第二十三章 一次函数 期末复习讲义 2025-2026学年人教版数学 八年级下册

第二十三章 一次函数（复习讲义） 一、 一次函数的定义与形式 1.正比例函数：形如 （k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 2.一次函数：形如 （k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。 1　 当b=0时，一次函数变为y=kx，即正比例函数是特殊的一次函数。 2　 一次函数的自变量次数为1，且系数k≠0。 二、一次函数的图象与性质 1.图象特征 · 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是 ，也称为直线y=kx+b。 · 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过 的直线。 · 直线与坐标轴的交点： 1　 与y轴交点：(0,b)， 是直线在y轴上的截距； 2　 与x轴交点： 。 2.函数的增减性与图象经过的象限 函数形式 k 的符号 b 的符号 图象经过的象限 增减性 y=kx+b k>0 b>0 象限 y随x的增大而 y=kx+b k>0 b=0 象限（正比例函数） y随x的增大而 y=kx+b k>0 b<0 象限 y随x的增大而 y=kx+b k<0 b>0 象限 y随x的增大而 y=kx+b k<0 b=0 象限（正比例函数） y随x的增大而 y=kx+b k<0 b<0 象限 y随x的增大而 3.直线的平移与平行 1　 平移规律： 上下平移：直线y=kx+b向上平移m个单位，得到 ；向下平移m个单位，得到 （上加下减常数项）。 左右平移：直线y=kx+b 向左平移n个单位，得到 ；向右平移n个单位，得到 （左加右减自变量，注意加括号）。 2　 平行关系：两条直线 y=k1x+b1和y=k2x+b2，若 且 ，则两直线平行；若 ，则两直线相交。 三、一次函数解析式的求法（待定系数法） 1.步骤（设→代→解→写）： · 设：设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）；若为正比例函数，设y=kx（k≠0）。 · 代：将已知的两个点的坐标代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组（正比例函数只需一个点）。 · 解：解方程组，求出k、b的值。 · 写：将求出的k、b的值代回解析式，写出函数表达式。 四、一次函数与方程、不等式的关系 1.与一元一次方程的关系：方程kx+b=0（k≠0）的解，就是直线y=kx+b与x轴交点的 。 2.与一元一次不等式的关系： · 不等式kx+b>0（k≠0）的解集，是直线y=kx+b在 对应的x的取值范围； · 不等式kx+b<0（k≠0）的解集，是直线y=kx+b在 对应的x的取值范围。 3.与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的 ，就是由这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。 五、 一次函数的实际应用 1.常见类型：行程问题、费用问题、方案选择问题、最值问题等。 2.解题步骤： · 分析题意，确定自变量和因变量； · 根据等量关系列出一次函数解析式； · 结合实际意义确定自变量的取值范围； · 利用一次函数的增减性分析函数的变化趋势，解决实际问题（如求最大值、最小值、最优方案）。 1.忽略一次函数定义中k≠0的条件； 2.平移规律理解错误； 3.混淆k、b对图象的影响； 4.待定系数法中列方程组或计算错误； 5.实际问题中自变量取值范围考虑不全； 6.对一次函数与方程、不等式的关系理解不透彻； 7.判断两直线平行或相交时出错。 1.一次函数图象的快速画法 · 找两个特殊点：一次函数找与x轴、y轴的交点；正比例函数找原点和(1,k)点。 · 利用平移：已知一条直线，通过平移快速画出另一条直线。 2.k的几何意义应用 · ∣k∣越大，直线越陡；∣k∣越小，直线越平缓，可快速判断直线的倾斜程度。 · 可直接根据增减性比较函数值大小，无需代入计算。 3.利用一次函数解决实际问题的技巧 · 分段函数处理：当自变量的取值范围不同，函数解析式不同时，分段讨论。 · 最值问题：根据一次函数的增减性，在自变量的取值范围内，端点处取得最值。 · 方案选择：分别列出不同方案的函数解析式，通过比较函数值的大小，或求交点，确定最优方案。 4.图象法解不等式/方程组 · 解不等式 k1x+b1>k2x+b2，可画出两条直线，再根据直线的高低位置确定x的取值范围； · 解二元一次方程组，可画出两个一次函数的图象，交点的坐标就是方程组的解，直观易理解。 5.一次函数的对称性应用 · 直线y=kx+b关于x轴对称的直线解析式：y=−kx−b； · 直线y=kx+b关于y轴对称的直线解析式：y=−kx+b； · 直线y=kx+b关于原点对称的直线解析式：y=kx−b。 题型一 一次函数的识别 【例1】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）下列函数中，y是x的一次函数的是（      ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·福建南平·期中）下列函数关系式：①；②；③；④其中一次函数的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（25-26八年级下·河北衡水·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是的一次函数的是______．（填序号） 题型二 根据一次函数的定义求参数 【例2】（25-26八年级下·重庆·期中）已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）当________时，函数是一次函数． 【变式2-2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）当________时，函数是关于x的一次函数． 【变式2-3】（25-26七年级上·山东烟台·期末）若函数是一次函数，则的值为_________． 题型三 正比例函数定义 【例3-1】（25-26八年级下·吉林·期中）下列函数中是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（25-26八年级下·河北唐山·期中）若函数（为常数）是正比例函数，则（   ） A．1 B．0 C． D．2 【变式3-1】（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知函数是正比例函数，则k的值为______． 题型四 求一次函数的自变量或函数值 【例4】（25-26八年级下·江苏南通·期中）已知一次函数，当时，函数值_________． 【变式4-1】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知点在一次函数的图像上，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】（25-26八年级下·河南开封·期中）变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【变式4-3】（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知函数， (1)当时，求函数的值； (2)当x取何值时，函数的值为0． 题型五 判断一次函数图像 【例5】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级下·福建福州·期中）直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26九年级下·甘肃张掖·开学考试）已知一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大，则函数（）在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型六 已知函数经过的象限求参数的范围 【例6】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是__________． 【变式6-1】（25-26八年级下·上海普陀·期中）如果函数的图像不经过第三象限，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级下·重庆·期中）已知一次函数． (1)m为何值时，图象过原点． (2)图象过一、二、四象限，求m的取值范围． 【变式6-3】（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）已知函数（是常数），回答下列问题： (1)当取何值时，该函数为正比例函数； (2)当取何值时，随的增大而增大； (3)若该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限，求的取值范围． 题型七 一次函数与坐标轴的交点坐标 【例7】（25-26八年级下·河南周口·期中）直线与轴的交点坐标是(      ) A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级下·江苏南通·期中）一次函数的图象与x轴的交点坐标为________． 【变式7-2】（25-26八年级下·上海·期中）直线在轴上的截距是______． 【变式7-3】（25-26八年级下·河北唐山·期中）一次函数的图象与轴的交点坐标为________． 题型八 一次函数的平移问题 【例8】（25-26八年级下·吉林·期中）将函数的图像向上平移4个单位，平移后直线的函数解析式是___________． 【变式8-1】（25-26八年级下·四川眉山·期中）在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 【变式8-2】（2026·江苏南京·一模）将函数的图像向左平移1个单位长度所得到的图像对应的函数表达式为_____． 【变式8-3】（2026·辽宁铁岭·三模）把直线沿轴向右平移2个单位，所得直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 题型九 一次函数与对称/旋转问题 【例9】（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【变式9-1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【变式9-2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1）____________． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为__________________． 【变式9-3】（25-26八年级下·云南昆明·期中）直线经过点和点，已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型十 利用一次函数的增减性比较函数值大小 【例10】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或） 【变式10-1】（25-26八年级下·北京·期中）若，是如图所示一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是：___________．（填“>”“=”或“<”） 【变式10-2】（25-26八年级下·北京·期中）已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 【变式10-3】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知一次函数，随的增大而减小，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 题型十一 根据函数的增减性求参数 【例11】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）正比例函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为______． 【变式11-1】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如果一次函数的函数值随着的值增大而减小，那么取值范围是_________． 【变式11-2】（25-26八年级下·河北衡水·期中）已知一次函数，回答下列问题： (1)若函数图像经过点，求的值； (2)若函数随的增大而减小，求的取值范围． 题型十二 求函数解析式 【例12】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）已知与成正比例，且时，．则关于的函数表达式是______． 【变式12-1】（25-26八年级下·上海普陀·期中）若直线：与直线平行，且与y轴交于点，则直线的函数解析式是__________． 【变式12-2】（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知：，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【变式12-3】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求该一次函数的解析式； (2)求该直线与x轴的交点坐标． 题型十三 一次函数与方程（组） 【例13】（25-26八年级上·陕西西安·期中）一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2026·贵州·模拟预测）如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式13-4】（25-26八年级下·上海普陀·期中）已知一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是，则方程组的解是__________． 题型十四 一次函数与不等式 【例14-1】（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图，一次函数（，是常数）的图象，则不等式的解集是______． 【例14-2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图是一次函数的图象，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例14-3】（2026·浙江金华·二模）一次函数与的图象交于点，点的纵坐标为，则满足的的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式14-3】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型十五 求直线围成的图形面积 【例15】（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，直线l是一次函数的图像经过和，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【变式15-1】（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积． 【变式15-2】（25-26八年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点 ，与轴相交于点，，点是直线上的一点． (1)求出直线的解析式； (2)如图，当的面积为9时，求点的坐标； 【变式15-3】（25-26八年级下·北京·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点，且与直线相交于点，直线与轴、轴分别交于点、． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)直接写出点的坐标； (3)直线上是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十六 实际问题与一次函数 【例16】（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）某学校在一次环保知识宣传活动中，需印刷若干份调查问卷．印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷费0.12元；设共印刷调查问卷x份，甲种方式应收费元，乙种方式应收费元． (1)分别求，关于x的解析式； (2)试问学校选用哪种印刷方式所需费用较少？ 【变式16-1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）为响应深圳市在创建国家级文明卫生城市中，提升绿化档次的政策．宝安区某校计划购进，两种树木共100棵进行校园绿化升级．经市场调查：购买种树木2棵，种树木5棵，共需460元；购买种树木3棵，种树木1棵，共需300元． (1)求种，种树木每棵各多少元； (2)因布局需要，购买种树木的数量不少于种树木数量的4倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款种树木按市场价八折优惠，种树木按市场价九折优惠．请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【变式16-2】（25-26八年级下·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车出发开始计时的时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为___________km； (2)当时， ①求慢车离乙地的路程与之间的函数关系式； ②当___________（h）时，两车相遇； (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时，的值． 【变式16-3】（25-26八年级下·云南昆明·期中）春季的邀约，总是写在风里．本学期，昆明三中“樱为有你”活动在樱花烂漫的时节如约落幕．活动中，某班的同学们怀揣善意，以笔寄情、以墨传暖，计划购进甲、乙两种笔记本共60本进行义卖，所得善款将悉数用于公益帮扶．现将两种笔记本的进价与售价列于下表： 价格类型 进价（元/本） 售价（元/本） 甲 a 10 乙 b 20 (1)已知购进10本甲种笔记本、50本乙种笔记本共花费580元，购进20本甲种笔记本、40本乙种笔记本共花费560元．求甲、乙两种笔记本的进价分别为多少元？ (2)若设甲笔记本的数量为x本（），销售完甲、乙两种笔记本的利润为y元．已知乙笔记本的数量不能超过甲笔记本数量的2倍，为让爱心帮扶的善款更多一些，当甲笔记本购进多少本，同学们在销售完这两种笔记本后能获得利润最多？并求出最大利润． 题型十七 一次函数与几何综合 【例17】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，直线：与直线：相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． (1)求直线和的解析式； (2)D是直线上一点，且在第一象限．若的面积是12，求点D的坐标． 【变式17-1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在直线上，连接． (1)求直线对应的函数表达式； (2)点为直线上一动点，的面积与的面积相等，求出点的坐标． 【变式17-2】（25-26八年级下·重庆·期中）直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． (1)求直线表达式； (2)点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； (3)连结，点G是直线上一点，且满足，求点G的坐标． 【变式17-3】（25-26八年级下·海南儋州·期中）如图，已知、，点P为平面直角坐标系第一、三象限角平分线所在直线上任意一点，分别连接．若点P也在线段的垂直平分线上，则点P的坐标为____________；若的值最小，则点P的坐标为____________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数（复习讲义） 一、 一次函数的定义与形式 1.正比例函数：形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 2.一次函数：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。 1　 当b=0时，一次函数变为y=kx，即正比例函数是特殊的一次函数。 2　 一次函数的自变量次数为1，且系数k≠0。 二、一次函数的图象与性质 1.图象特征 · 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，也称为直线y=kx+b。 · 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线。 · 直线与坐标轴的交点： 1　 与y轴交点：(0,b)，b是直线在y轴上的截距； 2　 与x轴交点：(−b/k,0)。 2.函数的增减性与图象经过的象限 函数形式 k 的符号 b 的符号 图象经过的象限 增减性 y=kx+b k>0 b>0 一、二、三象限 y 随x的增大而增大 y=kx+b k>0 b=0 一、三象限（正比例函数） y 随x的增大而增大 y=kx+b k>0 b<0 一、三、四象限 y 随x的增大而增大 y=kx+b k<0 b>0 一、二、四象限 y 随x的增大而减小 y=kx+b k<0 b=0 二、四象限（正比例函数） y 随x的增大而减小 y=kx+b k<0 b<0 二、三、四象限 y 随x的增大而减小 3.直线的平移与平行 1　 平移规律： 上下平移：直线y=kx+b向上平移m个单位，得到y=kx+b+m；向下平移m个单位，得到 y=kx+b−m（上加下减常数项）。 左右平移：直线y=kx+b 向左平移n个单位，得到y=k(x+n)+b；向右平移n个单位，得到 y=k(x−n)+b（左加右减自变量，注意加括号）。 2　 平行关系：两条直线 y=k1x+b1和y=k2x+b2，若k1=k2且b1≠b2，则两直线平行；若k1≠k2，则两直线相交。 三、一次函数解析式的求法（待定系数法） 1.步骤（设→代→解→写）： · 设：设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）；若为正比例函数，设y=kx（k≠0）。 · 代：将已知的两个点的坐标代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组（正比例函数只需一个点）。 · 解：解方程组，求出k、b的值。 · 写：将求出的k、b的值代回解析式，写出函数表达式。 四、一次函数与方程、不等式的关系 1.与一元一次方程的关系：方程kx+b=0（k≠0）的解，就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。 2.与一元一次不等式的关系： · 不等式kx+b>0（k≠0）的解集，是直线y=kx+b在x轴上方部分对应的x的取值范围； · 不等式kx+b<0（k≠0）的解集，是直线y=kx+b在x轴下方部分对应的x的取值范围。 3.与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。 五、 一次函数的实际应用 1.常见类型：行程问题、费用问题、方案选择问题、最值问题等。 2.解题步骤： · 分析题意，确定自变量和因变量； · 根据等量关系列出一次函数解析式； · 结合实际意义确定自变量的取值范围； · 利用一次函数的增减性分析函数的变化趋势，解决实际问题（如求最大值、最小值、最优方案）。 1.忽略一次函数定义中k≠0的条件； 2.平移规律理解错误； 3.混淆k、b对图象的影响； 4.待定系数法中列方程组或计算错误； 5.实际问题中自变量取值范围考虑不全； 6.对一次函数与方程、不等式的关系理解不透彻； 7.判断两直线平行或相交时出错。 1.一次函数图象的快速画法 · 找两个特殊点：一次函数找与x轴、y轴的交点；正比例函数找原点和(1,k)点。 · 利用平移：已知一条直线，通过平移快速画出另一条直线。 2.k的几何意义应用 · ∣k∣越大，直线越陡；∣k∣越小，直线越平缓，可快速判断直线的倾斜程度。 · 可直接根据增减性比较函数值大小，无需代入计算。 3.利用一次函数解决实际问题的技巧 · 分段函数处理：当自变量的取值范围不同，函数解析式不同时，分段讨论。 · 最值问题：根据一次函数的增减性，在自变量的取值范围内，端点处取得最值。 · 方案选择：分别列出不同方案的函数解析式，通过比较函数值的大小，或求交点，确定最优方案。 4.图象法解不等式/方程组 · 解不等式 k1x+b1>k2x+b2，可画出两条直线，再根据直线的高低位置确定x的取值范围； · 解二元一次方程组，可画出两个一次函数的图象，交点的坐标就是方程组的解，直观易理解。 5.一次函数的对称性应用 · 直线y=kx+b关于x轴对称的直线解析式：y=−kx−b； · 直线y=kx+b关于y轴对称的直线解析式：y=−kx+b； · 直线y=kx+b关于原点对称的直线解析式：y=kx−b。 题型一 一次函数的识别 【例1】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）下列函数中，y是x的一次函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义判断即可，一次函数的一般形式为，其中为常数，且． 【详解】解：A、，不符合一次函数定义，故选项不符合题意； B、，不符合一次函数定义，故选项不符合题意； C、，符合一次函数定义，故选项符合题意； D、，不符合一次函数定义，故选项不符合题意． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义．判断函数是不是一次函数或正比例函数的步骤：（1）等号两边是否为整式，（2）是否具有（k，b为常数，且）的形式，若是，则为一次函数，否则不是一次函数．当时，则为正比例函数． 【详解】解：A项等号右边是关于的二次式，不符合一次函数要求； B项等号右边不是整式，不符合一次函数要求； C项符合一次函数要求，符合题意； D项等号右边是关于的二次式，不符合一次函数要求． 【变式1-2】（25-26八年级下·福建南平·期中）下列函数关系式：①；②；③；④其中一次函数的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；③不是一次函数；④不是一次函数． 其中一次函数的个数是2个． 【变式1-3】（25-26八年级下·河北衡水·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是的一次函数的是______．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查一次函数的定义．根据一次函数的定义：形如（，、为常数）的函数叫做一次函数，对给出的函数逐一判断即可. 【详解】解：①符合一次函数的定义，符合题意； ②不符合一次函数的定义，不符合题意； ③对整理得，符合一次函数的定义，符合题意； ④是反比例函数，不符合一次函数的定义，不符合题意； ⑤是二次函数，不符合一次函数的定义，不符合题意. 故填①③． 题型二 根据一次函数的定义求参数 【例2】（25-26八年级下·重庆·期中）已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数需满足两个条件：x的次数为1，且一次项系数不为0，据此列等式和不等式计算即可得到m的值． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解，得，即或， 又∵，即， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）当________时，函数是一次函数． 【答案】2 【分析】由一次函数的概念即可求解． 【详解】解：由题得且， 解得． 【变式2-2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）当________时，函数是关于x的一次函数． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于的关系式，再求解即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可得， 解方程，得，即， 由，得， 因此． 【变式2-3】（25-26七年级上·山东烟台·期末）若函数是一次函数，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 正比例函数定义 【例3-1】（25-26八年级下·吉林·期中）下列函数中是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A、是正比例函数，故此选项符合题意； B、的自变量在分母上，不是正比例函数，故此选项不合题意； C、的自变量的次数是2，不是正比例函数，故此选项不合题意； D、不是正比例函数，故此选项不合题意； 【例3-2】（25-26八年级下·河北唐山·期中）若函数（为常数）是正比例函数，则（   ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义得到函数的常数项为0，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：正比例函数的一般形式为 （ 为非零常数），即函数的常数项为， ∵ 函数 是正比例函数， ∴ ， 解得 ． 【变式3-1】（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义（形如（其中为常数，且）的函数是的正比例函数）对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、符合正比例函数的定义，符合题意； B、是一次函数，常数项不为，不是正比例函数，不符合题意； C、是反比例函数，不符合正比例函数的形式，不符合题意； D、中未说明，当时不是正比例函数，不符合题意． 【变式3-2】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知函数是正比例函数，则k的值为______． 【答案】1 【分析】根据正比例函数的定义，列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴． 题型四 求一次函数的自变量或函数值 【例4】（25-26八年级下·江苏南通·期中）已知一次函数，当时，函数值_________． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数的函数值计算，解题的关键是将自变量的值代入一次函数解析式进行代数运算．把代入，按运算顺序计算即可得到的值． 【详解】解：将代入一次函数中，． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知点在一次函数的图像上，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将点代入一次函数并求解即可． 【详解】解：将点代入一次函数， 可得，解得． 【变式4-2】（25-26八年级下·河南开封·期中）变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【详解】解：当时，． 【变式4-3】（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知函数， (1)当时，求函数的值； (2)当x取何值时，函数的值为0． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将代入，得； （2）解：令，解得． 题型五 判断一次函数图像 【例5】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算出一次函数与坐标轴的交点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：将代入，得；将，代入，得， ∴函数的图象，交轴于点，交轴于点，只有选项C符合． 【变式5-1】（25-26八年级下·福建福州·期中）直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知函数所经过的象限得出，的取值范围，进而可判断直线的图象所经过的象限． 【详解】解：直线的图象经过一、三、四象限， ，， ， 直线的图象经过二、三、四象限，如C选项所示． 【变式5-2】（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数表达式中的值、值进行判断函数图象的大致趋势． 【详解】解：∵随的增大而增大， ∴函数图象呈上升趋势， 又∵当时，， 即函数与轴交点位于轴负半轴， 故选项A满足函数图象． 【变式5-3】（25-26九年级下·甘肃张掖·开学考试）已知一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大，则函数（）在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数图象性质判断出的取值范围，继而根据一次函数的性质进行判断即可. 【详解】解：∵一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大， ∴， ∴， ∴一次函数（）的图象经过二、三、四象限． 题型六 已知函数经过的象限求参数的范围 【例6】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由一次函数的图象不经过第二象限，可得一次项系数大于零，常数项小于等于零，列不等式组求解即可． 【详解】解：一次函数的图象是直线且不经过第二象限， 因此一次函数过一、三象限或一、三、四象限， 有：，解得，． 【变式6-1】（25-26八年级下·上海普陀·期中）如果函数的图像不经过第三象限，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数的，直线必过二、四象限，只需根据“不经过第三象限”确定直线与y轴交点的范围，即可得到的取值． 【详解】解：∵在函数中，， ∴直线一定经过第二、第四象限， ∵直线图像不经过第三象限， ∴当时，函数为，图像过原点，仅经过第二、四象限，不经过第三象限，符合条件， 当时，直线与y轴正半轴相交，图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，符合条件， 当时，直线与y轴负半轴相交，图像经过第二、三、四象限，经过第三象限，不符合条件， 综上可得． 【变式6-2】（25-26八年级下·重庆·期中）已知一次函数． (1)m为何值时，图象过原点． (2)图象过一、二、四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由一次函数过原点，可得，从而可得答案； （2）由一次函数的图象经过第一、二、四象限，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：依题意得 ， 解得 ， ∴当时，函数的图象经过原点； （2）解：∵图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得：． 【变式6-3】（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）已知函数（是常数），回答下列问题： (1)当取何值时，该函数为正比例函数； (2)当取何值时，随的增大而增大； (3)若该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据y是x的正比例函数列方程，即可得到结论． （2）根据随的增大而增大，可得，进一步可得答案． （3）根据y是x的一次函数，且图象经过二、三、四象限列不等式组，即可得到结论． 【详解】（1）解：对于y关于x的函数， ∵y是x的正比例函数， ∴且， 解得：． （2）解：∵随的增大而增大， ∴， 解得：． （3）解：∵该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得：， 故m的取值范围为． 题型七 一次函数与坐标轴的交点坐标 【例7】（25-26八年级下·河南周口·期中）直线与轴的交点坐标是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直线与轴的交点在轴上，轴上所有点的横坐标为， 令，将代入， 得， 直线与轴的交点坐标是． 【变式7-1】（25-26八年级下·江苏南通·期中）一次函数的图象与x轴的交点坐标为________． 【答案】 【分析】令，可求得一次函数图象与轴交点的横坐标，进而得到交点坐标． 【详解】解：把代入得，， 解得， 一次函数的图象与轴的交点坐标为． 【变式7-2】（25-26八年级下·上海·期中）直线在轴上的截距是______． 【答案】 【分析】直线与轴交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，依据定义即可求解 【详解】解：当时， 直线在轴上的截距为 【变式7-3】（25-26八年级下·河北唐山·期中）一次函数的图象与轴的交点坐标为________． 【答案】 【分析】x轴上点的纵坐标为，将代入一次函数解析式求出横坐标，即可得到交点坐标． 【详解】解：当时，可得解得， 因此一次函数的图象与轴的交点坐标为． 题型八 一次函数的平移问题 【例8】（25-26八年级下·吉林·期中）将函数的图像向上平移4个单位，平移后直线的函数解析式是___________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”规律即可求解． 【详解】解：将的图象向上平移个单位后，所得直线的解析式为：． 【变式8-1】（25-26八年级下·四川眉山·期中）在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的平移规律，得到平移后新直线的解析式，令求解的值，即可得到新直线与轴的交点坐标． 【详解】解：将直线沿轴向下平移个单位， ∴新直线的解析式为 轴上的点纵坐标为，令，得 解得 因此该新直线与轴的交点坐标是． 【变式8-2】（2026·江苏南京·一模）将函数的图像向左平移1个单位长度所得到的图像对应的函数表达式为_____． 【答案】 【分析】根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：由函数的图象向左平移个单位长度，根据平移规律得新函数表达式为 化简得 ． 【变式8-3】（2026·辽宁铁岭·三模）把直线沿轴向右平移2个单位，所得直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移规则“左加右减，上加下减”，进行求解即可. 【详解】解：，向右平移2个单位，得到. 题型九 一次函数与对称/旋转问题 【例9】（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可． 【详解】解：（1）关于轴对称时，点的对称点为， 代入原方程得，即． （2）直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为， 代入原方程得，即， 【变式9-1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 【变式9-2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1）____________． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为__________________． 【答案】 1 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证得三角形全等求得点的坐标． （1）根据待定系数法即可求得； （2）过点作轴于点，通过证得，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：（1）一次函数的图象经过点， ， 解得． 故答案为：1． （2）一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则；令，即，则， ，， ，． 如图，过点作轴于点． ，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将，代入， 得， 解得， 直线的函数解析式为． 故答案为：． 【变式9-3】（25-26八年级下·云南昆明·期中）直线经过点和点，已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由知， 随x的增大而增大， ， ． 题型十 利用一次函数的增减性比较函数值大小 【例10】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而减小. 的横坐标为，的横坐标为，且， . 【变式10-1】（25-26八年级下·北京·期中）若，是如图所示一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是：___________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】> 【详解】解：由函数图象可得，随的增大而减小， ∵， ∴． 【变式10-2】（25-26八年级下·北京·期中）已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 【答案】 【分析】先得到一次函数的增减性，然后根据确定函数值的大小解答即可． 【详解】在函数 中， ∵ ， ∴随的增大而减小， ， 即 ， ∴． 【变式10-3】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知一次函数，随的增大而减小，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数()中，当时，随的增大而减小，据此列不等式求解即可． 【详解】解：一次函数中，随的增大而减小 一次项系数满足 解不等式得． 题型十一 根据函数的增减性求参数 【例11】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）正比例函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据正比例函数的增减性可知一次项系数，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数的值随值的增大而减小， ∴， ∴． 【变式11-1】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如果一次函数的函数值随着的值增大而减小，那么取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，当函数值随着的值增大而减小时，一次项系数小于，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵一次函数 的函数值随着的值增大而减小， ∴，移项得，不等式两边同乘，不等号方向改变，得. 故答案为：. 【变式11-2】（25-26八年级下·河北衡水·期中）已知一次函数，回答下列问题： (1)若函数图像经过点，求的值； (2)若函数随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式，求出m的值即可； （2）根据一次函数y随x的增大而减小，列出关于m的不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图像经过点， ∴ ， 解得； （2）解：∵函数随的增大而减小， ∴， 解得． 题型十二 求函数解析式 【例12】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）已知与成正比例，且时，．则关于的函数表达式是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，设，然后把时，代入，求出k的值即可得到y与x的函数关系式． 【详解】解：设y与x的函数表达式为， 根据题意得：， 解得：， y与x的函数表达式为． 【变式12-1】（25-26八年级下·上海普陀·期中）若直线：与直线平行，且与y轴交于点，则直线的函数解析式是__________． 【答案】 【分析】由直线：与直线平行，可设直线的函数解析式为，将代入，即可得出答案． 【详解】解：∵直线：与直线平行， ∴设直线的函数解析式为， ∵直线与轴交于点， ∴， ∴直线的函数解析式是． 【变式12-2】（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知：，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知的、值代入中，求出的值，再将代回原式，整理得到与的函数关系式． （2）将点代入（1）中求得的函数关系式中，解关于的一元一次方程，求出的值． 【详解】（1）解：当，时， 解得， 将代入， ∴， 与之间的函数关系式为． （2）解：将点代入，得， 解得， 的值为． 【变式12-3】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求该一次函数的解析式； (2)求该直线与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：一次函数，当时，；当时， ∴ 解得：， 解析式： （2）令，即 解得： ∴该直线与x轴的交点坐标为 题型十三 一次函数与方程（组） 【例13】（25-26八年级上·陕西西安·期中）一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的解为直线与x轴交点横坐标，结合函数图象，得出答案即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴当，， ∴方程的解为． 【变式13-1】（2026·贵州·模拟预测）如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得：， ∴一次函数为， ∵即， 解得：， ∴方程的解是． 【变式13-2】（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 【变式13-3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 【变式13-4】（25-26八年级下·上海普陀·期中）已知一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是，则方程组的解是__________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系，一次函数图象的交点坐标就是两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，据此可得到方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与（是常数，）的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 题型十四 一次函数与不等式 【例14-1】（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图，一次函数（，是常数）的图象，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据由函数图象可知，当时，一次函数图象位于轴的上方即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，一次函数图象位于轴的上方，即， ∴不等式的解集是． 【例14-2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图是一次函数的图象，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象确定不等式的解集． 【详解】解：∵直线与轴的交点坐标为，且随的增大而减小， ∴当时，的取值范围是． 【例14-3】（2026·浙江金华·二模）一次函数与的图象交于点，点的纵坐标为，则满足的的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据与交点坐标的纵坐标，求出点的坐标，代入中，求出的解析式，再根据，列不等式方程组，即可求解． 【详解】∵与的图象交于点，点的纵坐标为， ∴将点的纵坐标为代入，解得：， ∴， 将代入，解得：， ∴， ∵， ∴，即 解得：， ∴当时，的取值范围是． 【变式14-1】（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】掌握由函数图象求不等式解集的方法求解即可． 【详解】解：求不等式的解集就是找直线在轴及其下方部分对应的自变量的取值范围， ， 当时，直线在轴及其下方， 即不等式的解集是． 【变式14-2】（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象找到一次函数的函数值大于或等于1时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 【变式14-3】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到直线在直线上方且在轴下方，所对应的的范围即可． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为． 题型十五 求直线围成的图形面积 【例15】（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，直线l是一次函数的图像经过和，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】 【分析】先根据待定系数法求出直线解析式，进而求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵直线l是一次函数的图像经过和， ∴， 解得：， ∴， 当时，，当时，， ∴直线与坐标轴的交点分别为，， ∴函数与两坐标轴围成的三角形的面积． 【变式15-1】（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将点横坐标代入求出纵坐标，得到点坐标；再利用待定系数法，将、坐标代入一次函数一般式求解解析式； （2）先求出点坐标，得到长度，再以为底、点横坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵点在的图象上，且横坐标为2， ∴当时，， ∴， 设一次函数的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为． （2）解：在中，令，得， ， ， ， 点横坐标为，即中边上的高为， ． 【变式15-2】（25-26八年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点 ，与轴相交于点，，点是直线上的一点． (1)求出直线的解析式； (2)如图，当的面积为9时，求点的坐标； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点是直线上的一点， ∴当时，； 当时，， ∴或； 【变式15-3】（25-26八年级下·北京·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点，且与直线相交于点，直线与轴、轴分别交于点、． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)直接写出点的坐标； (3)直线上是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）先求得，再待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，代入，即可求解； （3）过点作轴交于点，得出，设，进而分类讨论，根据三角形的面积公式，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入 ∴ ∴ 设直线的函数表达式为 将、代入 ∴ 解得： ∴直线的函数表达式为 （2）解：当时， ∴ （3）解：如图，过点作轴交于点， 当时，，则，则 设 当在的上方时， ∴ 解得：， ∴ 当在的下方时，如图 ∴ 解得：， ∴ 综上所述，点的坐标为或 题型十六 实际问题与一次函数 【例16】（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）某学校在一次环保知识宣传活动中，需印刷若干份调查问卷．印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷费0.12元；设共印刷调查问卷x份，甲种方式应收费元，乙种方式应收费元． (1)分别求，关于x的解析式； (2)试问学校选用哪种印刷方式所需费用较少？ 【答案】(1)（，且为整数）；（，且为整数） (2)当印刷调查问卷少于300份时，乙种印刷方式所需费用较少；当印刷300份时，两种印刷方式所需费用相同；当印刷多于300份时，甲种印刷方式所需费用较少 【分析】先根据甲、乙两种收费方式的规则列出对应函数解析式，再通过比较两个函数值的大小，分情况讨论即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，甲种收费方式收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元，因此可得（，且为整数） 乙种收费方式不收制版费，每印一份收印刷费0.12元，因此可得（，且为整数）； （2）解：分三种情况比较和的大小： 当时，得 解得， 此时甲种印刷方式费用较少； 当时，得 解得， 此时两种印刷方式费用相同； 当时，得， 解得 ， 此时乙种印刷方式费用较少． 【变式16-1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）为响应深圳市在创建国家级文明卫生城市中，提升绿化档次的政策．宝安区某校计划购进，两种树木共100棵进行校园绿化升级．经市场调查：购买种树木2棵，种树木5棵，共需460元；购买种树木3棵，种树木1棵，共需300元． (1)求种，种树木每棵各多少元； (2)因布局需要，购买种树木的数量不少于种树木数量的4倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款种树木按市场价八折优惠，种树木按市场价九折优惠．请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【答案】(1)种树每棵80元，种树每棵60元 (2)当购买种树木80棵，种树木20棵时所需费用最少，最少为6200元 【分析】（1）设种树每棵元，种树每棵元，列出二元一次方程即可求解； （2）设购买种树木为棵，则购买种树木为棵，列出一元一次不等式，一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设种树每棵元，种树每棵元， 依题意得：， 解得． 答：种树每棵80元，种树每棵60元． （2）解：设购买种树木为棵，则购买种树木为棵， 则， 解得， 设实际付款总金额是元， 则，即， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的最小值为（元）， 此时，（棵）． 答：当购买种树木80棵，种树木20棵时所需费用最少，最少为6200元． 【变式16-2】（25-26八年级下·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车出发开始计时的时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为___________km； (2)当时， ①求慢车离乙地的路程与之间的函数关系式； ②当___________（h）时，两车相遇； (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时，的值． 【答案】(1)600 (2)①；② (3)或 【分析】（1）由图象获取信息； （2）①利用待定系数法求解析式；②求出快车的解析式，联立解析式求解； （3）根据两点之间的距离列出含绝对值的方程求解． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，快车离乙地的距离为， 所以甲、乙两地之间的距离为； （2）①设慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式为， 将代入解析式得：， 解得：， ； ②设快车离乙地的路程与x之间的函数关系式为， 将代入解析式得：， 解得：， ， 当时，两车相遇， ，解得：， 当时，两车相遇； （3）根据题意得：， 解得：或． 【变式16-3】（25-26八年级下·云南昆明·期中）春季的邀约，总是写在风里．本学期，昆明三中“樱为有你”活动在樱花烂漫的时节如约落幕．活动中，某班的同学们怀揣善意，以笔寄情、以墨传暖，计划购进甲、乙两种笔记本共60本进行义卖，所得善款将悉数用于公益帮扶．现将两种笔记本的进价与售价列于下表： 价格类型 进价（元/本） 售价（元/本） 甲 a 10 乙 b 20 (1)已知购进10本甲种笔记本、50本乙种笔记本共花费580元，购进20本甲种笔记本、40本乙种笔记本共花费560元．求甲、乙两种笔记本的进价分别为多少元？ (2)若设甲笔记本的数量为x本（），销售完甲、乙两种笔记本的利润为y元．已知乙笔记本的数量不能超过甲笔记本数量的2倍，为让爱心帮扶的善款更多一些，当甲笔记本购进多少本，同学们在销售完这两种笔记本后能获得利润最多？并求出最大利润． 【答案】(1)甲种笔记本进价为8元，乙种笔记本进价为10元， (2)购进甲笔记本20本时获得利润最大，最大利润为440元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，列出函数关系以及二元一次方程组． （1）根据题意，列出二元一次方程组，然后求解即可； （2）设利润为元，根据题意，列出与的函数关系，根据题意确定范围，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，，解得， 答：甲种笔记本进价为8元，乙种笔记本进价为10元； （2）解：由题意可得，乙种笔记本为本， 根据题意可得，，解得， 设利润为元，由题意可得，， ∵， ∴随增大而减小， 又∵ ∴当时，最大为元， 答：购进甲笔记本20本时获得利润最大，最大利润为440元． 题型十七 一次函数与几何综合 【例17】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，直线：与直线：相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． (1)求直线和的解析式； (2)D是直线上一点，且在第一象限．若的面积是12，求点D的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为：；直线的解析式为：； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法分别求直线和的解析式即可． （2）设，表示出，根据，求出x，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：将点代入直线：得：； 解得， ∴直线的解析式为：； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点， 将点，代入直线：得； 解得： ∴直线的解析式为：； （2）解：∵点D在直线上， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当时，， 点D的坐标为． 【变式17-1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在直线上，连接． (1)求直线对应的函数表达式； (2)点为直线上一动点，的面积与的面积相等，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式 （2）利用三角形面积公式求的面积，确定点坐标，设，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， （2）解：设， 当时，，解得，则， 的面积； ∵的面积与的面积相等， ， 解得或， 点坐标为或． 【变式17-2】（25-26八年级下·重庆·期中）直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． (1)求直线表达式； (2)点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； (3)连结，点G是直线上一点，且满足，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出交点的坐标，再根据求解即可； （3）分两种情况进行讨论，通过构造等腰直角三角形，再构造“一线三等角”的全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：设直线表达式为， 代入点，得，， 解得， ∴直线表达式为； （2）解：如图， 联立直线与得，， 解得， ∴， 对于直线，当时，， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得， 当点M在点E上方时，；当点M在点E下方时，此时点M位于y轴负半轴； ∴或； （3）解：当点在上方时，过点作轴的对称点，记为点，则，， ∵， ∴， ∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作交的延长线于点，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 联立直线与得，， 解得， ∴； 当点在下方时， ∵，， ∴， 过点作交延长线于点，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可求直线， 再与直线联立可得，， 解得， ∴， 综上：点G的坐标为或． 【变式17-3】（25-26八年级下·海南儋州·期中）如图，已知、，点P为平面直角坐标系第一、三象限角平分线所在直线上任意一点，分别连接．若点P也在线段的垂直平分线上，则点P的坐标为____________；若的值最小，则点P的坐标为____________． 【答案】 【分析】结合点P为平面直角坐标系第一、三象限角平分线所在直线上任意一点，设，又因为、，点P也在线段的垂直平分线上，得出；点关于的对称点为，连接，与直线相交于点，再求出的解析式为，最后建立方程组，解得点P的坐标为，即可作答． 【详解】解： 依题意，设平面直角坐标系第一、三象限角平分线所在直线的解析式为， ∵点P为平面直角坐标系第一、三象限角平分线所在直线上任意一点， ∴设， ∵、，点P也在线段的垂直平分线上， ∴点P的横坐标为， ∴； 当点P也在线段的垂直平分线上，则点P的坐标为； 依题意，点关于的对称点为，连接，与直线相交于点，如图所示： 设的解析式为， 把，分别代入 得 解得 ∴的解析式为 依题意， ∴ 解得， ∴， ∴若的值最小，则点P的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $