2.4 正弦型函数（课件）--语文版《数学 拓展模块一》《上好课》

2.4 正弦型函数 第二单元 三角计算 语文版 拓展模块一 学习目标 1.理解并掌握正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的定义及参数的含义； 2.能熟练绘制正弦型函数的图像，结合图像分析其周期性、单调性、最值等性质； 3.通过对正弦型函数的学习与应用，提升运用三角函数模型分析周期性变化现象的能力，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 教学引入 2.4 正弦型函数 教学引入 教学引入 新知讲授 2.4 正弦型函数 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 案例分析 案例分析 新知讲授 2.4 正弦型函数的应用 新知讲授 案例分析 案例分析 案例分析 案例分析 新知速记 新知速记 学以致用 2.4 正弦型函数 学以致用 学以致用 学以致用 学以致用 知识回顾 同学们，我们完成了正弦型函数相关知识点的学习，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： 1.什么是正弦型函数？ 2.正弦型函数有哪些性质？ 3.如何绘制正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像？ 师生交流 拓展思考互动 同学们，我们现在已经掌握了正弦型函数的相关知识点，那现在请同学们结合所学知识点解决下列问题，稍后请同学分享自己的答案。 某地海水的潮汐高度(米)与时间(小时)的关系近似满 足函数：. 求：该地潮汐的最大高度和完成一次潮汐循环的周期. 答案：对比标准形式得 振幅 A=3，所以最大高度为 3 米。频率，。 课堂练习 2.4 正弦型函数 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 2.4 正弦型函数 课堂小结 课堂小结 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 振动是自然界中普遍存在的一种运动形式，如钟摆的运动、气缸中活塞的往复运动、心脏的跳动等．振动的运动形式很多，而最简单、最基本的运动形式是简谐振动． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 简谐振动是指物体相对于平衡点的位置随时间按正弦型函数（或余弦型函数）规律变化的运动，其数学表达式为．这类函数有哪些性质？它的图像与正弦函数的图像之间又有哪些联系呢？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 接下来，我们一起进入关于正弦型函数的知识点学习。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 我们把形如（其中，，都是常数）的函数叫做正弦型函数．它在物理学和工程技术方面都有着广泛的应用． 显然，当，，时，函数就是．下面，我们就来研究，，对图像的影响． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 为了研究方便，我们令，，并对任取 不同的数值，在同一坐标系中作出这些函数在一个周 期上的图像，观察它们与的图像之间的关系． 这里，我们以为例来研究． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）对图像的影响 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 根据与的图像可以看出，对于同 一个值，函数图像上点的纵坐标等于 的图像上点的纵坐标的2倍. 由此，我们可以得到如下结论： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）对图像的影响 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对图像的影响 一般地，函数（且）的图像，可看作是： 将函数的图像上所有点的纵坐标扩大（当时）或缩小（当时）到原来的倍（横坐标保持不变）而得到的. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）对图像的影响 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 令，，分别取和，在同一平面直角坐标系中分别作出和在一个周期上的图像，如图所示. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）对图像的影响 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 通过对比，与的图像，我们可以得到如下结论： 一般地，函数（且）的图像，可看作是： 将函数的图像上所有点的横坐标缩小（当时）或扩大（当时）到原来的（纵坐标保持不变）而得到的. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）对图像的影响 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 令，，分别取和，在同一平面直角坐标系中分别作出和在一个周期上的图像，如图所示． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）对图像的影响 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 通过对比，与的图像，我们可以得到结论： 一般地，函数的图像，可看作是： 将函数的图像上的所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位而得到的． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）对图像的影响 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 根据以上三个结论，我们可以归纳出下面的结论： 一般地，函数，的图像可看作是这样得到的： ①先将函数的图像上的所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 根据以上三个结论，我们可以归纳出下面的结论： ②然后把所得各点的横坐标缩小（当时）或扩大（当时）到原来的（纵坐标保持不变）； ③最后把所得各点的纵坐标扩大（当时）或缩小（当时）到原来的倍（横坐标保持不变）。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （4）正弦型函数（，，都是常数）的主要性质: ①定义域：实数集。 ②值域：，即最大值为，最小值为。 ③周期：。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识延伸： 在物理学中，做简谐振动的物体对平衡位置的位移与时间的关系也是形如的函数。 其中，表示做简谐振动的物体离开平衡位置的最大距离，我们把它叫做简谐振动的振幅； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识延伸： 表示物体往复振动一次所需要的时间，叫做振动的周期； 表示单位时间内往复振动的次数，叫做振动的频率； 叫做相位；叫做初相（当时的相位）。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】如图是某简谐振动的一段图像．试根据图像回答下列问题： （1）这个简谐振动的振幅、周期和频率各是多少？ （2）从点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复振动？如果从点算起呢？ （3）写出这个简谐振动的函数表达式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）从图像上可以看出，这个简谐振动的振幅为；周期为，可得频率为.；（2）如果从点算起，到曲线上的点，表示完成了一次往复振动；如果从点算起，则到曲线上的点，表示完成了一次往复振动； （3）设这个简谐振动的函数表达式为，，则；由，得；由图像可知，初相. 因此，所求的函数表达式为，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 我们知道，正弦型函数（其中，，都是常数）的最小正周期为。 由于，，因此我们把形如（其中，，都是常数）的函数叫做余弦型函数，它的最小正周期也是。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】求下列函数的最大值、最小值以及最小正周期。 （1）； （2）； （3）。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）， 函数的最大值为，最小值为，最小正周期为。 （2）， 函数的最大值为，最小值为，最小正周期为。 （3） ， 函数的最大值为，最小值为，最小正周期为。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】宏志中学的气象研究课外小组获得该市某天4～12时的温度变化数据，他们发现这段时间的温度变化曲线近似满足函数。 （1）求该天4～12时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 (1)由图可知，这段时间的最大温差是。 (2)由图可以看出，4～12时的图像是函数的半个周期的图像，，。因为，所以。 将，，，，代入，可得。 因此，所求解析式为 。其中，。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1.什么是正弦型函数和余弦型函数？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 我们把形如（其中，，都是常数）的函数叫做正弦型函数；把形如（其中，，都是常数）的函数叫做余弦型函数 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2.正弦型函数（，，都是常数）的主要性质有哪些？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①定义域：实数集；②值域：，即最大值为，最小值为； ③周期：。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3.如何得到，的图像？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①先将函数的图像上的所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位；②然后把所得各点的横坐标缩小（当时）或扩大（当时）到原来的（纵坐标保持不变）；③最后把所得各点的纵坐标扩大（当时）或缩小（当时）到原来的倍（横坐标保持不变）。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知函数，求函数的最小值、最大值及最小正周期． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ， 其中，所以最小值为，最大值为，最小正周期为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知函数 的图象如图所示. (1)求这个函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）函数 的图象如图所示， 由图像可知，函数的最大值为，则， 最小正周期为，则，解得， 此时函数， 将点代入得， 则，解得， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为，所以， 所以. （2）当时，， 所以当，此时时，函数值最小为； 当，此时时，函数值最大为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】函数的振幅和周期分别为（ ） A．， B．3， C．，1 D．3，1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由函数可知函数的振幅为，周期为. 故选：B . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】函数（其中）的部分图像如图所示，则该函数的解析式是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题意可知最大值是3，则，，解得， 因为，解得，则， 经过点，代入得，即，则， 解得， 因为，所以，即， 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知，则为了得到函数的图象， 只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度， 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】已知函数的图像如图所示，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由图象可知，又，所以，解得， 将点代入解析式得，所以， 因为，所以， 所以函数. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍， 得到函数，其最小正周期. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习6】已知函数的图像与x轴的两个相邻交点的距离为4，且最高点M到x轴的距离为，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 函数的图像与x轴的两个相邻交点的距离为4， 所以最小正周期为，，解得， 最高点M到x轴的距离为，则， 所以， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 正弦型函数 (1)定义： 我们把形如（其中，，都是常数）的函数叫做正弦型函数；把形如（其中，，都是常数）的函数叫做余弦型函数。 (2)性质： ①定义域：实数集；②值域：，即最大值为，最小值为。 ③周期：。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 函数，的图像: ①先将函数的图像上的所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位； ②然后把所得各点的横坐标缩小（当时）或扩大（当时）到原来的（纵坐标保持不变）； ③最后把所得各点的纵坐标扩大（当时）或缩小（当时）到原来的倍（横坐标保持不变）。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $