专题7 函数的概念及表示方法（讲义）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的概念及表示方法 【复习目标】 1.理解函数的概念（定义域、值域等）； 2.理解函数的三种表示法（解析法、列表法、图像法）. 【考点1 函数的概念】 1. 设非空数集A、B，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作，. 两个 “硬性条件”，必须同时满足： 任意性：集合 里的每一个 ，都要有对应的 ，不能有 “漏网之鱼”. 唯一性：集合 里的一个 ，只能对应集合 里的一个 ，不能 “一对多”. 2. 函数的三要素： 定义域 （x的取值范围）、 值域 （y的取值范围）、 对应关系 （对应关系），其中 定义域 和 对应关系 确定后，值域随之确定. 3. 对于函数，，x叫做 自变量 ，所有自变量x的值组成的集合A叫做函数的 定义域 ；与x的值相对应的y值叫做 函数值 ，所有函数值组成的集合叫做函数的 值域 . 【即时训练】 一、单选题 1. 下列对应关系中，能构成函数的是（ ） A. ，，对应关系 B. ，，对应关系 C. ，，对应关系 D. ，，对应关系 【考点】函数的概念（唯一性、定义域非空） 【答案】A 【解析】B中一个x对应两个y，不满足函数的唯一性；C中时无对应值，定义域不满足非空且每一个x有对应；D中时，不在集合B中，对应关系不成立，只有A满足函数定义. 2. 已知集合，下列对应关系中，不是函数的是（ ） A. B. C. D. 【考点】函数的概念 【答案】D 【解析】A 选项中，时（在中），时（在中）；B 选项中，时（在中），时在中；C 选项中，时（在中），时在中；D 选项中，时超出，就不是函数了. 3. 已知函数，，则该函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【考点】函数的值域（有限定义域下的计算） 【答案】B 【解析】将、、分别代入函数，得、、，故值域为. 二、多选题 4. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 定义域中的每一个x，都有唯一的y与之对应 B. 值域中的每一个y，都有唯一的x与之对应 C. 函数的定义域和值域一定是非空数集 D. 两个函数的定义域和对应关系相同，则这两个函数是同一个函数 【考点】函数的概念及性质 【答案】ACD 【解析】B错误，值域中的y可对应多个x，例如中，对应和；A、C、D均符合函数的定义及性质. 三、填空题 5. 已知函数，，则自变量x的取值范围是________，函数值y的取值范围是________. 【考点】函数的定义域与值域（一次函数） 【答案】； 【解析】自变量x的取值范围题目已给出，为；将代入得，将代入得，一次函数单调递增，故值域为. 6. 若，则________，________. 【考点】函数值的计算 【答案】3；0 【解析】将代入得；将代入得. 【考点2 函数的定义域】 1. 函数的定义域是指自变量x的取值范围，求定义域的核心是保证函数表达式有意义，常见限制条件： （1）分式函数：分母 不为0 （即）； （2）偶次根式函数：被开方数 非负 （即）； （3）整式函数（一次、二次函数等）：定义域为 R ； （4）实际问题中的函数：定义域需结合 实际情境 确定，满足实际意义. 2. 若函数由多个式子组合而成，定义域是各个式子有意义的x取值范围的 交集 . 3. 同一函数的两个核心判断条件（必须同时满足）： 定义域相同：两个函数的自变量的取值范围完全一致（包括端点、限制条件，如分式分母不为0、根式被开方数非负等）. 对应关系相同：对于定义域内的每一个，两个函数算出的值完全相等（即使表达式不同，化简后一致也属于对应关系相同）. 【即时训练】 一、单选题 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【考点】整式函数的定义域 【答案】C 【解析】一次函数属于整式函数，整式函数的定义域为全体实数. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【考点】分式函数的定义域 【答案】A 【解析】分式函数需保证分母不为0，即，解得，故定义域为. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【考点】二次根式函数的定义域 【答案】B 【解析】二次根式需保证被开方数非负，即，解得，故定义域为. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【考点】组合函数的定义域 【答案】C 【解析】该函数由二次根式和分式组成，需同时满足两个式子有意义：（二次根式要求）和（分式要求），联立解得且. 5. 若函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【考点】复合函数的定义域 【答案】C 【解析】复合函数中，内层函数的取值范围需符合的定义域，即，解得，故的定义域为. 6. 小王同学从职业学校毕业后选择了自主创业，在某电商平台注册了自己的网店.有一次，他批发了100套文具准备在自己的网店上销售，售价为30元/套. 销售额y与销售量x之间的函数关系为，其定义域是（ ） A. B. C. D. 【考点】实际问题中函数的定义域 【答案】C 【解析】：销售量x不能为负数，也不能为小数（数量为整数），故定义域为不大于100的非负整数. 二、多选题 7. 下列函数中，定义域为的是（ ） A. B. C. D. 【考点】函数的定义域 【答案】ACD 【解析】B中需满足，定义域为，不是；A、D的表达式均为整式，对x无额外限制，定义域为；C中分母，定义域为. 8. 下列各组函数不是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【考点】同一函数的判断 【答案】ABC 【解析】A中 与 不是同一函数（定义域不同：前者 ，后者 ）； B中 与 不是同一函数（定义域不同：前者 ，后者 ）； C中 与 不是同一函数（定义域不同：前者 ，后者 ）； D中 与 是同一函数（定义域都是 ，对应关系一致）. 三、填空题 9. 函数的定义域是________. 【考点】组合函数的定义域 【答案】 【解析】需满足且，解得且. 10. 若的定义域是，则的定义域是________，的定义域是________. 【考点】复合函数的定义域 【答案】； 【解析】对于，有，解得；对于，有，解得. 【考点3 函数的值域】 1. 函数的值域是指 函数值 的取值范围，即集合（A为定义域）. 2. 常见函数的值域求法： （1）一次函数（）：若定义域为，值域为 ；若定义域为，值域为 k>0时，值域为[f(a),f(b)]; k<0时，值域为[f(b),f(a)] （需结合k的正负判断增减性）. （2）二次函数（）：开口向上（）时，值域为（顶点纵坐标为最小值）；开口向下（）时，值域为（顶点纵坐标为最大值）. （3）分式函数（简单型，如，）：值域为. 3. 求值域的关键：先确定 定义域 ，再根据对应关系求y的取值范围. 【即时训练】 一、单选题 1. 函数（）的值域是（ ） A. B. C. D. 【考点】二次函数的值域 【答案】B 【解析】二次函数中，，开口向上，值域为；代入得顶点纵坐标为，故值域为. 2. 函数（）的值域是（ ） A. B. C. D. 【考点】简单分式函数的值域 【答案】B 【解析】分式的取值范围是，故的取值范围是. 二、多选题 3. 下列关于函数值域的说法正确的是（ ） A. 函数的值域由定义域和对应关系共同决定 B. 二次函数的值域一定是 C. 一次函数在闭区间上的值域一定是闭区间 D. 分式函数的值域一定不含n 【考点】函数值域的性质及求法 【答案】ACD 【解析】B错误，二次函数开口向上或向下时，值域有最小值或最大值，不会是全体实数；A、C、D均符合函数值域的相关性质. 三、填空题 4. 函数（）的值域是________，其中最大值是________. 【考点】一次函数在闭区间上的值域 【答案】；3 【解析】一次函数中，，函数单调递减；当时，；当时，，故值域为，最大值是3. 5. 函数（）的顶点坐标是________，值域是________. 【考点】二次函数的顶点及值域 【答案】； 【解析】顶点横坐标，代入函数得顶点纵坐标，即顶点坐标为；，开口向上，值域为，即. 【考点4 函数的表示方法】 1. 函数的常用表示方法有3种： 解析法 、 列表法 、 图像法 . 2. 解析法：用 数学表达式 表示两个变量之间的对应关系，优点是简洁、便于计算和推理（如）. 3. 列表法：将自变量x和对应的函数值y列成表格，优点是 直观明了 ，能直接找到对应值（如工资表、三角函数表）. 4. 图像法：在平面直角坐标系中，用 图像 表示函数关系，优点是直观、能清晰反映函数的增减性和变化趋势. 5. 分段函数：在定义域的不同区间上，有 不同 的解析表达式的函数，注意分段函数是一个函数，定义域是各区间的并集，值域是各区间值域的并集. 【即时训练】 一、单选题 1. 下列函数中，经过点的是（ ） A. B. C. D. 【考点】解析法表示函数 【答案】B 【解析】验证函数是否经过点，关键是判断当时，对应的函数值是否等于1，同时需确认在函数定义域内. 选项A：，将代入，得，不经过该点，排除； 选项B：，将代入，得，满足条件，该函数经过点； 选项C：，将代入，得，不经过该点，排除； 选项D：，该函数的定义域为，不在定义域内，无法计算函数值，排除. 2. 小李周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步看完电影后匀速步行回家，下面图像中与上述事件吻合的是（ ） 【考点】图像法表示函数 【答案】B 【解析】跑步的速度大于步行的速度，图像会更陡，看电影的时间内，离开家的距离不变，图像平行于x轴，这样可得出图像为B. 故选：B. 3. 已知函数表示为: x [-2,0) 0 (0,2] y 1 0 -2 设，的值域为M,则( ) A. m=-2，M={-2,0,1} B. m=-2，M= C. m=l，M={-2,0,1} D. m=l，M= 【考点】列表法表示函数. 【答案】A 【分析】根据函数对应关系进行判断即可， 【解析】由函数关系知，即m=, 函数的值域为{1,0,-2)，故选：A. 二、多选题 4. 下列是函数图像的是（ ） 【考点】图像法表示函数 【答案】ABD 【解析】解：根据函数的定义，任意的x值都有唯一的y值对应的图像便是函数的图像， 故选：ABD. 三、填空题 5. 函数的定义域是________，________，________. 【考点】分段函数的定义域及函数值计算 【答案】 ；4；6 【解析】分段函数的定义域是各区间的并集，即；，代入得；，代入得. 6. 若函数的图像如图所示，则： （l）函数的定义域为 ； （2）函数的值域为 （本题结果要求用区间表示）. 【考点】函数的图像 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由函数的图像可知，函数的定义域为； （2）函数的值域为． 1.（2026年湖北技能高考第22题）函数 的定义域为（ ） A. 　 B. 　 C. 　 D. 【考点】函数定义域、一元二次不等式求解 【答案】D 【解析】二次根式要求被开方数非负，即：，因式分解：， 解得 或 ，函数定义域为 ，本题选 D. 2.（2026年湖北技能高考第29题）已知 ，，则 ____. 【考点】一次函数解析式、函数求值 【答案】 【解析】代入 ：， 函数解析式：，. 3.（2025年湖北技能高考第 28 题）已知 ，则 . 【考点】函数值的计算 【答案】 【解析】将 代入函数：（注：）. 4.（2023年湖北技能高考第21题）下列函数中，定义域和值域均为 的是（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【考点】常见函数的定义域与值域 【答案】D 【解析】A 选项： 定义域为 ，不是 ； B 选项： 定义域为 ，值域为 ，不是 ； C 选项： 定义域为 ，不是 ； D 选项： 定义域为 ，值域为 ，符合条件. 5.（2022年湖北技能高考第21题）符号函数 的图像是（ ） 【考点】分段函数的图像（符号函数） 【答案】B 【解析】符号函数的定义： 时，，图像为 轴上方的水平线，空心点在 ； 时，，图像为原点处的实心点； 时，，图像为 轴下方的水平线，空心点在 . 对应选项 B 的图像符合上述特征. 6.（2021年湖北技能高考第28题）若函数 ，则 ，. 【考点】分段函数的函数值计算 【答案】， 【解析】，代入第一段：； ，代入第二段：. 7.（2019年湖北技能高考第22题）下列函数中与函数 为同一个函数的是（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【考点】同一函数的判定（定义域 + 对应法则） 【答案】D 【解析】 的定义域为 ，对应法则为 . A 选项： 定义域为 ，与原函数定义域不同； B 选项：，对应法则为 ，与原函数不同； C 选项：，定义域为 ，与原函数定义域不同； D 选项：（奇次根式 ），定义域为 ，与原函数完全相同. 8.（2018年湖北技能高考第27题）若函数 且 ，则实数 . 【考点】分段函数的函数值计算 + 方程求解 【答案】 【解析】分别计算 和 ： ，代入第二段：； ，代入第一段：. 由 得：，解得 . 9.（2014年湖北技能高考第31题）函数 的定义域用区间表示为 . 【考点】函数定义域（指数函数 + 根式 + 分式的限制条件） 【答案】 【解析】需同时满足二个条件： 二次根式被开方数非负：（指数函数 单调递增）； 分式分母不为 0：. 因此定义域为 且，即 . 10.（2001年湖北技能高考第19题）已知等边三角形 OAB 的边长为2，直线 ， 截这个三角形所得的图形位于 的左方（阴影部分）的面积为 ，O 到 的距离为 . （1）求出函数 的解析式； （2）画出 的图像. 【考点】分段函数的实际应用（求函数解析式、画函数图像） 【答案】（1） （2）如图. 【解析】（1）等边三角形 OAB 的高为 ，面积为 ，直线 与 OA 垂直，O 到 的距离为 ，需分两段讨论： 当 时，直线 截得的图形为小等边三角形（与原三角形相似，边长为 ），高为 ，因此面积 . 当 时，直线 右侧截得的小等边三角形边长为 ，高为 ，右侧面积为 ，因此左侧阴影面积为原三角形面积减去右侧面积： . 综上，函数解析式为. （2）图像为分段抛物线： 时开口向上的抛物线， 时开口向下的抛物线，在 处连续， 最大值为 （ 时），如右图. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的概念及表示方法 【复习目标】 1.理解函数的概念（定义域、值域等）； 2.理解函数的三种表示法（解析法、列表法、图像法）. 【考点1 函数的概念】 1. 设非空数集A、B，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作，. 两个 “硬性条件”，必须同时满足： 任意性：集合 里的每一个 ，都要有对应的 ，不能有 “漏网之鱼”. 唯一性：集合 里的一个 ，只能对应集合 里的一个 ，不能 “一对多”. 2. 函数的三要素： （x的取值范围）、 （y的取值范围）、 （对应关系），其中 和 确定后，值域随之确定. 3. 对于函数，，x叫做 ，所有自变量x的值组成的集合A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做 ，所有函数值组成的集合叫做函数的 . 【即时训练】 一、单选题 1. 下列对应关系中，能构成函数的是（ ） A. ，，对应关系 B. ，，对应关系 C. ，，对应关系 D. ，，对应关系 2. 已知集合，下列对应关系中，不是函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，，则该函数的值域是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 4. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 定义域中的每一个x，都有唯一的y与之对应 B. 值域中的每一个y，都有唯一的x与之对应 C. 函数的定义域和值域一定是非空数集 D. 两个函数的定义域和对应关系相同，则这两个函数是同一个函数 三、填空题 5. 已知函数，，则自变量x的取值范围是________，函数值y的取值范围是________. 6. 若，则________，________. 【考点2 函数的定义域】 1. 函数的定义域是指自变量x的取值范围，求定义域的核心是保证函数表达式有意义，常见限制条件： （1）分式函数：分母 （即）； （2）偶次根式函数：被开方数 （即）； （3）整式函数（一次、二次函数等）：定义域为 ； （4）实际问题中的函数：定义域需结合 确定，满足实际意义. 2. 若函数由多个式子组合而成，定义域是各个式子有意义的x取值范围的 . 3. 同一函数的两个核心判断条件（必须同时满足）： 定义域相同：两个函数的自变量的取值范围完全一致（包括端点、限制条件，如分式分母不为0、根式被开方数非负等）. 对应关系相同：对于定义域内的每一个，两个函数算出的值完全相等（即使表达式不同，化简后一致也属于对应关系相同）. 【即时训练】 一、单选题 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 小王同学从职业学校毕业后选择了自主创业，在某电商平台注册了自己的网店.有一次，他批发了100套文具准备在自己的网店上销售，售价为30元/套. 销售额y与销售量x之间的函数关系为，其定义域是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 7. 下列函数中，定义域为的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列各组函数不是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 三、填空题 9. 函数的定义域是________. 10. 若的定义域是，则的定义域是________，的定义域是________. 【考点3 函数的值域】 1. 函数的值域是指 的取值范围，即集合（A为定义域）. 2. 常见函数的值域求法： （1）一次函数（）：若定义域为，值域为 ；若定义域为，值域为 （需结合k的正负判断增减性）. （2）二次函数（）：开口向上（）时，值域为 （顶点纵坐标为最小值）；开口向下（）时，值域为 （顶点纵坐标为最大值）. （3）分式函数（简单型，如，）：值域为 . 3. 求值域的关键：先确定 ，再根据对应关系求y的取值范围. 【即时训练】 一、单选题 1. 函数（）的值域是（ ） A. B. C. D. 2. 函数（）的值域是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 3. 下列关于函数值域的说法正确的是（ ） A. 函数的值域由定义域和对应关系共同决定 B. 二次函数的值域一定是 C. 一次函数在闭区间上的值域一定是闭区间 D. 分式函数的值域一定不含n 三、填空题 4. 函数（）的值域是________，其中最大值是________. 5. 函数（）的顶点坐标是________，值域是________. 【考点4 函数的表示方法】 1. 函数的常用表示方法有3种： 、 、 . 2. 解析法：用 表示两个变量之间的对应关系，优点是简洁、便于计算和推理（如）. 3. 列表法：将自变量x和对应的函数值y列成表格，优点是 ，能直接找到对应值（如工资表、三角函数表）. 4. 图像法：在平面直角坐标系中，用 表示函数关系，优点是直观、能清晰反映函数的增减性和变化趋势. 5. 分段函数：在定义域的不同区间上，有 的解析表达式的函数，注意分段函数是一个函数，定义域是各区间的并集，值域是各区间值域的并集. 【即时训练】 一、单选题 1. 下列函数中，经过点的是（ ） A. B. C. D. 2. 小李周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步看完电影后匀速步行回家，下面图像中与上述事件吻合的是（ ） 3. 已知函数表示为: x [-2,0) 0 (0,2] y 1 0 -2 设，的值域为M,则( ) A. m=-2，M={-2,0,1} B. m=-2，M= C. m=l，M={-2,0,1} D. m=l，M= 二、多选题 4. 下列是函数图像的是（ ） 三、填空题 5. 函数的定义域是________，________，________. 6. 若函数的图像如图所示，则： （l）函数的定义域为 ； （2）函数的值域为 （本题结果要求用区间表示）. 1.（2026年湖北技能高考第22题）函数 的定义域为（ ） A. 　 B. 　 C. 　 D. 2.（2026年湖北技能高考第29题）已知 ，，则 ____. 3.（2025年湖北技能高考第 28 题）已知 ，则 . 4.（2023年湖北技能高考第21题）下列函数中，定义域和值域均为 的是（ ） A.　 B.　 C.　 D. 5.（2022年湖北技能高考第21题）符号函数 的图像是（ ） 6.（2021年湖北技能高考第28题）若函数 ，则 ，. 7.（2019年湖北技能高考第22题）下列函数中与函数 为同一个函数的是（ ） A.　 B.　 C.　 D. 8.（2018年湖北技能高考第27题）若函数 且 ，则实数 . 9.（2014年湖北技能高考第31题）函数 的定义域用区间表示为 . 10.（2001年湖北技能高考第19题）已知等边三角形 OAB 的边长为2，直线 ， 截这个三角形所得的图形位于 的左方（阴影部分）的面积为 ，O 到 的距离为 . （1）求出函数 的解析式； （2）画出 的图像. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $