2026年高考数学考前终级押题卷02(全国通用）2026年高考数学考前最后一课

**基本信息** 2026新高考数学终极押题卷，三轮冲刺适配性强，以跨模块、社会热点等新考向为核心，通过灯会概率、智驾测试等现实情境，考查数学眼光观察、思维推理与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、三角函数、概率|新定义函数单调性、正四面体切球体积| |多项选择题|3/18|统计直方图、抛物线光学性质、导数应用|新能源汽车续航统计、抛物线反射定律| |填空题|3/15|向量投影、圆锥体积、双曲线离心率|攒尖结构数学文化、向量坐标运算| |解答题|5/77|数列、立体几何、统计概率、椭圆、导数|高阶智驾测试数据分析、跨模块函数证明|

2026年新高考数学终极押题卷第一套 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则的虚部为（    ） A．-3 B．-3i C．3 D．3i 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．【新考向预测：跨模块题】在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 6．【新考向预测：社会热点题】2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A． B． C． D． 7．【新考向预测：新定义题】已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A．3 B． C． D． 8．【新考向预测：试验题】如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（    ） A．6π B．9π C． D．21π 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．【新考向预测：社会热点题】某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（    ） A．续航里程在区间内的频率为0.4 B． C． D． 10．【新考向预测：学科交叉题】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．点关于x轴的对称点在直线上 C．直线与直线相交于点D，则A，O，D三点共线 D．直线与间的距离最小值为4 11．已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．和的图象不存在公切线 B．在上是增函数 C．若恒成立，则整数的最大值为2 D．若，且，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 13．【新考向预测：数学文化题】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为，体积为，则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角的正切值为 . 14．已知双曲线：的左焦点为，左顶点为．以原点为圆心，分别以，为半径作圆，．设是圆与在第一象限的交点，连接交圆于，两点．若，则的离心率为_________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15．（13分） 已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 16．(15分) 如图，在四棱锥中，，点为的中点，且平面与交于点． (1)求证：； (2)若平面平面，四边形为矩形，．点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 17．（15分） 【新考向预测：社会热点题】高阶智驾技术是汽车研发领域的一个重要方向.某学校创新社团爱好者研发了一个感知路况障碍的小汽车模型.该模型通过三个探测元件共同判断路段是否有路障.在对该模型进行测试中，该社团同学寻找了100个不同的路段作为测试样本，数据如下表：（假设三个探测元件对路况的判断相互独立） 测试结果真实路况 探测元件1 探测元件2 探测元件3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 25 1 1 25 4 15 15 0 有障碍 50 10 10 55 5 10 55 10 5 (1)从这100个路段中随机抽取一个路段，求探测元件2对该路况判断正确的概率； (2)从这100个路段中随机抽取一个无障碍的路段进行测试，设为探测元件1和探测元件3对无障碍的路段判断正确的探测元件数，求的分布列和数学期望； (3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种探测元件，在通过某路段时，只要3个探测元件中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速.请问可以通过提高哪一个探测元件的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于.（直接写出探测元件1、2、3其中一个，结论不要求证明） 18．（17分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右顶点和上顶点分别为和，． (1)求的标准方程； (2)设为线段上的动点，过作平行于轴的直线与在第一象限内交于点，点满足，延长线段交于另一点． ①当的横坐标为1时，记直线和的斜率分别为和，求的值； ②当直线的斜率为1时，直线与线段交于点，记和的面积分别为和，求的值． 19．(17分) 【新考向预测：跨模块题】已知函数，为的导函数，曲线关于点对称. (1)求的值； (2)，恒成立. （i）求b的值并探究的零点个数； （ii）若，且，证明：. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年新高考数学终极押题卷第一套 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知， 所以． 2．已知复数，则的虚部为（    ） A．-3 B．-3i C．3 D．3i 【答案】A 【解析】∵ 虚数单位i的幂次周期为，，∴ . ∴ 分母为 . . 根据复数虚部的定义可知的虚部为. 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得. 4．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ， ， ，故B正确． 故选：B． 5．【新考向预测：跨模块题】在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【解析】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 6．【新考向预测：社会热点题】2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记事件: 甲游览机场跑道无人机灯区，事件: 甲与乙不到同一赏灯区，则， 因为每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区，则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个赏灯区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若游览机场跑道无人机灯区有2人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的游览情况种数为， 若游览机场跑道无人机灯区只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个赏灯区， 此时，不同的游览情况种数为， 因此，， 由条件概率公式可得. 7．【新考向预测：新定义题】已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知， 函数的单调递减区间为， 则或， 由，解得， 而，故需满足，即，此时不存在； 由，解得， 则需满足，即，即， 故，即， 故选：C 8．【新考向预测：试验题】如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（    ） A．6π B．9π C． D．21π 【答案】B 【解析】如图所示正四面体，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心，延长AO交底面BCD于， 是等边三角形BCD的中心，过作交CD于，连接BF， 根据对称性，BF过点E， 则OE为正四面体内切球的半径， 正中，高，而，， 同理，所以， 所以， 解得，所以正四面体ABCD内切球的表面积为， 由图可知最大球内切于高的正四面体中， 最大球半径，故最大球表面积为， 进一步，可知中等球内切于高的正四面体中， 中等球半径，故中等球的表面积为， 最小球内切于高的正四面体中， 最小球半径，故最小球的表面积为， 所以九个球的表面积之和为． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．【新考向预测：社会热点题】某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（    ） A．续航里程在区间内的频率为0.4 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，续航里程在内的频率为：，A正确； 对于B，频率分布直方图中，所有组的频率和为1，组距为100， 因此：，解得，因此选项B正确； 对于C，由于前2组的频率为0.3，由题意知第一四分位数为a， 则有； 由于前3组的频率为0.6，第二四分位数为b， 则有，C错误； 由于前4组的频率为0.85，第三四分位数为c， 则有， 故，则，D正确. 10．【新考向预测：学科交叉题】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．点关于x轴的对称点在直线上 C．直线与直线相交于点D，则A，O，D三点共线 D．直线与间的距离最小值为4 【答案】ACD 【解析】由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点，    设直线AB的方程为， 将直线AB的方程代入中，得， 所以由韦达定理得，，所以，故选项A正确； 若点关于x轴的对称点在直线上，则， 所以，即，不一定成立，故不合题意，选项B错误； 直线与相交于点，所以直线OD的斜率为， 又直线OA的斜率为，所以，所以A，O，D三点共线，故选项C正确； 直线与间的距离， 当时，d取最小值4，故选项D正确； 故选：ACD. 11．已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．和的图象不存在公切线 B．在上是增函数 C．若恒成立，则整数的最大值为2 D．若，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】由，则，且，则在处的切线为， 由，则，且，则在处的切线为， 综上，和的图象存在公切线，A错； 在上，则单调递增，且， 在上，则单调递增， 综上，结合复合函数的单调性知，在上是增函数，B对； 由，令且， 显然在上单调递增，且， 所以，使，即， 在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又在上单调递减， 所以，而恒成立，则整数的最大值为2，C对； 由，则，故， 由，则， 又及在上单调递增，则，即， 所以，则， 综上，， 令且，则， 所以在上单调递增，则，D对. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 【答案】 【解析】，， 因为，所以， 解得．所以，， 所以在方向上的投影向量的坐标为． 13．【新考向预测：数学文化题】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为，体积为，则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角的正切值为 . 【答案】 【解析】圆锥的底面圆的面积为，设底面圆的半径为，则，解得， 所以底面圆周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长， 又屋顶的体积为，设圆锥的高为，则，所以，   所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形的半径， 所以侧面展开图扇形的圆心角约为，故. 14．已知双曲线：的左焦点为，左顶点为．以原点为圆心，分别以，为半径作圆，．设是圆与在第一象限的交点，连接交圆于，两点．若，则的离心率为_________． 【答案】 【解析】设的右焦点为，半焦距为（）．设的中点为，连接，，，，，易知． 不妨设在的左侧，因为，，所以，， 又，所以，不妨均设为（），易知， 从而，因此，整理可得①． 又在中，有，整理得②． 由①②可得，解得，可得，因此离心率． 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15．（13分） 已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【解析】（1）依题意可知，，解得， 所以，．（6分） （2）由（1）可知，，则 ， ， 两式作差得 ，（12分） 所以．（13分） 16．(15分) 如图，在四棱锥中，，点为的中点，且平面与交于点． (1)求证：； (2)若平面平面，四边形为矩形，．点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【解析】（1）在四棱锥中，由平面平面，得平面， 又平面，平面平面，则， 而点为的中点，因此为中点，，又， 所以.（5分） （2）由四边形为矩形，得， 由平面，平面平面，平面平面， 得平面，又，则直线两两垂直，（7分） 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由点在线段上，设， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 由直线与平面所成角的正弦值为 得，（12分） 而，解得， 所以线段的长为.（15分） 17．（15分） 【新考向预测：社会热点题】高阶智驾技术是汽车研发领域的一个重要方向.某学校创新社团爱好者研发了一个感知路况障碍的小汽车模型.该模型通过三个探测元件共同判断路段是否有路障.在对该模型进行测试中，该社团同学寻找了100个不同的路段作为测试样本，数据如下表：（假设三个探测元件对路况的判断相互独立） 测试结果真实路况 探测元件1 探测元件2 探测元件3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 25 1 1 25 4 15 15 0 有障碍 50 10 10 55 5 10 55 10 5 (1)从这100个路段中随机抽取一个路段，求探测元件2对该路况判断正确的概率； (2)从这100个路段中随机抽取一个无障碍的路段进行测试，设为探测元件1和探测元件3对无障碍的路段判断正确的探测元件数，求的分布列和数学期望； (3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种探测元件，在通过某路段时，只要3个探测元件中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速.请问可以通过提高哪一个探测元件的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于.（直接写出探测元件1、2、3其中一个，结论不要求证明） 【解析】（1）由题设表格中的数据，这100个路段中， 探测元件2判断正确的路段有个， 设“探测元件2对该路况判断正确”为事件，则. （2）这100个路段中无障碍的路段共有30个， 在这30个无障碍的路段中，探测元件1判断正确的有25个，错误的有5个， 探测元件3判断正确的有15个，错误的有15个， 所以探测元件1判断正确的概率，错误的概率为，             探测元件3判断正确的概率，错误的概率为，             由题意得，随机变量的所有可能取值为0，1，2，             可得，             ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以期望为. （3）可以通过提高探测元件3的判断准确率， 使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于. 理由如下：共有30个无障碍的路段， 探测元件1判断无障碍的有25个，由频率估计概率，所以无障碍路段上， 估计探测元件1判断无障碍的概率， 探测元件2判断无障碍的有25个，由频率估计概率，所以无障碍路段上， 估计探测元件2判断无障碍的概率， 设探测元件3无障碍判断正确的概率为， 小汽车在无障碍的道路上减速的概率为， 若，可得，解得， 又原探测元件3无障碍判断正确的概率为，， 所以可以通过提高探测元件3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于. 18．（17分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右顶点和上顶点分别为和，． (1)求的标准方程； (2)设为线段上的动点，过作平行于轴的直线与在第一象限内交于点，点满足，延长线段交于另一点． ①当的横坐标为1时，记直线和的斜率分别为和，求的值； ②当直线的斜率为1时，直线与线段交于点，记和的面积分别为和，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据椭圆的性质结合离心率构造方程求出，进而求出椭圆方程； （2）①根据已知条件结合椭圆方程求出相关点坐标，利用斜率公式表示斜率，进而求解；②设坐标及直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合构造方程求出，进而得出点坐标，进而求出． 【解析】（1）设的焦距为，右顶点，上顶点， 离心率为，， ，， ，解得，故， ， 的标准方程为．（4分） （2）由题意可得，，直线的方程为， ①当的横坐标为1时，， 由题意可知点为线段的中点，， ， ；（9分） ②设，直线的方程为， 由，得， ， 为线段上的动点， ， ， ，故， 三点共线， ， 又， ， 将代入上式并化简，得： ， 即 ，解得，（11分） 当时，，与点在第一象限内矛盾，舍去；（12分） 当时，直线的方程为， ，， 又，得，（15分） ．（17分） 19．(17分) 【新考向预测：跨模块题】已知函数，为的导函数，曲线关于点对称. (1)求的值； (2)，恒成立. （i）求b的值并探究的零点个数； （ii）若，且，证明：. 【解析】（1）对进行求导，得， 又曲线关于点对称，， 即， 即，.（5分） （2）（i）由（1）知，，， 若恒成立，即恒成立， 若，取，则，不合题意， 若，，此时，故 b的值为. ， 记，则， 当时，单调递增，且， 故存在，使得， 当时，，，无零点； 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又，时，有一个零点， 由对称性可得时，有一个零点， 综上，有个零点.（11分） （ii），， 故的图象关于对称， 由（i）得，当时，，单调递增； 时，，单调递减， 由对称性可知，时，单调递增；时，单调递减，（13分） 当时，，下证此时， 设，则， 当时，单调递增，, 即，又，，即， 当时，显然， 当时，显然， 综上，得证.（17分） 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $