正弦定理与余弦定理课件-2027届高三数学一轮复习

正弦定理与余弦定理 b2＋c2－2bc cos A a2＋c2－2ac cos B a2＋b2－2ab cos C 2R sin A 2R sin B 2R sin C sin A∶sin B∶sin C 1 2 1 1 无解 C C BC D A [知识梳理] 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝ ； b2＝ ； c2＝ ＝＝ 变形 形式 ①a＝ ，b＝ ， c＝ ； ②sin A＝ ，sin B＝ ， sin C＝ (其中R是△ABC外接圆的半径)； ③a∶b∶c＝ ； ④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B， a sin C＝c sin A cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ 解斜 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高). (2)S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径). 3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝b sin A b sin A< a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 [热身训练] 1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( ). A．　　　 B． C．　　　 D． 2．(易错题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ). A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 3．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B的大小可能为( ). A．30° 　　　 B．45° C．135° 　　　 D．150° 4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos B＋a cos C＝b＋c，则△ABC的形状为( ). A．等边三角形　　　 B．锐角三角形 C．钝角三角形　　　 D．直角三角形 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，△ABC的面积为5，则c＝ ． 题型1　正、余弦定理的直接应用 【例1】(天津卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°. (1)求sin B的值； (2)求c的值； (3)求sin (B－C). 【解析】(1)由正弦定理＝，得＝，解得sin B＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得39＝4＋c2－2×2×c×，解得c＝5或c＝－7(舍去). (3)由正弦定理＝，得＝，解得sin C＝.因为A＝120°，所以B，C都为锐角，所以cos C＝＝，cos B＝＝，所以sin (B－C)＝sin B cos C－cos B sin C＝×－×＝－. (1)正、余弦定理的解题技巧 技巧 解读 适合题型 边化角 将表达式中边的关系利用公式a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C化为角的关系 等式两边是边的齐次形式 角化边 将表达式中的角利用公式转化为边，出现角的正弦时用正弦定理转化，出现角的余弦时用余弦定理转化 等式两边是角的齐次形式 和积 互化 a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A).可联系已知条件，利用方程思想进行求解 出现b＋c，bc等结构形式 (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和其中一边的对角，该三角形具有不确定性，通常根据正、余弦函数的有界性和大边对大角进行判断． 【变式】在①S△ABC＝2，②a－b＝1，③sin A＝2sin B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由． 是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝，c sin A＝a cos ， ？ 【解析】因为c sin A＝a cos ，所以sin C sin A＝sin A cos .又因为sin A≠0，所以sin C＝cos ，即sin C＝sin .又因为C∈(0，π)，所以C＝－C，所以C＝.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即a2＋b2－ab＝7. 若选①：因为S△ABC＝ab sin C，所以ab＝8，所以(a－b)2＝7－8＝－1，与(a－b)2≥0矛盾，所以满足条件的三角形不存在． 若选②：因为a－b＝1，所以a2＋b2－2ab＝1，又a2＋b2－ab＝7，所以ab＝6，故a2＋b2＋2ab＝25，即a＋b＝5，所以△ABC的周长C＝a＋b＋c＝5＋. 若选③：因为sin A＝2sin B，所以a＝2b，联立a2＋b2－ab＝7，解得a＝，b＝，所以△ABC的周长C＝a＋b＋c＝＋. 题型2　利用正、余弦定理判断三角形的形状 【例2】在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( ). A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解析】已知等式变形得cos B＋1＝＋1，即cos B＝①.由余弦定理得cos B＝，代入①得＝，整理得b2＋a2＝c2，所以C为直角，所以△ABC为直角三角形． (1)判断三角形形状的常用方法 (2)在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的取值范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项并提取公因式，以免漏解． 题型3　和三角形面积有关的问题 【例3】(全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin ∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 【解析】(1)由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7，则BC＝，由正弦定理可得sin ∠ABC＝＝＝. (2)由三角形面积公式可得＝＝4，则S△ACD＝S△ABC＝×＝. 求解与三角形面积有关的问题的步骤　 【变式】在①cos B＝－，②b＋c＝2，③a＝这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使问题中的三角形存在，并求△ABC的面积． 问题：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a sin C＝c·cos A，补充的条件是　　　　和　　　　． 【解析】因为a sin C＝c·cos A，所以sin A sin C＝sin C cos A．又sin C≠0，所以sin A＝cos A，即tan A＝.因为A∈(0，π)，所以A＝. 若选①，因为cos B＝－<－，所以B∈，所以A＋B＋C>π，三角形不存在．因此，只能选择②和③，所以cos A＝＝，所以＝，所以bc＝2，由解得b＝＋1，c＝－1或b＝－1，c＝＋1，所以符合条件的△ABC存在，且S△ABC＝bc sin A＝×2×＝. 三角形中的最值与范围问题 利用正弦、余弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化，一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面可以化角为边，转化为代数问题来解决． 【例题】（2025·河北省级联考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角B为钝角，b＝1，sin 2C＝c cos C. (1)求B； (2)若过B作BH⊥AC于点H，求BH长的最大值． 【解析】(1)由sin 2C＝c cos C，可得2sin C cos C＝c cos C，因为角B为钝角，所以cos C≠0，所以2sin C＝c，即＝，根据正弦定理，得＝＝，因为b＝1，所以sin B＝，又角B为钝角，所以B＝. (2)根据题意可知S△ABC＝AC·BH＝AB·BC sin B，可得BH＝ac，根据余弦定理，得cos B＝，即－＝，可得1－ac＝a2＋c2≥2ac，可得ac≤，当且仅当a＝c＝时，等号成立，所以BH长的最大值为. 求与三角形有关的取值范围（最值）的一般思路 (1)利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出取值范围或最值． (2)利用正、余弦定理把角转化为边，利用基本不等式求出取值范围或最值． (3)利用几何图象的临界位置求取值范围或最值． 【变式】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2b sin A cos B＝(2c－b)sin B. (1)求A； (2)若a＝2，求△ABC的周长l的取值范围． 【解析】(1)由正弦定理得2sin B sin A cos B＝(2sin C－sin B)sin B．因为0<B<π，所以sin B≠0，所以2sin A cos B＝2sin C－sin B，即2sin A·cos B＝2sin A cos B＋2sin B cos A－sin B，解得cos A＝.因为0<A<π，所以A＝. (2)由正弦定理得＝＝＝4，所以b＝4sin B，c＝4sin C，所以l＝4(sin B＋sin C)＋2＝4＋2＝4＋2＝4＋2＝4sin ＋2.因为B∈，所以B＋∈，所以sin ∈，所以l的取值范围为. $