查漏补缺08 选择填空题压轴题7大考点17题型（专项训练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

查漏补缺08 选择填空压轴题 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 多结论问题 多结论题是选择压轴必考题型，核心是不凭感觉、要会推导。容易漏条件、错看图像、少分类，务必做到先定性、再推导、最后验证。 题型一：二次函数多结论问题 先看开口、对称轴与特殊点函数值，判断 a,b,c 符号；再用对称性、顶点最值、判别式验证结论。 容易忽略图像限制条件；特殊点坐标代错；不验证就直接判断，导致结论出错。 1．（2026·安徽合肥·二模）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：；；（的实数）；．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④⑤ 3．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 4．（2026·江西新余·一模）二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与x轴的交点为和点B；与y轴的交点在与之间（包括端点）．①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．其中正确结论是______． 题型二：几何图形多结论问题 先确定图形性质，再用全等、相似、角关系、勾股定理逐一推导；复杂图形拆成基本模型分析。 凭目测判断不推理；跳步证明逻辑不严；漏看隐藏条件，缺少分类讨论。 1．（2026·北京门头沟·二模）如图，是正方形的对角线，分别是边的中点，作点关于的对称点，连接，交于点，延长交于点． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 2．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③若，则；④若点为的中点，则垂直平分．其中一定正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·四川眉山·一模）如图，在正方形中，点、分别在边、上，于点，交于点，于点，交的延长线于点，连接．下列四个结论：①；②；③；④若，则．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在等边中，点为边中点，交于点，点在线段上，连接平分交于点，则下列结论：①；②；③当点到直线AC距离最小时，；④．其中一定正确的有___________．（填序号） 考点02 新定义问题 新定义题关键在读懂规则、不瞎创造。常见错误是理解偏差、忽略范围、漏情况，要把陌生定义转化为课本知识，按步骤计算或画图。 题型三：新定义运算与阅读理解题 严格按照题目给出的规则代入计算，注意取值范围、运算顺序与符号要求。 容易自己创造规则；忽略范围限制；计算粗心不检验，导致结果错误。 1．新趋势·新定义  对于任意四个有理数a，b，c，d，定义新运算：．已知，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（2025·湖南岳阳·模拟预测）新定义：为二次函数（为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若点在“图象数”为的二次函数的图象上，且，当时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是______． 题型四：新定义几何规则题 将新定义转化为已学几何模型，规范画图，分步转化条件并推导。 理解定义出现偏差；画图不准；位置考虑不全面，容易出现漏解。 1．（2024·上海杨浦·一模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______． 2．新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点，那么的长度为______． 3．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是_____ ．    4．（2024·湖南·模拟预测）奇异三角形是一个新定义的几何概念．奇异三角形是指一个三角形的三边满足以下关系：两边平方和等于第三边平方的两倍．现假设是奇异三角形，， 则的值为____． 考点03 规律探究问题 规律题核心是特殊→一般→验证。最容易错在周期找错、数量数错、通项写错，写完一定要用前几项检验，避免惯性错误。 题型五：数字规律探究 观察差、比、符号与周期变化，写出通项公式并代入验证。 只看前几项定规律；规律找错；符号、指数、分母写错，不验证。 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）将一组数：，按如图方式进行排列，则第八行左起第1个数是（　　） A．7 B．8 C． D．4 2．（2025·云南·模拟预测）观察下列一组单项式：，，，，，…。按你发现的规律继续写下去，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）有这样一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得．第二步：算出的各位数字之和得，计算得．第三步：算出的各位数字之和得，计算得……以此类推，则的值为________． 4．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知且，我们定义，记为；，记为，……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……．则的值为_____． 题型六：图形规律探究 数出前几组数量，列出数列，找增量规律，写出通项并核对。 数错个数；增量判断错误；规律归纳不完整，导致结果偏差。 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，⋯⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案用了木棍数量是（    ） A．26根 B．29根 C．31根 D．32根 2．（2026·重庆綦江·二模）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形，第②个图案有7个三角形，第③个图案有10个三角形，…依此规律，第2026个图案有多少个三角形（    ） A．6076 B．6077 C．6078 D．6079 3．（2026·广东东莞·一模）按如图所示的规律图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是_____． 4．（2026·陕西商洛·一模）园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第个图形中花卉的总盆数为________．（用含的代数式表示） 题型七：代数式等式规律探究 抓住结构、系数、符号、指数特征，写出第 n 项并核对等式。 左右结构对应错误；正负交替写错；指数、项数看错。 87．（2025·甘肃定西·模拟预测）观察：，…，则__________．（） 2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）观察下列等式：，，，…按此规律，则第个等式为 ． 3.（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为 ． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）通过计算我们知道，，，…，则按此规律第9个式子为_____． 题型八：坐标规律探究 观察横纵坐标变化，找出循环周期，用余数确定最终位置。 周期判断错误；象限符号出错；余数与坐标对应关系混乱。 1．（2026·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，则2025秒后，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河南洛阳·一模）如图所示，在台球桌面上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2026秒时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南衡阳·一模）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 考点04 函数图象分析与判断 函数图象题要会分段、抓关键点、看趋势。易错点是趋势反、坐标看反、范围超界，用排除法最稳，不要死算。 题型九：动点与函数图象判断 分段判断趋势、起点、拐点、终点，结合排除法快速锁定正确图像。 增减趋势判断相反；不分段分析；忽略自变量取值范围。 1．（2026·安徽芜湖·二模）如图，点为半圆上一点，点在直径上，连接，，点，分别在，上，连接，，四边形为正方形，，记和的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（   ） A．B． C． D． 2．（2026·河南郑州·一模）如图，，为线段上两点，且，点为线段上的动点，并从点向点匀速运动，，分别是以，为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点，设点的运动时间为，点到的距离为，则与的函数关系的大致图象是（    ） A．B． C．D． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 题型十：根据函数图象求值 抓住交点、顶点、截距、对称轴等关键点，对应坐标列式计算。 坐标看反；正负号看错；图像意义理解不清，计算失误。 1．（2026·湖北宜昌·一模）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（   ）    A． B．2 C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为（   ） A．16 B．4或16 C．4或 D．20 3．（2026·河南·二模）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿向点运动，将绕点顺时针旋转，得到，连接．设线段的长度为，的面积为．当点在上运动的过程中，与的函数关系如图2所示，图象上最高点的坐标为，则矩形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 4．（2026·浙江金华·二模）如图，在中，，，以中点为圆心、长为半径作弧．点从点出发，沿弧及线段向终点运动．记的运动路程为，，关于的函数图象如图所示，图象过点，则下列说法错误的是（   ）． A．点在弧上运动时，的图象为一条线段 B．当时，点运动到点 C．的最小值为 D． 考点05 图形变换问题 变换题（折叠、旋转、平移）本质是全等 + 对称，抓住对应边、角不变。易错点是找错对应关系、忘用勾股、漏直角条件。 题型十一：图形的平移问题 遵循 “左减右加，上加下减”，平移不改变图形形状与大小。 方向搞反；坐标加减错误；忽略平移前后图形全等。 1．（2024·河南商丘·一模）如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·模拟预测）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为(    ) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 3．如图，直线交轴于，交轴于，轴，，垂足为，反比例函数的图象经过点，现将线段平移到的位置，连接，若，则的值是_______． 4．（2024·河南驻马店·三模）如图，在等边三角形中，，为的中点，在延长线上截取，将沿向右平移，点的对应点为，当平移后的和重叠部分的面积是面积的时，平移的距离为__________．    题型十二：图形折叠问题 折叠即全等 + 对称，对应边与角相等，常用勾股定理列方程求边长。 对应边找错；忽略折叠形成的直角；漏算重叠部分的边长。 1．（2026·河南信阳·三模）如图，在矩形中，，，点在边上运动，连接，将矩形沿直线折叠，点的对应点为，当点落在矩形对角线所在的直线上时，的长为（   ） A．2 B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，点在线段上，且，是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点恰好落在线段上时，________． 3．（2024·湖北随州·模拟预测）正方形边长为5，点E在上，，将沿折叠得，连接并延长交于点G，则_________. 4.（2025·山西临汾·二模）如图，在中，，是的中点，连接，将沿折叠，使点落在点，连接，则 ． 题型十三：图形旋转问题 旋转即全等 + 定角，对应点到中心距离相等，构造等腰三角形推导。 旋转角找错；忽略等腰三角形性质；图像位置判断不准。 1．如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 2.（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 3.（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 4．（2024·江苏常州·一模）如图，直线与轴、轴分别相交于点A、，过点作，使．将绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2024次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．6 B． C． D．4 考点06 动点运动问题 动点题要抓轨迹、找模型。最值看 “共线”，轨迹看 “定长 / 定角”，最容易漏范围、找错最值点、忘记分类。 题型十四：动点轨迹问题 轨迹常为直线、线段、圆弧，依据定长、定角、定点判断轨迹形状。 范围判断不全；误把曲线当成直线；轨迹考虑不完整。 1．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面内，线段，为线段上的动点，三角板的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足．若点沿方向从点运动到点，则点运动的路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 2．（2024·山西·二模）如图，在中，，，．将绕的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024四川乐山中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________． 题型十五：动点最值问题 用将军饮马、垂线段最短、隐圆模型求解，最值出现在三点共线时。 最值点找错；不满足共线条件；模型套用错误。 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，，P是内部一点，且，E是的中点，F是边上的一个动点，连接，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D． 考点07 填空多解双空问题 填空压轴最容易漏解、看空、算错。多解必须画图分类，双空前后有关联，不要两空独立做。 题型十六：几何多解问题 按位置、方向分类画图，全面考虑所有情况，做到不重不漏。 只画一种图形；习惯性漏解；位置考虑不全面。 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在矩形中，，P为边上一动点，连接，把沿折叠使A落在处，当为等腰三角形时，的长为（　　） A．2 B． C．2或 D．2或 2．（2025·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是（   ） A． B．或 C．2 D．2或 3．（2026·湖南长沙·一模）如图，将 与正方形按如图所示的方式摆放，边 在直线上，，， ，以的速度沿着方向运动，初始时点与点重合，当点与点 重合时停止运动，在运动过程中，当与正方形重叠部分面积为时，其运动时间为（  　 ） A． B． C．或 D．或 4．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，，，是斜边的中点，现将点绕着点按顺时针方向旋转角度得到点，连接，．若是轴对称图形，则边上的高为 ． 题型十七：填空双空问题 先做简单空，再用前一空结果推导后一空，注意前后逻辑关联。 两空独立看待；逻辑关系用错；忽略题目递进关系。 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在等腰中，，若点E，F分别在边和边上，沿直线将翻折，使点C落于所在平面内，记为点D．直线交于点G．    （1）若落在边上，则________； （2）若，则________（用含的代数式表示） 2．（2025·重庆·三模）如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，点为弧的中点，若，，则的半径为________；的面积为________． 3．（2024·天津·三模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上一点，连接，． （1）的长为____________； （2）若平分，则的长为____________． 4．（2025·河南驻马店·三模）如图，在正方形中，分别为，的中点，为边上一动点（不与点重合），连接，过点作，且，连接，，则的值为_______，线段长度的最小值为___________． 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·广东东莞·一模）如图，已知矩形，点E是边的中点，，与相交于点F，连接，下列结论：①；②③④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·安徽马鞍山·三模）在中，，，，点为上一点，为内部一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 4．（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 5．（2026·河南开封·一模）如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 6．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，平行四边形的面积为28，于点，，将沿折叠到处，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 7．（2025·四川绵阳·三模）如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，交于点G，连接．现有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东菏泽·一模）如图，已知，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，按此规律进行下去，则的直角边的长为_____． 7．（2026·安徽阜阳·一模）对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当时，______； （2）当时，______． 8．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线，E为上一点，过点E作，与分别交于点G、F，H为的中点，连接．下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的有_____（填写序号）． 9．（2026·湖北·模拟预测）如图，在矩形中，，动点，分别以，的速度从点同时出发，点沿边向终点运动，点沿折线向终点运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图所示． （1）__________；（2）__________． 10．（2024·天津河北·二模）如图， 正方形的边长为，作以为底的等腰三角形，    (1)的面积为___________； (2)若，分别为，的中点，为的中点，射线，相交于点， 则的长为_________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 查漏补缺08 选择填空压轴题 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 多结论问题 多结论题是选择压轴必考题型，核心是不凭感觉、要会推导。容易漏条件、错看图像、少分类，务必做到先定性、再推导、最后验证。 题型一：二次函数多结论问题 先看开口、对称轴与特殊点函数值，判断 a,b,c 符号；再用对称性、顶点最值、判别式验证结论。 容易忽略图像限制条件；特殊点坐标代错；不验证就直接判断，导致结论出错。 1．（2026·安徽合肥·二模）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：；；（的实数）；．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数系数与其图象之间的关系．抛物线的开口方向可以确定的符号，抛物线与轴的交点可以判断的符号，对称轴是．将取特殊值可得与题干中结论一样的代数式． 【详解】解：①当，，由图象可知，此时，所以，，正确； ②当，，由图象可知，该函数关于对称，所以与时，值相等．因为，，所以，，，正确； ③当，值最大，此时，时， ，，错误； ④因为二次函数的对称轴是，所以，，正确． 综上，①②④正确． 2．（2026·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，二次函数的对称轴为直线，则，，即可判断①②；二次函数与x轴有两个交点即可判断③；根据当时，，即可判断④；根据抛物线开口向上，在抛物线上离对称轴越远的点对应的函数值越大，即可判断⑤． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴负半轴交于一点， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∴， 故结论②错误； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 故结论③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∵， ∴，即， 故结论④错误； ∵，，， ∴点，在二次函数的图象上，， 故结论⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤． 3．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点及特殊点的函数值，结合二次函数的系数与图象的关系，逐一分析四个结论的正误． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， 抛物线对称轴在轴右侧，对称轴为直线， ， 又， ， ，故结论①正确，符合题意． 由图可得抛物线顶点的纵坐标大于， 顶点纵坐标公式得， 又，不等式两边同时乘（负数），不等号方向改变， ，故结论②正确，符合题意． 抛物线过点、 ，， 即， ，故结论③错误，不符合题意． 抛物线经过点， 当时，，故结论④正确，符合题意． 故正确的结论是①②④． 4．（2026·江西新余·一模）二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与x轴的交点为和点B；与y轴的交点在与之间（包括端点）．①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．其中正确结论是______． 【答案】①④⑤ 【分析】根据二次函数的图象与轴有两个交点，得，可判断①；根据对称轴为，得，根据二次函数图象交x轴于点，得，得，可判断②；根据点，，都在抛物线上，且的对称点为，当时，y随x的增大而增大， ，得，可判断③；根据直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，和方程无实根，可判断④；根据二次函数的图象交y轴于点，得，由，得，由顶点，得，得， 即得，可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和点， ∴， ∴①正确； ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∵对称轴为， ∴， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴②不正确； ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，，都在抛物线上，的对称点为，且， ∴， ∴③不正确； ∵直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交， ∴方程无实根， ∴④正确； 对，令，则， ∴二次函数的图象交y轴于点， ∴， ∵， ∴ 把代入， 得． ∴， 即． ∴⑤正确． ∴正确的有①④⑤． 题型二：几何图形多结论问题 先确定图形性质，再用全等、相似、角关系、勾股定理逐一推导；复杂图形拆成基本模型分析。 凭目测判断不推理；跳步证明逻辑不严；漏看隐藏条件，缺少分类讨论。 1．（2026·北京门头沟·二模）如图，是正方形的对角线，分别是边的中点，作点关于的对称点，连接，交于点，延长交于点． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】证明，得由对称性得，可判断①正确；记交于点，由三角形内角和定理得可判断②正确；证明可得，可判断③；分别证明，，可判断④ 【详解】解：①四边形是正方形， 分别是边的中点， ， 点关于对称， ， ，故①正确； ②如图，记交于点， 由①知 ， ，故②正确； ③四边形是正方形， ， 是正方形的对角线， 关于对称， 三点共线， 是的中点， ，故③错误； ④如图，连接， 四边形是正方形， ， 又 ， ， 由①知 点关于对称， ， 又 ， ，故④正确， 综上所述，正确的结论序号为①②④． 2．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③若，则；④若点为的中点，则垂直平分．其中一定正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查三角形内心，圆周角定理，等弧与等弦的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与三角形外角的性质．掌握三角形的内心是解题的关键． ①利用同弧所对的圆周角相等可推得，进一步可推得该选项正确； ②利用内心的性质、三角形外角的性质、等角对等边，可推得该选项正确； ③利用内心的性质与三角形外角的性质可推得该选项正确； ④利用相等的圆周角所对的弦相等可证，再结合等腰三角形“三线合一”可判断该选项正确． 【详解】①∵（同一所对的圆周角相等） ∴， ∴，即．该选项正确． ②连接，如图． ∵点E为的内心， ∴， 又∵（同一所对的圆周角相等） ∴ 又， ∴， ∴，此选项正确． ③∵点E是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，此选项正确； ④连接，如图． ∵点E是的内心， ∴． ∴（相等的圆周角所对的弦相等）． ∵点G为的中点， ∴（等腰三角形“三线合一”） 即垂直平分，此选项正确． 故正确的选项有①②③④，共4个． 故选：D． 3．（2026·四川眉山·一模）如图，在正方形中，点、分别在边、上，于点，交于点，于点，交的延长线于点，连接．下列四个结论：①；②；③；④若，则．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】由正方形的性质可得，由题意可得，再求出，即可判断①正确；先证明，得出，连接，则为等腰直角三角形，从而可得，，证明，得出，证明，得出，再证明，得出，即可判断②正确；利用已知条件无法证明出，即可判断③错误；证明，得出，再由平行线分线段成比例定理可得，进而得出，证明点、、、在以为直径的圆上，，得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，求出，从而可得，即可判断④正确． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，，，， ∵于点，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴，为等腰直角三角形，故①正确，符合题意； ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③利用已知条件无法证明出，故③错误，不符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点、、、在以为直径的圆上， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在等边中，点为边中点，交于点，点在线段上，连接平分交于点，则下列结论：①；②；③当点到直线AC距离最小时，；④．其中一定正确的有___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质等知识，证明是三角形中位线，可判断①；运用相似三角形的性质可判断②；当点与点重合时，点到的距离最短，可判断③；延长到，使，连接，证明得，再证明即可判断④． 【详解】解：∵点为边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； 当点与点重合时，点到的距离最短， ∵为中点，是等边三角形， ∴，即， ∵是的平分线， ∴，故③正确； 延长到，使，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, 又， ∴， ∴，； ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 考点02 新定义问题 新定义题关键在读懂规则、不瞎创造。常见错误是理解偏差、忽略范围、漏情况，要把陌生定义转化为课本知识，按步骤计算或画图。 题型三：新定义运算与阅读理解题 严格按照题目给出的规则代入计算，注意取值范围、运算顺序与符号要求。 容易自己创造规则；忽略范围限制；计算粗心不检验，导致结果错误。 1．新趋势·新定义  对于任意四个有理数a，b，c，d，定义新运算：．已知，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了定义新运算和解一元一次方程．理解新定义运算的含义是解题的关键．根据新运算的定义：，将变换成求解即可． 【详解】解： ，， ， 化简得：， 移项、合并同类项，得， 解得：． 故选：C． 2．（2025·湖南岳阳·模拟预测）新定义：为二次函数（为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若点在“图象数”为的二次函数的图象上，且，当时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，理解“图象数”的定义是解题关键．由“图象数”可知二次函数为，则对称轴为直线，再求出点的坐标，根据二次函数图象的开口方程和增减性求解即可． 【详解】解：由题意可知，“图象数”为的二次函数为， 对称轴为直线， ， ， 解得：或， 或， ， 二次函数图象开口向上， 当时，的取值范围为， 故选：A 3．（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式、“差方数”，设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数，根据差方数的定义可知，其中为偶数，为整数，根据“差方数”的定义可知，当时，代入求出第个“差方数”即可． 【详解】解：设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数， 则平方差为 ，即 ， 两个连续奇数的和为 ，且必须为某个正整数的平方， 设 ，则 ， 为整数， 必须为偶数， 令，则 ， 代入得 ， “差方数”为 ，其中 为正整数， 第个“差方数”对应， 即 ． 题型四：新定义几何规则题 将新定义转化为已学几何模型，规范画图，分步转化条件并推导。 理解定义出现偏差；画图不准；位置考虑不全面，容易出现漏解。 1．（2024·上海杨浦·一模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______． 【答案】9 【分析】连接AC，作交BC于E点，由，，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作交AD于F点，可证，最后求得AF和DF的长，可解出最终结果． 【详解】解：如图，连接AC，作交BC于E点， ，， ，设AE=3x，BE=4x， ，则， 解得x=2，则AE=6，BE=8， 又 ，CE=BC-BE=4， ， 作交AD于F点， ，， ，==， 又 ，同理可得DF=3，CF=4， ， AD=AF+DF=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键． 2．新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点，那么的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是用勾股定理解三角形，解题关键是熟练掌握勾股定理．取中点，连接，根据题目中“精准三角形”的定义可得，根据勾股定理得到即可求解． 【详解】解：取中点，连接， 此时为中线，， 是“精准三角形”， ， ， ， 设， 则，， ， 中，， ，， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 3．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是_____ ．    【答案】/ 【分析】延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可． 【详解】解：延长与交于点，如图所示：    点A关于直线的对称点是点， ，，， 是等高底三角形，是等底， ， 点是的重心， ， 设，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系． 4．（2024·湖南·模拟预测）奇异三角形是一个新定义的几何概念．奇异三角形是指一个三角形的三边满足以下关系：两边平方和等于第三边平方的两倍．现假设是奇异三角形，， 则的值为____． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理及新定义三角形，根据题意，由勾股定理及奇异三角形定义两边平方和等于第三边平方的两倍，列方程组求解即可得到答案，读懂题意，理解奇异三角形定义是解决问题的关键． 【详解】解：在，，如图所示： 由勾股定理可得，即，则， 假设是奇异三角形， 根据奇异三角形定义，分两种情况：①；②； 当，即，联立，则，解得； 当，即，则，联立，则，解得； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 考点03 规律探究问题 规律题核心是特殊→一般→验证。最容易错在周期找错、数量数错、通项写错，写完一定要用前几项检验，避免惯性错误。 题型五：数字规律探究 观察差、比、符号与周期变化，写出通项公式并代入验证。 只看前几项定规律；规律找错；符号、指数、分母写错，不验证。 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）将一组数：，按如图方式进行排列，则第八行左起第1个数是（　　） A．7 B．8 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，根据题意每行的数字个数与行数数字相同，被开方数是连续自然数的2倍，据此可解答． 【详解】解：由题意可得前七行所有的数的总个数为， ∵， ∴被开方数是连续自然数的2倍 ∴第八行左起第1个数是第29个数，即， 故选：C． 2．（2025·云南·模拟预测）观察下列一组单项式：，，，，，…。按你发现的规律继续写下去，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式规律题，解决本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点． 分别从符号、符号后的数字、以及字母的指数三方面找规律即可． 【详解】解：根据一系列单项式，可以发现系数的符号由奇偶性决定，所以为，其后的数字为，字母为， 第个单项式为 ． 故选：B． 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）有这样一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得．第二步：算出的各位数字之和得，计算得．第三步：算出的各位数字之和得，计算得……以此类推，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查代入求值，数字规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算发现的值循环出现，周期为3，据此进行解答即可． 【详解】解：由题意， ； ； ； ； …， 发现的值是循环出现，周期为3， ， 故． 故答案为：． 4．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知且，我们定义，记为；，记为，……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……．则的值为_____． 【答案】 【分析】要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果． 【详解】解：由题意可知，，即，，即，，即， 则数组为，即； ，即，，即，，即， 则数组为，即； 同理可得，，，，即； ，，，即； ，，，即； ，，，即；； ∴可以发现，周期为3，且每个周期的和为， ∵， ∴ ． 题型六：图形规律探究 数出前几组数量，列出数列，找增量规律，写出通项并核对。 数错个数；增量判断错误；规律归纳不完整，导致结果偏差。 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，⋯⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案用了木棍数量是（    ） A．26根 B．29根 C．31根 D．32根 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的变化规律．通过观察图形及数据，发现每增加一个图案，木棍数量增加3根，从而归纳出第个图案的木棍数量公式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：由题意及图形可知：第①个图案用了根木棍，即； 第②个图案用了根木棍，即； 第③个图案用了根木棍，即； 第④个图案用了根木棍，即； 依次类推得第个图案用的木棍根数是； 当时，（根） 2．（2026·重庆綦江·二模）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形，第②个图案有7个三角形，第③个图案有10个三角形，…依此规律，第2026个图案有多少个三角形（    ） A．6076 B．6077 C．6078 D．6079 【答案】D 【分析】根据题目中的图形可以发现三角形个数的变化规律，可以求得第个图案中三角形的个数． 【详解】解：第①个图案有个三角形，即， 第②个图案有个三角形，即， 第③个图案有个三角形，即， ， 第个图案的三角形个数为：， ∴第个图案中三角形的个数为：． 3．（2026·广东东莞·一模）按如图所示的规律图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是_____． 【答案】24 【分析】分别求出前几个图中圆点的个数，并得出规律，即可解答． 【详解】解：第①个图中有个圆点； 第②个图中有个圆点； 第③个图中有个圆点； 第④个图中有个圆点； 第⑤个图中有个圆点； 第⑥个图中有个圆点． 4．（2026·陕西商洛·一模）园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第个图形中花卉的总盆数为________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】找到图中的规律解题即可． 【详解】解：本题图形分两部分，第一部分是用圆点表示的图形，数量规律是1，2，3，4，…； 第二部分是用三角形表示的部分，数量规律是，，，…， 第个图形中花卉的总盆数为． 题型七：代数式等式规律探究 抓住结构、系数、符号、指数特征，写出第 n 项并核对等式。 左右结构对应错误；正负交替写错；指数、项数看错。 87．（2025·甘肃定西·模拟预测）观察：，…，则__________．（） 【答案】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，根据分母的变化特点，列出的表达式是解题的关键． 通过观察序列前四项的表达式，发现每一项均为两个分数的差，且第一个分数分母与项数相同，第二个分数分母比项数大2，因此得出通项公式． 【详解】由已知条件： ， ， ， ， …， 可推知第项为 ． 故答案为：． 2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）观察下列等式：，，，…按此规律，则第个等式为 ． 【答案】． 【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可． 【详解】解：∵， ， ， … ∴第个等式为： 故答案是：． 【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键． 3.（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案． 【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1， 所以第个等式为：， 故答案为：． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）通过计算我们知道，，，…，则按此规律第9个式子为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，根据已有等式，得到，进而求出第9个式子即可． 【详解】解：∵，，，…， ∴， ∴当时：； 故答案为：． 题型八：坐标规律探究 观察横纵坐标变化，找出循环周期，用余数确定最终位置。 周期判断错误；象限符号出错；余数与坐标对应关系混乱。 1．（2026·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ∵， ∴点在第二象限， ∵第二象限的点，点，点，……，， ∴点． 2．（2026·河南周口·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，则2025秒后，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用旋转周角的周期性确定最终旋转角度，再结合等腰直角三角形性质计算点的坐标即可． 【详解】解：由题意得旋转一周需要的时间为 秒， ∵ ， ∴ 2025秒后，相当于旋转完253个整周后，额外顺时针旋转了， 由旋转的性质得， ，此时位于第四象限， ∴，，即． 3．（2026·河南洛阳·一模）如图所示，在台球桌面上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2026秒时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据小球的运动方向可得出小球运动一周所走的路程，再由运动速度得出运动一周所用的时间，再根据规律得出第2026秒的小球所在位置． 【详解】解：如图， 根据题意得： 小球运动一周所走的路程， ∵小球以每秒个单位长度的速度运动， ∴小球运动一周所用的时间为：（秒）， ∴， ∴第2026秒的小球所在位置为点， ∴第2026秒时点P的坐标为． 故选：C． 4．（2026·湖南衡阳·一模）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据坐标变化找到规律，再依据规律解答．用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题． 【详解】解：图中的各三角形都是等腰直角三角形， 由直角三角形的性质得到各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半， ∵，且，，，， ∴横坐标为1，纵坐标为下标的一半， ∴的坐标为． 考点04 函数图象分析与判断 函数图象题要会分段、抓关键点、看趋势。易错点是趋势反、坐标看反、范围超界，用排除法最稳，不要死算。 题型九：动点与函数图象判断 分段判断趋势、起点、拐点、终点，结合排除法快速锁定正确图像。 增减趋势判断相反；不分段分析；忽略自变量取值范围。 1．（2026·安徽芜湖·二模）如图，点为半圆上一点，点在直径上，连接，，点，分别在，上，连接，，四边形为正方形，，记和的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作交于点H，证明，得到，则可证明，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作交于点H， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意． 2．（2026·河南郑州·一模）如图，，为线段上两点，且，点为线段上的动点，并从点向点匀速运动，，分别是以，为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点，设点的运动时间为，点到的距离为，则与的函数关系的大致图象是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】分别延长交于点，则可证得四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质：对角线相互平分，可得为的中点，也是的中点，所以的运动轨迹是三角形的中位线，所以点到直线的距离为是一个定值， 问题得解． 【详解】解：如图， 分别延长交于点， ∵，分别是以，为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分， ∴为的中点， ∵的中点为， ∴从点运动到点时，始终为的中点， ∴运动的轨迹是三角形的中位线， 又∵， ∴到直线的距离为一定值， ∴与点移动的时间之间函数关系的大致图象是一平行于轴的射线， 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出当和时 y与x的函数关系式，即可解答． 【详解】解：当时，，设的垂线l，交于点， 由题意得，，， ∴,， ∴，开口向上； 当时，， 过点B作，交于H， ∵，， 则，， ∵在菱形中，，，是的垂线， ∴四边形是直角梯形， ∴， ∴， ∴， 当时，过点B作，交于H，设的垂线l交于点， ∵在菱形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，开口向下； 选项D符合条件要求． 题型十：根据函数图象求值 抓住交点、顶点、截距、对称轴等关键点，对应坐标列式计算。 坐标看反；正负号看错；图像意义理解不清，计算失误。 1．（2026·湖北宜昌·一模）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再得出，，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴在中，， ∴点运动到的中点时，的长为． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为（   ） A．16 B．4或16 C．4或 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查从图像中获取信息和解方程组，由图像可知三角形的最大面积为24，此时点P位于边BC，当点P与点C重合时x为14，设和，即可列出，结合已知即可化简得到，解得a和b，进一步分点P位于上和点P位于上时，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设，， 由图像知，， 化简得， 解得， ∵， ∴， 则， 当点P位于上时，， 解得，则； 当点P位于上时，， 解得， 则； 3．（2026·河南·二模）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿向点运动，将绕点顺时针旋转，得到，连接．设线段的长度为，的面积为．当点在上运动的过程中，与的函数关系如图2所示，图象上最高点的坐标为，则矩形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，设，由题意可得，由勾股定理可得，证明为等边三角形，作于点，表示出，结合函数图象计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 设， 由题意可得：， 由勾股定理可得：， 由旋转的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴， 如图，作于点， ， 则， ∴， ∴的面积为， 由函数图象可得，函数图象是一条开口向上的抛物线，随着的增大而增大， ∵图象上最高点的坐标为， ∴此时点运动到点，即， 将代入可得：， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴矩形的面积为． 4．（2026·浙江金华·二模）如图，在中，，，以中点为圆心、长为半径作弧．点从点出发，沿弧及线段向终点运动．记的运动路程为，，关于的函数图象如图所示，图象过点，则下列说法错误的是（   ）． A．点在弧上运动时，的图象为一条线段 B．当时，点运动到点 C．的最小值为 D． 【答案】D 【分析】连接，先根据题意和图确定为等腰直角三角形、为等腰直角三角形，再根据图进行分类，①当点在上，②当点在线段上，结合等腰直角三角形的性质和弧长的性质、及函数图像的性质判断即可． 【详解】连接， ∵在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点为中点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵的运动路程为，， 又∵点从点出发，沿弧及线段向终点运动， ①当点在上， ∴， ∴为定值，的图象为一条线段，结合图像，，故A选项正确，不符合条件， ∴， ∵， ∴； ∴当时，点运动到点，故B选项正确，不符合条件， ②当点在线段上， 如图，过点作交于点 当，即有最小值，重合， ∵，，， ∴最小值，故C选项正确，不符合条件， ∵，，， ∴， ∵从图中，可看出先减小，再增大，由图可得，点与点为对称点， 点即在图中点在点时的坐标，即， ∴点表示图中点在点时的坐标， ∴，故D选项不正确，符合条件． 考点05 图形变换问题 变换题（折叠、旋转、平移）本质是全等 + 对称，抓住对应边、角不变。易错点是找错对应关系、忘用勾股、漏直角条件。 题型十一：图形的平移问题 遵循 “左减右加，上加下减”，平移不改变图形形状与大小。 方向搞反；坐标加减错误；忽略平移前后图形全等。 1．（2024·河南商丘·一模）如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过C点作于点M，根据平移有：，根据翻转可知：，即证明，则有，即，在中，，即可求出，即，根据对称有：，即有，可得，根据， ，可得，即，则有，根据平移可知：点C向右平移得到点F，即可求解． 【详解】连接，过C点作于点M，如图， 根据平移有：， ∴， 根据翻转，可知：，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，，，， ∵在中，， ∴， ∴，即， 根据对称，点O的对应点为点C，有：， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴解得：，即， ∴， ∵， ∴根据平移可知：点C向右平移得到点F， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的翻转与平移，勾股定理，图形与坐标等知识，掌握翻转与平移的性质是解答本题的关键． 2．（2024·河北·模拟预测）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为(    ) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【分析】过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为(2,3)，由待定系数法求出直线l的解析式为y=-x+4，设平移后点C的坐标为(2,3-m)，代入解析式即可求出m． 【详解】解：过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，如图， ∴∠ABM+∠BAM=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=DA， ∴∠DAO+∠BAM=90°， ∴∠DAO=∠ABM， 在△DAO和△ABM中， ， ∴△DAO≌△ABM(AAS)， ∴OA=BM，OD=AM， ∵B(3,1)， ∴BM=1，OM=3， ∴OA=1， ∴AM=OM-OA=2， ∴OD=2， 同理可证△CDN≌△DAO， ∴DN=OA=1，CN=DO=2， ∴ON=OD+DN=3， ∴C(2,3)， ∵点B(3,1)在直线l：y=kx+4上， ∴3k+4=1， ∴k=-1， ∴直线l的解析式为y=-x+4， 设正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后点C的坐标为(2,3-m)， ∵点C在直线l上， ∴-2+4=3-m， 解得：m=1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C点的坐标是解决问题的关键． 3．如图，直线交轴于，交轴于，轴，，垂足为，反比例函数的图象经过点，现将线段平移到的位置，连接，若，则的值是_______． 【答案】12 【分析】设点D的坐标为，从而可得，先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据平移的性质可得，然后根据直角三角形的面积公式可得，从而可得，最后代入反比例函数的解析式即可得． 【详解】设点D的坐标为，则， 轴， ， ，轴轴， ， 在和中，， ， ，即， ， 线段平移到的位置， ， ， ，即， ， 反比例函数的图象经过点， ， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、平移的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键． 4．（2024·河南驻马店·三模）如图，在等边三角形中，，为的中点，在延长线上截取，将沿向右平移，点的对应点为，当平移后的和重叠部分的面积是面积的时，平移的距离为__________．    【答案】或 【分析】分与相交，与相交，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①如解图1所示，当与交于点时，重叠部分为四边形．    ∵重叠部分的面积是面积的，． 由平移的性质，可知， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即平移的距离为． ②如图2所示，当交于点时，，过点作于点，    则． ∴． ∵，， ∴，即． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即平移的距离为． 综上所述，平移的距离为或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，平移的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相关性质，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 题型十二：图形折叠问题 折叠即全等 + 对称，对应边与角相等，常用勾股定理列方程求边长。 对应边找错；忽略折叠形成的直角；漏算重叠部分的边长。 1．（2026·河南信阳·三模）如图，在矩形中，，，点在边上运动，连接，将矩形沿直线折叠，点的对应点为，当点落在矩形对角线所在的直线上时，的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠可知：，根据等积法求出，再证，得出，得，即可得答案． 【详解】解：如图， 由折叠可知：垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，点在线段上，且，是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点恰好落在线段上时，________． 【答案】 【分析】作交于点，有折叠性质得到，，后，再由勾股定理求出，结合、求出、，由勾股定理求出后，根据即可得解． 【详解】解：作交于点， 由折叠性质 可得，，， ， ， ， 即， ， ， 即，， 中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是折叠性质、勾股定理解直角三角形、解直角三角形的相关计算，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算． 3．（2024·湖北随州·模拟预测）正方形边长为5，点E在上，，将沿折叠得，连接并延长交于点G，则_________. 【答案】 【分析】过点F作交于点H，交于点P，结合矩形的判定和性质可证 ，．设，则．由折叠可知，，，易证，得出，代入数据可求出，．过点F作于点Q，则，即说明四边形，是矩形．在中，利用勾股定理，可列出关于x的等式，求出x的值，即得出，，，，从而可求出． 再根据平行线的性质可推出，进而利用求解即可． 【详解】解：过点F作交于点H，交于点P，则，， ∴． ∴四边形是矩形， ∴，． 设，则， ∴． 由折叠得，，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即， ∴，． 过点F作于点Q，则， ∴四边形，是矩形， ∴， ，． 在中，， ∴， 解得：，（舍）． ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 4.（2025·山西临汾·二模）如图，在中，，是的中点，连接，将沿折叠，使点落在点，连接，则 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求得斜边，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，以及折叠的性质得出，，进而证明是等腰三角形，证明，根据相似三角形的性质，列出比例式，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵在中，，是的中点， ∴，， ∵将沿折叠， ∴， 设，则， ∵ ∴ ∵折叠， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴即 解得： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型十三：图形旋转问题 旋转即全等 + 定角，对应点到中心距离相等，构造等腰三角形推导。 旋转角找错；忽略等腰三角形性质；图像位置判断不准。 1．如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、数字类规律，熟练找准规律是解题的关键． 根据题意，发现规律第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为，令，解出的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题知， 第1次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为4， 第2次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为8， 第3次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为9， 第4次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为13， 第5次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为14， 第6次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为18， 依此类推， 所以第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为， 当，即时， ， 即第99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为249， 故选：B． 2.（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 【详解】解：在中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3.（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2024·江苏常州·一模）如图，直线与轴、轴分别相交于点A、，过点作，使．将绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2024次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．6 B． C． D．4 【答案】B 【分析】过点C作轴，垂足为D，则是等腰直角三角形，根据，确定点C的坐标，第一次旋转的坐标，根据第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称，确定循环节为4，计算的余数，确定最后的坐标，利用横坐标纵坐标计算即可． 【详解】如图，过点C作轴，垂足为D，如图所示： 把，代入得：，解得：， ∴， 把，代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点， 第一次旋转的坐标为，第二次旋转坐标与点C关于原点对称为，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为，第四次回到起点， ∴每4次一个循环， ∴， ∴第2024次变化后点的坐标为， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，反比例函数的解析式的确定，点的坐标的对称性，利用旋转性质，确定点的对称性及其坐标是解题的关键． 考点06 动点运动问题 动点题要抓轨迹、找模型。最值看 “共线”，轨迹看 “定长 / 定角”，最容易漏范围、找错最值点、忘记分类。 题型十四：动点轨迹问题 轨迹常为直线、线段、圆弧，依据定长、定角、定点判断轨迹形状。 范围判断不全；误把曲线当成直线；轨迹考虑不完整。 1．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面内，线段，为线段上的动点，三角板的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足．若点沿方向从点运动到点，则点运动的路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，根据三角板的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足，判断出三角板平移的角度，要求的路径长，只需要转化为求的路径长，而，主动点的运动路径即是线段，由此可求出从动点的路径长． 【详解】解： 三角板的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足， ， ， 当点沿方向从点运动到点，点的运动轨迹必须保证，因此三角板的运动轨迹如图所示， 要求点运动的路径 ，根据平移的性质，， ， 在中， ，又， ． 　点运动的路径长为． 故选：D． 2．（2024·山西·二模）如图，在中，，，．将绕的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长公式，直角三角形的特征，旋转的性质，连接，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到，进而得到，则，易知点E 与点C 第一次重合时，旋转角为，根据旋转的性质得到，点A 运动路径的长为，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，点O是的中点，， ， ， ， ， 点E与点C第一次重合时，旋转角为， ， 由旋转的性质得到， 点A运动路径的长为， 点A运动路径的长为：， 故选：A． 3．（2024四川乐山中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上点M的运动路径． 过点C作交于点H，根据，四边形是菱形，得出 垂直平分，再证明垂直平分，点M在上运动，根据解直角三角形 ．即可求解． 【详解】解：过点C作交于点H，连接， ∵，四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵点P和点Q关于点C对称， ∴，即垂直平分， ∵交于点M． ∴ ∴点M在上运动， 当点P与点B重合时，点M位于点， 此时，∵，四边形是菱形，， ∴， ∴． 故点M的运动路径长为． 故选：B． 4．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 作 ，交于点，以为直径画，证明，推出点在以为直径的运动，并求出半径，再连接，推出点运动的路径长为，然后根据三角形函数和圆周角定理解出，最后运用弧长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴， 作 ，交于点，以为直径画， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点在以为直径的运动， ∵点从点运动到点， ∴连接，点运动的路径长为， ∵，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴的弧长为． ∴点的运动路径总长为：． 故答案为：． 题型十五：动点最值问题 用将军饮马、垂线段最短、隐圆模型求解，最值出现在三点共线时。 最值点找错；不满足共线条件；模型套用错误。 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作点关于的对称点，连接，交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，记交于点，如图所示： ∴ ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 故选：B． 2．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长； ，， ， ∴， ∴； ∴的最小值为4； 故选：B． 3．（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，由旋转的性质得到，，，，通过证明得到，利用菱形的性质和等边对等角得到，，则有，分析可得点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即， ， ， 菱形的边长为4， ， ， ， E是的中点， ， ，， ， ， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为． 故选：A． 4．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，，P是内部一点，且，E是的中点，F是边上的一个动点，连接，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】点P的轨迹是以为直径的在内部的圆弧，作点E关于直线的对称点G，交直线于点M，连接，连接，交于点N，交圆弧于点K，根据三角形全等，三角函数性质等求解即可； 【详解】解：因为四边形是平行四边形，，， 所以，， 所以， 所以， 因为， 所以， 故点P的轨迹是以为直径的在内部的圆弧， 因为， 故的半径为2， 设圆弧与的交点为点Q， 则， 因为， 所以是等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 作点E关于直线的对称点G，交直线于点M，连接，连接，交于点N，交圆弧于点K， 则， 因为E是的中点， 所以， 根据对称性质，得， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 根据对称性质，得， 所以， 所以，， 根据对顶角相等，得， ∵， ∴， ∴， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 连接， 因为， 所以， 所以， 所以 连接， 根据对称性质，得， 所以的最小值就转化为的最小值， 因为， 故当三点共线时，取得最小值， 而当P与点K重合时，才有最小值，此时最小值为， 故的最小值为； 考点07 填空多解双空问题 填空压轴最容易漏解、看空、算错。多解必须画图分类，双空前后有关联，不要两空独立做。 题型十六：几何多解问题 按位置、方向分类画图，全面考虑所有情况，做到不重不漏。 只画一种图形；习惯性漏解；位置考虑不全面。 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在矩形中，，P为边上一动点，连接，把沿折叠使A落在处，当为等腰三角形时，的长为（　　） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，根据为等腰三角形，分三种情况进行讨论：，分别求得的长，并判断是否符合题意． 【详解】①如图，当时，过作，交于E，交于F，则垂直平分，垂直平分， ∴， 由折叠得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； ②如图，当时， 由折叠得，， ∴， 连接，则中，， ∴（不合题意）， 故这种情况不存在； ③如图，当时，    由折叠得，， ∴， ∴点落在上的中点处， 此时，， ∴． 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或2． 故选：C． 2．（2025·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是（   ） A． B．或 C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用、圆的切线的性质等知识，综合性较强，有一定难度．正确分情况讨论，找出抛物线的对称轴的位置是解题关键．如图（见解析），分三种情况：①当时，则点在与垂直的直线上运动（不含点），②当时，则点在与垂直的直线上运动（不含点），③当时，则点在以为直径的圆上运动，圆心为的中点，判断出这个抛物线的对称轴（图中的和）与相切，由此计算即可得． 【详解】解：由题意可知，有以下三种情况： ①如图，当时，，为直角三角形， 则点在与垂直的直线上运动（不含点），且M点是与抛物线对称轴的交点； ②当时，，为直角三角形， 则点在与垂直的直线上运动（不含点），且M点是与抛物线对称轴的交点； ③当时，，为直角三角形， 则点在以为直径的圆上运动，圆心为的中点； ∵， ∴，的半径为， 抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形， ∴这个抛物线的对称轴（图中的和）与相切时，只有一个点M，使为直角三角形； ∴， 解得或， ∴或， 故选：D． 3．（2026·湖南长沙·一模）如图，将 与正方形按如图所示的方式摆放，边 在直线上，，， ，以的速度沿着方向运动，初始时点与点重合，当点与点 重合时停止运动，在运动过程中，当与正方形重叠部分面积为时，其运动时间为（  　 ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，根据三角形与正方形的相对位置，分三种情况讨论重叠部分的面积：当时，三角形部分进入正方形，重叠部分为直角梯形；当时，三角形完全在正方形内部，重叠部分为三角形；当时，三角形部分移出正方形，重叠部分为等腰直角三角形；分别列出面积关于的函数关系式，令求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，则点运动的距离为， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 分三种情况讨论： 当时，点在点左侧或重合，点在上，此时重叠部分为直角梯形，其高为，下底为，如图， 设交于点，则为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 令，整理得， 解得，， ∵， ∴； 当时，点在上，点在上（未到达）， 此时 完全在正方形内部，如图 ∴， ∵， ∴此时无解； 当时，点在右侧，点在左侧，此时重叠部分为（为与的交点），如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点运动的总距离为，初始在左侧处，点相对于的位置为， ∴， ∴， 令，即， 解得或， ∴或， ∵， ∴， 综上所述，当重叠部分面积为时，运动时间为或． 4．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，，，是斜边的中点，现将点绕着点按顺时针方向旋转角度得到点，连接，．若是轴对称图形，则边上的高为 ． 【答案】或或 【分析】连接，根据含角的直角三角形的性质可得，根据直角三角形的斜边中线定理可得，推出是等边三角形，得到，由旋转可得：，是轴对称图形，分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合对称、三角函数求解即可． 【详解】解：连接， 在中，，，， ， 是斜边的中点， ， ， 是等边三角形， ， 由题意可得：， 是轴对称图形，分以下三种情况： 当时，，如图，过点作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ， ，即边上的高为； 当时，如图，过点作，交的延长线于点， ， 是等边三角形， ， ， ，即边上的高为； 当时，当D在BC右侧时， 过点作于点， ， 是等边三角形， 垂直平分， ， 点在的延长线上， ，即边上的高为； 当D在BC左侧时，同理可得 ， ∴，即边上的高为； 综上所述，边上的高为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，直角三角形的斜边中线定理，三角函数，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，对称的性质，掌握相关知识是解题的关键． 题型十七：填空双空问题 先做简单空，再用前一空结果推导后一空，注意前后逻辑关联。 两空独立看待；逻辑关系用错；忽略题目递进关系。 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在等腰中，，若点E，F分别在边和边上，沿直线将翻折，使点C落于所在平面内，记为点D．直线交于点G．    （1）若落在边上，则________； （2）若，则________（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】可不是主要考查折叠的性质，勾股定理以及角的正切值： （1）根据折叠的性质得 ，设，则由勾股定理得 从而可求值； （2）过点G作于点H，由，设则， 进一步可求出答案 【详解】解：（1）如图，    由折叠得，，点B与点F重合， 则 设，则 在等腰中，，则 ； （2）过点G作于点H，    ， 由，设则， 在等腰中，，则 又由作图得为等腰直角三角形， ， ， 故答案为：， 2．（2025·重庆·三模）如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，点为弧的中点，若，，则的半径为________；的面积为________． 【答案】 5 15 【分析】根据，得出，过点作，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理结合，求出，根据圆周角定理得出，即可得，，从而得，求出，即可得；连接交于点，根据点为弧的中点，得出，得出，即可得，求出，，根据 即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 过点作， 则， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 连接交于点， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：5；15． 【点睛】该题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，掌握以上知识点． 3．（2024·天津·三模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上一点，连接，． （1）的长为____________； （2）若平分，则的长为____________． 【答案】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）延长交延长线于点，过点作于点，先利用角平分线的性质得到，设，则，再证明，得到，，，继而求得，，然后证明，得到，即，求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ，， 点是的中点， ， ， 故答案为：； （2）延长交延长线于点，过点作于点，如图， 在矩形中，，，， 平分，，， ， 设，则， 点是的中点， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质．正确作出辅助线构造相似三角形与全等三角形是解题的关键． 4．（2025·河南驻马店·三模）如图，在正方形中，分别为，的中点，为边上一动点（不与点重合），连接，过点作，且，连接，，则的值为_______，线段长度的最小值为___________． 【答案】 / 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，连接，，延长交于点，设交于点，证明，，得出，进而可得，即可得出的值，进而可得点在上运动，证明四边形是平行四边形，得出，则当在上时，取得最小值，此时重合，进而解直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，延长交于点，设交于点 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴点在上运动， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴ ∴当在上时，取得最小值，此时重合， ∵，则， 在中，， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴，即的最小值为 故答案为：，． 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线对称轴为，故，即；再结合抛物线与y轴交于正半轴，可得，进而可以判断①；因为对称轴，当时，，则当时，，即可判断②；由对称轴为直线，则，即可判断③； 由，即，由抛物线的对称轴是直线，即点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，所以，故可以判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为，， ∴，即； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，即①错误； ∵对称轴，当时，，则 ∴当时，，即可②正确； ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴，即③错误． ∵抛物线对称轴为，， ∴当时的函数值大于当时的函数值． ∵， ∴， ∴当点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即，故④正确． 综上，正确的结论是②④，共2个． 2．（2025·广东东莞·一模）如图，已知矩形，点E是边的中点，，与相交于点F，连接，下列结论：①；②③④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，设，得出，勾股定理求出，过点作，延长交于点，证明四边形是矩形，得出，证明，根据相似三角形的性质得出，，，故，③错误；求出，，即可判断①正确；表示出，得出，即可判断②错误；勾股定理求出，根据等面积法即可判断④． 【详解】解：∵点E是边的中点，， 设， ∵四边形是矩形， ，， ∴， 过点作，延长交于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ， ， ∴，，，故，③错误； ，， ∴，故①正确； ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴不垂直，故④错误； ∴正确的是①，共1个， 故选：A． 3．（2025·安徽马鞍山·三模）在中，，，，点为上一点，为内部一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查轴对称求最短距离，角平分线的判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质；能够通过给的面积关系，确定点的位置是解题的关键． 设点到的距离为，点到的距离为，根据面积比求得，则点在的角平分线上，作点关于的对称点，当、、三点共线，且时，的值最小，此时最小值为，在等边三角形中求出的长即可． 【详解】解：设点到的距离为，点到的距离为， ， ， 点在的角平分线上， 作点关于的对称点， ， 当、、三点共线，且时，的值最小，此时最小值为， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：C． 4．（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现方格中各部分数字的变化规律及之间的关系是解题的关键． 根据所给方格中的数字，发现数字的变化规律即可解决问题． 【详解】每个方格中左上角的数字依次为， 所以第n个方格中左上角的数字可表示为， 每个方格左下角的数字是左上角数字的一半，所以第n个方格中左下角的数字可表示为， 每个方格右上角数字比左上角的数字大5，所以第n个方格中右上角的数字可表示为: ， 当时，，，， 又， 所以． 故选：B． 5．（2026·河南开封·一模）如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线经过点，即，，结合当运动时间为秒时，，即可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点． 根据图象可知，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线经过点，即，． ∵四边形为菱形， ∴，． 又． ∴． ∴． ∴． ∵当运动时间为秒时， ， ∴． ∴． 6．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，平行四边形的面积为28，于点，，将沿折叠到处，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】作于点，根据平行四边形的性质，求出，进而得到，易得为等腰直角三角形，得到，进而求出，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：作于点， ∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵平行四边形的面积为28， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴. 7．（2025·四川绵阳·三模）如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，交于点G，连接．现有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先证明是等边三角形，利用“”证明，利用全等三角形的性质和三角形的外角性质可判断①；过C作于M，交延长线于N，则，根据四边形的内角和可推导出，然后证和可判定②；利用含30度角的直角三角形性质以及全等三角形的性质可判定③；运用勾股定理求得，，利用全等三角形的性质可得，进而得，利用三角形的面积公式可判断④，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， 又， ∴是等边三角形， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， ∴； 故①符合题意； 过C作于M，交延长线于N，则， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴， 即平分， 故②符合题意； ∵平分，且， ∴ 则， ∴，， ∵， 则， 即， 故③符合题意； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、四边形的内角和等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． 8．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 7．（2025·山东菏泽·一模）如图，已知，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，按此规律进行下去，则的直角边的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、找规律—数字的变化类．通过锐角三角函数和勾股定理，依次求得每个三角形的两条直角边，再从其中找出规律，即可得出结论． 【详解】解：由题意得： 在中，， ； 在中，， ； 在中，，； 在中，，； …… 在中，，， 当时，，， 故答案为：． 7．（2026·安徽阜阳·一模）对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当时，______； （2）当时，______． 【答案】 2 / 【分析】（1）根据给定的变换规则，先计算再计算即可； （2）先计算前几次变换的结果，归纳得到循环周期，再根据总项数和周期计算总和． 【详解】（1）当时，， ； （2）当时， ， ， ， 因此结果每3个数为一个循环周期， 一个周期内的和为， ， ． 8．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线，E为上一点，过点E作，与分别交于点G、F，H为的中点，连接．下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的有_____（填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】①根据题意可知，则，则； ②由证明，得到，从而； ③同②证明即可； ④若，则，可以证明，则且，则，为等腰直角三角形，过H点作垂直于于M点，设，则， ，，则 ， ，可作判断． 【详解】解：①∵四边形为正方形，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵为等腰直角三角形，H为的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵为等腰直角三角形，H为的中点， ∴， ， 在和中， ， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，H为的中点， ∴，， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 过H点作垂直于于M点，如图所示： 设，则， ，， 则 ， ， ∴， 故④不正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是能够综合应用上述知识点． 9．（2026·湖北·模拟预测）如图，在矩形中，，动点，分别以，的速度从点同时出发，点沿边向终点运动，点沿折线向终点运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图所示． （1）__________；（2）__________． 【答案】 【分析】根据题意和函数图象，分析点的运动路径与时间的关系，时对应点到达点，此时计算的面积可得的值；时对应点到达点，此时计算的面积可得的值． 【详解】解：由题意可知，点的速度为，点的速度为， 当时，点在上运动，点在上运动， 此时，， 四边形是矩形， ， ， 当时， ，即； 此时点运动的路程为 ， ， 点到达点， 由图可知，当时，面积达到最大值，且图象发生转折，说明此时点到达点，此时点运动的总路程为， ， ， 此时点运动的路程为 ，即， 四边形是矩形， ，点在边上， 当时，点在上运动，点在上运动， 此时 的底边为，高为， ； 当时，，即． 10．（2024·天津河北·二模）如图， 正方形的边长为，作以为底的等腰三角形，    (1)的面积为___________； (2)若，分别为，的中点，为的中点，射线，相交于点， 则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理； （1）过作于，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）连接，由为的中点，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，由（1）知，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）过作于，   ， ， ， 的面积为， 故答案为：； （2）连接， 为的中点， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ，， 为的中点， ， ， ， 由（1）知，， ， 为的中点， ， ， ， ； 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $