第48卷 直线与圆的方程的实际应用 -考点训练卷 湖北省2027年技能高考《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖北省技能高考《数学考纲百套卷》，严格依据最新的湖北省技能高考文化综合考试大纲，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖北省技能高考《数学考纲百套卷》第48卷 直线与圆的方程的实际应用 考点训练卷 考试时间：45分钟 满分：90分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求,请将其选出,未选,错选或多选均不得分. 1．某工厂生产一种圆形零件，在平面直角坐标系中，该零件的圆心位置为，半径为，则该圆的标准方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心坐标与半径，将其代入标准方程即可求解. 【详解】因为圆心，半径， 故圆的标准方程为 故选：B． 2．玻璃厂工人制作圆形玻璃，圆的一般方程为，则该圆在轴上截得的弦长为（    ）． A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】求出圆与y轴的交点坐标，进而得到弦长. 【详解】令，则，即，解得，， 所以在轴上截得的弦长为． 故选：B. 3．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出半径与圆心到弦的距离，根据题意得出，结合，求出的值，代入弦长公式及弧田面积公式即可得解. 【详解】设半径为，圆心到弦的距离为，则， 所以弦长为， 弧田面积为． 故选：. 4．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出圆的方程，当水面下降1米后，设水面所在直线与圆的交点为，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得到答案． 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r， 则圆的方程为， ∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点， ∴，∴， ∴圆的方程为， 当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，∴， ∴当水面下降1米后，水面宽度为． 故选：C． 5．已知工厂的圆形加工台方程为，一条加工路线所在直线与直线平行且过点，该直线与圆形加工台的位置关系是（   ）. A．相离 B．相切 C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心 【答案】C 【分析】首先根据平行的性质求出加工路线所在的直线，再判断直线与圆形加工台的位置关系. 【详解】直线的斜率为，所求直线方程为，即， 圆心到该直线的距离，所以直线与圆相交， 把圆心代入直线方程，，直线不过圆心. 故选：C. 6．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（    ）米.（注意：≈）    A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设出圆的方程，根据题目条件求出半径以及圆心，再代入求解即可. 【详解】以O为原点，以AB所在直线为x轴，以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.    设圆心坐标为，则. 可设圆拱所在圆的方程为，由题意可得： 解得：. 所以所求圆的方程为. 将代入圆方程，得：， 因为，所以. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分. 7．已知动直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆的圆心坐标为 C．直线与圆的相交弦的最小值为 D．直线与圆的相交弦的最大值为4 【答案】ACD 【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可. 【详解】对于A，直线，即， 令，得，即直线过定点，故A正确； 对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误； 对于C，因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为， 当直线与圆的相交弦的最小时，与相交弦垂直， 又因为，所以相交弦的最小为，故C正确； 对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径4，故D正确. 故选：ACD 8．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】BCD 【分析】以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立直角坐标系，再数形结合求解轮船航线所在直线的方程与受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程相切的临界条件，再逐个选项判断即可. 【详解】如图，以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立如图所示的直角坐标系， 则轮船所在的位置为，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 设轮船航线所在直线的方程为，即，    由，得或． 因为，所以该轮船的行驶路线可以是南偏西30°方向，北偏西30°方向，北偏西25°方向． 故选：BCD 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，若一题中两空只对一个得 3 分）把答案填在答题卡相应题号的横线上. 9．工厂的圆形花坛边缘有一条直线小径，圆的方程为，直线方程为，则直线被圆截得的弦长为______. 【答案】 【分析】先将圆的一般方程化为标准得到圆心和半径，计算圆心到直线的距离，结合弦长公式即可求解. 【详解】先将圆方程化为标准方程， 圆心坐标为，半径， 即圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为： 10．工厂的传送带可以看作一条直线，其方程为，有一个半径为的圆形零件，圆心在原点，则该圆形零件与传送带（直线）有______个交点. 【答案】0 【分析】首先算出圆心到直线的距离，再与半径进行比较即可. 【详解】根据点到直线的距离公式，原点到直线的距离， 直线与圆相离，没有交点，所以交点个数为 0. 故答案为：0. 11．某工厂生产的圆形零件，其圆心在直线上，且经过点和，该圆形零件对应的圆的标准方程为______. 【答案】 【分析】首先根据圆心在直线上，设出圆心的坐标，再根据圆心到圆上的点的距离相等求解即可. 【详解】设圆心坐标为，因为圆心在直线上，所以. 根据圆的性质，圆心到圆上两点距离相等，即， 将代入求解得，，半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 12．工厂的环形道路可以近似看作一个圆，其一般方程为，现在要在道路上安装路灯，每隔 米安装一盏，则一共需要安装______盏路灯. 【答案】5 【分析】将圆的一般式方程转化为标准方程求出半径即可得解. 【详解】将圆的一般方程化为标准方程为，则半径， 所以圆的周长为米， 每隔米安装一盏路灯，所以需要安装盏， 故答案为：. 四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 15 分，共 30 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13．商业街的顾客行走路线为直线，商业街内有一个圆形休闲区域，圆心在，半径为. (1)写出休闲区域的圆方程. (2)判断路线与休闲区域的位置关系，若相交，求割出的部分的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆心和半径即可写出圆的方程； （2）先判断出直线与圆相交，再求出切割面积即可. 【详解】（1）由圆心在，半径为， 所以圆的方程为. （2）圆心在直线上， 所以路线与休闲区域相交，相交部分面积为半圆的面积， 即. 14．某海岛电台的覆盖范围是半径为公里的圆形区域，一船位于海岛的正东公里处，沿西偏北的直线前进.试问：    (1)该船在前进过程中能否收听到此海岛电台播报的内容？ (2)如果能收听到电台内容，则该船听到内容的航程有多少公里？如果不能收听到，则该船应如何改变方向才能收听到电台内容？ 【答案】(1)该船能收听到海岛电台的播报内容 (2)该船能听到电台内容的航程有公里 【分析】（1）设轮船在直线上移动，根据题意可得直线的方程，再求得原点到直线的距离与半径进行比较，即可求解； （2）利用弦长公式即可求解. 【详解】（1）设轮船在直线上移动， 由题意可知直线过点，倾斜角为，则 所以直线方程为，即， 原点到直线的距离， 因为，所以该船能收听到海岛电台的播报内容. （2）    由（1）得，原点到直线的距离， 所以， 所以该船能听到电台内容的航程有公里. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省技能高考《数学考纲百套卷》，严格依据最新的湖北省技能高考文化综合考试大纲，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年湖北省技能高考《数学考纲百套卷》 第48卷 直线与圆的方程的实际应用 考点训练卷 考试时间：45分钟 满分：90分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求,请将其选出,未选,错选或多选均不得分. 1．某工厂生产一种圆形零件，在平面直角坐标系中，该零件的圆心位置为，半径为，则该圆的标准方程为（    ）． A． B． C． D． 2．玻璃厂工人制作圆形玻璃，圆的一般方程为，则该圆在轴上截得的弦长为（    ）． A．12 B．16 C．20 D．24 3．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（   ） A． B． C． D． 4．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．已知工厂的圆形加工台方程为，一条加工路线所在直线与直线平行且过点，该直线与圆形加工台的位置关系是（   ）. A．相离 B．相切 C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心 6．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（    ）米.（注意：≈）    A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48 二、多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分. 7．已知动直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆的圆心坐标为 C．直线与圆的相交弦的最小值为 D．直线与圆的相交弦的最大值为4 8．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，若一题中两空只对一个得 3 分）把答案填在答题卡相应题号的横线上. 9．工厂的圆形花坛边缘有一条直线小径，圆的方程为，直线方程为，则直线被圆截得的弦长为______. 10．工厂的传送带可以看作一条直线，其方程为，有一个半径为的圆形零件，圆心在原点，则该圆形零件与传送带（直线）有______个交点. 11．某工厂生产的圆形零件，其圆心在直线上，且经过点和，该圆形零件对应的圆的标准方程为______. 12．工厂的环形道路可以近似看作一个圆，其一般方程为，现在要在道路上安装路灯，每隔 米安装一盏，则一共需要安装______盏路灯. 四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 15 分，共 30 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13．商业街的顾客行走路线为直线，商业街内有一个圆形休闲区域，圆心在，半径为. (1)写出休闲区域的圆方程. (2)判断路线与休闲区域的位置关系，若相交，求割出的部分的面积. 14．某海岛电台的覆盖范围是半径为公里的圆形区域，一船位于海岛的正东公里处，沿西偏北的直线前进.试问：    (1)该船在前进过程中能否收听到此海岛电台播报的内容？ (2)如果能收听到电台内容，则该船听到内容的航程有多少公里？如果不能收听到，则该船应如何改变方向才能收听到电台内容？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $