平面向量：用基底表示向量、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

平面向量：用基底表示向量、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 平面向量：用基底表示向量、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 考点目录 用基底表示向量 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 考点一 用基底表示向量 例1．（2026·湖北黄冈·三模）已知圆上有不同的三点，其中，，则实数的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得，设，以O为原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系,则,由进行坐标运算，结合即可推得实数的数量关系. 【详解】因为均在圆上,且，则，且， 不妨设,以为原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则,由可得, ,则，故得. 例2．（2026·河南新乡·三模）在四边形ABCD中，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设可得， ，即，结合，得， 故. 例3．（25-26高三上·安徽淮南·阶段检测）如图,在中,,,与相交于点,若（）,则__________. 【答案】 【分析】设，，用分别表示，即可得到关于的方程组，进而根据与的关系，即可求得结果. 【详解】设，， 则； 设，， 则； 又不共线，故，解得，则. 例4．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知中，，线段与线段交于点，若，则______. 【答案】 【分析】三点公式的结论：若三点共线，则且，利用这个结论求解. 【详解】三点共线， ， ，，， 三点共线，，， ①， ，， ， ， ②， ①代入②，得到， 即， 则，解得， 则. 变式1．（2026·山东临沂·二模）已知四边形ABCD为平行四边形，，F为AC与DE的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面向量的线性运算，解题的关键在于利用向量共线的性质，结合平行四边形的性质，将用和表示出来，先根据已知条件得到与的关系，再利用向量共线设出与的关系，进而得到与、的关系，最后根据求出． 【详解】已知，则． 因为为与的交点，所以，，三点共线，，，三点共线． 设（为实数），因为是平行四边形，所以，所以． 因为，，三点共线，所以存在实数，使得． 又因为， ，所以． ，解得． 所以． 根据向量减法的三角形法则，，将代入可得： ． 变式2．（2026·广东深圳·二模）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 变式3．（25-26高三下·重庆·阶段检测）在等腰直角中，点D是斜边AC上靠近点A的三等分点，若，则______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算以及平面向量基本定理求解即可. 【详解】如图所示， 因为点D是斜边AC上靠近点A的三等分点，所以，所以. 变式4．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）在平行四边形中，为的中点，若，则__________. 【答案】 【详解】因为， 又若，不共线， 所以， 所以. 考点二 平面向量的数量积 例1．（2026·重庆渝中·三模）在正方形中，，点在直线上满足 ，点在直线上满足 .已知 ,则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】设，， 则由题意得，，， 则， 则. 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知单位向量，，满足，则向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 两边同时平方得， 故， 所以， 因， 所以向量，的夹角为． 例3．（2026·广东东莞·二模·多选）若为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（   ） A．的夹角为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意求得，从而可得，即可判断A；求得，从而判断B；求出、，从而判断C，D. 【详解】对于A，因为在上的投影向量为，且， 所以，即， 所以， 所以， 又因为， 所以，故A正确； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确. 例4．（2026·陕西·模拟预测）已知向量的夹角为，则__________. 【答案】 【详解】由题意可得， 可知. 例5．（2026·吉林·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则______；若，则的最大值为______． 【答案】 【分析】第一空，利用平面向量模公式以及平面向量运算律，结合已知条件计算即可；第二空，利用向量数量积以及性质分析求解即可. 【详解】第一空：因为，且， 所以， 第二空：由，所以的最大值为的最大值， 令，由题意得，所以， 所以 ， 由，当且仅当向量方向相同时取等号， 所以. 变式1．（2026·陕西榆林·三模）已知不共线向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】由题知，，， 则. 设，即，，即，解得或. 当时，，则，此时共线，不合题意； 当时，，符合题意. 变式2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据，，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，，，， 所以， ，得， 显然，所以． 变式3．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中·多选）已知平面向量、均为非零向量，且，则（    ） A．等价于 B．的最大值为 C．为定值 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】由平面向量数量积的运算性质得出，利用以及平面向量数量积的定义、充分条件和必要条件的定义可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；将代入并计算可判断C选项；利用导数法可判断D选项. 【详解】由，可得，可得， 若，则，所以，即， 若，由可得，所以， 又因为，故，所以， 综上所述，等价于，A对； 对于B选项，因为， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最大值为，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，， 由可得，解得， 令，其中，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 即，故的最大值为，D对. 变式4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知非零向量，满足 ， ，则 的夹角为_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及夹角公式求解. 【详解】由 ，得，而， 则，所以 的夹角为. 变式5．（2026·云南昆明·模拟预测）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则________． 【答案】 【详解】根据投影向量的定义：向量在方向上的投影向量为 ​, 则由题意可得： ， 因为，所以. 考点三 平面向量的坐标运算 例1．（2026·吉林·三模）已知，，且，则（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得， ，. 例2．（2026·山东烟台·二模）已知向量，，若，则（   ） A．-2 B．-4 C．-6 D．-8 【答案】C 【详解】由已知得，， 因为，所以， 则，即，解得. 例3．（25-26高三下·江西景德镇·期中·多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若与方向相反，则 B．若，则 C．若，则在方向上的投影向量坐标为 D．若 则与夹角的余弦值为 【答案】AC 【分析】利用共线向量的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B；求出投影向量及向量夹角余弦判断CD. 【详解】对于A，由，得，解得，当时，，与方向相同， 当时，，与方向相反，A正确； 对于B，，由， 得，解得或，B错误； 对于CD，当时，，， 则在方向上的投影向量，C正确； 与夹角的余弦值为，D错误. 例4．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知向量，，若，则_________． 【答案】 【分析】先根据平行的坐标关系得出，最后应用数量积坐标公式计算求解. 【详解】因为，，， 所以，即， 从而． 例5．（2026·重庆渝中·二模）已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律求得，，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】，， 因为，所以， 解得．所以，， 所以在方向上的投影向量的坐标为． 变式1．（2026·安徽合肥·三模）设向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 由得，解得. 变式2．（2026·河北保定·三模）已知向量在上的投影向量的坐标为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用在上的投影向量与共线的性质，再依据数量积与投影的关系结合条件即得. 【详解】. 向量在上的投影向量为，投影向量为，且. 可知投影向量与共线，即，解得. 因此，代入，得. 变式3．（2026·陕西安康·三模·多选）已知向量，则（   ） A． B． C．可以用线性表示 D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【详解】因为，所以不垂直，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，所以不共线，所以可以用线性表示，故C正确； 在上的投影向量为，故D正确． 变式4．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题知且向量与方向不相同，再根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，， 因为向量与的夹角为锐角， 所以且向量与方向不相同， ，解得， 向量与共线，解得， 所以时，向量与共线且方向相同， 所以的取值范围为 变式5．（2026·四川攀枝花·二模）已知向量，，若在上的投影向量为，则________． 【答案】 【详解】因为在上的投影向量为， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量：用基底表示向量、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 平面向量：用基底表示向量、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 考点目录 用基底表示向量 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 考点一 用基底表示向量 例1．（2026·湖北黄冈·三模）已知圆上有不同的三点，其中，，则实数的关系为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·河南新乡·三模）在四边形ABCD中，，设，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·安徽淮南·阶段检测）如图,在中,,,与相交于点,若（）,则__________. 例4．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知中，，线段与线段交于点，若，则______. 变式1．（2026·山东临沂·二模）已知四边形ABCD为平行四边形，，F为AC与DE的交点，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·广东深圳·二模）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三下·重庆·阶段检测）在等腰直角中，点D是斜边AC上靠近点A的三等分点，若，则______． 变式4．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）在平行四边形中，为的中点，若，则__________. 考点二 平面向量的数量积 例1．（2026·重庆渝中·三模）在正方形中，，点在直线上满足 ，点在直线上满足 .已知 ,则（    ） A． B．1 C． D．2 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知单位向量，，满足，则向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·广东东莞·二模·多选）若为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（   ） A．的夹角为 B． C． D． 例4．（2026·陕西·模拟预测）已知向量的夹角为，则__________. 例5．（2026·吉林·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则______；若，则的最大值为______． 变式1．（2026·陕西榆林·三模）已知不共线向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 变式2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，若，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中·多选）已知平面向量、均为非零向量，且，则（    ） A．等价于 B．的最大值为 C．为定值 D．的最大值为 变式4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知非零向量，满足 ， ，则 的夹角为_____. 变式5．（2026·云南昆明·模拟预测）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则________． 考点三 平面向量的坐标运算 例1．（2026·吉林·三模）已知，，且，则（    ） A．4 B．1 C． D． 例2．（2026·山东烟台·二模）已知向量，，若，则（   ） A．-2 B．-4 C．-6 D．-8 例3．（25-26高三下·江西景德镇·期中·多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若与方向相反，则 B．若，则 C．若，则在方向上的投影向量坐标为 D．若 则与夹角的余弦值为 例4．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知向量，，若，则_________． 例5．（2026·重庆渝中·二模）已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 变式1．（2026·安徽合肥·三模）设向量，若，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·河北保定·三模）已知向量在上的投影向量的坐标为，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·陕西安康·三模·多选）已知向量，则（   ） A． B． C．可以用线性表示 D．在上的投影向量为 变式4．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为______. 变式5．（2026·四川攀枝花·二模）已知向量，，若在上的投影向量为，则________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $