2.3 正弦定理和余弦定理（教案）--语文版《数学 拓展模块一》《上好课》

语文版《数学 拓展模块一》 第二单元 三角计算 2.3 正弦定理和余弦定理 一、教材 语文出版社《数学》（拓展模块一） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节课是语文版数学拓展模块一第二单元三角计算的核心内容，核心知识点包括正弦定理、余弦定理的推导、公式形式及在解三角形中的应用，为后续学习三角形实际问题应用、几何综合问题解决提供了概念与代数框架基础。教材以三角形边角关系为逻辑主线，既衔接了学生对三角函数、三角形基本性质的已有认知，又深化了从几何关系到代数方程的数学思维，提升学生用代数方法解决三角形边角问题的能力。 五、学情分析 多数学生已具备对三角形边角关系、三角函数的认知基础，并且对三角形相关的几何问题有明确认知，这为他们学习正弦定理和余弦定理打下了基础。但如果只采用纯代数推导的讲解可能无法引起学生的学习兴趣，还容易对正弦定理、余弦定理的适用条件理解不透彻，混淆不同已知条件下定理的选择方法。因此可以通过与生活关联的测量场景、课堂练习帮助学生掌握正弦定理和余弦定理，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握正弦定理、余弦定理的推导过程及公式； 2.能熟练运用正弦定理、余弦定理求解三角形的边、角并判断三角形的形状； 3.通过对正弦定理与余弦定理的学习与应用，提升运用三角知识解决几何问题的能力，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。 七、教学重点 1.正弦定理、余弦定理的推导； 2.正弦定理和余弦定理的公式、三角形面积的计算公式。 八、教学难点 熟练运用正弦定理、余弦定理求解三角形的边、角并判断三角形的形状。 九、教学方法 案例法：通过案例帮助学生理解正弦定理和余弦定理，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对正弦定理和余弦定理进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究正弦定理和余弦定理，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 如图所示，河的两岸有A，B两地，由于不能直接测量两地之间的距离，我们选取测量点C，并测得，，。 利用这些测量数据，能否计算出，两地之间的距离呢？ 显然，我们无法利用过去的知识解决这个问题，下面，我们将利用三角函数来研究任意三角形中边与角之间的关系，从而解决这个问题。 通过生活实例的具体分析引出新知识点：正弦定理和余弦定理。 新知讲授 1.正弦定理的推导 如图所示，在任意中，设AB边上的高为CD，根据锐角三角函数的定义，有，， 所以，即。 同理，有。 这样，我们就得到了正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即 进一步可证明：（其中，表示外接圆的半径）． 在上图中，由于，所以； 同理，可得． 由此，我们得到了计算三角形面积的另一种表达形式，即 提示：在初中，我们学过的三角形面积公式：． 2.余弦定理的推导 余弦定理同样是揭示任意三角形中边与角数量关系的一个重要结论. 设是任意三角形，如图所示，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，点的坐标为。 根据两点间的距离公式，得， 等式两边平方，得， 。 即。 同理，可以证明： ， 。 这样，我们就得到了余弦定理： 在一个三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的2倍。即 余弦定理中的三个等式还可以分别变形为 总结正弦定理和余弦定理。 案例分析 1.正弦定理 【例题】在中，角，，对应的边分别为，，．已知，，，求，和的值． 【解析】， ． ， ， ． ． 【例题】在中，角角，，对应的边分别为，，．已知，，，求和． 【解析】， ． 是的内角，， ，，都符合题意． 当时，； 当时，． 2.余弦定理 【例题】在中，角，，所对应的边分别为，，。已知，，°，求。 【解析】由余弦定理，得 ， ∴。 【例题】在中，角，，所对应的边分别为，，。已知，，°，求和。 【解析】由余弦定理，得 ，，， ，即． ，即，（舍去）． ， ． ，． 3.正弦定理、余弦定理的应用 【例题】判断下列三角形的类型． （1），，；（2），，． 【解析】（1）显然三个角中最大. ， 为锐角，即为锐角三角形. （2）显然三个角中最大. ， 为钝角，即为钝角三角形. 【例题】在中，已知，判断的形状. 【解析】解法1： 在中，， . ， . 即， ， 整理，得. 即. 又，是的内角， ， ，即. 是等腰三角形. 解法2：由已知，得. 由正弦定理及余弦定理，得 ， 整理，得，即。 ∴是等腰三角形。 【例题】如图所示，A，B两点间有小山和小河，为求AB的长度，需选择一点C，使AC可直接丈量，且点B和点C之间可通视，再在AC上取一点D，使点B和点D之间可通视，现测得，，，，求AB的长。 【解析】∵，， ∴。 在中， ∵， ∴ 。 在中， 。 ∴ 。 答：AB的长为。 通过案例来帮助学生更好地理解正弦定理和余弦定理。 学以致用 【练习】在中，已知. (1)求边的长度. (2)求的面积. 【解析】（1）因为在中，已知. 所以由余弦定理可得，， 所以. （2）由题可得，. 【练习】在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的周长； 【解析】（1）因为，由正弦定理可得，， 即，     所以. 因为，所以. （2）由，，得， 整理得， 解得或（舍去）， 所以的周长为. 同学们，我们现在已经掌握了正弦定理和余弦定理的相关知识点，那现在请同学们思考以下场景用正弦定理，还是余弦定理？并简单说明理由。 (1)测河宽：已知观测点到河对岸两点的距离，以及观测点的夹角; (2)测电线杆高度：已知观测点到电线杆底部的距离，以及观测点对电线杆顶部的仰角。 答案：(1)余弦定理（已知两边及夹角，求第三边）; (2)正弦定理（已知一角一边，可推导另一角，求未知边）。 通过即时练习以及知识回顾，进一步加强学生对正弦定理和余弦定理的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】在中，，，且的面积为5，则角的大小为（ ） A． B． C．或 D．或 【解析】因为中，，，且的面积为5， 所以， 所以，又， 所以或. 故选：C. 【练习2】在中，若，则边的长为（ ） A．1 B． C．2 D． 【解析】在中，若， 由余弦定理可知，， 即，解得. 故选：. 【练习3】已知的三个内角之比为，那么（ ） A． B． C． D． 【解析】的三个内角之比为， 设，则，解得， 所以， 则，化简得， 故选：. 【练习4】在中，的对边分别为，已知，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由余弦定理可得：， 且，代入上式可得：， 在中，， 所以. 故选：D. 【练习5】在中，角A，，的对边分别是，，.若，，，则角等于（ ） A． B． C． D． 【解析】由正弦定理得，即， 得出，， 所以. 故选：A. 【练习6】在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A． B．2 C．1或2 D．2或 【解析】因为， 所以由余弦定理得， 即， 化简得，解得或2. 故选：C. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺。 知识梳理 1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即 进一步可证明：（其中，表示外接圆的半径）． 计算三角形面积的另一种表达形式，即 2.余弦定理 在一个三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的2倍。即 余弦定理中的三个等式还可以分别变形为 帮助学生构建完整的知识网络，强化记忆。 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 1.正弦定理 （其中，表示外接圆的半径）． 计算三角形面积的另一种表达形式，即 2.余弦定理 余弦定理中的三个等式还可以分别变形为 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过实际测量问题引入正弦定理和余弦定理，多数学生能初步理解两个定理的意义，掌握利用定理解三角形的基本方法。但在课堂检测中也发现：个别学生在利用正弦定理解三角形时容易忽略解的个数判断，因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $