4.4利用三角形全等测距离课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形 4.4 利用三角形全等测距离 学习目标 利用三角形全等测距离 1.能利用三角形全等解决无法直接测量距离之类的实际问题，体会数学与实际生活的联系． 2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达． 3.经历多种方案的设计过程及应用，培养学生的应用意识． 一级标题：黑体， 2 情境引入 你知道这位战士是怎么做的吗？能不能用本章所学习的知识来解决呢？ 一位经历过战争的老人讲述过这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功. 新知探究 探究：利用三角形全等测距离 如图，这个战士面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离. 步测距离 碉堡距离 　　知识点▶ 利用三角形全等测距离 　　例1 如图，山脚下有A，B两点，要测出A，B两点间的距离．在地 上取一个可以直接到达A，B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝ CA；连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，测得DE的长就是AB 的长．请你说明这样做的理由． 　　解：在△ABC和△DEC中， 　　所以△ABC≌△DEC(SAS)． 　　所以AB＝DE，即DE的长就是AB的长． 　　1.如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观 测，在BA的延长线上找一点B′，使∠ACB′＝∠ACB，这时量出AB′的 长，即为AB的长，这种做法正确吗？为什么？ 　　解：正确．理由如下： 　　因为AC⊥AB， 　　所以∠BAC＝∠B′AC＝90°. 　　在△ABC和△AB′C中， 　　所以△ABC≌△AB′C(ASA)．所以AB＝AB′. 做一做 这位聪明的八路军战士的方法如下： 战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。 A C B D ？ 你相信这个故事中的测量方法能够测量出我军与碉堡的距离吗? 那位同学能给大家演示一下这种方法呢？ 你可以把我们的战士的想法用图示表示出来吗？和同伴交流你的看法。 战士这么测量的依据是什么? 你能解释其中的道理吗?  思考 新知探究 （1）按这名战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证. 具体操作时，可以用一张纸或一个本子代替帽檐，先确定好一个目标，再调整“帽檐”，使视线通过“帽檐”望去恰好落在目标上，然后保持“帽檐”不动，转过一个角度再望出去，视线所落的位置即为第二个目标.最后用步测等方法测量出两个目标与观察者的距离，验证战士做法的合理性. 确定第二个目标时，可以重复2~3次后求平均数，以避免出现较大的误差. 新知探究 （2）你能解释其中的道理吗？ 人面向两个不同方向，人的身体分别与视线、地平线构成的两个三角形全等（ASA），再根据全等三角形的对应边相等，量出自己与那个点的距离就是他与碉堡间的距离. 你能将这个问题转化为数学问题吗？ 　　例2 (北师七下P119复习题T16变式)如图，太阳光线AC与A′C′是平 行的，同一时刻将木杆AB与A′B′垂直立于地面上，若两根木杆的影子 一样长，木杆A′B′的高度为1.2 m，求木杆AB的高度． 　　解：由题意，得AC∥A′C′，AB⊥BC，A′B′⊥B′C′，BC＝B′C′. 　　所以∠ACB＝∠A′C′B′，∠ABC＝∠A′B′C′＝90°. 　　在△ABC和△A′B′C′中， 　　所以△ABC≌△A′B′C′(ASA)． 　　所以AB＝A′B′＝1.2 m． 　　2.应用意识 如图，甲、乙两军区进行军事演练，乙军区在河东岸Q 处，因不知河宽，甲军的狙击手在O处很难瞄准乙军军营，于是甲军连 长站在西岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看 到乙军军营Q处，然后他后退到B点，这时他的视点恰好落在O处，此时 他只需测量脚站的B点和O点的距离，即可知道狙击手与乙军军营的距 离，请你说明这样做的理由． 　　解：由题意，得AB＝PO，AO∥PQ，AB⊥BO，PO⊥BQ. 　　所以∠AOB＝∠PQO，∠ABO＝∠POQ＝90°. 　　在△ABO和△POQ中， 　　所以△ABO≌△POQ(AAS)．所以BO＝OQ. 做一做 A C B D ？ BC= DC（ ） 理由：在△ACB与△ACD中， ∠BAC=∠DAC AC=AC（公共边） ∠ACB=∠ACD=90° △ACB≌△ACD（ASA） 全等三角形的对应边相等 步测距离 碉堡距离 A B ● ● ● C E D 方案一：在能够到达A、B的空地上取一适当点C，连接AC，并延长AC到D，使CD=AC，连接BC，并延长BC到E，使CE=BC，连接ED。则只要测ED的长就可以知道AB的长了。 理由: 在△ACB与△DCE中， ∠BCA=∠ECD AC=CD BC=CE △ACB≌△DCE（SAS） AB=DE (全等三角形的对应边相等) 新知探究 在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B= ∠E=90°，∠A= ∠D。则有BC=EF，为什么？ 如图所示，将实际问题转换成数学问题为： A B C D E F ∴BC= DC（ ） 理由：在△ACB与△ACD中， ∠A=∠D AB=DE（公共边） ∠B=∠E ∴△ACB≌△ACD（ASA） 全等三角形的对应边相等 ∵ 新知探究 利用三角形全等测距离的原理: 知识归纳 由于两个全等三角形的对应边相等，因此利用全等三角形可以解决不能直接到达或不能直接测量的两点之间的距离问题。 解题关键是构造两个全等三角形，根据全等三角形的对应边相等得到两点间的距离。 　　 测量距离的方法选择 　　测量距离 新知探究 你能说明其中的道理吗? 如图所示，A,B两点分别位于一个池塘的两端,小丽想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位叔叔帮他出了这样一个主意:先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA;连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度,DE的长度就是A,B间的距离. 新知探究 你能说出小丽每一步的理由吗？ 小丽的思考过程如下。 解:在△ABC和△DEC中, 因为AC=DC,∠ACB=∠DCE,BC=EC, 所以△ABC≌△DEC, 所以AB=DE. 解:在△ABC和△DEC中, 因为AC=DC(已知), ∠ACB=∠DCE (对顶角相等), BC=EC(已知), 所以△ABC≌△DEC(SAS), 所以AB=DE(全等三角形对应边相等). 新知探究 利用三角形全等测距离的方法: 知识归纳 (1)构造两边及其夹角分别相等的两个全等三角形; (2)构造两角及其夹边分别相等的两个全等三角形. 　　【一般性问题】任务2：小梦同学发现在如图1所示的四边形ABCD 中，任务1中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由． 　　解：任务1：在△GAE和△FAE中， 　　所以△GAE≌△FAE(SAS)．所以EG=EF. 　　因为EG=BG+BE=BE+DF，所以EF=BE+FD． 　　任务2：EF=BE+FD． 理由如下： 　　如图，延长CB至点M，使BM=DF，连接AM. 　　因为∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，所以∠ABM=∠D． 　　在△ABM和△ADF中， 利用三角形全等测距离 原理 方法 数学思想 全等三角形的对应边相等 构造全等三角形 用三角形全等构建数学模型解决实际问题 课堂总结 谢谢大家 $