三角函数的图象和性质课件-2027届高三数学一轮复习

　三角函数的图象和性质 [－1，1] [－1，1] 2π 奇函数 偶函数 [2kπ，2kπ＋π] (kπ，0) x＝kπ ωx＋φ A A 2 AD C 4 1 [知识梳理] 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(表格中的k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 R 最小正周期 2π π 奇偶性 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减 区间 无 图象对 称中心 图象对 称轴方程 x＝kπ＋ 无 3.函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质 (1)简谐运动中，y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念 y＝A sin (ωx＋φ) (A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f ＝＝ φ (2)用五点法画函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的五个关键点 x ωx＋φ 0 π 2π y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 (3)函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的 4．常用结论 (1)对称与周期：①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． (2)奇偶性：若函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则：①函数f (x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；②函数f (x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z). (3)函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律是“左加右减，上加下减”． [热身训练] 1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( ). A．T＝π，A＝1　　　　 B．T＝2π，A＝1 C．T＝π，A＝2　　　　 D．T＝2π，A＝2 2．函数y＝sin 在区间上的图象大致是( ). 　　　　 　　　　 3．函数y＝cos 的单调递减区间为 ． 4．图4.4­1是函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象，已知函数图象经过P，Q两点，则ω＝ ，φ＝ ． 图4.4­1 (k∈Z) － 题型1　三角函数的性质 角度1　三角函数的定义域与值域 【例1】(1)函数y＝lg sin x＋的定义域为 ． (2)函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为 ． 【解析】设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx cos x，所以sin x cos x＝，且－≤t≤.所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，].当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－，所以函数的值域为. (1)求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象求解． (2)求三角函数值域(最值)的常见类型 ①形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数，化为y＝A sin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值). ②形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数，再求值域(最值). ③形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数，再求值域(最值). 角度2　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 【例2】(1)(多选)(2024·吉林大学附中高三期中)已知函数f (x)＝sin x(sin x－cos x)，则下列说法正确的有( ). A．函数f (x)的最小正周期为π B．点是函数f (x)图象的对称中心 C．点是函数f (x)图象的对称中心 D．直线x＝是函数f (x)图象的对称轴 【解析】f (x)＝sin x(sin x－cos x)＝sin2x－sinx cos x＝－sin 2x＝－sin ＋，T＝＝π，故A正确；当x＝－时，2x＋＝0，此时sin ＝0，则函数f (x)的图象关于点对称，故B错误；当x＝时，2x＋＝，此时sin ＝1，则函数f (x)的图象关于直线x＝对称，故C错误；当x＝时，2x＋＝，此时sin ＝－1，则函数f (x)的图象关于直线x＝对称，故D正确． (2)已知函数f (x)＝3sin ，φ∈(0，π).若f (x)为偶函数，则 φ＝ ；若f (x)为奇函数，则φ＝ ． 【解析】因为f (x)＝3sin 为偶函数，所以－＋φ＝kπ＋(k∈Z)，又φ∈(0，π)，所以φ＝.因为f (x)＝3sin 为奇函数，所以－＋φ＝kπ(k∈Z)，又φ∈(0，π)，所以φ＝. (1)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义． ②利用公式：函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为，函数y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为. (2)三角函数奇偶性的判断方法 三角函数中的奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式． 角度3　三角函数的单调性 【例3】(2025·高考Ⅱ卷改编)已知f (x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ<π)，且f (0)＝. (1)求φ的值； (2)设g(x)＝f (x)＋f ，求函数g(x)的单调区间． 【解析】(1)由题意得f (0)＝cos φ＝，结合0≤φ<π，所以φ＝. (2)由(1)知f (x)＝cos ，所以f ＝cos 2x，所以g(x)＝f (x)＋f ＝cos 2x cos －sin 2x sin ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝＝cos ，令－π＋2kπ≤2x＋<2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x<kπ－，k∈Z，所以g(x)的递增区间为，k∈Z；令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，所以g(x)的递减区间为，k∈Z. (1)已知三角函数解析式求单调区间，求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过列不等式(组)求解．如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数． (2)已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 【变式】(1)函数y＝2sin ，x∈[0，π]的单调递增区间是( ). A．　　　 B． C．　　　 D． 【解析】y＝2sin ＝－2sin ，函数y＝sin 的减区间为函数y＝2sin 的增区间．令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，取k＝0，得≤x≤. (2)若函数f (x)＝sin (ω＞0)的图象关于直线x＝对称，且f (x)在区间内单调，则ω的最大值为 ． 题型2　二次复合型函数的值域 【例4】函数f (x)＝sin2x＋cosx－的最大值是 ． 【解析】由题意得f (x)＝1－cos2x＋cosx－＝－cos2x＋cosx＋＝－＋1，由x∈，可得cos x∈[0，1]，所以当cos x＝时，函数f (x)取得最大值1. 求二次复合型函数的值域主要是利用正、余弦函数的有界性和二次函数的单调性求解，主要方法为换元法． 【变式】函数y＝2－2sin2x－cosx的值域为 ． 【解析】y＝2cos2x－cosx＝2－，令t＝cos x，则t∈[－1，1]，y＝2－，所以y∈. 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的综合应用 综合考查三角函数的性质是高考的热点，题型以选择题、填空题为主，难度中等，对逻辑推理、数学运算有较高要求． 【例题】已知函数f (x)＝sin 2x－cos 2x，x∈R. (1)求f (x)的最小正周期； (2)若h(x)＝f (x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值； (3)当x∈时，不等式|f (x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】(1)因为f (x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，所以f (x)的最小正周期T＝＝π. (2)由(1)知h(x)＝2sin .令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，得t＝＋(k∈Z).又t∈(0，π)，故t＝或t＝. (3)当x∈时，2x－∈，所以f (x)∈[1，2].又|f (x)－m|<3，即f (x)－3<m<f (x)＋3，所以2－3<m<1＋3，即－1<m<4.故实数m的取值范围是(－1，4). 解决三角函数性质的综合应用问题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，把握“图象”这一本质，数形结合求解． 【变式】设函数f (x)＝sin x cos x＋cos2x＋a. (1)写出函数f (x)的最小正周期T及单调递减区间； (2)当x∈时，函数f (x)的最大值与最小值的和为，求实数a的值． 【解析】(1)f (x)＝sin2x＋＋a＝sin ＋a＋，所以T＝π.由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以函数f (x)的单调递减区间是(k∈Z). (2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，所以－≤sin ≤1.当x∈时，函数f (x)的最大值与最小值的和为＋＝，解得a＝0. $