第八章 排列组合（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的单元测试卷，主要梳理和考查了排列与组合的概念、公式及应用，二项式定理、通项、系数及性质等常见考点。 第八章 排列组合 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.从甲地到乙地，可以乘火车、汽车或轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，不同的走法共有（ ） A. 9种 B. 10种 C. 12种 D. 24种 2.用数字1,2,3可以组成没有重复数字的两位数的个数是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 3.已知，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4.在的展开式中，的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 5.从5名男生和3名女生中选出2人参加演讲比赛，则恰好选到1名男生和1名女生的选法有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 15种 D. 30种 6.若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7.在的展开式中，常数项为（ ） A. -160 B. 160 C. -20 D. 20 8.从6本不同的书中选出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，不同的分法有（ ） A. 20种 B. 60种 C. 120种 D. 720种 9.若，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 12 D. 66 10.某班有5名班干部，其中男生3人，女生2人，现要从中选2人参加学校会议，要求至少有一名女生，则不同的选法有（ ） A. 7种 B. 10种 C. 12种 D. 14种 二、多项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分) 1.下列等式中，正确的有（ ） A. B. C. D. 2.在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 共有8项 B. 二项式系数之和为128 C. 第4项的二项式系数为35 D. 第4项的系数为-560 3.下列问题中，属于组合问题的有（ ） A. 从4名同学中选2人参加打扫卫生 B. 从5本不同的书中选3本借给同学 C. 用1,2,3,4组成两位偶数（数字不重复） D. 从6人中选3人组成学习小组 4.关于二项式的展开式，下列说法正确的有（ ） A. 共有7项 B. 二项式系数之和为64 C. 常数项为1 D. 含项的系数为160 5.某小组有4名男生和3名女生，现要选3人参加文艺汇演，则下列说法正确的有（ ） A. 恰有1名男生的选法有18种 B. 至少有1名男生的选法有34种 C. 至多有2名女生的选法有35种 D. 男生甲必须参加且女生乙不参加的选法有10种 三、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 1.若，则 _______。 2.在的展开式中，的系数为 _______。 3.从6名男生和5名女生中选4人，要求至少有2名女生，则不同的选法有 _______种。 4.已知，则 _______。 5.在的展开式中，常数项为 _______。 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 1.有5本不同的数学书，4本不同的语文书，3本不同的英语书。 （1）从中任取1本，有多少种不同的取法？ （2）从中各取一本（数学、语文、英语各一本），有多少种不同的取法？ 2.已知二项式 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等。 （1）求 ； （2）求展开式中的常数项。 3.有 4 名男生和 3 名女生，现要排成一排。 （1）若 3 名女生互不相邻，且男生甲必须站在两端，有多少种排法？ （2）若 3 名女生必须站在一起，且男生乙、丙互不相邻，有多少种排法？ 4.有6名同学排成一排照相。 （1）甲、乙两人必须相邻，有多少种排法？ （2）甲、乙两人不相邻，有多少种排法？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的单元测试卷，主要梳理和考查了排列与组合的概念、公式及应用，二项式定理、通项、系数及性质等常见考点。 第八章 排列组合 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.从甲地到乙地，可以乘火车、汽车或轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，不同的走法共有（ ） A. 9种 B. 10种 C. 12种 D. 24种 【答案】A 【分析】本题考查分类计数原理，各类方法数相加。 【详解】不同的走法数为 ，故选A。 2.用数字1,2,3可以组成没有重复数字的两位数的个数是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【分析】本题考查排列的概念，从3个不同元素中取出2个的排列数。 【详解】，故选B。 3.已知，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【分析】本题考查组合数公式。 【详解】，解得（负值舍），故选B。 4.在的展开式中，的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【分析】本题考查二项展开式通项。 【详解】令，系数为，故选B。 5.从5名男生和3名女生中选出2人参加演讲比赛，则恰好选到1名男生和1名女生的选法有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 15种 D. 30种 【答案】C 【分析】本题考查分步计数原理与组合应用。 【详解】选1名男生有种，选1名女生有种，共种，故选C。 6.若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【详解】由得5=n-3或5=3（舍），所以n=8，故选D。 7.在的展开式中，常数项为（ ） A. -160 B. 160 C. -20 D. 20 【答案】A 【分析】本题考查二项展开式的通项，令指数为0。 【详解】通项，令得，系数为，故选A。 8.从6本不同的书中选出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，不同的分法有（ ） A. 20种 B. 60种 C. 120种 D. 720种 【答案】C 【分析】本题考查排列的应用，先选后排或直接排列。 【详解】相当于从6本中选3本排列：，故选C。 9.若，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 12 D. 66 【答案】A 【分析】本题考查组合数性质：。 【详解】由得或（舍），所以，则，故选A。 10.某班有5名班干部，其中男生3人，女生2人，现要从中选2人参加学校会议，要求至少有一名女生，则不同的选法有（ ） A. 7种 B. 10种 C. 12种 D. 14种 【答案】A 【分析】本题考查组合应用，可用间接法。 【详解】总选法，没有女生的选法（全男），所以至少一名女生有种，故选A。 二、多项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分) 1.下列等式中，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【分析】本题考查组合数、排列数性质及二项式系数和。 【详解】A、B、C、D均为正确公式，故选ABCD。 2.在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 共有8项 B. 二项式系数之和为128 C. 第4项的二项式系数为35 D. 第4项的系数为-560 【答案】ABC 【详解】A：指数7，共8项，正确；B：二项式系数和，正确；C：第4项对应r=3，二项式系数，正确；D：第4项系数，不是-560，故D错误。所以选ABC。 3.下列问题中，属于组合问题的有（ ） A. 从4名同学中选2人参加打扫卫生 B. 从5本不同的书中选3本借给同学 C. 用1,2,3,4组成两位偶数（数字不重复） D. 从6人中选3人组成学习小组 【答案】ABD 【详解】A无顺序，组合；B无顺序，组合；C有顺序（个位十位），排列；D无顺序，组合。故选ABD。 4.关于二项式的展开式，下列说法正确的有（ ） A. 共有7项 B. 二项式系数之和为64 C. 常数项为1 D. 含项的系数为160 【答案】ABCD 【分析】本题考查二项展开式的项数、系数和、特定项。 【详解】A：指数6，有7项，正确；B：二项式系数和，正确；C：常数项，正确；D：，项r=3，系数，含项的系数为160，正确。故全选ABCD。 5.某小组有4名男生和3名女生，现要选3人参加文艺汇演，则下列说法正确的有（ ） A. 恰有1名男生的选法有18种 B. 至少有1名男生的选法有34种 C. 至多有2名女生的选法有35种 D. 男生甲必须参加且女生乙不参加的选法有10种 【答案】BD 【详解】A：，不是18，A错；B：总选法，全女，所以至少一男有34种，正确；C：至多2名女生即含女生0,1,2人，可用补集：总减全女=35-1=34，不是35，C错；D：甲参加，乙不参加，从剩下5人中选2人，，正确。故选BD。 三、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 1.若，则 _______。 【答案】6 【详解】，，解得n=6。 2.在的展开式中，的系数为 _______。 【答案】80 【详解】，令5-r=3得r=2，系数。 3.从6名男生和5名女生中选4人，要求至少有2名女生，则不同的选法有 _______种。 【答案】215 【详解】总选法，不符合条件：0女（全男），1女，所以符合条件为330-15-100=215。 4.已知，则 _______。 【答案】4 【详解】，约去得，n=4。 5.在的展开式中，常数项为 _______。 【答案】252 【详解】通项，令10-2r=0得r=5，常数项。 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 1.有5本不同的数学书，4本不同的语文书，3本不同的英语书。 （1）从中任取1本，有多少种不同的取法？ （2）从中各取一本（数学、语文、英语各一本），有多少种不同的取法？ 【答案】 （1）12种 （2）60种 【详解】 （1）任取1本，可以取数学书、语文书或英语书。 - 取数学书：有5种取法； - 取语文书：有4种取法； - 取英语书：有3种取法。 根据分类计数原理（加法原理），总的取法数为 种。 （2）各取一本（数学、语文、英语各一本），需要分三步完成： - 第一步，取1本数学书，有5种取法； - 第二步，取1本语文书，有4种取法； - 第三步，取1本英语书，有3种取法。 根据分步计数原理（乘法原理），总的取法数为 种。 2.已知二项式 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等。 （1）求 ； （2）求展开式中的常数项。 【答案】 （1） （2）常数项为 【详解】 （1）由题意 ，根据组合数性质 ，可得 或 （舍去）。 解得 。 （2）将 代入通项： 要求常数项，即 的指数为 ，所以 ，解得 。 常数项为 。 3.有 4 名男生和 3 名女生，现要排成一排。 （1）若 3 名女生互不相邻，且男生甲必须站在两端，有多少种排法？ （2）若 3 名女生必须站在一起，且男生乙、丙互不相邻，有多少种排法？ 【答案】 （1）288 种 （2）432 种 【详解】 （1）先排特殊元素男生甲，甲在两端有 A21​=2 种排法。再排余下 3 名男生，有 A33​=6 种排法。3 名男生排好产生 4 个空位，从 4 个空位中选 3 个安排 3 名女生，有 A43​=24 种排法。总排法：2×6×24=288 种。 （2）将 3 名女生看作一个整体（捆绑法），女生内部有 A33​=6 种排列。女生整体与除乙、丙外 2 名男生，共 3 个元素全排列，有 A33​=6 种。3 个元素排列后产生 4 个空位，从 4 个空位中选 2 个排入乙、丙，有 A42​=12 种。总排法：6×6×12=432 种。 4.有6名同学排成一排照相。 （1）甲、乙两人必须相邻，有多少种排法？ （2）甲、乙两人不相邻，有多少种排法？ 【答案】 （1）240种 （2）480种 【详解】 （1）将甲、乙两人看作一个整体（捆绑法），这个整体内部可以调换位置： - 整体内部排列：甲、乙两人有 种排法。 - 此时，这个整体与其余4名同学共5个元素，全排列： 种排法。 根据分步计数原理，总排法数为 种。 （2）先计算6人任意排列的总数： 种。 再减去甲、乙相邻的排法数（即第(1)问的结果）： 或者用插空法：先排其余4人，有 种排法，产生5个空位（含两端），选取2个空位给甲、乙且甲、乙有顺序，有 种，总数为 种。两种方法结果一致。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $