专题1.1 集合的概念和运算（讲义）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1.1 ·集合的概念和运算 【复习目标】 1.理解集合与元素，掌握元素三特性、常用数集、两种表示法 2.掌握集合之间的关系（子集、真子集、相等） 3.理解交集、并集、补集运算 【考点1 集合的概念】 1. 集合的概念：由某些____的对象组成的整体叫做集合（简称集），集合常用大写字母A,B,C,……表示.组成集合的对象称为____.元素常用小写英文字母a,b,c,……表示. 2. 集合与元素的关系：（1）____符号：____;（2）____符号：____. 3. 集合中元素的三个特性:（1）____（2）____（3）____ 4. 常用数集符号：实数集：____；有理数集:____;整数集：____;正整数集：____;自然数集:____. 5. 空集：不含任何____的集合称为空集，符号为. 6.集合的表示 （1）列举法：把集合中的元素____出来写在花括号内. （2）描述法：利用元素的特征性质来表示集合的方法.描述法表示集合的一般形式是 {x|p(x)},其中“x”是集合中元素的代表形式,“p(x)”是集合中元素所具有的特征性质,两者之间的竖线不可省略. 【即时训练】 1．以下构成集合的是（    ） A．长的高的同学 B．比大的数 C．升学班长得矮的同学 D．性格开朗的同学 2．下列集合中，是空集的是（   ） A． B． C． D． 3．下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集. 其中正确的是（    ） A．只有③④ B．只有②③④ C．只有①② D．只有② 5．集合，用列举法表示是______． 6．已知集合，则集合A中的元素个数为___ 7．给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥0，其中正确的是____.（填序号） 【考点2 集合间的基本关系】 （1）子集：如果集合A的____都是集合B的元素,则称集合A是集合B的子集.记作： 空集是任何集合的子集.记作：A. （2）集合相等：如果两个集合的元素完全相同 ，那么就说这两个集合相等.集合A等于集合B,记作A=B. （3）真子集：A是B的子集，且____，则称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B,空集是任何非空集合的真子集.记作⫋. Venn图表示： （4）子集个数：含有n个元素的集合子集的个数为____个，真子集的个数为____个，非空真子集的个数为____个. 【即时训练】 1．集合的真子集一共有（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 2．设，则满足条件的集合共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列集合与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 4．下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．设集合，则集合A与B之间的关系是（    ）. A． B． C． D． 6．已知非空集合，集合，且满足，求的取值范围． 7．请写出集合且的子集. 8．已知，，且满足，求的值. 【考点3 集合的运算】 1.交集：____,记作:____， 韦恩图： 2.并集：____,记作:____， 韦恩图： 3.补集：____,记作:____， 韦恩图： 【即时训练】 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，则等于（    ） A． B． C． D．R 3．已知集合，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 5．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．设全集，集合，则___________ 8．设全集，集合，则__________. 9．设集合，，若，则实数的取值范围是____． 10．已知集合，． (1)已知，求； (2)若，求实数的取值范围． 11．已知集合，，求： (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 12．设全集为，，. (1)求； (2)求. 13． 已知集合，，若，求实数n的值. 14．（1）已知集合，，且，求实数的值； （2）已知集合，或，且，求实数的取值范围. 1．（2025湖南对口升学考试第2题）已知，则的值可以是（    ） A． B．C． D． 2．（2024湖南对口升学考试第1题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023湖南对口升学考试第1题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022湖南对口升学考试第1题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2021湖南对口升学考试第1题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1.1 ·集合的概念和运算 【复习目标】 1.理解集合与元素，掌握元素三特性、常用数集、两种表示法 2.掌握集合之间的关系（子集、真子集、相等） 3.理解交集、并集、补集运算 【考点1 集合的概念】 1. 集合的概念：由某些确定的对象组成的整体叫做集合（简称集），集合常用大写字母A,B,C,……表示.组成集合的对象称为元素.元素常用小写英文字母a,b,c,……表示. 2. 集合与元素的关系：（1）属于符号：∈;（2）不属于符号：∉. 3. 集合中元素的三个特性:（1）确定性（2）互异性（3）无序性 4. 常用数集符号：实数集：R；有理数集:Q;整数集：Z;正整数集：N*;自然数集:N. 5. 空集：不含任何元素的集合称为空集，符号为. 6.集合的表示 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来写在花括号内. （2）描述法：利用元素的特征性质来表示集合的方法.描述法表示集合的一般形式是 {x|p(x)},其中“x”是集合中元素的代表形式,“p(x)”是集合中元素所具有的特征性质,两者之间的竖线不可省略. 【即时训练】 1．以下构成集合的是（    ） A．长的高的同学 B．比大的数 C．升学班长得矮的同学 D．性格开朗的同学 【答案】B 【详解】选项，“长的高”没有明确的标准，不能构成集合，故错误. 选项，“比大的数”有明确的标准，能构成集合，故正确. 选项，“长的矮的同学”没有明确的标准，不能构成集合，故错误. 选项，“性格开朗的同学” 没有明确的标准，不能构成集合，故错误. 故选：. 2．下列集合中，是空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A，因为，故无解，故是空集，故A符合题意； B，，故B不符合题意； 由空集的定义知，C，D不符合题意. 故选：A. 3．下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为自然数集，而和不是自然数， ，所以A，B选项错误. 集合中包含元素0， 所以C选项正确. 是有理数集，是有理数， 所以D选项错误. 故选：C 4．给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集. 其中正确的是（    ） A．只有③④ B．只有②③④ C．只有①② D．只有② 【答案】C 【详解】是由4个元素组成的集合，①正确； 集合表示仅由一个“1”组成的集合，②正确； 与是同一个集合，③错误； 集合大于3的无理数是一个无限集，④错误. 故选：C. 5．集合，用列举法表示是______． 【答案】 【详解】集合用列举法表示是. 故答案为： 6．已知集合，则集合A中的元素个数为___ 【答案】9 【详解】因为，所以只可能取； 因此满足条件的元素有，共9个. 故答案为：9. 7．给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥0，其中正确的是____.（填序号） 【答案】①②⑤⑥ 【详解】①是实数，故正确； ②不是有理数，故正确； ③是正整数，故错误； ④不是有理数，故错误； ⑤是整数，故正确； ⑥0是自然数，故正确. 故答案为：①②⑤⑥ 【考点2 集合间的基本关系】 （1）子集：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,则称集合A是集合B的子集.记作： 空集是任何集合的子集.记作：A. （2）集合相等：如果两个集合的元素完全相同 ，那么就说这两个集合相等.集合A等于集合B,记作A=B. （3）真子集：A是B的子集，且集合A与集合B不相等，则称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B,空集是任何非空集合的真子集.记作⫋. Venn图表示： （4）子集个数：含有n个元素的集合子集的个数为个，真子集的个数为个，非空真子集的个数为：2个. 【即时训练】 1．集合的真子集一共有（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】因为集合内有个元素， 所以它的真子集一共有. 故选：C. 2．设，则满足条件的集合共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】因为， 所以集合可能为，，，， 共有4个. 故选：D. 3．下列集合与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合表示集合中有两个元素，分别是，表示的是数集， 选项A、B表示的是点集，所以A、B错误； 选项C，集合，故C正确； 选项D表示两个式子的集合，与集合不同，故D错误. 故选：C 4．下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】空集是指不含任何元素的集合， 故选项错误，且选项中，符号是表示集合与集合的关系， 选项中，是任何集合的子集，故正确. 故选：. 5．设集合，则集合A与B之间的关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由解得，由解得， 所以集合， 则. 故选：A. 6．已知非空集合，集合，且满足，求的取值范围． 【答案】 【详解】集合是非空集合， ，解得， ， ，解得. 综上的取值范围为. 7．请写出集合且的子集. 【答案】 【详解】由题意得， 且. 则子集有： . 8．已知，，且满足，求的值. 【答案】或 【详解】由题知，A与B中的元素相同，故分两种情况讨论. ①当时， 解得或. 若时，与集合中元素的互异性相矛盾，故不符合； 若时，则，符合题意； ②当时， 解得或， 若时，与集合中元素的互异性相矛盾，故不符合； 若时，，符合题意. 综上所述，或. 【考点3 集合的运算】 1.交集：,记作:， 韦恩图： 2.并集：,记作:， 韦恩图： 3.补集：,记作:， 韦恩图： 【即时训练】 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，， 则. 故选：B. 2．已知全集，集合，则等于（    ） A． B． C． D．R 【答案】C 【详解】已知全集， 且集合， ， 故选：C. 3．已知集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知集合， 则， 故选：A. 4．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合，集合， 所以 . 故选：D. 5．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全集，集合，， ，则， 故选：. 6．已知集合，，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题，集合， 又知，则，即. 故选：B 7．设全集，集合，则___________ 【答案】 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为：. 8．设全集，集合，则__________. 【答案】 【详解】全集，集合， . 故答案为：. 9．设集合，，若，则实数的取值范围是____． 【答案】 【详解】因为集合，，， 所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 10．已知集合，． (1)已知，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则或， 因为， 所以． （2）因为，所以， 当时，即时，，此时成立， 当时，， 因为，由（1）知， 则，解得， 所以， 综上，的取值范围是． 11．已知集合，，求： (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为集合，， 若，则， 所以实数a的取值范围为. （2）因为集合，， 若，则， 所以实数a的取值范围为. 12．设全集为，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）由题意得，. （2）由题意得，. 则或. 13．已知集合，，若，求实数n的值. 【答案】4或0 【详解】因为集合，，且， 所以，则或，且，解得或0． 14．（1）已知集合，，且，求实数的值； （2）已知集合，或，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为集合，，且， 所以，解得， 即实数的值为. （2）因为集合，或，且， 则实数满足，解得， 故实数的取值范围. 1．（2025湖南对口升学考试第2题）已知，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合表示大于等于且小于的实数， A选项，，不符合条件，故A错误； B选项，不满足小于，不符合条件，故B错误； D选项，，不符合条件，故D错误； C选项，只有满足，所以的值可以是，故C正确. 故选：C. 2．（2024湖南对口升学考试第1题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】. 故选：A. 3．（2023湖南对口升学考试第1题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题目条件及并集的定义即可求解. 【详解】集合，， 则. 故选：D. 4．（2022湖南对口升学考试第1题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】因为全集，集合. 所以. 故选：A. 5．（2021湖南对口升学考试第1题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合运算中交集的定义求集合与集合的交集. 【详解】由题意集合，，则两者的交集为. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $