2.3 正弦定理和余弦定理（课件）--语文版《数学 拓展模块一》《上好课》

2.3 正弦定理和余弦 定理 第二单元 三角计算 语文版 拓展模块一 学习目标 1.理解并掌握正弦定理、余弦定理的推导过程及公式； 2.能熟练运用正弦定理、余弦定理求解三角形的边、角并判断三角形的形状； 3.通过对正弦定理与余弦定理的学习与应用，提升运用三角知识解决几何问题的能力，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 教学引入 2.3 正弦定理和余弦定理 教学引入 教学引入 正弦定理 余弦定理 新知讲授 2.3 正弦定理的推导 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 案例分析 案例分析 新知讲授 2.3 余弦定理的推导 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 案例分析 案例分析 新知讲授 2.3 正弦定理、余弦定理的应用 案例分析 案例分析 案例分析 案例分析 案例分析 新知速记 新知速记 学以致用 2.3 正弦定理和余弦定理 学以致用 学以致用 学以致用 知识回顾 同学们，我们完成了正弦定理和余弦定理相关知识点的学习，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： 1.什么是正弦定理？ 2.什么是余弦定理？ 3.如何推导正弦定理和余弦定理？ 师生交流 拓展思考互动 同学们，我们现在已经掌握了正弦定理和余弦定理的相关知识点，那现在请同学们思考以下场景用正弦定理，还是余弦定理？并简单说明理由。 (1)测河宽：已知观测点到河对岸两点的距离，以及观测点的夹角; (2)测电线杆高度：已知观测点到电线杆底部的距离，以及观测点对电线杆顶部的仰角。 答案：(1)余弦定理（已知两边及夹角，求第三边）; (2)正弦定理（已知一角一边，可推导另一角，求未知边）。 课堂练习 2.3 正弦定理和余弦定理 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 2.3 正弦定理和余弦定理 课堂小结 课堂小结 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 如图所示，河的两岸有A，B两地，由于不能直 接测量两地之间的距离，我们选取测量点C，并测得 ，，。 利用这些测量数据，能否计算出，两地之间的 距离呢？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 显然，我们无法利用过去的知识解决这个问题，下面，我们将利用三角函数来研究任意三角形中边与角之间的关系，从而解决这个问题。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如图所示，在任意中，设AB边上的高为CD， 根据锐角三角函数的定义，有，，所以 ，即 。 同理，有 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 这样，我们就得到了正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即 进一步可证明： （其中，表示外接圆的半径）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 在左图中，由于，所以 ； 同理，可得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由此，我们得到了计算三角形面积的另一种表 达形式，即 提示：在初中，我们学过的三角形面积公式： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】在中，角，，对应的边分别为，，．已知，，，求，和的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，． ， ，． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】在中，角角，，对应的边分别为，，．已知，，，求和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，． 是的内角，， ，，都符合题意． 当时，； 当时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 余弦定理同样是揭示任意三角形中边与角数量 关系的一个重要结论. 设是任意三角形，如图所示，建立平面直 角坐标系，则点的坐标为，点的坐 标为。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 根据两点间的距离公式，得 ， 等式两边平方，得， 。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 即 。 同理，可以证明： ，。 这样，我们就得到了余弦定理： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 余弦定理 在一个三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的2倍。即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 余弦定理 余弦定理中的三个等式还可以分别变形为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】在中，角，，所对应的边分别为，，。已知，，°，求。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由余弦定理，得 ， ∴。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】在中，角，，所对应的边分别为，，。已知，，°，求和。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由余弦定理，得 ，，，，即． ，即，（舍去）． ，． ，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】判断下列三角形的类型． （1），，；（2），，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）显然三个角中最大. ，为锐角，即为锐角三角形. （2）显然三个角中最大. ，为钝角，即为钝角三角形. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】在中，已知，判断的形状. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 解法1： 在中，，. ，.即， ， 整理，得.即. 又，是的内角，，，即. 是等腰三角形. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 解法2：由已知，得. 由正弦定理及余弦定理，得 ， 整理，得，即。 ∴是等腰三角形。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】如图所示，A，B两点间有小山和小河，为求AB的长度，需选择一点C，使AC可直接丈量，且点B和点C之间可通视，再在AC上取一点D，使点B和点D之间可通视，现测得，，，，求AB的长。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ∵，，∴。 在中，∵，∴。 在中， 。∴。 答：AB的长为。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1.什么是正弦定理？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2.如何通过正弦定理计算三角形的面积？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3.什么是余弦定理？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 在一个三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的2倍。即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 余弦定理中的三个等式还可以分别变形为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】在中，已知. (1)求边的长度. (2)求的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）因为在中，已知. 所以由余弦定理可得，， 所以. （2）由题可得，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的周长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）因为，由正弦定理可得，， 即， 所以. 因为，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （2）由，，得， 整理得， 解得或（舍去）， 所以的周长为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】在中，，，且的面积为5，则角的大小为（ ） A． B． C．或 D．或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为中，，，且的面积为5， 所以， 所以，又，所以或. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】在中，若，则边的长为（ ） A．1 B． C．2 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 在中，若， 由余弦定理可知，， 即，解得. 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】已知的三个内角之比为，那么（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 的三个内角之比为， 设，则，解得， 所以， 则，化简得， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】在中，的对边分别为，已知，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由余弦定理可得：， 且，代入上式可得：， 在中，，所以. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由正弦定理得，即， 得出，，所以. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】在中，角A，，的对边分别是，，.若，，，则角等于（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为，所以由余弦定理得， 即， 化简得，解得或2. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习6】在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A． B．2 C．1或2 D．2或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 正弦定理 （其中，表示外接圆的半径）． 计算三角形面积的另一种表达形式： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 余弦定理 余弦定理中的三个等式还可以分别变形为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $