专题2 充要条件（讲义）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充分必要条件 【复习目标】 理解必要条件与充分条件的概念，能区分一些简单的“充分“”必要“”充要“条件、既不充分也不必要条件的实例. 【考点1 命题】 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 【即时训练】 1．下列语句不是命题的是（   ） A．两点之间线段最短 B．与的和等于0吗？ C．相交的两条直线有一个交点 D．对顶角不相等 【答案】B 【分析】根据命题的概念，即是否是一个可以判断真假的陈述句，由此判断选项即可. 【详解】A选项，两点之间线段最短，是陈述句且可以判断为真，是命题； B选项，与的和等于0吗？是疑问句，不是陈述句，不是命题； C选项，相交的两条直线有一个交点，是陈述句且可以判断为真，是命题； D选项，对顶角不相等，是陈述句且可以判断为假，是命题. 故选：B. 2．下列命题为真命题的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 【答案】D 【分析】对于A、B、C项可使用特殊值代入验证为错误，D选项可用作差法判断其正确，即可得解. 【详解】对于A，当时，不等式显然不成立，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，，显然不成立，故C错误； 对于D，因为所以，， 所以，所以，故D正确. 故选： D. 3．设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若，且，则； ②若，且，则； ③若，，，则； ④若，，，且，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据线线平行，线面平行，线面垂直的性质定理即可解得. 【详解】①：两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故①正确； ②：直线还可能在平面内，故②错误； ③：三条交线除了平行也可能交于同一点，故③错误； ④：若，且， 则由知，且， 由及，，得， 同理，故，故④正确. 故选：B. 4．下列命题中是真命题的是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．空间中一个点与一条直线可以确定一个平面 C．一个平面的面积可以为 D．若平行四边形表示一个平面,则这个平面可记为“平面” 【答案】D 【分析】由平面的基本性质及平面的表示方法即可得解. 【详解】四边形可以为平面图形,也可以为空间四边形,故选项错误. 空间中一条直线与直线外一点可以确定一个平面,故选项错误. 数学中的平面具有无限延展的特征,没有面积大小,故选项错误． 对于平行四边形,可选用其中一组对角的顶点字母表示平面,故选项正确． 故选:, 5．给出下列命题： ①存在实数，使； ②； ③对任意实数，都有； ④存在实数，使.其中，真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个​ D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查命题的定义，能判断真假的陈述句为命题，判断为真的为真命题。 【详解】①存在实数，使，为真命题，如， ②，为真命题； ③对任意实数，都有，为假命题，如； ④存在实数，使为真命题，解得， 所以有三个真命题。故选项C正确。 故选：C． 6．已知命题p：“不等式有解”为真命题，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式有解问题易得答案. 【详解】因为命题p：“不等式有解”为真命题， 所以不等式有解， 因为， 所以， 解得， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 7．已知集合，，若是假命题，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】利用命题的真假与交集的运算求参数范围即可. 【详解】若是真命题，则， ∴当是假命题时，， 故答案为：. 8．命题“”为真命题，则实数m的范围为___________. 【答案】 【分析】根据命题的真假分情况求解即可. 【详解】因为命题“”为真命题. 所以当时，，恒成立，符合题意. 当时，要满足，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 【考点2 . 充分必要条件】 1. 充分条件与必要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分又不必要条件 pq且qp 2. 重要结论 1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若B A，则p是q的必要不充分条件； (6)若AB且B A，则p是q的既不充分也不必要条件． 3．充分条件与必要条件的两个特征： (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)． 注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题． 【即时训练】 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据绝对值不等式的解法以及充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】由不等式解得，显然当时不一定有成立，充分性不成立， 反之当时，一定有，必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．设：；：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的概念求解即可. 【详解】由，即，解得，即：； 由，解得，即：； 因为是的充分不必要条件，所以，解得， 实数的取值范围是，因此选项A正确. 故选：A. 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念结合正弦函数的性质进行分析即可. 【详解】若， 则或， 则“”不能推出“”，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4．在中，是成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据诱导公式，结合充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】在中，若，则， 所以能推出， 在中若，则或，即， 所以不能推出， 所以是成立的充分不必要条件. 故选：A. 5．“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分条件,必要条件的定义及平行四边形与菱形的性质即可得解. 【详解】因为菱形是特殊的平行四边形. 所以四边形是平行四边形四边形是菱形,不成立. 四边形是菱形四边形是平行四边形,成立. 所以为必要不充分条件. 故选:. 6．，，则是的（    ）条件． A．充分 B．必要 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】求出集合的元素，利用充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为. 解得或. 所以. 因为，解得. 所以. 所以不成立，成立. 所以是的必要条件. 故选：. 7．已知，则“”是“成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，结合二次不等式的解法，及充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若，即，解得， 若，解得， 所以当时，则不一定成立，即充分性不成立； 当时，则一定成立，即必要性成立； 故“”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B. 8．“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据并集的性质及充要条件的概念可判断结果. 【详解】由并集的性质可得，， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 9．“”是“ 成等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用等差中项的定义结合条件的充分性与必要性的判断可解. 【详解】若，则 成等差数列，充分性得证； 若成等差数列，则有，必要性得证； 故“”是“ 成等差数列”的充要条件； 故选：C． 10．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可解得. 【详解】若，可取，则无意义， 故，所以“”不是“”的充分条件； 若，由函数在定义域上单调递增，可知， 从而，进而有，故， 所以“”是“”的必要条件； 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 11．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据对数的单调性求解即可. 【详解】当成立时，. 当时，对数式不成立． 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 12．已知向量和，“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据相等向量和相反向量的概念即可判断. 【详解】由可得，但时不一定成立，可能存在方向相反的情况， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 13．设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据空间中的线面关系，面面关系结合充分必要条件即可求解. 【详解】由面面垂直的判定定理可得，，，则. 又，，则，或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 14．已知直线和平面，则“垂直于内任意一条直线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用线面垂直的定义与性质，结合充分必要条件的知识即可得解. 【详解】如果垂直于内任意一条直线，显然有，则充分性成立； 如果，那么垂直于内任意一条直线，则必要性成立， 所以“垂直于内任意一条直线”是“”的充要条件. 故选：C. 15．“”是“的解集是实数集”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件及充分必要条件即可得解. 【详解】当时，，显然成立； 当时，，解得， 故的解集是实数集等价于. 因此，“”是“的解集是实数集”的充分而不必要条件. 故选：A. 16．“”是“直线在坐标轴上的截距相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先考虑直线在坐标轴上的截距相等时k的值，再由充分不必要的判定方法即可求解. 【详解】对于直线， ①当直线的截距均不为0时，且，故且. 当时，直线l在y轴上的截距为； 当时，直线在x轴上的截距为. 由在坐标轴上的截距相等，得，解得； ②当直线的截距均为0时，，则； 故“”是“直线在坐标轴上的截距相等”的充分不必要条件. 故选：A. 17．“直线与圆相切”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系确定的值，再由充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】因为圆， 所以该圆的圆心为，半径． 当“直线与圆相切”时， 根据得到，解得或， 所以充分性不成立， 反之，若“”可得直线为， 则圆心到直线的距离， 故该圆与直线相切， 所以必要性成立， 因此“直线与圆相切”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 18．“角是第四象限的角”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据象限角及界限角三角函数值的符号，结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】当角是第四象限的角时，，故充分性成立； 当时，角是第三象限角，第四象限的角，或终边在轴负半轴上，故必要性不成立， 所以“角是第四象限的角”是“”的充分不必要条件， 故选：. 19．“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程以及充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】当方程表示椭圆时，必有所以且； 但当3时，该方程不一定表示椭圆，例如当时，方程变为，它表示一个圆． 所以“”不能推出“方程表示椭圆”， “方程表示椭圆”可以“”， 所以”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 20．“”是“向量与垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标表示，由“向量与垂直”求出，再根据充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若向量与垂直，则，解得， “”可以推出“”，而“”不能推出“”， “”是“向量与垂直”的充分不必要条件， 故选：A． 21．已知直线，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由直线垂直与斜率的关系、充分条件和必要条件的判定解答本题. 【详解】若，则，解得或， 不能推出， 若，则直线，直线，此时两直线斜率乘积为， 可以推出， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 1.（2024·河北对口升学·真题T04）“是锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件的充分性和必要性分别进行证明讨论，从而得出结论. 【详解】若“是锐角”，则，故，充分性成立； 若，则可能是第一或第二象限角或角的终边在y轴正半轴，，即必要性不成立； 所以“是锐角”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2.（2023·河北对口升学·真题T04） “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数值求角和特殊角的三角函数值来进行判断. 【详解】因为当时，或， 而当时，成立， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3.（2022·河北对口升学·真题T03） “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件,必要条件的定义及平行四边形与菱形的性质即可得解. 【详解】因为菱形是特殊的平行四边形. 所以四边形是平行四边形四边形是菱形,不成立. 四边形是菱形四边形是平行四边形,成立. 所以为必要不充分条件. 故选:. 4.（2021·河北对口升学·真题T03）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式条件判断充分必要性即可求解. 【详解】若，则，所以充分性具备， 若，则，所以必要性不具备， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充分必要条件 【复习目标】 理解必要条件与充分条件的概念，能区分一些简单的“充分“”必要“”充要“条件、既不充分也不必要条件的实例. 【考点1 命题】 用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做 ，判断为假的语句叫做 ． 【即时训练】 1．下列语句不是命题的是（   ） A．两点之间线段最短 B．与的和等于0吗？ C．相交的两条直线有一个交点 D．对顶角不相等 2．下列命题为真命题的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 3．设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若，且，则； ②若，且，则； ③若，，，则； ④若，，，且，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列命题中是真命题的是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．空间中一个点与一条直线可以确定一个平面 C．一个平面的面积可以为 D．若平行四边形表示一个平面,则这个平面可记为“平面” 5．给出下列命题： ①存在实数，使； ②； ③对任意实数，都有； ④存在实数，使.其中，真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个​ D．4个 6．已知命题p：“不等式有解”为真命题，则a的取值范围是__________． 7．已知集合，，若是假命题，则实数a的取值范围是___________． 8．命题“”为真命题，则实数m的范围为___________. 【考点2 . 充分必要条件】 1. 充分条件与必要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的 条件 p⇒q且qp p是q的 条件 pq且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 pq且qp 2. 重要结论 1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的 ； (2)若A⊇B，则p是q的 ； (3)若A＝B，则p是q的 ； (4)若AB，则p是q的 ； (5)若B A，则p是q的 ； (6)若AB且B A，则p是q的 ． 3．充分条件与必要条件的两个特征： (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)． 注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题． 【即时训练】 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设：；：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在中，是成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．，，则是的（    ）条件． A．充分 B．必要 C．充要 D．既非充分又非必要 7．已知，则“”是“成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 9．“”是“ 成等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 11．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知向量和，“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知直线和平面，则“垂直于内任意一条直线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．“”是“的解集是实数集”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．“”是“直线在坐标轴上的截距相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．“直线与圆相切”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．“角是第四象限的角”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．“”是“向量与垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．已知直线，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 1.（2024·河北对口升学·真题T04）“是锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.（2023·河北对口升学·真题T04） “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.（2022·河北对口升学·真题T03） “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.（2021·河北对口升学·真题T03）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $