行三场比赛。用 (1)求选出的数学教师人数多于语文教 表示甲的得分，则{=3}表示( )。 师人数的概率； A.甲赢三场 (2)设X表示选出的3人中数学教师的 B.甲赢一场输两场 人数，求X的分布列。 C.甲、乙平局三次 解析：(1)从6名教师中选3人的方法有 D,甲赢一场输两场或甲、乙平局三次 C-8-20c和) 解析：由于赢的队伍得3分，输的队伍得 数学教师多于语文教师的情况有： 0分，平局的话，两队各得1分，所以专=3可 ①1名数学教师，2名英语教师，选法有 以分成两种情况，即3+0+0或1+1+1，即 CC=2(种)： 甲赢一场输两场或甲、乙平局三次。 ②2名数学教师，1名英语或语文教师， 故选D。 选法有CC=4(种)。 例2袋中装有4个除颜色外，质地大 所以数学教师多于语文教师的选法有 小完全相同的小球，其中有1个红球、3个白 2+4=6(种)。 球，从中任意取出1个观察颜色，取后不放 回。若取出的球的颜色是红色，则停止取球： 效学教师多于语文教师的概率P一员一品 若是白色，则继续取球，直到取出红球时停 (2)由题意知，X的可能取值为0,1,2。 止。记停止时取球的次数为，则所有可能 P(X=0)= C =0.2； 取值的集合为，=2的意义为」 C 解析：若第一次取到红球，则停止取球， P(X=1)= CC =0.6: 此时=1。 C 若第一次取到白球，第二次取到红球，则 P(X-2)=C C =0.2。 停止取球，此时=2。 若第一次和第二次都取到白球，第三次 所以X的分布列如表1所示。 表1 取到红球，则停止取球，此时=3。 若前三次都取到白球，则第四次必取到 X 0 1 2 红球，停止取球，此时=4。 P 0.2 0.60.2 22 高数学典突翠方清中学生数理化 解题篇经典题突破方法 点评：求离散型随机变量分布列的步骤： 0.3+2n=1,解得m=0.2。 (1)确定随机变量X的取值；(2)求出每个取 所以P(X>2)=P(X=3)+P(X=4) 值对应的概率；(3)写出列表，即为分布列。 =0.3+2×0.2=0.7。 三、离散型随机变量分布列的性质 故答案为0.7。 例4已知离散型随机变量X的分布 例7离散型随机变量X的概率分布 列如表2所示。 中部分数据丢失，丢失数据以x,y代替，其 表2 概率分布如表4所示。 0 1 表4 4a-1 3a2+a X123456 则实数a的值为( P )。 0.20.1x0.1y0.2 A.a=-2或a=3 1 则P(<X<)=一 B.a=-2 解析：由概率分布的性质可知，随机变量 1 的所有取值的概率和为1。 C.a=- 3 D.a=2或a=- 则P(停<X<) =P(X=3)+P(X 3 =4)+P(X=5)=1-0.2-0.1-0.2=0.5。 4a-1≥0， 故答案为0.5。 解析：依题意知，3a十a≥0， 点评：求随机变量在某个范围内的概率 (4a-1)+3a+a=1。 时，根据分布列将所求范围内各随机变量对 1 1 解得a=3,所以实数a的值为3。 应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概 率加法公式。 故选C。 四、两个相关随机变量的分布列 例5设随机变量X的分布列为P(X 例8设随机变量等可能地取1,2， =)=a(分)i=123,则a的值为( )。 3,4,…,10,随机变量7=2一1，则P(7<6) A =( 7 B.8 C.16 A.0.3B.0.5C.0.1D.0.2 解析：由题意知a(合+子+甘)-1，解 解析：因为随机变量等可能地取1,2， 1 得a号故选A 3,4,,10,所以P(g=i)=10i=1,2, 3,…,10 点评：离散型随机变量分布列的性质： 因此7=2一1等可能地取1,3,5,7，…， ①非负性，p:≥0，i=1,2,…,n;②归一性， p1十p2十…十pm=1。非负性保证了概率的 19,则P(7=j)=10j=1,3,5,…,19。 合理性，归一性保证了所有结果的完备性。 所以P(7<6)=P(7=1)+P(7=3)+ 例6随机变量X的分布列如表3所示。 p(7=5)=0 3 =0.3。 表3 故选A。 1 2 4 ,点评：利用两个相关随机变量的关系，结 0.1 n0.32n 合所求范围内各随机变量对应的概率相加即 则P(X>2)= 可，其依据是互斥事件的概率加法公式。 解析：由分布列的性质可得，0.1十m十 (责任编辑徐利杰) 23