第一章 二次根式【期末复习讲义】基础版-2025-2026学年浙教版数学八年级下册

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第一章 二次根式【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+20个题型讲练+真题实战练 共50题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 二次根式的识别 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 求二次根式的值 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 最简二次根式的判断 题型七 化为最简二次根式 题型八 已知最简二次根式求参数 题型九 二次根式的乘法 题型十 二次根式的除法 题型十一 分母有理化 题型十二 二次根式的乘除混合运算 题型十三 复合二次根式的化简 题型十四 同类二次根式 题型十五 二次根式的加减运算 题型十六 二次根式的混合运算 题型十七 已知字母的值，化简求值 题型十八 已知条件式，化简求值 题型十九 比较二次根式的大小 题型二十 二次根式的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【易错点拨】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【易错点拨】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【易错点拨】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点拨】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点二 二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【易错点拨】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2） 被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【易错点拨】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 二次根式的识别 【例1】（25-26八年级下·重庆綦江·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型讲练二 求二次根式中的参数 【例2】（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若实数x，y满足，则的值为__________． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）若是整数，则正整数n的最小值为_______． 题型讲练三 二次根式有意义的条件 【例3】（25-26八年级下·河北雄安·期中）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A．3 B．5 C．0 D． 【变式】（2026·贵州遵义·一模）二次根式有意义的条件是__________． 题型讲练四 求二次根式的值 【例4】（24-25八年级下·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 题型讲练五 利用二次根式的性质化简 【例5】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）已知实数满足，则化简的结果是（    ） A． B． C．4 D． 【变式】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）用长为的铁丝围成一个等腰三角形，底边长为，一腰长为． (1)写出表示y与x的函数关系的式子，指出自变量及其取值范围； (2)当等腰三角形的底边长为时，求出该等腰三角形的面积． 题型讲练六 最简二次根式的判断 【例6】（24-25八年级下·山东东营·月考）下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·浙江金华·月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 题型讲练七 化为最简二次根式 【例7】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知等边三角形的两个顶点的坐标为和，那么点C的坐标为_______． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）将化为最简二次根式为____________． 题型讲练八 已知最简二次根式求参数 【例8】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则________． 【变式】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 题型讲练九 二次根式的乘法 【例9】（25-26八年级下·广东广州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·江西赣州·期中）计算：． 题型讲练十 二次根式的除法 【例10】（25-26八年级下·山东济宁·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·山西阳泉·月考）已知，，求的值． 题型讲练十一 分母有理化 【例11】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：， 观察上面的解题过程，并解答下列问题： (1)____，的倒数是____． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用上面的解法，请化简：． 【变式】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，像、．两个有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如： ， 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)请写出的有理化因式：________；请将此式分母有理化________． (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值：________． 题型讲练十二 二次根式的乘除混合运算 【例12】（25-26八年级下·山东滨州·期中）计算 (1)； (2)． 【变式】（25-26八年级下·重庆·期中）计算： (1)， (2)． 题型讲练十三 复合二次根式的化简 【例13】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）【方法理解】在学习二次根式时，我们可以利用完全平方公式将部分含根号的式子化为完全平方式， 例如：； 【类比应用】 (1)请仿照上述方法，将化为一个式子的平方； (2)请仿照上述方法，化简：； (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【变式】（25-26八年级下·河北雄安·期中）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：． 解决问题： (1)在横线上填上适当的数： ______． (2)根据上述思路，试将予以化简． 题型讲练十四 同类二次根式 【例14】（25-26八年级下·广东中山·期中）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“12相关代数式”，则______； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）若最简二次根式与相等，则_______． 题型讲练十五 二次根式的加减运算 【例15】（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式】（25-26八年级下·河北雄安·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型讲练十六 二次根式的混合运算 【例16】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知，． (1)求，的值； (2)若的整数部分为，的小数部分为，求的值． 【变式】（25-26八年级下·河南焦作·期中）按要求作答： (1)计算： (2)已知，，求代数式的值． 题型讲练十七 已知字母的值，化简求值 【例17】（25-26八年级下·广西玉林·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）已知， (1)求和的值； (2)求式子的值． 题型讲练十八 已知条件式，化简求值 【例18】（25-26八年级下·云南昆明·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． (1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_________． 题型讲练十九 比较二次根式的大小 【例19】（25-26八年级下·山西朔州·期中）现有一块长为，宽为的长方形木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板？请说明理由． 【变式】（24-25八年级下·浙江温州·期中）形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是互为有理化因式，并说明理由． (2)化简（n为正有理数）． (3)请比较大小： （填“>”或“<”）． 题型讲练二十 二次根式的应用 【例20】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）李师傅家的电视背景墙是长方形形状，如图，，，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（阴影部分）． (1)矩形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为元/，大理石的造价为元/，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【变式】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）在数学课上，老师将一个长方形纸片的长增加 ，宽增加 ，就得到一个面积为 的正方形纸片，求原长方形纸片的面积． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，从一张大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽黄山·期中）有下列各式：①；②；③；④．如果，那么等式成立的是（    ） A．①② B．①④ C．①③ D．①②④ 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）小球从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s）．经过实验，发现h与成正比例关系，且当时，．则当时，t的值是_________． 5．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如果，那么的取值范围是_____． 6．（25-26八年级下·山东聊城·期中）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为________． 7．（25-26八年级下·海南·期中）如图，在中，E为中点，于点F，，，，则__________，的面积为__________． 8．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 9．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 10．（25-26八年级下·吉林·期中）像等两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)化简：________； (2)计算：； (3)已知正整数满足，直接写出的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第一章 二次根式【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+20个题型讲练+真题实战练 共50题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 二次根式的识别 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 求二次根式的值 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 最简二次根式的判断 题型七 化为最简二次根式 题型八 已知最简二次根式求参数 题型九 二次根式的乘法 题型十 二次根式的除法 题型十一 分母有理化 题型十二 二次根式的乘除混合运算 题型十三 复合二次根式的化简 题型十四 同类二次根式 题型十五 二次根式的加减运算 题型十六 二次根式的混合运算 题型十七 已知字母的值，化简求值 题型十八 已知条件式，化简求值 题型十九 比较二次根式的大小 题型二十 二次根式的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【易错点拨】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【易错点拨】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【易错点拨】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点拨】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点二 二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【易错点拨】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2） 被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【易错点拨】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 二次根式的识别 【例1】（25-26八年级下·重庆綦江·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”即可判断． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、被开方数是负数，选项说法错误，不符合题意； C、是三次根式，选项说法错误，不符合题意； D、因为，所以是二次根式，选项说法正确，符合题意． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 题型讲练二 求二次根式中的参数 【例2】（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若实数x，y满足，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）若是整数，则正整数n的最小值为_______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键． 根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的值即可． 【详解】解：∵是整数， ∴一定是一个完全平方数，最小是， 此时的值为． 故答案为：． 题型讲练三 二次根式有意义的条件 【例3】（25-26八年级下·河北雄安·期中）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A．3 B．5 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴被开方数满足 解得， 故选项B正确． 【变式】（2026·贵州遵义·一模）二次根式有意义的条件是__________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得被开方数为非负数，列出不等式即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 题型讲练四 求二次根式的值 【例4】（24-25八年级下·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解： ， ， 解得， ． 题型讲练五 利用二次根式的性质化简 【例5】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）已知实数满足，则化简的结果是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用二次根式有意义的条件确定的取值，然后代入二次根式化简． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）用长为的铁丝围成一个等腰三角形，底边长为，一腰长为． (1)写出表示y与x的函数关系的式子，指出自变量及其取值范围； (2)当等腰三角形的底边长为时，求出该等腰三角形的面积． 【答案】(1)，自变量为，其取值范围是 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的周长腰长底边长，可得出y与x的函数关系式，根据，可求出自变量及其取值范围； （2）把自变量的值代入函数关系式，求出，根据三线合一和勾股定理求出底边上的高，然后利用三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：由已知，得，，． ∴， ， ∴， ∴ ∴y关于x的函数表达式是，自变量x的取值范围是； （2）解：当时，， 如图，，作于H， ∴， ∴， ∴等腰三角形的面积是． 题型讲练六 最简二次根式的判断 【例6】（24-25八年级下·山东东营·月考）下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由可知，选项中的四个式子中是最简二次根式． 【变式】（25-26八年级下·浙江金华·月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式． B、，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． C、，被开方数是能开得尽方的平方数，∴不是最简二次根式． D、是最简二次根式． 题型讲练七 化为最简二次根式 【例7】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知等边三角形的两个顶点的坐标为和，那么点C的坐标为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况：点C在x轴上方和点C在x轴下方，过点C作于点H，求出的长，利用等边三角形的性质得到的长，则可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点C在x轴上方时，过点C作于点H， ∵，， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴点C的坐标为； 同理可求出当点C在x轴下方时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）将化为最简二次根式为____________． 【答案】 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式． 【详解】解：先把化为分数：，则． 根据二次根式的性质，将分母有理化： ． 故答案为 ． 题型讲练八 已知最简二次根式求参数 【例8】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则________． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意得： ∴ ∵最简二次根式与是同类最简二次根式 ∴ ∴ ∴ 故答案为：2． 【变式】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)1或 (2)2或 【分析】本题考查最简二次根式合并的性质与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据最简二次根式可合并的性质，得到两个二次根式的被开方数相等，列方程求解后验证被开方数非负得到的值； （2）根据二次根式被开方数必须非负，求出y的值，再代入计算得到的值． 【详解】（1）解：根据题意得，最简二次根式与最简二次根式可以合并， 则， 整理得：， 解得：或， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 因此，的值为1或； （2）解：根据题意得： 解得：， 由（1）知：或， 当、时，， 当、时， 因此，的值为2或． 题型讲练九 二次根式的乘法 【例9】（25-26八年级下·广东广州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据二次根式的运算法则进行计算即可判断正确的选项． 【详解】解：A、 、故A错误； B、 ，故B错误； C、，计算符合二次根式乘法法则，故C正确； D、与不是同类二次根式，不能直接合并，、故D错误． 【变式】（25-26八年级下·江西赣州·期中）计算：． 【答案】 【分析】利用平方差公式、二次根式的性质、二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 题型讲练十 二次根式的除法 【例10】（25-26八年级下·山东济宁·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则和性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，A计算错误； B、，B计算错误； C、，C计算错误； D、，D计算正确． 【变式】（25-26八年级下·山西阳泉·月考）已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式除法法则，并通分，再整体代入求值即可． 【详解】解：． 当，时， 原式． 题型讲练十一 分母有理化 【例11】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：， 观察上面的解题过程，并解答下列问题： (1)____，的倒数是____． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化化简即可解答； （2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可； （3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 的倒数是； （2）解：∵， ∴， 即的整数部分为2， ∴． 当时，； （3）解：原式 ． 【变式】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，像、．两个有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如： ， 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)请写出的有理化因式：________；请将此式分母有理化________． (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值：________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据有理化因式的定义和平方差公式解答即可； （2）将每一项的分母有理化后即可计算； （3）先将原式化为，由，可知当时，有最小值，进而求得原式的最大值． 【详解】（1）解：， 的有理化因式为； 分母有理化的结果为 （2）解：原式 ； （3）解：， ， 当时，有最小值，最小值为， 此时的值最大，最大值为， 即代数式的最大值为． 题型讲练十二 二次根式的乘除混合运算 【例12】（25-26八年级下·山东滨州·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用二次根式的乘除法则化简各项，再合并同类二次根式； （2）先将各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式】（25-26八年级下·重庆·期中）计算： (1)， (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）化简二次根式，计算绝对值及乘法，再计算加减法即可； （2）先化简二次根式，除法化为乘法，再计算乘法 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型讲练十三 复合二次根式的化简 【例13】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）【方法理解】在学习二次根式时，我们可以利用完全平方公式将部分含根号的式子化为完全平方式， 例如：； 【类比应用】 (1)请仿照上述方法，将化为一个式子的平方； (2)请仿照上述方法，化简：； (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题干中的方法变形即可； （2）把变形为即可求出答案； （3）求出，或即可求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： ， 为正整数， ∵，且，，均为正整数， ∴或， 或 ∴当时，； 当时，， 或． 【变式】（25-26八年级下·河北雄安·期中）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：． 解决问题： (1)在横线上填上适当的数： ______． (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；1；；； (2) 【分析】（1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型讲练十四 同类二次根式 【例14】（25-26八年级下·广东中山·期中）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“12相关代数式”，则______； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用二次根式的除法进行计算； （2）利用二次根式的乘法法则以及有理数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：∵M与N是互为“t相关代数式”， ∴， 整理得，， ∵t是有理数， ∴，， 解得，． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）若最简二次根式与相等，则_______． 【答案】2 【分析】根据定义得出，求出，然后代入计算即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与相等， ∴， 解得， ∴． 题型讲练十五 二次根式的加减运算 【例15】（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 【变式】（25-26八年级下·河北雄安·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据二次根式的相关运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵表示9的平方根，结果为，∴A错误； B、∵与不是同类二次根式，不能直接合并相加，∴B错误； C、∵，计算正确，∴C正确； D、∵===≠，∴D错误． 题型讲练十六 二次根式的混合运算 【例16】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知，． (1)求，的值； (2)若的整数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（）先求出，，的值，再利用完全平方公式变形求值即可； （）根据，则，所以，从而可得，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式】（25-26八年级下·河南焦作·期中）按要求作答： (1)计算： (2)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查二次根式的混合运算；根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）本题考查了因式分解、平方差公式以及二次根式的运算，正确求解是关键． 【详解】（1） （2）， ， ， ． 题型讲练十七 已知字母的值，化简求值 【例17】（25-26八年级下·广西玉林·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 【变式】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）已知， (1)求和的值； (2)求式子的值． 【答案】(1)；16 (2)32 【分析】（1）直接代入求解和的值即可； （2）把化为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ． （2）解：∵，， ∴. 题型讲练十八 已知条件式，化简求值 【例18】（25-26八年级下·云南昆明·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． (1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)32或16 【分析】（1）将式子转化为，即可得出答案； （2）先将展开得到，从而得到，，结合，且a，m，n均为正整数，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 由题意得， ， ，， ，且a，m，n均为正整数， ∴m，n的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则； 综上，的值为32或16． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，代入得， ． 题型讲练十九 比较二次根式的大小 【例19】（25-26八年级下·山西朔州·期中）现有一块长为，宽为的长方形木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板？请说明理由． 【答案】能，见解析 【分析】先求得两个正方形木板的边长分别为，，再比较大正方形木板的边长与的大小及两个正方形木板边长的和与的大小． 【详解】解：能．理由如下： ． ∵， ∴，． 所以能够在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板． 【变式】（24-25八年级下·浙江温州·期中）形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是互为有理化因式，并说明理由． (2)化简（n为正有理数）． (3)请比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】(1)是互为有理化因式 (2) (3) 【分析】（1）计算出的结果即可得到答案； （2）结合分母有理化进行运算化简； （3）可通过比较两个式子倒数的大小，来判断原式的大小，即可作答． 【详解】（1）解：与互为有理化因式，理由如下： ∵， ∴与互为有理化因式； （2）解：依题意，； （3）解：依题意，； ， ∵， ∴ 故 ∴． 题型讲练二十 二次根式的应用 【例20】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）李师傅家的电视背景墙是长方形形状，如图，，，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（阴影部分）． (1)矩形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为元/，大理石的造价为元/，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）先化简二次根式，再用长方形周长公式计算； （2）分别计算总面积、大理石面积和壁布面积，再根据造价算出总花费． 【详解】（1）解： ，， 长方形的周长是． （2）解：根据题意，电视背景墙的面积为， 大理石图案的面积为， 则需要贴壁布的面积为， 故整个电视墙需要花费（元）． 【变式】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）在数学课上，老师将一个长方形纸片的长增加 ，宽增加 ，就得到一个面积为 的正方形纸片，求原长方形纸片的面积． 【答案】原长方形纸片的面积为． 【分析】先根据正方形面积求出其边长，再逆推原长方形的长和宽，进而计算面积． 【详解】解：一个面积为的正方形纸片， 边长为：， 原长方形的长为：，宽为：， ， 答：原长方形纸片的面积为． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，从一张大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先求出两个正方形边长后再求得大正方形边长，继而即可求得阴影面积． 【详解】解：∵从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形， ∴两个小正方形的边长分别为：，， ∴大正方形边长为， ∴大正方形面积为：， ∴阴影面积为：. 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用二次根式的乘除和加减运算法则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】A、，A错误； B、，与不是同类二次根式，无法合并，，B错误； C、 ，C错误； D、，计算正确． 3．（25-26八年级下·安徽黄山·期中）有下列各式：①；②；③；④．如果，那么等式成立的是（    ） A．①② B．①④ C．①③ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质化简，掌握二次根式乘除法的运算法则是解题的关键．由和可知和均为负数，根据二次根式的乘除法法则、二次根式的性质逐一化简即可判断等式是否成立． 【详解】解：∵，， ∴，． 对于①：，成立，故①符合题意； 对于②：中 ，但由于，，因此和在实数范围内无意义，故不成立，故②不符合题意； 对于③：， ∵，∴，原等式化为，只有当时，才成立，所以该等式不恒成立，故③不成立，故③不符合题意； 对于④：， ∵，∴，成立，故④符合题意； ∴等式成立的是①④． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）小球从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s）．经过实验，发现h与成正比例关系，且当时，．则当时，t的值是_________． 【答案】 【分析】根据与成正比例关系，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入解析式求解的值． 【详解】解：设 ， 将，代入得： ， 解得， 因此函数解析式为， 当时，代入得， 整理得 ， 由时间为正数，得． 5．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如果，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质化简后，根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据二次根式的性质可得：， 由题意得：， ， 移项得：， 系数化为得：． 6．（25-26八年级下·山东聊城·期中）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为________． 【答案】或 【分析】本题未明确等腰三角形的腰长和底边长，需要分情况讨论，先化简给定的二次根式，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：先化简二次根式，得，， 分两种情况讨论： ① 当腰长为，底边长为时， 因为，满足三角形三边关系， 此时周长为； ② 当腰长为，底边长为时， 因为，满足三角形三边关系， 此时周长为， 综上，它的周长为或． 7．（25-26八年级下·海南·期中）如图，在中，E为中点，于点F，，，，则__________，的面积为__________． 【答案】 6 【分析】根据已知条件利用勾股定理即可求得的长度；延长，交于点G，利用倍长中线模型结合平行四边形的性质证明，从而得到的长度，利用勾股定理求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线定理可得，从而得出，继而求得最终结果． 【详解】解：∵，，， 在中，， 如图，延长，交于点G， 在中，，，， ∴， ∵E为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即，， 在中，， ∵， ∴． 8．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】(1) (2)木工乙的想法可行，理由见解析 【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可； （2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为， ∴，， ∴长方形木板的面积为； （2）解：木工乙的想法可行，理由如下： ∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， ∴裁出的长方形的长为， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行． 9．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）求出的长，则可利用勾股定理求出的长，再证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理 在中： ∴是直角三角形，且，即． 10．（25-26八年级下·吉林·期中）像等两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)化简：________； (2)计算：； (3)已知正整数满足，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）进行分母有理化即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）将等式左侧进行分母有理化后，进行合并，根据恒等式的特点，确定的值． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ； （3）解：， 又∵， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $