湖北省名校联盟（圆创）2026届高三五月检测数学试题

数 学 本试卷共4页，19题。满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的 指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.sin15°+cos15°= A号 B号 c D.√2 2.已知集合A={xlx>a),B={x|一1≤x≤2}，若(CRA)∩B=0,则a的取值范围是 A.(-0,-1) B.[-1,2] C.(-0,2) D.[2,+oo) 3.已知复数x满足x泛=2i(1一x),则≈= A.i B.-i C.1+i D.1-i 4.已知一组样本数据有两层，第一层有N个数据，平均数为元，第二层有M个数据，平均数为夕，两层数 据合到一起计算出的平均数为乏，后来第一层又增加了n个数据，这个数据的平均数为m,则新的样 本数据的平均数为 A.十m+过 nm 3 B.交十m C.乏+M+N+n D.NE+nin+My N+M+n 5.已知函数f✉)=(+22)}是则x) A.是奇函数，且在区间(0，十∞)单调递增 B.是偶函数，且在区间(0，十o)单调递减 C.是奇函数，且在区间(0，十o)单调递减 D.是偶函数，且在区间(0，十o)单调递增 6,已知椭圆c:十1(a>b>0)的离心率为e,点①，e)在C上，则h A.1 B.2 C.5 D.2 数学试卷第1页（共4页） 7,已知随机事件AB,C满足P(A)=子，P(B)=P(C)=},P(AB)=P(AC)=0,P(BC)=合，则 A、B、C至少有一个发生的概率为 A分 R号 c子 5 0 8.在△ABC中，已知AB=2AC,BC=3.记点A的运动轨迹为曲线E,△ABC的外接圆M与曲线E交 于A、D两点.当∠ABC取最大值时，AD= A R C4v② D.2√3 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知等比数列(an)的公比q>1,则 A.数列(a,)是递增数列 B.数列{lan}是递增数列 C.数列(a)是递增数列 D.数列(a1a2n)是递增数列 10.已知函数f(x)=x3-3a.x十b,则 A.∫(x)一定有零点 B.曲线y=∫(x)与直线y=x+b恒有3个交点 C.若∫(x)有3个零点，则它们的和为0 D.曲线y=f(x)上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形 11.已知正四棱锥P一ABCD的底面是边长为2的正方形，高为h,其五个顶点均在半径为R的球O,的 球面上，半径为r的球O2与正四棱锥的五个面均相切，则 A.若四棱锥O2一ABCD和三棱锥O2一PBC的体积相等，则h=√15 B若0，为底面中心，则r=6一2 2 C.若O1与O2重合，则R=1十√2 D.若O1在棱锥内，且在球O2的球面上，则R=(1十√3)r 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=(1,一1)，b=(0,2),若a+b与2a一kb平行，则实数k=_ 13.已知A(3w3),B(3,-3)为曲线y=sin (wx十p)(0<w<4,0<p<)上的两点， 则p= 14.已知点A、B分别为曲线y=e和y=e2-r上的动点，过A、B分别作x轴的垂线AD、BC,垂足分别 为D、C.若AD=2BC,AD<e,则四边形ABCD面积的最大值为 数学试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知函数f(x)=ax2-lnx (1)若f(x)存在大于零的极值，求a的取值范围； (2)对于函数g(x),若g(xo)=xo,则称x0为g(x)的不动点.判断是否存在a,使得f(x)的极值点 同时也是不动点，并说明理由. 16.(15分) 记Sn为等差数列(an}的前n项和，已知a3m=3am十2，S2m=4Sm (1)求am; (2)记数列(6，}的前n项和为T,且T,-,+1.若对Ym∈N,T,≤，十6.，求6的取值范围. 17.(15分) 如图，已知平行六面体ABCD一A1B,C,D,的底面ABCD是边长为a的菱形，AA,=b,∠A1AB= ∠A1AD=∠DAB=0(0<0<π). (1)证明：平面A1ACC1⊥平面D,DBB1; (2)对确定的a与b,求使得平行六面体表面积取最大值的0； (3)在(2)的条件下，当直线A,C与平面AB,C所成的角最大时，求a与b的关系. 数学试卷第3页（共4页） 18.(17分) x2y2」 已知双曲线E:后一=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为FF,离心率为2，M为E上的动点，且 M到两焦点的距离的差的绝对值为2. (1)求E的方程； (2)过点M作斜率为号和一云的直线，分别与E交于点G、H,求GH的最小值： (3)过点F,的直线L1交E于A、B两点，过点F2的直线l2交E于C、D两点，L1与L2交于点P,且 与，的斜率之积为，证明：△PAD与△PBC面积的乘积为定值 19.(17分) 现有n枚质地均匀的硬币，第一次分别抛掷这n枚硬币，完成后，将其中正面朝上的硬币进行第二次 抛掷，记两次抛掷后正面朝上的次数之和为X, (1)当n=2时，求X的分布列与数学期望； (2)对确定的n,Vk∈{0,1,2，…，2n},3m∈(0,1,2，…，2)，使得P(X=m)≥P(X=k)成立，请直 接写出m,不用推导； (3)求E(X). 数学试卷第4页（共4页） 数学试卷参考答案与详解 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D 马 A B BCD AC ABD 1snl5+w15-sn15+46-9击c 2.由A={xlx>a},得CRA={x|x≤a}.因为(CRA)∩B=o,所以a<-1,选A. 3.设z=a+bi,a,b∈R,则(a+bi)(a-bi)=2i(1-a-bi),即a2+b2=2b+2(1-a)i,所以a2+b2= 2b,0=2(1一a),解得a=b=1,所以x=1十i,选C. 4.方法一：由题意，知=卡x1十十v)5=y1十+yM), 示=子zN1++还N)2N中十…+xN+y十十yW》 1 1 所求平均数为N+M十mx1+…+xv十xN+1++xN+m十y1++yw)=N+M+m（N+nm+ M),选D. 方法三所求平均数为×+严+十效-X灯-++5选D N+M+n 5因为f)-(》}2,所以(-x)=),所以了x)为偶函数 又)=1十22和y-上在0，十)上大于0且单阔递减，所以了e)在0，十0)上单调遥减，故法R 6由意，知：=后将点1，会代人猫圆方密，得十后1而。-6+，所以公=1，放法A 7.由P(AB)=P(AC)=0知，事件A、B互斥且事件A、C互斥，故P(ABC)=0.所以P(A+B十C)= PA)+P(B)+P(C)-PAB)-PAC)-P(BC)+PABC)-号选B 8.设A(x,y),B(-2,0),C(1,0),则V(x+2)+y=2√(x-1)+y,化简得(x-2)2+y2=4(y≠ O),知曲线E是半径为2的圆（去掉与直线BC相交的两点）.结合图形，当直线AB与圆E相切时， ∠ABC最大，此时∠ABC=30°，AB的中点为圆心M,半径为5，两圆圆心距为7，求得AD=4y, 7 选C 9.由于不知道a1的正负情况，故数列(an}不一定是递增数列，A错误； 因为-9>1，所以数列a,是递指数列，B正角： 数学试卷参考答案与详解第1页（共7页） 因为a>0,。三g>1,所以数列(a引是递增数列，C正确： 因为a1a=aig2->0,且a1a2红=g2>1,所以数列(a1a2}是递增数列，D正确，选BCD. a a2n-2 10.对A选项，由三次函数图象可知，其至少有一个零点，故A正确； 对B选项，方程x3-3ax十b=x十b可整理为x(x2-3a一1)=0，当3a+1≤0时，方程只有一个根， 对应曲线没有3个交点，故B错误； 对C选项，设其3个零点分别为x1,x2,x3,则f(x)=x3一3a.x十b=(x一x1)(x一x2)(x一x3),展 开有(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x3-(x1十x2十x3）x2十(x1x2十x2x3十x1x8)x-x1x2xa,从而 x1十x2十x3=0,故C正确； 对D选项，由于曲线y=f(x)关于点(0，b)中心对称，不妨设b=0.若存在符合条件的菱形，则其中 心为原点，过原点互相垂直的直线为菱形的对角线.由f(x)=3x2一3a,曲线y=f(x)在原点的切 线斜率为一3a.只有当a>0且直线的斜率大于一3a时，对应直线才与曲线y=f(x)有两个交点，菱 形才能存在，当a≤0时，不存在这样的菱形.故D错误，选AC. 11.设正方形ABCD的中心为F,取BC的中点E,连接PE,则PE=√h2+1,PC=√h2+2. 分别过O2、O1,作O2G⊥PE、O1H⊥PC.由题意，知O2G=O2F=r,PO1=R. 对于选项A,由V%Am=Vw,m,得号×4X,=号×号×2× √h+1Xr,解得h=√5，故A正确； 对于选项B,R=h=√2，可以求得棱锥的表面积为4十43. 0 由Vr-m=号专×4X厄=号×rX(4+4),解得r=22 0 C 2 故B正确； B 对于选项C,有h=R十r.在Rt△O2FC中，有R2=r2+2. 由R△PO,G-R△PEF,得子 R,解得R2=1十2，故C错误， 对于选项D,有h=R+2r.在Rt△O1FC中，有R2=4r2+2.由R△PO,G~Rt△PEF,得 告化简得R-6R-4=0,即(+2)[侣}-2）-2习=0，解得-=1+5，故D正确 √h2+ 选ABD. 12.由已知得a+b=(1,1),2a-kb=(2,-2-2k).由平行得2+2十2k=0,所以k=-2,故填-2. 1B由题意行十p=受了0十9=受解得w=受则g-吾 数学试卷参考答案与详解第2页（共7页） 14.设A(x1,e1)、B(x2,e2-9),则|AD|=e1,|BC|=e2-”.由|AD|=e1<e,得x1<1. 由|AD|=2|BC1,得e1=2e2-2,所以x1=ln2+2-x2,从而x2>1+ln2. 梯形ABCD的面积S=方×3e2Xx:-x)=32,22) 2e2-2 令fx)=32x22h2(r>1+1n2,有f'x)-34+h2=2）. 2e-2 2e-2 当x∈(1+1n2,2+受)时，fx)>0,fx)单调递增；当x∈(2+竖，+w)时，fx)<0,fx)单调 递减. 放当x=2+受时)原最大值f+罗)-8号，故续号 15.(1)f(x)的定义域为(0，+∞).f'(x)=2ax- (1分) 若a≤0，则f'(x)<0,f(x)单调递减，无极值； ....e (3分) 若e。>0,由2ax-0,得2=√层则层为fG)的极值点…（5分》) 由题意，有()-h>0，解得。> 1 所以a的取值范围是( (6分) ②)由1知，层为fx)的值点 由不动点的定义，有号含n六-侣整理得1十hn2a) =0。…(8分) a 令h)=1+n(2)-2,则A'r)=上+互 .由h'(x)>0,知h(x)单调递增。…(9分) 2x2 因为)-1-216(-2是是6-≥0 (11分) 所以存在a∈（分号》，使得了x)的极值点同时也是不动点。… …(13分) 16.(1)由题意a3=3a1十2，S2=4S1,所以a1+2d=3a1十2,2a1十d=4a1, 解得a1=1,d=2.… (3分) 所以aw=2n一l.…(5分) 2油1知，T=2=1-2+61=T=号 2n 2 (6分) 1 所以当n≥2时，b,=Tm一T-12n—一2m+ 1 000400000 (8分) 数学试卷参考答案与详解第3页（共7页） 当n=1时，6=1-号-号也成立，所以6，=动 1 1 …(9分） 1 1 1 T,≤ka,+b,等价于1-2n+≤k(2m-1)+2m-12m+1' 整理得6≥2一（品小： (11分) 记)2一(2品)°则f0)-（2}°+子面2-1≥1，所以 当n=1或n=2时，f(n)有最大值.…(13分) 2 当n=1时，f(1)=0;当n=2时，f(2)= …（14分） 所以了a)的最大值为号，即（一（二）}的最大值为号故≥号 .…(15分) 17.(1)由条件可知，BD⊥AC,|AB|=|AD1=a,AA,1=b. 因为BD=AD-AB, 所以BD.AA=(AD-AB)·AA,=AD.AA,-AB.AA=abcos0-abcos0=0. 所以BD⊥AA1,…(2分) 因为ACC平面A1ACC1,AA1C平面A1ACC1,AC∩AA1=A, 所以BD⊥平面A1ACC1,…(3分) 因为BDC平面D1DBB1,所以平面A1ACC1⊥平面D1DBB1.…(4分) (2)平行六面体的表面积S=2AB·ADsine0+4AD·AA1sin0=(2a2+4ab)sin0.·(6分) 所以，当0=时，平行六面体的表面积取最大值。…(7分) (3)在(2)的条件下，该平行六面体为长方体.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0), A1(0,0,b),C(a,a,0),B1(a,0,b).所以AC=(a,a,0),AB1=(a,0,b),A1=(a,a,-b). 设平面AB,C的法向量为n=(x,y,z). D AC·n=0,ax十ay=0, 由 得 AB1·n=0,lax+bz=0. 令x=b,得y=-b,z=一a,所以n=(b,-b,-a).…(10分) 设直线A1C与平面AB,C所成的角为p, 则sinp=cos<A1C,n>|= ab √2a2+b'√2b2+a (13分) +)2+)5+2后+】 数学试卷参考答案与详解第4页（共7页） 因为96 会+≥2，当且仅当a=6时取等号，所以sng<号 …（14分） 所以，直线A1C与平面AB1C所成的角最大时，a=b.…（I5分) 18.(1)由题意，a=1,c=2,所以b2=c2一a2=3.…（1分) 所以E的方程为2子-苦-1.（但分） 2设M.则6-普-1 因为号后 所以MG的方程为y一yo= 22),MH的方程为y-yo=一（z一xo.” 3 设G(x1y1),H(x2y2). 将直线MG的方程与曲线E方程联立， -3-y0 112 xo 解得x1= 8 …(4分） 3 2o 1 Λ2 -3- 同理，可得x= √3 8 …(5分) 2 所以x1一x,=8 2y0x1十x2= 6-2-号 5 8 20. …(6分) 3To 3 o 以G-6,+1-+后-爱} ax3-80+号-x-1 …(7分) 由于：≥1，所以1GH≥，从而GH1的最小值为 2 …(8分) 62 (3)设l1:y=k,(x+2),l2:y=k2(x一2)，则k1k2= =3 设P(x0,yo),则y02=3(x2-4). (9分) 设l1的倾斜角为a,l2的倾斜角为B,∠F,PF2=0,则0=B一a, 数学试卷参考答案与详解第5页（共7页） 所以sin0=sin(B-a).…(10分） 于是，sin0=sins9+cos'asin-2 sinacoi9cosg (sin2a++cos2a)(sin2B+cos2B) _tan2a+tam29-2 tanatanB_k导+k经-6 (1+tana)(1+tanβ)(1+k)(1+k经) …(11分) 联立l1与E的方程，得(3一k)x2一4kx一4k-3=0. 设A(x3y3),B(x4y4). 4k3 -4k7-3 则x十x4=32x=3-好 …(12分） 所以，|PA|PB|=(1+k)|x3-xo|x4-xo| =(1+k)|x3x4-xo(xa十x4)+x8| =日1--3w*8-l =日18-+ +氛-+阳 …(14分) -13-k引 同理，PCPD|=3- 9(1+k8) …(15分) 所以S△oSAx=号×PAPDin9X号-IPCI1PBIsin9 -片××常×特 -斗X。--×为定值 k好十经一6 …(17分） 19.（1)当n=2时，由题意知X的可能取值为0,1,2,3,4. P(X=0=C×(份)°-日 P(x=10=×(2》xCx分-， pX=2)=c×(号)}×c×2+c×(2)×c×(分)°=最， p(X-3)-c×()》×c×(份)°-8， p(x=4=c×(合)×c×(分)=8 …（4分） 数学试卷参考答案与详解第6页（共7页） X的分布列为 0 2 4 18 6 E(X)=0x+1×+2×6+3xg+4×6=受 5 (6分) (2)当n=3时，求得X的分布列为 0 2 3 5 6 P P 12 18 13 9 3 1 64 64 64 64 64 64 6 当n为偶数时，m=n; …(8分)》 当n为奇数时，m=n一1. (10分) (3)设第一次正面朝上的次数为i,i=0,1,2,…,n,第二次正面朝上的次数为j,j=0,1,2,…,i, 则x=i十j, PX=i+i)=Cx(合)八×c×(号： (12分) 从而，E(x)=2+iC×号）”×C×(号： (13分) 由组合数的性质，kC=nC-,所以2kC=n2C==n·21 ......... (14分) 所以EX)-22:+iC×(分)xx(》 -cc(号)+cc(号)门 -c()c+c(号)2c -2c(号)×2+c(号)'×2-可 (合)2c:+(合）)含c =(号）”×m…2+()×m…2- (17分) 数学试卷参考答案与详解第7页（共7页）