第一章 二次根式【期末复习讲义】培优版-2025-2026学年浙教版数学八年级下册

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第一章 二次根式【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+20个题型讲练+真题实战练 共50题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 二次根式的识别 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 求二次根式的值 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 最简二次根式的判断 题型七 化为最简二次根式 题型八 已知最简二次根式求参数 题型九 二次根式的乘法 题型十 二次根式的除法 题型十一 分母有理化 题型十二 二次根式的乘除混合运算 题型十三 复合二次根式的化简 题型十四 同类二次根式 题型十五 二次根式的加减运算 题型十六 二次根式的混合运算 题型十七 已知字母的值，化简求值 题型十八 已知条件式，化简求值 题型十九 比较二次根式的大小 题型二十 二次根式的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【易错点拨】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【易错点拨】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【易错点拨】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点拨】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点二 二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【易错点拨】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2） 被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【易错点拨】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 二次根式的识别 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式】（2025·云南曲靖·二模）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 题型讲练二 求二次根式中的参数 【例2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ____． 【变式】（24-25八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 题型讲练三 二次根式有意义的条件 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业） 【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是____________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知m是函数自变量取值范围内的一个非负整数，则的平方根是________． 题型讲练四 求二次根式的值 【例4】（23-24八年级·全国·暑假作业）下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 【变式】（24-25八年级下·湖北荆门·月考）已知，则________． 题型讲练五 利用二次根式的性质化简 【例5】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）观察下列等式： ①； ②； ③；… (1)写出④__________________； (2)猜想：__________________； (3)由以上规律，计算的值． 【变式】（25-26八年级下·江西上饶·月考）在中，，，一个内角为（），则边的长为______． 题型讲练六 最简二次根式的判断 【例6】（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）下列根式中属最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25八年级下·山西吕梁·月考）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型讲练七 化为最简二次根式 【例7】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交直线于点F，若，则的长为（　　） A． B．3 C． 或 D．或3 【变式】（24-25八年级下·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 题型讲练八 已知最简二次根式求参数 【例8】（24-25八年级下·安徽·月考）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 【变式】（24-25八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为___________． 题型讲练九 二次根式的乘法 【例9】（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读理解阅读下面一道题的解答过程，判断是否正确，如若不正确，请写出正确的解答过程． 化简：． 解：原式． 【变式】（25-26八年级下·广东佛山·期末）已知为整数，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 题型讲练十 二次根式的除法 【例10】（25-26八年级下·全国·课后作业）小明计算时，想起分配律，解答的过程如下： 解：原式． 他的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型讲练十一 分母有理化 【例11】（25-26八年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，然后回答下列问题： 在进行二次根式的运算时，我们常常会遇到这一类的式子，其实，我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．根据以上信息，完成下列问题： (1)若a是的小数部分，则的值为 ； (2)若，求的值； (3)计算： 【变式】（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）阅读材料，并计算． 【材料一】我们规定：如果两个含有二次根式的式子的积中不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 【材料二】我们在进行二次根式的化简时，需要把分母中的二次根式进行有理化，此时，需要将分子和分母同时乘上分母的有理化因式，从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化． 如：． 请利用分母有理化的知识，化简： (1)； (2)． 题型讲练十二 二次根式的乘除混合运算 【例12】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）计算：． 【变式】（25-26八年级下·福建福州·期中）计算：． 题型讲练十三 复合二次根式的化简 【例13】（25-26八年级下·山东烟台·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空：_____，_____． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有：_____． (3)化简：（请写出化简过程）． (4)化简：． (5)若且为正整数，求的值． 【变式】（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如：． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 题型讲练十四 同类二次根式 【例14】（25-26八年级下·四川遂宁·月考）下列二次根式，不能与合并的是（） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则______． 题型讲练十五 二次根式的加减运算 【例15】（25-26八年级下·河北沧州·月考）已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式】（24-25八年级下·河南周口·期末）计算： (1) (2) 题型讲练十六 二次根式的混合运算 【例16】（25-26八年级下·广西贺州·期中）若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 【变式】（24-25八年级下·河南信阳·月考）计算： (1)； (2)． 题型讲练十七 已知字母的值，化简求值 【例17】（25-26八年级下·全国·周测）已知，当分别取1，2，3，…，2025时，所对应的值的总和是____________． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简，并任取一个的值，使其结果为正整数． 题型讲练十八 已知条件式，化简求值 【例18】（23-24八年级下·湖北十堰·自主招生）已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）已知：，则的值为______． 题型讲练十九 比较二次根式的大小 【例19】（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【变式】（25-26八年级下·甘肃白银·月考）已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型讲练二十 二次根式的应用 【例20】（25-26八年级下·山东济南·期末）某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． (1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ (2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 【变式】（23-24八年级下·浙江宁波·自主招生）已知正实数，，满足，则的最小值为_________． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在等腰直角三角形中，，平分交于点D，点E是边上任意一点，连接，过点D作的垂线交于点F，下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）已知整式，其中和n为自然数，，，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②满足条件的所有整式中，有且仅有2个整式，使得的化简结果为整式； ③当时，关于x的方程（为对应整式的常数项）总存在整数解． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·重庆江津·期中）任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则___________；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为___________． 5．（25-26八年级下·北京·期中）如果，那么的值是_________． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则的取值范围为_________________． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为____________． 8．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形．根据上述材料，解答下列问题： (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，并说明理由； (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为、，求出第三条边长． 9．（25-26八年级下·山东德州·期中）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：； (2)若，求的值． 10．（25-26八年级下·福建福州·期中）小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第一章 二次根式【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+20个题型讲练+真题实战练 共50题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 二次根式的识别 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 求二次根式的值 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 最简二次根式的判断 题型七 化为最简二次根式 题型八 已知最简二次根式求参数 题型九 二次根式的乘法 题型十 二次根式的除法 题型十一 分母有理化 题型十二 二次根式的乘除混合运算 题型十三 复合二次根式的化简 题型十四 同类二次根式 题型十五 二次根式的加减运算 题型十六 二次根式的混合运算 题型十七 已知字母的值，化简求值 题型十八 已知条件式，化简求值 题型十九 比较二次根式的大小 题型二十 二次根式的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【易错点拨】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【易错点拨】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【易错点拨】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点拨】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点二 二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【易错点拨】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2） 被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【易错点拨】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 二次根式的识别 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 【变式】（2025·云南曲靖·二模）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 题型讲练二 求二次根式中的参数 【例2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】（24-25八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 题型讲练三 二次根式有意义的条件 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业） 【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是____________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得 ，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数确定a的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案． 【详解】（1）解： （2）解：由， 得 解得 ． （3）解：， ，即， ， 则原方程可化为， ，即， ． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知m是函数自变量取值范围内的一个非负整数，则的平方根是________． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数、分式中分母不等于是解题的关键． 先根据函数解析式确定自变量的取值范围，再找出符合条件的非负整数，代入表达式求值，最后求平方根即可． 【详解】解：函数中，自变量需满足且． 解不等式得， 故的取值范围为且． ∵是非负整数且在此范围内， 只能为． 当时， ． 的平方根为． 故答案为：． 题型讲练四 求二次根式的值 【例4】（23-24八年级·全国·暑假作业）下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的概念进行判断即可． 【详解】解：A、该代数式无意义，不符合题意； B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意； C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意； D、是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式】（24-25八年级下·湖北荆门·月考）已知，则________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 题型讲练五 利用二次根式的性质化简 【例5】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）观察下列等式： ①； ②； ③；… (1)写出④__________________； (2)猜想：__________________； (3)由以上规律，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）观察已知等式找到规律，即可求解； （）根据规律直接得出结果即可； （）利用（）中结论以及拆项法进行计算即可； 【详解】（1）解：∵ ； ； ； ； ； （2）解： ； ； ； ； ； （3）解：由（）可得， ∴ ． 【变式】（25-26八年级下·江西上饶·月考）在中，，，一个内角为（），则边的长为______． 【答案】2或14或 【分析】本题根据已知条件分情况讨论角的位置，排除的情况，得到和两种情况，再结合高的位置分类，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算的长． 【详解】解：分情况讨论如下： 情况1：当时， 过点作于点， ，，， 是等腰直角三角形，， ∵， ∴， 在中，，由勾股定理得，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，； 情况2：当时， 过点作于点， ，，， 是等腰直角三角形， 同理可求， ， ， 在中，由勾股定理得，， 综上：边的长为2或14或． 题型讲练六 最简二次根式的判断 【例6】（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）下列根式中属最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式根式的判定，掌握最简二次根式的两个条件是否同时满足（①被开方数不含有分母，②被开方数不含有能开得尽方的因数或因式）成为接听人的关键． 根据最简二次根式根式的条件逐项判断即可． 【详解】解：A． 被开方数含有分母，故A不符合题意； B． 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数，故B符合题意； C．被开方数还能再开方，故C不符合题意； D． 被开方数是小数，故D不符合题意； 故选B． 【变式】（24-25八年级下·山西吕梁·月考）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； B、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，则此项符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 题型讲练七 化为最简二次根式 【例7】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交直线于点F，若，则的长为（　　） A． B．3 C． 或 D．或3 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得由E是的中点，得，由折叠得，则 ，可证明，得，再分两种情况讨论，一是点F线段上，因为，所以，则，由勾股定理得；二是点F在线段的延长线上，则，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ∵E是的中点， ∴， 由折叠得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 当点F线段上，如图1 ∵， ∴， ∴， ∴； 当点F在线段的延长线上，如图2，    ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故选：C． 【变式】（24-25八年级下·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 题型讲练八 已知最简二次根式求参数 【例8】（24-25八年级下·安徽·月考）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【变式】（24-25八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为___________． 【答案】2 【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 所以， ∴． 故答案为2． 题型讲练九 二次根式的乘法 【例9】（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读理解阅读下面一道题的解答过程，判断是否正确，如若不正确，请写出正确的解答过程． 化简：． 解：原式． 【答案】错误，过程见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 先根据题意可得，进而得出，，，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：错误．正确的解答如下： 由二次根式的性质可知，， ，，， 则原式 ， ． 【变式】（25-26八年级下·广东佛山·期末）已知为整数，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，算术平方根，实数的运算，根据题意可得，设，，其中 是整数，则可证明，，再令的值为四个选项中的数，看此时是否有满足题意的即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，，其中 是整数， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当时，则，即此时，则或，不满足，故A不符合题意； 当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（4不是一个整数的立方），故B不符合题意； 当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（2不是一个整数的立方），故C不符合题意； 当时，则，即此时，则，则时能满足题意，故D符合题意； 故选：D． 题型讲练十 二次根式的除法 【例10】（25-26八年级下·全国·课后作业）小明计算时，想起分配律，解答的过程如下： 解：原式． 他的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，正确的解答见解析 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 除法没有分配律，所以小明的解法错误；把分母有理化，再把括号内合并同类二次根式，然后根据除法法则运算． 【详解】解：他的解法不正确，正确解答过程为： 原式 ． 【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用二次根式的乘除和加减运算法则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】A、，A错误； B、，与不是同类二次根式，无法合并，，B错误； C、 ，C错误； D、，计算正确． 题型讲练十一 分母有理化 【例11】（25-26八年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，然后回答下列问题： 在进行二次根式的运算时，我们常常会遇到这一类的式子，其实，我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．根据以上信息，完成下列问题： (1)若a是的小数部分，则的值为 ； (2)若，求的值； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）估算出，则可得到，进而得到，再分母有理化即可得到答案； （2）先分母有理化得到，再求出的值，根据可得答案； （3）设n为正整数，则，据此把所求式子的每一项裂项，再计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为，即， ∴； （2）解：∵， ， ∴， ， ∴； （3）解：设n为正整数， 则 ， ∴ ． 【变式】（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）阅读材料，并计算． 【材料一】我们规定：如果两个含有二次根式的式子的积中不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 【材料二】我们在进行二次根式的化简时，需要把分母中的二次根式进行有理化，此时，需要将分子和分母同时乘上分母的有理化因式，从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化． 如：． 请利用分母有理化的知识，化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质、平方差公式，将分母有理化即可； （2）根据二次根式的性质、平方差公式，将分母有理化即可． 【详解】（1） ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ． 题型讲练十二 二次根式的乘除混合运算 【例12】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式】（25-26八年级下·福建福州·期中）计算：． 【答案】 【分析】直接进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：原式 题型讲练十三 复合二次根式的化简 【例13】（25-26八年级下·山东烟台·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空：_____，_____． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有：_____． (3)化简：（请写出化简过程）． (4)化简：． (5)若且为正整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) (5)k的值为11或19 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，8写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算； （4）首先将化简为，然后代入化简即可； （5）将展开后比较得到，，推出，结合为正整数得到，或，，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：∵ ∴ ； （5）解：∵ ∴， ∴ ∵为正整数， ∴，或， ∴或． 【变式】（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如：． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查利用完全平方公式与二次根式的性质化简复合二次根式，解题关键是将被开方数凑成完全平方式，最后根据根式结果的非负性去掉绝对值符号． （1）将被开方数凑成的形式，再开方化简； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，开方后合并同类二次根式计算结果． 【详解】（1）解：； （2）原式 ． 题型讲练十四 同类二次根式 【例14】（25-26八年级下·四川遂宁·月考）下列二次根式，不能与合并的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式， 最简二次根式， 掌握知识点是解题的关键． 先将化简为，然后检查各选项化简后是否含有，若不含则不能合并，即可解答． 【详解】解：∵， ∴与合并的二次根式必须化简后含有． 对于A∶，含有，可合并． 对于B∶，含有，可合并． 对于C∶，含有，不含有，不可合并． 对于D∶，含有，可合并． 故选：C． 【变式】（25-26八年级下·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4． 题型讲练十五 二次根式的加减运算 【例15】（25-26八年级下·河北沧州·月考）已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值． 【详解】解：由，，可知， 则， 又∵， ∴． 故选：C． 【变式】（24-25八年级下·河南周口·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得解； （2）先计算平方差公式和二次根式的乘法，再计算加减法，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型讲练十六 二次根式的混合运算 【例16】（25-26八年级下·广西贺州·期中）若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件与二次根式的性质，先根据二次根式有意义确定的取值范围，再利用化简原式，最后解方程得到的值． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，即， 根据二次根式性质，化简原式 原等式左边 ∵，∴，∴ ， 原等式右边，∵，∴， 将化简结果代入原等式得 ， 移项得 ， 两边平方得 ， 解得． 【变式】（24-25八年级下·河南信阳·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可． （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型讲练十七 已知字母的值，化简求值 【例17】（25-26八年级下·全国·周测）已知，当分别取1，2，3，…，2025时，所对应的值的总和是____________． 【答案】2027 【分析】本题考查了二次根式的化简、绝对值的分段化简与分段函数的求和，掌握将二次根式化为绝对值形式后，根据字母取值范围分段计算是解题的关键． 先将根号内的式子化为完全平方式，转化为绝对值形式，再根据与的大小关系分情况化简函数，最后分别计算不同取值对应的值，求和得到结果． 【详解】解：由 ，因 ，故 当 时，， ； 当 时，， ； 取时：；；总和为． 取到时，共个值，每个，总和为． 故所有值的总和为． 故答案为 ：． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简，并任取一个的值，使其结果为正整数． 【答案】，当时，原式．（的值不唯一，满足结果为正整数即可） 【分析】此题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简，然后代入，进而得出答案，使其结果为正整数即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式．（的值不唯一，满足结果为正整数即可） 题型讲练十八 已知条件式，化简求值 【例18】（23-24八年级下·湖北十堰·自主招生）已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】观察已知与所求式子的结构，利用平方差公式进行整体计算，即可得到结果． 【详解】解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）已知：，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y的值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入方程确定的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴且，解得． 将代入原方程，得， ∴． ∴ ． 故答案为：． 题型讲练十九 比较二次根式的大小 【例19】（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1） ，， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 【变式】（25-26八年级下·甘肃白银·月考）已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的比较大小，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握倒数法比较大小． 先对每个数的倒数进行分母有理化，再比较大小，根据倒数大的反而小，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 故选：A． 题型讲练二十 二次根式的应用 【例20】（25-26八年级下·山东济南·期末）某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． (1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ (2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 【答案】(1)花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； (2)花坛的绿化面积变成平方米． 【分析】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的面积和周长公式，要注意二次根式的化简． （1）根据正方形的面积求出喷水池的边长和花坛的边长，然后根据正方形的周长公式列式计算即可得解； （2）先求得新喷水池的面积为，则花坛的绿化面积变成，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知喷水池的边长为米， 花坛的边长为米． 所以周长一共是：（米） 答：花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； （2）解：新喷水池的边长为米， 新喷水池的面积为（平方米）， 花坛的绿化面积变成（平方米）， 答：花坛的绿化面积变成平方米． 【变式】（23-24八年级下·浙江宁波·自主招生）已知正实数，，满足，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的最值问题，勾股定理，用几何法构造直角三角形，结合最短路径问题是解决问题的关键．本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即，，，则由勾股定理可知，即，同理可得：，，进而得到，可知当，，，四点共线时，最小，即为长，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：构造图示的三个直角三角形， 即，，， 满足，，，，，， 则由勾股定理可知，即， 同理可得，， ， 即可知当，，，四点共线时，最小，即最小值为的长， 当，，，四点共线时，． 在中，． 故答案为：． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在等腰直角三角形中，，平分交于点D，点E是边上任意一点，连接，过点D作的垂线交于点F，下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质逐一分析各个选项并选出正确选项即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故A正确； ∵是等腰直角三角形， ∴，故B错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 而， ∴，故C错误； ∵与的关系没有明确说明， ∴无法判断与的关系， ∴不一定等于，故D错误． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）已知整式，其中和n为自然数，，，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②满足条件的所有整式中，有且仅有2个整式，使得的化简结果为整式； ③当时，关于x的方程（为对应整式的常数项）总存在整数解． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①，当和时，可分别求出整式中各有1个单项式，即可判断； 对于②，针对，1，2，3，4等5种情况，对满足条件的所有整式逐一判断即可； 对于③，针对，2，3，4等4种情况，逐一解方程判断即可． 【详解】解：，，，为正整数，且，和n为自然数， ， 当，则，整式A为4，是单项式； 当，则， 令，，整式A为，是单项式； ①错误； 当，为整式； 当，则，， 不存在，的值，使得的化简结果为整式； 若，则， 满足条件的所有整式是，，，，，， 其中只有，即，时， 则整式A为，为整式； 当时，满足条件的所有整式是，，，， 其中所有的整式均不满足的化简结果为整式； 当时，， ，， 整式为，，不符合题意； 满足条件的所有整式中，有且仅有2个整式，使得的化简结果为整式； ②正确； 当时，整式是，，，， 关于x的方程分别是，，，， 以上方程的解分别是，，，， 方程的解均为整数； 当时，整式是，，，，，， 关于x的方程分别是，，，，，， 以上方程的解分别是，；，；，；，；，；，， 以上方程均有整数解； 当时， 关于x的方程分别是，，，， 以上方程的解分别是；，；；， 所有方程均有整数根； 当时，整式为， 关于x的方程分别是， 因式分解得， 解得，， 方程有整数根； 综上所述，当时，关于x的方程（为对应整式的常数项）总存在整数解； ③正确； 正确的是②③． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为、、2， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 4．（25-26八年级下·重庆江津·期中）任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则___________；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为___________． 【答案】 9316 【分析】①根据定义表示出，再代入计算即可； ②代入，根据定义，用仅含a，b的式子表示，再化简出所需式子的值为完全平方数的最简式，根据a，b的取值范围找出对应最大值的等式，再通过令a取得最大值的方式，求出最大值时b的取值，从而确定m． 【详解】解：由题意，得，，， ∴， ∴； 化简得， 由，，得，， ∴原式， 由题意，得是完全平方数， 又因数4是完全平方数， ∴是完全平方数， 由题意，得，， ∴， 满足题意的值有，，，和， ∵要使得m最大，故应千位数字a最大， 令，则，解得，（另两种情况显然不如该种情况数值大，故忽略） ∴，， ∴的最大值为9316． 5．（25-26八年级下·北京·期中）如果，那么的值是_________． 【答案】 【分析】通过换元法，令，，（），将原方程中的用表示后代入等式，再通过配方将方程整理为三个平方项相加等于的形式，利用“非负数之和为则每一项均为”的性质求出的值，进而反推得到的值，最后计算的结果． 【详解】解：令，，（）， ∴，，， ∵， ∴， 移项整理得：， ， 即：， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则的取值范围为_________________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，可知，结合已知等式可转化为绝对值不等式求解． 【详解】解：由二次根式的性质，得： ． 已知， ∴． 根据绝对值的非负性，的条件是， ∴． 解不等式得： ． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为____________． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的概念，解题关键是明确“只有同类二次根式才能合并”，从而确定被开方数相等，建立方程求解． 先将化为最简二次根式，根据同类二次根式才能合并，可知与​的最简形式是同类二次根式，进而建立等式求解． 【详解】解：． ∵最简二次根式能与另一个二次根式合并得到， ∴​是的同类二次根式，且是最简二次根式，因此有： ． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形．根据上述材料，解答下列问题： (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，并说明理由； (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为、，求出第三条边长． 【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析； (2)第三边的长为2或或． 【分析】（1）可证明，据此可得结论； （2）设第三边为x，分边长为的边是最长边和边长为x的边是最长边两种情况，根据奇异三角形的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形，理由如下： ∵ ， ∴， ∴此三角形是奇异三角形； （2）解：设第三边为x， ∵是奇异三角形， ∴或或， 解得或（舍去）；或（舍去）；或（舍去）； 三边为：2、、，其中，能组成三角形； 、、，其中，能组成三角形； 、、，其中，能组成三角形； 综上所述，第三边的长为2或或． 9．（25-26八年级下·山东德州·期中）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可推出（n为正整数），据此把所求式子中的每一项裂项，然后计算求解即可； （2）分母有理化得到，则可推出，即，把所求式子变形为，进一步变形得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：设n为正整数， 则 ， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 10．（25-26八年级下·福建福州·期中）小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将7转化为，进行求解即可； （2）将其转化为完全平方的形式，再化简即可； （3）根据，得到，，结合a，b，m，n均为正整数，m，n满足，求出a，b的值即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ； （3）解：由 可知：，    ，b，m，n均为正整数，为无理数， ，     由可得：， ，        ， ， 正整数a，b可取或， 又∵b，m，n均为正整数，为无理数， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $