辽宁鞍山市海城市高级中学2025-2026学年高二下学期期初考试数学试卷

班 级 姓 名 学 号 2025-2026学年度下学期高二期初考试 数 学 试 卷 命题人：高二数学组 时 间：120分钟 满 分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则（ ） A. B. C. D. 3．为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取100名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（   ） A．2.5 B．3.5 C．3.5 D．2.5 4．已知圆：，且圆上到直线的距离为1的点恰有3个，则的值为（    ） A． B．或9 C．1或9 D．9 5．若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A．-56 B．-28 C．28 D．56 7．已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，且，则直线倾斜角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．已知点在双曲线上，到两渐近线的距离分别为，为双曲线的一个焦点，且到双曲线渐近线的距离为，若恒成立，则双曲线的离心率的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（　　） A．直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于—2 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 10．下列各式正确的是（） A． 已知，则的取值为6或7 B． C．的展开式中的系数为 —14 D．将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 11 .已加正方体棱长为2，如图.为上的动点，.下面说法正确的是( ) A. 直线 与平面 所成角的正弦值范围为 B. 点与点重合时，平面 截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C. 点 为的中点时，若平面经过点B. 则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形 D. 己知为中点，当的和最小时，为的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量服从正态分布，若，则 . 13．设，且，若能被13整除，则等于 ． 14.已知点，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 16. 某组织对男、女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查组随机调查了200名青年，整理得到如下列联表：单位：人 性别 喜爱古典音乐情况 合计 喜爱 不喜爱 女 90 20 110 男 60 30 90 合计 150 50 200 （1）依据小概率值的独立性检验，判断能否有99%的把握认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关？ （2）现从样本喜爱古典音乐的青年中利用分层（按性别分层）随机抽样的方法抽取5名青年进行合影留念，并从这被抽取的5名青年中随机邀请3名青年参加某古典艺术歌曲音乐会，记被邀请参加某古典艺术歌曲音乐会的女青年人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 ，其中. 17. 18．经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 19．如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求的值； (3)证明：直线过定点 高二数学试卷 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度下学期高二期初考试 数 学 答 案 一． AADBDCDB 2． ACD，ABC ,AC 3． 12、0.3 13、12 14、 四、 15.小问1详解】 因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 证明：设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 16.【小问1详解】由数表中数据经计算得， 依据小概率值的独立性检验， 即没有99％的把握认为喜爱古典音乐与青年的性别有关. 【小问2详解】抽取的5人中，喜爱古典音乐的男青年有人，喜爱古典音乐的女青年有人， 故的所有可能值为， ， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. 18.【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型. 令，则， ， ， 所以， 所以关于的回归方程为. （2）由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的可能取值为，，， 设“所取两个鱼卵来自第批”， 所以， 设“所取两个鱼卵有个‘死卵’”， 由全概率公式得 ， ， ， 所以取出“死卵”个数的分布列为 0 1 2 所以， 所以取出“死卵”个数的数学期望为. 19.【详解】（1）因为点和点在双曲线上， 所以，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为， 设， 联立，整理得， 若，即，直线的斜率为，与渐近线平行， 此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以， 所以 ， ， 因为,所以 ，所以. （3）（i）当轴时，且， 所以，则， 联立，整理得， 即，解得或，当时，，所以， 由于对称性，，此时直线过定点； （ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为， 因为，所以联立， 即，所以， 解得或，当时，， 所以, 同理，将上述过程中替换为可得， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以三点共线，即此时直线恒过定点， 综上直线过定点. 高二数学试卷 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $