第44 期 19.3 借助箱线图描述数据的分布 第19章整章复习-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大八年级第40~44期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大八年级 第40~44期(2026年4月) 第40期2版 6.(I)因为AE∥CF,所以∠EAD=∠FCD,∠AED= 18.2菱形 ∠CFD.因为BA=BC,BD平分∠ABC,所以BD⊥AC,AD= 18.2.1菱形的性质 CD.所以△AED≌△CFD(AAS).所以AE=CF.所以四边形 基础训练1.D;2.20;3.70°；4.(2+2，√2) AECF是平行四边形.又因为BD⊥AC,所以四边形AECF是菱 5.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,AC⊥BD.因 形 为DE⊥BD,所以DE∥AC.所以四边形ACDE是平行四边形. (2)因为四边形AECF是菱形，所以DE=DF=2.在 6.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC,∠ABP= Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2,即42+(2+ ∠CBP.又因为BP=BP,所以△ABP≌△CBP(SAS).所以PA BE)2=(4+BE)2.解得BE=1.所以BF=5. PC. 能力提高7.(1)因为点E与点F关于直线CD对称，所 以FD=ED,FG=EG,∠EDG=∠FDG.因为EG∥AF,所以 7.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD.所以∠ABD =∠ADB.因为AE=AB,所以AE=AD.所以∠E=∠ADE.所 ∠EGD=∠FDG.所以∠EGD=∠EDG.所以ED=EG.所以 FD=ED=FG=EG.所以四边形DEGF是菱形. 以2∠ADB+2∠ADE=180°.所以∠ADB+∠ADE=∠BDE (2)连结FC,EC,图略.因为∠A=∠B=90°，所以∠A+ =90°.所以△BDE为直角三角形. ∠B=180°.所以AF∥CB.因为AF=BC=8,所以四边形ABCF 8.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD,OA= 是平行四边形.所以CF=AB=1O.根据轴对称的性质，得CE= 宁4C=4cm,0B=BD=3m根据勾股定理，得AB CF=10.根据勾股定理，得BE=√CE-BC=6.所以AE= 1 √OA+OB=5cm因为S形m=2AC·BD=AB·DH, AB-BE=4.在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE2+AD2= DE,即4+(8-DF)2=DF.解得DF=5.所以S四边形EcF=DF 所以DH=4C:BD=2 2AB 5 cm. ·AE=20. (2)因为四边形ABCD是菱形，所以OB=OD,∠DAH= 第40期3版 2∠0AB.因为OH=2BD,所以0H=0B所以∠0HB= 题号12345678 答案ACBABBCB ∠OBH.所以∠B0H=180°-2∠OBH.因为∠OAB=90°- 二、9.60°；10.答案不惟一，如AB=CD;11.24: ∠OBH,所以∠DAH=180°-2∠OBH.所以∠BOH=∠DAH. 12.16. 能力提高9.√17 三、13.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,∠ABD= 18.2.2菱形的判定 ∠CBD.因为EF∥BC,所以四边形BCFE是平行四边形， 基础训练1.B;2.D;3.答案不惟一，如AE=AF; ∠EMB=∠CBD.所以BE=CF,∠ABD=∠EMB.所以BE= 4.(2,√8)或(2，-8) EM.所以CF=EM. 5.在△ABC和△ADC中，因为AB=AD,AC=AC,BC= 14.因为∠BAF=∠DAE,所以∠BAF-∠EAF=∠DAE DC,所以△ABC≌△ADC(SSS).所以∠BAC=∠DAC.因为 -∠EAF,即∠BAE=∠DAF.因为四边形ABCD是平行四边 AB∥CD,所以∠BAC=∠DCA.所以∠DCA=∠DAC.所以 形，所以∠B=∠D.因为BE=DF,所以△ABE≌ AD=CD.所以AB=CB=CD=AD.所以四边形ABCD是菱 △ADF(AAS).所以AB=AD.所以四边形ABCD是菱形. 形. 15.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以OA=OC,OB= 初中数学·华东师大八年级第40~44期 OD,AC⊥BD.因为DF=BE,所以OB-BE=OD-DF,即OE60°.所以∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACF中，因为AB= =OF.所以四边形AECF是平行四边形.又因为AC⊥EF,所以 AC,∠BAE=∠CAF,AE=AF,所以△ABE≌△ACF(SAS).所 四边形AECF是菱形. 以BE=CF (2)△ADE是直角三角形.理由如下： (2)四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化. 因为AC=4,BD=8,所以OA=2,OB=OD=4.因为BE 由(I),得△ABE≌△ACF.所以S AARE=S△AC·所以 =3,所以OE=OB-BE=1,DE=BD-BE=5.因为AC⊥ S四边形AECF=S△AEc+S△ACF=S△AEc+S△ABE=SAARC,即四边形 BD,所以∠AOE=∠AOD=90°.根据勾股定理，得AE2=OA2 AECF的面积不变.因为△CEF的周长为：CE+CF+EF=CE +0E=5,AD2=0A2+0D2=20.所以AE2+AD2=DE.所 +BE+EF=BC+EF=BC+AE,所以△CEF的周长发生变 以△ADE是直角三角形. 化.过点A作AG上BC于点G,图略.当点E滑动到点G时， 16.(1)连结AC,图略.因为四边形ABCD是菱形，所以AB =BC=CD,AB∥CD.因为∠B=60°，所以∠BCD=180°- △CBF的周长最小此时BG=2BC=1.根据勾股定理，得AG ∠B=120°，△ABC是等边三角形.因为E是BC的中点，所以 日AC-BC=E.所以saw=Sa=号6C·AG- AE⊥BC.所以∠AEC=90°.因为∠AEF=60°，所以∠FEC= ∠AEC-∠AEF=30°.所以∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF 子×2×万=5，△CBP的周长的最小值为：8C+AG=2+5, =30.所以∠FEC=LCFE.所以EC=CR因为CE=BC, 第41期2版 18.3正方形 所以CF= CD,即F是CD的中点 18.3.1正方形的性质 (2)连结AC,图略.因为△ABC是等边三角形，所以AB= 基础训练1.C;2.C；3.115. AC,∠BAC=∠ACB=60°.所以∠ACF=∠BCD-∠ACB= 4.因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD=BC=CD, 60°=∠B.因为∠EAF=60°，所以∠BAC-∠EAC=∠EAF- ∠B=∠D=90°.因为AE=AF,所以AB-AE=AD-AF,即 ∠EAC,即∠BAE=∠CAF所以△ABE≌△ACF(ASA).所以 BE=DF.在△BCE和△DCF中，因为BE=DF,∠B=∠D, AE=AF.所以△AEF是等边三角形.所以∠AEF=60°.因为 BC=DC,所以△BCE≌△DCF(SAS).所以CE=CF.因为点 ∠AEF+∠FEC=∠B+∠BAE,所以∠FEC=∠BAE=20°. M是EF的中点，所以CM⊥EF 附加题1.(1)因为E为AB的中点，所以AB=2AE= 5.因为四边形ABCD是边长为1的正方形，所以AD=CD 2BE.因为AB=2CD,所以CD=AE.因为AE∥CD,所以四边 =1,∠D=90°，AD∥BC.所以∠DAE=∠F.因为AE平分 形AECD是平行四边形.因为AC平分∠DAB,所以∠DAC= ∠CAD,所以∠CAE=∠DAE.所以∠CAE=∠F.根据勾股定 ∠EAC.因为AB∥CD,所以∠DCA=∠EAC.所以∠DAC= 理，得CF=AC=√AD2+CD=2 ∠DCA.所以AD=CD.所以四边形AECD是菱形. 能力提高6.√2 (2)因为四边形AECD是菱形，∠D=120°，CD=2,所以 7.连结BF,图略.根据题意，得∠EAF=90°，∠AFE= AB=4,CE=AE=2,∠AEC=∠D=120°.所以CE=BE, ∠AEF=45°，AF=AE=4.根据勾股定理，得EF2=AF2+AE ∠CEB=180°-∠AEC=60°.所以∠ACE=∠CAE=30°， =32.因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD,∠DAB= △CEB是等边三角形.所以BC=2,∠ECB=60°.所以∠ACB 90°.所以∠EAF-∠DAF=∠DAB-∠DAF,即∠EAD= =∠ACE+∠ECB=90°.根据勾股定理，得AC= ∠FAB.在△ADE和△ABF中，因为AD=AB,∠EAD= √AB-BC=厄.所以Sx=子4C·BC=厄. ∠FAB,AE=AF,所以△ADE≌△ABF(SAS).所以DE=BF 2.(1)连结AC,图略.因为四边形ABCD为菱形，∠BAD= =2,∠AED=∠AFB=45°.所以∠BFE=∠AFB+∠AFE= 120°，所以AB=BC,∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°. 90°.根据勾股定理，得BE=√EF2+BF2=6. 所以△ABC是等边三角形.所以AB=AC.因为△AEF是等边 18.3.2正方形的判定 三角形，所以AE=AF,∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC= 基础训练1.A;2.D;3.不一定 初中数学·华东师大八年级第40~44期 4.因为四边形ABCD是矩形，OA=1,所以OB=1.因为=45°，AD=BC.在△ADE和△CBF中，因为AD=CB,∠DAE AB=2,所以OA2+OB=AB.所以∠AOB=90°.所以AC⊥ =∠BCF,AE=CF,所以△ADE≌△CBF(SAS). BD.所以四边形ABCD是正方形 (2)因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD,OA=OB 5.因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°.因为BE =0C=OD.因为AE=CF,所以OE=OA-AE=OC-CF= ⊥EF,所以∠BEF=90°.因为∠ABE+∠CEF=45°，所以 OF所以四边形BEDF为菱形. ∠CEB+∠CBE=∠BEF-∠CEF+∠ABC-∠ABE=I8O° 16.(1)因为四边形ABCD和CEFG都是正方形，所以AB -(∠CEF+∠ABE)=135°.所以∠BCE=180°-（∠CEB+ =BC=CD=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°，GC=CE= ∠CBE)=45°.所以∠BAC=90°-∠BCE=45°.所以AB= EF=FG,∠E=∠CGF=90°.所以∠ADH=180°-∠ADC= BC.所以四边形ABCD是正方形. 90°，∠HGF=180°-∠CGF=90°.因为DH=CE=BK,所以 6.(1)因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD.在 HG=KE=AB.所以△ADH≌△ABK≌△KEF≌ △ABD和△CBD中，因为AB=CB,∠ABD=∠CBD,BD= △HGF(SAS).所以AH=AK=KF=HF,∠DAH=∠BAK.所 BD,所以△ABD≌△CBD(SAS).所以∠ADB=∠CDB. 以四边形AKFH是菱形，∠KAH=∠DAH+∠KAD=∠BAK+ (2)因为PM∥CD,PWN∥AD,所以四边形MPND是平行 ∠KAD=∠BAD=90°.所以四边形AKFH是正方形， 四边形，∠MPD=∠NDP.所以∠MPD=∠MDP.所以PM= (2)连结AE,图略.因为四边形AKFH的面积为10，所以 DM.所以四边形MPWD是菱形.所以当MN=PD时，四边形 KF2=10.因为CE=1,所以BK=EF=1.根据勾股定理，得 MPND是正方形. KE=KF-EF=3.所以AB=KE=3,BE=BK+KE= 7.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC,AD 4.所以点A,E之间的距离为：AE=√AB2+BE=5. =BC.因为AC∥DE,所以四边形ACED是平行四边形.所以 附加题1.(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC AD=CE.所以BC=CE =90°.所以∠EBG=180°-∠ABC=90°.所以平行四边形 (2)因为四边形ACED是平行四边形，所以CD=2CF.因 BEFG是矩形. 为AD=2CF,所以AD=CD.所以四边形ABCD是菱形.因为 (2)90.理由如下： AD∥EC,所以∠DAF=∠FEB.因为∠DAF=∠FBE,所以 延长GP交DC于点H,图略.因为正方形ABCD和平行四边 ∠FBE=∠FEB.所以FB=FE.因为BC=CE,所以FC⊥BE. 形BEFG,所以AB∥DC,BE∥GF,DC=BC.所以DC∥GF 所以∠BCF=90°.所以四边形ABCD是正方形. 所以∠HDP=∠GFP,∠DHP=∠FGP.因为P是线段DF的 第41期3版 中点，所以DP=FP.在△DHP和△FGP中，因为∠DHP= 题号1234567 8 ∠FGP,∠HIDP=∠GFP,DP=FP,所以△DHP≌ 答案BBA DBBDD △FGP(AAS).所以HP=GP,DH=FG.当∠CPG=90°时， 二9.√6；10.答案不惟一，如AC=BD:11.万； PG⊥PC.所以CH=CG.所以DC-CH=BC-CG,即DH= BG.所以BG=FG.所以平行四边形BEFG是菱形.由(1)知四 12.6. 边形BEFG是矩形.所以四边形BEFG是正方形 三、13.因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABD=∠ADB 2.(1)因为四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形，所 =45°，因为BE=BD,所以∠BDE=∠E= 以∠D=∠A=90°，HG=HIE.在Rt△AHE和Rt△DGH中，因 ∠EBD)=67.5°.所以∠EDA=∠BDE-∠ADB=22.5° 为EH=HG,AH=DG,所以Rt△AHE≌Rt△DGH(HL).所以 14.因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠DAB= ∠AEH=∠DHG.因为∠AHE+∠AEH=90°，所以∠AHE+ ∠BAF+∠DAF=90°.因为AF⊥DE,所以∠AGD=90°.所以 ∠DHG=90°.所以∠EHG=90°.所以四边形EFGH为正方 ∠ADE+∠DAF=90°.所以∠BAF=∠ADE.在△ABF和 形 △DAE中，因为∠B=∠EAD,∠BAF=∠ADE,AF=DE,所以 (2)因为AD=6,DC=7,DG=AH=2,所以DH=AD- △ABF≌△DAE(AAS).所以AB=DA.所以四边形ABCD是正 AH=4,CG=DC-DG=5.由勾股定理，得HG2=DG2+D 方形 =20.因为四边形EFGH是正方形，所以FG2=20,∠EFG= 15.(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠DAE=∠BCF:90°.所以∠CFG=180°-∠EFG=90°.由勾股定理，得CF= —3 初中数学·华东师大八年级第40~44期 CC2 -FC2=5. 0B=0D=分B0,AC=BD.所以0A=0B=0C=0D在 第42期综合测评卷 △BE0和△CEO中，因为BE=CE,OE=OE,OB=OC,所以 -题号123456789101112 △BEO≌△CEO(SSS). 答案BBB CDB ADCDAB (2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD=∠CDA= 二、13.20；14.70°；15.BD=AC且BD⊥AC: 90°，AB=DC.在Rt△BAE和Rt△CDE中，因为BE=CE,AB= 16.4.8. DC,所以Rt△BAE≌Rt△CDE(HL).所以∠AEB=∠DEC,AE 三、17.因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90°，CD= =DE.因为OA=OD,所以∠OEA=∠OED=90°，∠DA0= AB=4,AD∥BC.所以∠AEB=∠CBE.因为BE平分∠ABC, ∠AD0.所以AB∥OE∥DC.所以S△HED=S△Eo,S△DE0= 所以∠ABE=∠CBE.所以∠ABE=∠AEB.所以AE=AB= S△CEO-所以S△AED-S△EFO=S△BEo-S△EPm,即S△AEF=S△BFD, 4.因为AD=7,所以ED=AD-AE=3.根据勾股定理，得EC S△DEn-S△EH0=S△cED-S△EHo,即S△EH=S△cHo-在△AEF和 =√ED2+CD2=5. △DEH中，因为∠EAF=∠EDH,AE=DE,∠AEF=∠DEH, 18.因为AD∥BC,所以∠ADO=∠CBO,∠DAO= 所以△AEF≌△DEH(ASA).所以S△AF=S△DER因为DG∥ ∠BC0.因为BD垂直平分AC,所以OA=OC,AD=CD,AB= AC,所以∠G=∠AFE,∠GDE=∠FAE.在△AEF和△DEG 中，因为∠AFE=∠G,∠FAE=∠GDE,AE=DE,所以△AEF CB.在△ADO和△CBO中，因为∠ADO=∠CBO,∠DAO= ∠BC0,OA=OC,所以△ADO≌△CBO(AAS).所以AD=CB. ≌△DEG(AAS).所以SAAEF=SaEc·所以△DEH,△CHO, △DEG,△BFO的面积都与△AEF的面积相等. 所以AD=CD=AB=CB.所以四边形ABCD是菱形 19.连结GE,图略.因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥ 第43期2版参考答案 19.1数据的集中趋势 CD.所以∠CGE=∠AEG.因为四边形EFGH为菱形，所以GF 19.1.1平均数的意义 ∥HE.所以∠HEG=∠FGE.所以∠AEG-∠HEG=∠CGE- ∠FGE,即∠HEA=∠CGF. 基础训练 1C;2.1;3.10m+23m 33 20.(1)过点G作GD⊥AB于点D,图略.因为GE⊥BC,GF LAC,所以∠CEG=∠CFG=90°.因为∠C=90°，所以四边 4.这20户家庭的月平均用水量是：20×(4×2+5×3+ 形GECF是矩形.因为∠BAC,∠ABC的平分线交于点G,所以 6×7+8×5+9×2+11×1)=6.7(吨). EG=DG=FG.所以四边形GECF是正方形 能力提高5.D. (2)连结CG,图略.因为AC=4,BC=3,∠ACB=90°，由 19.1.2加权平均数 基础训练1.C;2.29;3.87分 勾股定理，得AB=√AC2+BC2=5.因为SAAc=SABG+ 4.（1)班长的综合成绩为：24+26+28=26（分）， sa+Sac所以×3×4=子×5EG+7×4BG+2× 3 3EG.解得EG=1.所以四边形GECF的面积为：EG=1. 团支部书记的综合成绩为：26+24+26=（分）， 3 21.(1)1. 学习委员的综合成绩为：8+2？+24=号（分）， 3 (2)因为四边形ABCD是菱形，所以AC=2OA,BD= 2OB,AB=BC.因为∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形. 因为}>26>华，所以应该选学习委员为优秀学生于 所以AB=2OA.根据勾股定理，得OB=AB2-OA= B0A所以菱形ABCD的“接近度”为：m=2501=V5, (2)班长的成绩为： 24×3+26×3+28×4 20A 3+3+4 (3)因为菱形ABCD的“接近度”是2，所以BD=2AC.所 262(分)，团支部书记的成绩为.26×3+24×3+26×4。 3+3+4 以OB=2OA.因为菱形ABCD的边长为5，所以OA2+OB2= 25.4(分)，学习委员的成绩为：28×3+27×3+24×4 50A2=25.解得0A=√5.所以BD=45. 3+3+4 26.1(分)，因为26.2>26.1>25.4，所以班长应当选为优秀 22.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OC= 学生干部. 4 初中数学·华东师大八年级第40~44期 19.1.3中位数和众数 励，有利于调动工人的积极性 基础训练1.B;2.C;3.A;4.81；5.14分. 综上所述，当月生产目标定为180个时，有利于调动大多 6.(1)5.5,4: 数工人的积极性 16.(1)一班C等级的学生有：25-6-12-5=2（名）.补 (2)这100名学生平均每人植树：00×(4×30+5×20+ 图略 6×25+8×15+10×10)=5.9(棵). 1 (2)一班的平均数为：a 19.1.4平均数、中位数和众数的选用 25×(6×100+12×85+2× 基础训练1.(1)表中依次填1,1,2,3,4,5,3,1，年平均 75+5×60)=82.8(分)； 收入为1.6： -班的中位数为：b=85(分)： (2)1.2,1.3;(3)众数 二班的众数为：c=100(分). 2.(1)这15名工人该天加工零件的平均数为： (3)①从平均数、众数方面来比较，二班的成绩更好 18×1+16×1+10×2+8×6+7×3+6×2=9(件). ②一班B级以上（包括B级）的同学有：6+12=18（名）； 15 二班B级以上（包括B级）的同学有：25×(44%+4%)= (2)这15名工人该天加工零件的中位数是8件，众数是8 12(名). 件。 因为18>12，所以从B级以上（包括B级）的人数方面来 (3)不会.理由如下： 比较，一班的成绩更好. 9件是平均数，但表中数据显示，每日能完成9件的只有4 附加题1.(1)15,15. 人，还有11人不能达到此定额，将每名工人的日加工零件任务 (2)15,5.5 数定为9件不利于调动多数工人的生产积极性， (3)用“平均数”这个数据指标不能较好反映人群年龄特 第43期3版参考答案 征的是乙群游客.理由如下： 题号12345678 乙队游客年龄中含有两个极端值，受两个极端值的影响，平均 答案CDBADAC B 数高于大部分成员的年龄 二9.23.5；10.5；11.2.8；12.19或20. 2.(1)C等级的同学有5人，成绩分别为：77,73,72,79,78. 三、13.(1)16,17. 所以3月份体育测试成绩为C等级的同学的平均成绩为：了× (2)这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是：10 (77+73+72+79+78)=75.8(分). ×(0+7+9+12+15+17×3+20+26)=14(次) (2)由表中数据可知，30名同学中，A等级的有10人，B等 14.(1)该员工本年度平时表现的平均成绩为：4×(106 1 级的有11人，C等级的有5人，D等级的有4人.所以强化训练 +102+114+110)=108(分). 后谈班同学平均成绩所提高的分数为：0×(0.9×10+5×1山 (2)该员工本年度的综合考评成绩为：108×10%+110× +10×5+15×4)=5.8(分). 20%+107×70%=107.7(分). 第44期2版 15.(1)这10名工人该月生产零件的平均个数为：。× 19.2数据的离散程度 基础训练1.B;2.5;3.乙. (600+480+220×3+180×4+120)=258(个). (2)因为共有10名工人，所以中位数为：(220+180)÷2 4.(1)=子(90+85+95+90)=90（分），2=子(98 =200(个)，众数为180个. +82+88+92)=90(分). 从平均数看，当月生产目标定为258个时，有2名工人获得 (2)0=子×[(90-90)2+(85-90)°+(95-90)2+ 奖励，不利于调动工人的积极性； 从中位数看，当月生产目标定为200个时，有5名工人获得 (90-90)]-空d2=子×[(98-90)2+(82-90)2+(8 奖励，不利于调动工人的积极性； -90)2+(92-90)2]=34.因为甲的方差小于乙的方差，所以 从众数看，当月生产目标定为180个时，有9名工人获得奖： 选择甲参加比赛更合适， 5 初中数学·华东师大八年级第40~44期 19.3借助箱线图描述数据的分布 81+85=8.3(分)，中位数为：88十88=88（分），上四 2 2 基础训练1.C:2.B: 3.四分位数如下表： 分位数为：91十93=9.2（分）. 2 最小值、四分位数和最大值 20.(1)乙. 班级 最小值 下四分位数中位数上四分位数最大值 (2)8.8,9. 八(1)班 166 167 168 170 171 (3)此人是乙，理由如下：把乙中的其中任意一个数改为 八(2)班 164 165.5 169 170 171 其他数，这组数据的中位数和众数都不变，均为8. 作箱线图如图所示： 21.(1)①8,8,1.56. 身高lem ②八年级竞赛成绩的众数为7分，方差为1.88，九年级竞 172 171 赛成绩的众数为8分，方差为1.56，所以九年级竞赛成绩的众 170 169 数较大，又因为两个年级竞赛成绩的平均数相同，九年级竞赛 168 167 成绩波动小，所以应该给九年级颁奖 166 165 (2)八年级的获奖率为：(10+7+11)÷50=56%：九年 164 163 八(1)班 八(2)班 级的获奖率为：(14+13+6)÷50=66% 基于四分位数和箱线图，可以发现八(1)班身高的中位数 因为66%>56%，所以九年级的获奖率高， 22.（1)144.乙车间抽取的10名员工中4月份工资为5千 与八(2)班的相差不大，但八(1)班身高的波动明显比八(2) 元的有：10-5-2-1=2（名）.补图略 班的要小，故八(1)班选取的礼仪队队员的身高比八(2)班要 (2)由扇形统计图，得甲车间员工工资为4千元、5千元、6 整齐 千元、7千元、8千元的员工分别有1名、2名4名、2名、1名. 4.(1)两组学生坐位体前屈结果的最小值相等，A组学生 坐位体前屈结果的四分位数、最大值都高于B组，B组学生坐 所以甲车间员工的平均工资为：0×(4×1+5×2+6× 位体前屈结果的波动相对较小。 4+7×2+8×1)=6(千元)， (2)B组有可能是普通学生组. 方差为：0×[(4-6)2+2×(5-6)2+4×(6-6)2+ (3)不一定 2×(7-6)2+(8-6)2]=1.2. 第44期3,4版 因为1.2<7.6， 题号123456789101112 所以甲车间员工的工资收入比较稳定， 答案B BBD CAD CBBBA (3)原来甲车间员工工资的中位数为：66=6（千元）. 2 二1324：14丙；15.4：16号或4或号 因为甲车间员工工资低于6千元的有3名，不低于6千元 三、17.(1)从小到大排列此数据为：5,6,7,7,8,8,8，数据 的有7名，新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位数，所 8出现了三次，最多，为众数，7处在第4位，为中位数.所以该同 以n的最小值为：7-3=4. 学所得分数的众数与中位数分别为8分、7分 所以当这4名员工工资低于6千元，且是较高工资时，这4 (2)该同学所得分数的平均数为：7(5+6+7×2+8×3) 名员工的工资和取得最大值， 所以这4名员工的工资分别为4千元4千元、5千元、5千 =7(分) 元 18.甲的平均成绩为：87×6+0×4=88.2（分），乙的平 6+4 所以这4名员工的工资和的最大值为：4+4+5+5= 均成绩为.91×6+82×4=87.4（分）. 18(千元). 6+4 因为88.2>87.4，所以甲将被录取 19.将这12个数据由小到大排序为：7.5,7.8,8.1,8.5， 8.6,8.8,8.8,9.0,9.1,9.3,9.5,9.6,所以下四分位数为： —6—+ + s S931L58-1SS0 86t1L0S-1/90 () H001X9)X 516)8.59 公A + ()9 (6)001 YY D(E) 不光国 :(3)81149 (2)2(8k AS-R图 SI'SI(I)'I 8.8.s1t) ) × 如共 n + 13)8.85 ()8 品 19.(8分)某校举办校园歌手大赛，决赛中12 名参赛选手的得 21.(12分)为鼓励学生积极加入中国共青团组织，某学校团委 22.(14分)为了解甲、乙两个车间4月份工资收入情况，分别从 分（满分：10分）如下，分别求这组数据的下四分位数、中位数和上 在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制 甲、乙两个车间随机抽取10名员工进行调查，并把调查结果制成不 四分位数. 定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图6所示 完整扇形统计图（图7）和条形统计图（图8）. 9.58.17.88.58.89.17.59.6 8.68.89.39.0 16人数 甲车间4月份10名员工月 乙车间4月份10名员工月 工资收入情况扇形统计图 工资收入情况条形统计图 8千元 人数 八年级 8 九年级 10% 209 6 0 209 10分数 十元 图6 20.(10分)甲、乙、丙三位射击爱好者进行了十次打靶射击，靶 平均数众数 中位数 方差 12 月收入千元 图7 图8 图（图5）中圆环内每个点代表此次打靶的成绩，从外到内每个圆环 八年级 8 7 1.88 (1)“6千元”所在扇形的圆心角是 °，请补充“5千元 内的点依次对应获得1到10分的成绩，脱靶记为0分，圆环上的点算 九年级8a8c 的条形统计图； 内环成绩（例如，处于9分环和10分环之间圆环上的点算10分）. (1)请根据以上信息，回答下列问题 (2)已知乙车间员工工资的平均数为6千元，方差为7.6，请你 三人打靶成绩所对应的靶图 ①表中的a= ,b= 数理报 ,C= 计算甲车间员工工资的平均数和方差，并判断哪个车间员工的工资 ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角 收入比较稳定； 理 度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (3)从乙车间选取名员工的工资，并与甲车间的工资组成一 报 初 (2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请 组新数据，发现新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位数.若 通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 取最小值时，求这n名员工的工资和的最大值. 数学，华 图5 东 三人成绩的平均数和中位数统计表 爱好者甲 平均数 7.75.9 年 中位数 y 8 6.5 级 同时，三人的具体成绩统计如下： 综合测评卷 甲的成绩：4,9,10,10,10,9,10,9,9,8 乙的成绩：8,8,7,8,7,8,7,8,8,8. 数学·华东师大八年级综合测评卷 丙的成绩：3,8,5,3,7,2,7,6,8,10 根据以上信息，回答下列问题： (1)由靶图可知，成绩最稳定的是 (填“甲”“乙”或 ‘丙”)； (2)统计表中x= -y= (3)小明通过研究发现：甲、乙、丙三人的成绩中有一人的成绩， 无论对其中哪一个数据进行改变（仅改变一个数值，数据个数不变）， 此人成绩的中位数和众数都不会变化？请结合数据说明此人是谁 数理报社试题研究中心 (参考答案见《升级突破》15版)】 数理橘 2026年4月29日·星期三 初中数学 第44期总第1188期 华东师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-206 专题辅导 综合分析精准选择 本周主讲 19.2数据的离散程度 。.-aA8® 19.3借助箱线图描述数据的分布 下①。 学习目标：1.体会刻画数据离散程度 ◎广东乔哲凌 的意义，会计算一组简单数据的离差平 例1某公司计划从A,B两个人工智能产 互能力的测试成绩（单位：分）分别为：6,7,8， ●方和、方差 品中选择一个使用.该公司对A,B两个人工智6,9,6,10,9,8,6，所以B产品语言交互能力测 2.会计算四分位数，能借助四分 能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力试成绩的平均数为：。(6+7+8+6+9+6+ 位数和箱线图了解数据的分布 进行了测试（每项测试满分为10分，且均为整 情况 数)，每项能力均进行10次测试，取10次测试得10+9+8+6)=7.5（分）.因为6有4个，出 分的平均数作为该项的测试成绩.将A,B两个现次数最多，所以B产品语言交互能力测试成 人工智能产品的语言交互能力10次测试得分整绩的众数为6分，故填7.5分，6分 A款：85,85,90,75,90,95,80,85,70,95,81,87 理成如下折线统计图（图1），将A,B两个人工 (2)由题意得，A产品语言交互能力的测试B款：80,95,80,90,85,75,95,80,90,80,76,90. 智能产品的分析能力和学习能力测试成绩整理 成绩（单位：分）分别为：5,8,6,7,6,7,9,7,8,7， 请你利用四分位数、箱线图对这两款情绪 (分别取10次测试得分的平均数)成如表： 所以A产品语言交互能力测试成绩的平均数机器人的表现进行分析. 得分分 解析：将A款情绪机器人的成绩按由小到 10 为：10(5+8+6+7+6+7+9+7+8+7)= 大的顺序排列为：70,75,80,81,85,85,85,87 7(分，因为=05-72+(8-7+… 90,90,95,95,下四分位数为80.5，中位数为85 上四分位数为90；将B款情绪机器人的成绩按 +(7-7)门=1.2,0=[(6-7.5)+(7-由小到大的顺序排列为：75,76,80,80,80,80， 7.5)2+…+(6-7.5)2]=2.05,所以σ< 85,90,90,90,95,95,下四分位数为80，中位数 为82.5，上四分位数为90.画箱线图如下： 12345678910次序 σ，所以A产品的成绩更稳定， 成绩/分 图1 人工智能产品分析能力学习能力 (3)A产品的最终成绩为：07×2+8×5 A 8 9.5 +9.5×3)=8.25(分)，B产品的最终成绩为： B 9 8.5 (1)B产品语言交互能力测试成绩的平均 10(7.5×2+9×5+8.5×3)=8.55(分).因 030 5 数为 ,众数为 为8.25<8.55，所以该公司应该选择使用B人 图2 (2)计算A,B两个产品语言交互能力测试工智能产品. 由四分位数和箱线图可知，A,B两款情绪 成绩的方差，并说明哪个产品的成绩更稳定； 例2情绪机器人是能够与人类互动提供机器人测试结果的最大值和上四分位数相等， (3)如果规定语言交互能力、分析能力、学情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产A,B中位数与下四分位数相差不大，但A款情绪机 习能力按2：5：3的比例计算最终成绩，那么该 两款情绪机器人，技术部门对两款机器人样品器人测试结果比B款测试结果波动大，故B款情 公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 各进行了12轮情绪测试，测试结果（满分绪机器人的情绪价值比A款稳定，所以B款情绪 解析：(1)由折线统计图得，B产品语言交100分)如下： 机器人的表现更优秀。 十十十十十十十+十十十+…十十“+…十十十…十十十…十十十…十十…十十十 一、离差平方和 入门同得 例1数据100,101,99,98,102的离差平 方和是 例析离差平方和与方差 解析：x=100+101+99+98+102=100, 5 ◎四川魏李 所以这组数据的离差平方和为：(100-100)2+2)2+(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)2] (101-100)2+(99-100)2+(98-100)2+(102 =2. 乙的平均数为：6×(1+0+2+1+0+2) -100)2=10. 故填2. 故填10. 例3甲、乙两台机床生产同一种零件，并 =1,方差为6×[2×1-1)+2×(0-1 点评：离差平方和是“总波动”，数据越多， 且每天的产量相等，在随机抽取的6天中，每天 总和可能越大.比如10个数据的离差平方和，通 生产零件中的次品数如下表： +2×(2-1门=号 常比5个数据的大，因此不能直接用它对比不同 甲300201 个数数据的波动大小，需进一步计算方差 因> 乙102102 二、方差 所以乙机床的性能较稳定 则甲、乙两台机床中，性能较稳定的是 例2数据0,1,2,3，x的平均数是2，则这 机床（填“甲”或“乙”） 故填乙 组数据的方差是 点评：方差是用来衡量一组数据波动大小 解析：因为数据0,1,2,3，x的平均数是2， 解析：甲的平均数为：6×(3+0+0+2+ 的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越 所以0+1+2+3+x=2×5 大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越 解得x=4. 0+1)=1,方差为：6×[(3-1)2+3×(0- 小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平 所以这组数据的方差为：。2=5×[(0- 1+2-12+0-0月=号 均数越小，即波动越小，数据越稳定 素养专练 数理招 19.3借助箱线图描述数据的分布 第43期2版参考答案 跟踪训练 19.1数据的集中趋势 垦础训练 19.1.1平均数的意义 】 GENZONGXUNLIAN 基础训练1.C;2.1;3.10m+23n 1.数据40,40,20,18,16,16,14,12的下四分 33 19.2数据的离散程度 位数为 4这20户家庭的月平均用水量是：0×(4×2+5×3+ A.13 B.13.5 C.15 D.15.516×7+8×5+9×2+11×1)=6.7(吨). 屋础训练 2.已知一班和二班人数相等，在一次考试中 能力提高5.D. 1.甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人射两班成绩（分）的箱线图如图1所示，箱体中部的 19.1.2加权平均数 基础训练1.C;2.29:3.87分 箭10次，射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分 “×”表示平均值，则下列说法正确的是( 别是=0.65，σ2=0.55，σ=0.50，σ2= 4.(1)班长的综合成绩为：24+26+28=26（分）， 成绩/份■一班口二班 3 0.45,则成绩最稳定的是 ( 160 团支部书i记的综合成绩为：26+24+26-7（分）， A.丙 B.T 120 100 C.甲 D.乙 学习委员的综合成绩为：28+27+24-79（分）， 3 2.已知一组数据的离差平方和为(x1-x)2+ 40 20 因为号>26>华所以应该选学习委员为优秀学生于 (x2-)2+…+(xo-x)2=50,则这组数据的 0 图1 方差σ2= A.一班成绩比二班成绩集中 (2)班长的成绩为：24×3+26×3+28×4 3.人工智能(A)的发展正在深刻地改变着 3+3+4 B.一班成绩的下四分位数是80分 我们的生活方式、工作方式在购买某电子产品 C.一班有同学的成绩超过140分 26.2(分)，团支部书记的成绩为：26×3+24×3+26×4 3+3+4 时，小新对甲、乙两个品牌的电子产品的语音识 D.一班成绩的平均分高于二班成绩的平均分 =25.4(分)，学习委员的成绩为：28×3+27×3+24×4 别系统分别进行了10次准确度测试，并将测试得 3.某校要从一个班级中选取12名同学组成 3+3+4 =26.1(分)，因为26.2>26.1>25.4，所以班长应当选为优 分（满分10分）进行了统计，如图所示，从语音识 礼仪队，八(1)班和八(2)班选取的学生身高（单 秀学生干部 别系统准确度的稳定性角度考虑，小新应该选择 位：cm)如下： 19.1.3中位数和众数 (填“甲”或“乙”)品牌的电子产品 八(1)班：168,167,170,166,168,166,171 基础训练1.B;2.C;3.A;4.81;5.14分 6.(1)5.5,4; 得分/分 甲-乙 4 168,167,170,169,170: /八(2)班：164,165,169,170,165,171,170 (2)这100名学生平均每人植树：10×(4×30+5×20 170,169,167,166,171. +6×25+8×15+10×10)=5.9(棵) 6 请你利用四分位数和箱线图分析两个班礼 19.1.4平均数、中位数和众数的选用 仪队队员的身高。 基础训练1.(1)表中依次填1,1,2,3,4,5,3,1，年平 均收入为1.6： 12345678910次数 (2)1.2,1.3;(3)众数 4.为了选拔一名学生参加全市诗词大赛，学 2.(1)这15名工人该天加工零件的平均数为： 校组织了四次测试，其中甲、乙两名学生的成绩 18×1+16×1+10×2+8×6+7×3+6×2=9(件). 15 较为优秀，他们在四次测试中的成绩（单位：分） (2)这15名工人该天加工零件的中位数是8件，众数是 如下表所示： 18件 90859590 (3)不会.理由如下： 9件是平均数，但表中数据显示，每日能完成9件的只有 98828892 4.坐位体前屈是用于反映人体后侧链柔韧 4人，还有11人不能达到此定额，将每名工人的日加工零件 (1)分别求出甲、乙两名学生在四次测试中 任务数定为9件不利于调动多数工人的生产积极性. 的平均分； 性的测试项目.小明抽样调查了两组学生坐位体 第43期3版参考答案 (2)分别求出甲、乙两名学生测试成绩的方 前屈的结果，制作了如图2所示的箱线图. 题号12345678 差，从方差的角度判断选择谁参加比赛更合适， (1)这两组学生坐位体前屈的结果有什么特 答案C D B A D AC B 点？ 二、9.23.5；10.5；11.2.8；12.19或20 (2)如果一组是普通学生组，另一组是舞蹈 三、13.(1)16,17. 队成员组，你认为哪组有可能是普通学生组？ (2)这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是：六 (3)A组学生坐位体前屈的平均结果是否 ×(0+7+9+12+15+17×3+20+26)=14(次). 定大于B组学生坐位体前屈的平均结果？ (填“一定”或“不一定”) 14.(1)该员工本年度平时表现的平均成绩为：4× 坐位体前屈结果/cm (106+102+114+110)=108(分). 2 (2)该员工本年度的综合考评成绩为：108×10%+110 汤 ×20%+107×70%=107.7(分). 15.(1)这10名工人该月生产零件的平均个数为：0× 600+480+220×3+180×4+120)=258(个). (2)因为共有10名工人，所以中位数为：(220+180)÷2 200(个)，众数为180个. 从平均数看，当月生产目标定为258个时，有2名工人获 得奖励，不利于调动工人的积极性； 从中位数看，当月生产目标定为200个时，有5名工人获 得奖励，不利于调动工人的积极性； 从众数看，当月生产目标定为180个时，有9名工人获得 奖励，有利于调动工人的积极性 数理报社试题研究中心 综上所述，当月生产目标定为180个时，有利于调动大多 (参考答案见《升级突破》15版)数工人的积极性. (下转1,4版中缝) 相比，下列说法中正确的有 《数据的分析》综合测评卷 ①平均日工资增大；②日工资的方差减小；③日工资的中位数 ⑤5% 不变：④日工资的众数不变 10 ①100元 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 班级： 姓名： 学号 满分：120分 20 280元 二、细心填一填（本大题共4小题，每小题4分，共16分） ③50元 题 号 总 分 ③ ④30元 13.已知一组数据的离差平方和为(x1-6)2+(x2-6)2+(x 40% ⑤20元 6)2+(x4-6)2,那么这组数据的总和为， 得 分 图2 14.科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，它们的开花时间数 、精心选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7.某校在学生期末评优工作中，全面贯彻“五育并举”理念，以 据如下表，从这四种花中选个开花时间最短并且最平稳的是 题号 2 3 5 67 89 1011 12 德智体美劳全面发展为核心标准，依据3：3：2：1：1的权重配比， 种类 对学生德、智、体、美、劳五个维度进行量化评分，综合评定学生的最 种类 乙 丁 答案 终成绩.小鱼同学本学期这五方面的得分情况如图3所示，则小鱼同 平均数2.1 2.52.13.0 1.班会课上，小明给大家分享“节约第一，合理消费”的主题故 学期末评优的最终得分是 ( 方差1.051.050.850.82 事，并调查了五名同学一周的零花钱使用情况，分别为30,35,30， A.9.1 B.9.2 C.9.3 D.9.4 15.两组数据2，a,2b,4与a,4,b的平均数都是5，若将这两组数 数 40,20(单位：元).这组数据的众数是 8.某班同学为了解所住小区居民的用水情况，随机问卷调查了 据合并为一组数据，则这组新数据的中位数是 数 理 A.20 B.30 20户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示，关于这20户家庭该 理 报 16.已知五个正整数的中位数是4，惟一的众数是6，则这五个正 C.35 D.40 月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是 报 整数的平均数是 初 2.低碳出行已深人人心，嘉 月用水量/吨 3 45 6 中 三、耐心解一解（本大题共6小题，共56分） 初 嘉某周连续5天使用交通工具碳 户数 4 682 数 17.(6分)某同学参加了学校举行的“五好小公民·红旗飘飘” 排放量（单位：kg)数据统计如图 数 A.平均数是5吨 B.中位数是5吨 演讲比赛，7名评委给该同学的打分（单位：分）情况如下表： 学 华 1所示，则这5天碳排放量的中位数为 C.众数是5吨 D.方差是1 华 东 A.3 kg B.4 kg 评委评委1评委2评委3评委4评委5评委6评委7 9.有一个等腰三角形ABC,已知三边长度均为正整数，且边长 师 C.5 kg D.6 kg 打分6878578 的众数是6，最长边等于最短边的2倍，那么这个三角形的周长是 大 3.云南是中国咖啡种植规模最大的省份，近年来，云南持续推 (1)直接写出该同学所得分数的众数与中位数； 八 ( 动多元化咖啡消费场景，“咖啡+”经济也激发出了消费新活力.某 (2)计算该同学所得分数的平均数 八 年 A.12 B.15 年 级 咖啡店主理人统计了某段时间内云南小粒咖啡的四种口味 一甲、 C.24 D.无法确定 综 乙、丙、丁的销售情况，如表所示： 10.某果园丰收后，随机选取甲、乙两 每棵树的苹果个数 合测评卷 口味 甲 乙丙丁 品种的苹果树各20棵，统计每棵树的苹果 90 销售量/盒156372241189 个数并绘制成如图4所示的箱线图，下列70 级综合测评卷 根据表中数据，该咖啡店主理人决定增加乙种口味云南小粒咖 说法错误的是 60 啡的进货数量，影响其决策的统计量是 A.甲品种的中位数略高 50 ( 45 18.(6分)某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进 A.平均数 B.众数 B.甲品种的平均数略高 行面试和笔试，他们的成绩（百分制，单位：分）如表所示.若公司将 C.中位数 D.方差 C.甲品种的产量波动相对较小 面试成绩和笔试成绩按照6：4的比例确定，则甲、乙两人各自的综 4.一组数据：4,5,5,6，a的平均数为6，则a的值是 D.两品种的下四分位数相等 11.嘉嘉进行了10次射击测试（单位：环），如果这10次射击成 合成绩是多少？谁将被录取？ A.7 B.8 C.9 D.10 5.小亮参加校园十佳歌手比赛，五个评委的评分分别是96,92 绩的平均数为8.6，方差为0.442，最后两次射击测试成绩分别为 应聘者 面试成绩笔试成绩 8.5,8.7,则嘉嘉前8次射击成绩的方差为 ) 甲 87 90 95,88,92.去掉一个最高分，去掉一个最低分，他的平均得分是( A.91.6 B.92.6 A.0.555 B.0.55 C.0.442 D.0.5275 91 C.93 D.92 12.某创小业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和 6.小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费情况 人数如下表： 并将结果绘制成了如图2所示的统计图.在这20位同学中，本学期 研发组管理组操作组 购买课外书的花费（单位：元）的众数和中位数分别是 ) 日工资/元200180160 A.50,50 B.50,30 人数 3 45 C.80,50 D.30,50 现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组，调整后与调整前