7.10 正弦定理及余弦定理、正弦定理的应用举例（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第七章 三角函数 7.10正弦定理及余弦定理、正弦定理的应用举例 》 梳理·必备知识 学生用书P118 《 基础盘点 落实双基 [知识点一] 正弦定理 [基础自测] 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 条件 为a,b,c (1)正弦定理不适用于直角三角形. (2)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的 结论 a sin A sin B sin C 比是一定值. (3)在△ABC中必有asin A-bsin B. 在一个三角形中，各边和它所对角的正 文字描述 (4)在△ABC中，若a>b,则必有sinA>sinB.( 弦的比相等 (5)在△ABC中，若sinA=sinB,则必有A=B. 知识点二] 正弦定理的变形 ( bsin A sin C,6-csin B csin A asin B (6)已知三角形的三个角，能够求其三条边.( sin B sin C sin A,c= (7)两个不可能到达的点之间的距离无法求得. ( asin C bsin C (8)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44 sin A sin Bi 方向 () sin A sin B:sin C=a:b:c; 答案：(1)×(2)/(3)×(4)√(5)/ R为△ABC外接圆的半径：sin A-sin B-sinC b (6)×(7)×(8)× atb+c 2.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角 sin A+sin B+sin C=2R. 为B,则a,3的关系为 () [知识点三]实际测量中的有关名称、术语 A.aB B.a=B 名称 定义 图示 C.a十B=90° D.a+3=1809 解析：B[根据题意和仰角、俯角的概念画出草图， 在同一铅垂平面内， 视线 如图所示，因为两直线平行内错角相等，所以α 仰角 视线在水平线上方时 仰角 水平线 =B.] 与水平线的夹角 水平线 在同一铅垂平面内， B.T-B 铅 俯角 视线在水平线下方时 俯角水平线 视线 a 与水平线的夹角 、视线 A 水平线 3.在△ABC中，a=1,b=√5，B=60°，则A=( 从指定方向线到目标 北 B.30°或150 方向线的水平角（指 南偏西60° A.30° 西 C.60 D.60°或120° 方向角 定方向线是指正北或 正南或正东或正西， 目标方向线 0 解析：A[因为在△ABC中，a=1,b=√5，B=60°， 南 方向角小于90°) 所以由正孩定理得，广泽如A-安 从正北的方向线按顺 北 因为a<b,所以A为锐角，所以A=30°，故选A.] 0120 方位角 时针到目标方向线所 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 转过的水平角 标方向线 若a=35b=3,A=号，则C= [知识点四] 三角形的面积公式 A.6 B C. 三角形的面积公式为S= 2absin C= 2acsin B 解析：C[在△ABC中，因为a=3√3，b=3, 2bcsin A. A=5 ·137· 高考总复习数学 sin A sin B,可得3=35 由正弦定理，4 b sin B 解析：B[根据三角形的面积公式得S=之ainC 解得snB=合又由A=吾，可得0<B<于， 1×2X3 Xsin30°=号.故选B7 7.如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船 所以B= 吾，所以C=x-(A十B)=x 在A处观测灯塔C在北偏东45°方向，行驶2h后， (管+晋)登故选C] 船到达B处，观测灯塔C在北偏东15°方向，此时 船与灯塔C的距离为 km. 5.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 北 若A=45°，B=30°，a=3√2，则b= ( A.√2 B.2√2 C.3 D.3 15 解析：D[由正弦定理a。 里=sinB待b二边B sin A B 东 3Ex日 解析：由图知∠C=30°，AB=40,∠CAB=45°， =3.故选D.] 2 由正弦定理得BC=ABsin45° 40X② 2 =40√2. 6.在△ABC中，a=2,b=√3，C=30°，则△ABC的面 sin30° 积是 答案：40√2 A B C. D.√5 直击考向 提升·学科素养 学生用书P119 通法悟道 春点一已知两角及一边解三角形 通性通法 [例1]在△ABC中，已知A=15°，B=45°，c=3+√3， (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另 一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三 解这个三角形. 个角. [解]由三角形内角和定理，得 (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角 C=180°-(A+B)=180°-(15°+45°)=120°， 和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外 由正弦定理，得a=csinA-3+③)sin15 两边. sin C sin120° ★跟踪训练 =(3+3)sin(45°-30°) sin120° 1.在△ABC中，A=60,sinB=号a=3,求三角形中 =(3+3)(sin45°cos30°-cos45°sin30°) sin 1209 其他边与角的大小. 解：国为snB=号所以B=30或150 2 当B=30°时，由A=60°得C=90°， 2 所以由正弦定理b a sin B sin C sin A' b=csin B=(3+23)sin 45 (3+)X2 2 #-品景a温昭×9-8。 sin C sin 120 3 2 -温a-册器×8=2 c=Sin C =√6+√2. 当B=150°时，不合题意，舍去. ·138· 第七章三角函数 吉点三己知两边及其中二边的对角解三角形 食跟踪训练 [例2]在△ABC中，已知B=30°，b=√2，c=2,解这 2.在△ABC中，若AB=3,BC=3√2，∠B=45°，则 个三角形 △ABC的面积为 [解]由正弦定理，得 A.2√2 B.4 c. D.号 sin C-csin B2sin 302 6 解析：D[由题意，S△BC= 2 zAB·BC·sin∠B= 因为c>b,B=30°，所以30°<C<180°.于是C ×3X3Ex号-是越选D.] 2 2 45°，或C=135°. 专点三正弦定理的应用一判断三角形的形状] (1)当C=45°时，A=105° [例3]已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所 此时a=bsin A=2sin105°=2sin(60°+45) 6 sin B sin30° sin30° 对的边，满足a cos A cos B cosC,则△ABC的 2(sin60°cos45+cos60°sin45°) 形状是 ( sin 30 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 2 2 5+1. [解析] 由正弦定理得 a b 2 sin A sin B-sinC,又 cos A cos B cos C insin Bsin C a b (2)当C=105°时，A=15°， cos A cos B cos C' 此时a=bsin A-2sin15°=V2sin(45°-30) 即tanA=tanB=tanC,所以A=B=C,即△ABC sin B sin 30 sin 309 为等边三角形. W2(sin45°cos30°-cos45°sin30°) [答案]C sin 30 通性通法 判断三角形的形状，可以从三边的关系入手，也 2 2 3-1. 可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦 2 定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出 通性通法 角与角的关系，从而作出准确判断.要特别注意 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. “等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形” 的区别， (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大 边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对 ★跟踪训练 3.在△ABC中，已知a2tanB=btan A,则△ABC的 的角为锐角，由正弦值可求锐角， 形状是 (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另 A.锐角三角形 一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个 B.直角三角形 角，要分类讨论，由“三角形中大边对大角”来 C.钝角三角形 判定 D.等腰三角形或直角三角形 设A为锐角，若a≥b,则A≥B,从而B为锐角， 解析：D[将a=2 Rsin A,b=2 Rsin B(R为△ABC 有一解；若a<b,则A<B,由正弦定理得sinB 外接圆的半径)代入已知条件，得sin'Atan B= =bsin A:①sinB>1,无解；②sinB=1,一解： sin'Btan A,sinAsin Bsin Asin'B cos B cos A ③sinB<1,两解 因为sin Asin B≠0，所以sinA=simB cos B cos A' 139 高考总复习数学 所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π P北京首都国际机场 -2B, 所以A=B或A十B=西，故△ABC为等腰三角形 天安门9 或直角三角形.] 专点四不能到达两点间的距离问题 [例4]如图，A,B两点都在河的对岸（不可到达）， 北京大兴国际机场 设计一种测量A,B两点间的距离的方法.并求出 解析：如图，由题意 北京首都国际机场 A,B间的距离. 可得AC=46km, 天安门 --B ∠ACB=16.28, A ∠BAC=132.57°， 北 由正弦定理可得 [解]测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得 BC CD=a,并且在C,D两点分别测得∠BCA=a, sin∠BAC C北京大兴国际机场 ∠ACD=B,∠CDB=Y,∠BDA=6, AC BC sin∠ABC,即 46 in132.57° sin31.15,解得BC- s31.1F·sin132.57≈0.2×0.74≈65. 46 46 答案：65 在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得 asin(y+δ) AC= asin(y+8) 考点五 测量高度问题 sin180°-(3+y+8)J sin(B):BC= [例5]如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物， sin(a十g十刀，于是，在△ABC中，应用余弦定理可 asin y A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 得 A,B 两点间的距离AB AB的方法.并求出建筑物的高度 VAC2+BC2-2ACXBCcos a= /a2sin2(y-6)a2sin2y 2a2sin(y-6)sin ycos a Vsin2(B+7+8)sin (a+8+y)sin(B+7+8)sin(a+8)' 通性通法 g.9 求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅 助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角 [解]选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在 形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.构造 同一条直线上，由在H,G两点用测角仪器测得A 数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角 的仰角分别是a,B,CD=a,测角仪器的高是h,那 形中， 么，在△ACD中，根据正弦定理可得AC 食跟踪训练 asin B 4.北京大兴国际机场（如图所示）位于中国北京市大 sin(a-B) 兴区和河北省廊坊市交界处，为4F级国际机场、世 所以，这座建筑物的高度为AB=AE十h 界级航空枢纽.如图，天安门在北京大兴国际机场 asin asin h 的正北方向46km处，北京首都国际机场在北京大 sin(a+B) 兴国际机场北偏东16.28°方向上，在天安门北偏东 通性通法 47.43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都 高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法 国际机场的距离约为 km.(结果精确到 直接测量的物体的高度问题.常用正弦定理或余弦 整数) 定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之 (参考数据：sin16.28°≈0.28，sin47.43°≈0.74， sin31.15°≈0.52) 间的距离，然后转化为解直角三角形的问题. ·140· 第七章三角函数 ★跟踪训练 由余弦定理，得 5.如图，要在山坡上A,B两处测量与地面垂直的铁 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=202+7 塔CD的高，由A,B两处测得塔顶C的仰角分别 2×20×7X =589,BC≈24（海里）， 为60°和45°，AB长为40m,斜坡与水平面成30 角，则铁塔CD的高为 m. 由正弦定理，得sinC sin120° 20 24 20X 于是sinC 2_5W3 AA60° 24 12 30 由于0°<C<90°，所以C≈46. B 因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东 解析：如图，延长CD交过A,B的水平线于点E, F,因为∠CAE=60°，∠CBF=45°，∠DBF=30°， 46°十30°=76°，大约需要航行24海里. 通性通法 (1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画 出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角 130° 和距离. (2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然 所以∠BCF=45°，∠ACE=30°，∠BDF=60°， 所以∠BCA=15°，∠ADC=120°，∠CBA=15°， 后将解得的结果转化为实际问题的解. ∠CAD=30°. ★跟踪训练 所以AC=AB=40, 6.测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北 在△ACD中，由正弦定理得， AC sin∠ADC 偏东30°的方向，且距离为40√3m,之后该测绘人 CD sin∠CAD1 员沿正北方向行走了40m,达到点B.试确定此时 即40-CD,解得CD=405 目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参 31 31 照物P的距离 2 解：如图，在△PAB中，∠PAB=30°， 答案，40 3 PA=40√3m,AB=40m. 春点立】 测量角度问题 北 [例6]位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向 B 相距20海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营 309403 40 救.甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船 南偏西30°，且与甲船相距7海里的C处的乙船， A 那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观 由余弦定理，得 测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度（精确 到1°)？需要航行的距离是多少海里（精确到1 PB=√AB+PA-2·AB·PA·cOs∠PAB= 海里)？ √402+(40√3)2-2×40×40√3cos30°=40(m). [解]根据题意，画出示意图，如图. 北 因为AB=40m,所以AB=PB,所以∠APB= ∠PAB=30°，所以∠PBA=120°.因此测绘人员到 20海里 B 海里 达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向 30 上，且目标参照物P与他的距离为40m. ·141· 高考总复习数学 突破·高效演练 学生用书P121 分层训练 高效提能 [基础题组练] 即sinB=2 21 B-歌我至mB=一1或mB 1.在△ABC中，若√3a=2 bsin A,则B= =1, A音 B哥 当tanB=-l时，有tanA=-tan(B十C)= c号成号 D.答或警 -巴品吉A(臣与B=警茅盾 1-tan Btan C 答案：C 故B-平合， 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, acos C十ccos A=c,则△ABC的形状为 当tanB-1时，有tanA=3,综上可得tanA=3,故 A.直角三角形 B.等边三角形 选A.] C.等腰三角形 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c. D.等腰直角三角形 答案：C 若a=2b,则2sin2B-sinA ) sinA 3.某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为300米和 500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向 A.- B. C.1 D告 上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A,B 间的距离为 ( 解析：A [依题意名=之，由正胺定理行 A.500米 B.600米 2sin'B-sinA -1=2× C.700米 D.800米 sinA 答案：C 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 侣)-1=故递A] 已知a=7c=5,则需之的值是 7.在△ABC中，AB=√6，∠A=75°，∠B=45°，则AC ( ) A.日 B号 c.±品 D是 解析：由三角形内角和定理，得∠C=60°，根据正弦 解析：A[在△ABC中，因a=7,c=5,由正弦定理 定理，得AB=AC nCsB,所以AC-2×=2 2√ C得器=后所以鼎是的能足 a 2 sin C 答案：2 子故选A] 8.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A 5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 处测得AC=60m,天文台最高处B的仰角为45°， a +b2 2+ C,且 天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为 absin m. asin Bcos C+csin Bcos A-,tan A= A.3 D A C.3或-号 D.-3或时 解析：由题图可得∠B=45°，∠BAC=30°，故BC= 解析：A[,a2+b2=c2+absin C, AC·sin∠BAC_60sin30 sin∠B sin45° =30√2(m). ∴.a2+b2-c2=absin C, 'cos C=+b-c2 ,.absin C 答案：30√2 2ab 2ab =cos C, 9.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，且 tan C=sin C=2, asin B-√3 bcos A=0. cos C (1)求角A; asin B·cosC+csin Beos A=3,号b, (2)若a=√13，b=3,求△ABC的面积 21 解：(1)，'asin B-3 bcos A=0, sin Asin Bcos C+sin Csin B cos A=sin B, ∴.由正弦定理可得：sin Asin B=√3 sin Bcos A, :sinB≠0，.sinA=√3cosA,即tanA=√3， 即s如ApsC+in CoA-怎即sim(A中C 0<A<,A= 2 2 (2)a=√13，b=3,A= 3 ·142· 第七章三角函数 .由余弦定理a2=b2十c2-2 bccos A, 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a 可得：13=9+2-2×3XcX号，可得：2-3c-4 =4,c0sA= ,sin B=57 3 16c>4. =0, (1)求b: .解得：c=4或c=一1（负值舍去）， (2)求△ABC的周长. ∴Sa=2csnA=x3X4×g=3g. 2 2 解：D因为a=4,e0sA=是sinB=, 16: [综合题组练] 因为A∈(0，π)，所以sinA>0, 1.在△ABC中，∠A=60°，b=1,△ABC的面积为√5，则 所以血A个厂A-所以由正孩定理可得： sin A 4X57 A领 B239 C263 b=asin B 16-5. sin A 3 3 D.2√7 7 4 解析：B[在△ABC中，因为∠A=60,b=1,△ABC (2)因为由余弦定理可得：a2=b2+c2-2 bccos A, 的面积为√3， 可得：16=25+2-2X5Xc×是，整理可得：2x2 所以SAc= 2csmA=台x1Xcxg-5, 2 所以c=4, 15c+18=0,每得c=6或2（由c>1,合去）. 因为a2=b2+c2-2 bccos A=12+42-2×1×4X 所以△ABC的周长=a+b+c=4+5+6=15. 名13，所以a=5, 5.(2023·春招，29)在△ABC中，角A,B,C,的对边 分别为ab,c已知a=2尽，b=2,A=夸 所以a，=3_239 sin A 3 3 故选B.] (1)求角B的大小. 2 (2)若函数y=3sim(分x一B),利用“五点法”作出 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a 该函数在一个周期上的简图. b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,A= ) b A答 B. c号 D号 解：(1)△ABC中，由a 9sinA=sinB得sinB= 解析：B[.'(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC, bsin A 由正弦定理可得(a一b)(a十b)=(c-b)c,整理可 2√3 2 得b+c2-a2=bc, 由余弦定理得cosA=十c-a_ 因为0<B<,所以B=吾或B=要，因为a,所 2bc 2, :A∈(0，x,A=于故选B] 以B=音 (2)由(1)可知y=3sin 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 2 π 6 ,列表如下， acos B(tanA十tanB)=√3c,则角A的大小为 4π 7x 10元 13π 3 3 3 3 解析：由题设，sin Acos B(tanA十tanB)=√3sinC, 0 π 3π 2 2 2π .sin Acos B(sin A+sin B cos A cos B 0 3 0 -3 0 =sin Acos B.sin Acos B+sin Bcos A cos Acos B 描点作图，得该函数在 =sin Acos B.sin(A+B) cos Acos B 所示 =sin Acos B· sin C cos Acos B=5sinC,又sinC≠0， .tanA=3,又0<A<π， 六A= 10 713元 3 y=3sin) 答案：号 ·143·