7.9 余弦定理（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

高考总复习数学 7.9 余弦定理 》 学生用书P115 基础盘点 梳理·必备知识 落实双基 [知识点一]余弦定理 3.在三角形ABC中，AB=5,AC=7,BC=8,则 三角形中任何一边的平方，等于其他两 ∠ABC大小为 文字语言 边平方的和减去这两边与它们夹角的余 A. B晋 C. D. 弦的积的两倍 答案：C a2=b2+c2-2bccos A; 4.若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段 符号语言 b2=a2+c2-2accos B; c2=a2+b2-2abcos C A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形 C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形 cos A=tc-a 解析：B[由题知：设△ABC的三边分别为a=5, 2bc b=6,c=7, 推论 cos B=ate 因为c>a>b,所以角C为△ABC最大的角. 2ac a2+b2-c2 因为cosC=5+62-72 cos C= 2X5x6>0,0<C<x, 2ab 所以C为锐角，故三角形为锐角三角形.故选B.] [知识点二]余弦定理及其推论的应用 5.已知△ABC内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,a 1.利用余弦定理的变形判定角：在△ABC中，c2=a =bcos C,则△ABC形状一定是 ( +b2台C为直角：c2>a2+b台C为钝角；c2<a2+ A.等腰直角三角形B.等边三角形 b2台C为锐角、 C.等腰三角形 D.直角三角形 2.应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题. 解析：D[由已知a=bcos C及余弦定理可得 (1)已知三边，求三角. (2)已知两边及一角，求第三边和其他两个角. 。=6t,则2a=+W- 工基础自测] 则a2十c2=b2,所以△ABC为直角三角形.故 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 选D.] (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因 6.如图，已知两座灯塔A、B与C的距离 北 此，它适应于任何三角形. ( (2)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不 都是√3km,灯塔A在C的北偏东 20 唯一 ( 20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔 东 (3)在△ABC中，若b2+c2>a2,则∠A为锐角.( A与灯塔B的距离为 km. 40° (4)在△ABC中，已知三个元素可求其余三个元素. 解析：由题意可得：∠ACB=180°-20° 南 40°=120°，AC=BC=√5， (5)在△ABC中，若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝 在△ABC中，由余弦定理可得： 角三角形. AB2=AC2+BC2-2AC.BCcos 120 答案：(1)/(2)×(3)/(4)/(5)/ 2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c =+-2x5xw5×(）9. 若b=2√2，c=1,A=45°，则a= ( 所以AB=3, A.1 B.2 C.√2 D.√5 即灯塔A与灯塔B的距离为3km. 答案：D 答案：3 》 学生用书P116 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 专点一已知两边及二角解三角形 通性通法 [例1] 在△ABC中，已知b=3,c=2√3，A=30°， 必须先判断该角是给出两边中一边的对角， 求a. 还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以 [解]由余弦定理，得a2=b2十c2-2 bccos A 由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对 =32+(2√5)2-2×3×2W3c0s30°=3， 角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程 求出第三边， 所以a=√5. ·134 第七章 三角函数 ★跟踪训练 食跟踪训练 1.在△ABC中，a=2√5，c=√6+√2，B=45°，解这个 2.在△ABC中，a=2,b=c=√5，则cosA 三角形. 解：根据余弦定理得，b=a十c2-2 accos B= 解析：由余弦定理得cosA=+c2-a2-3十3-4 2bc 6 (2√3)2+（√6+√2）2-2×2√3×（√6+√2）X c0s45°=8，∴.b=2√2. 又，cosA= b2+c2-a2_8+(6+√2)2-(23)2 2be 2×2√2X(6+√2) 答案：号 告点三】 判断三角形的形状 21 [例3] 在△ABC中，若a=2 bcos C,则△ABC的形 .A=60°，C=180°-(A+B)=75°. 状为 告点二包知三边（三边关系）解三角形 [解析] ,a=2 bcos C=2b· a2+b2-c2 2ab [例2]已知△ABC中，a:b:c=2:√6：(3+1)， 求△ABC的各内角度数， =a2+b2-c [解]a:b:c=2:√6：（√3+1），令a=2k,b= .a2=a2+b2-c2,即b2=c2,b=c, √6k,c=(3+1)k(k>0). △ABC为等腰三角形」 由余弦定理的推论得：c0sA= b2+c2-a2 [答案]等腰三角形 2bc 通性通法 6+(W3+1)2-4=2 利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 2×6×(W3+1)2 (1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定 ∴A=45°，0sB=02+c2-6=4+3+1)2-6 理化为边的关系，再变形条件判断. 2ac 2×2×(√3+1) (2)化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系， 2B=60.C=180°-A-B=180°-45°-60 1 通过三角变换得出关系进行判断 食跟踪训练 =75°. 3.若在△ABC中，2a·cosB=c,则三角形的形状一 通性通法 定是 已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦 A.直角三角形 B.等腰三角形 定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 理求出第三个角，利用余弦定理的推论求角时，应 解析：B[由2a·cosB=c以及余弦定理得2a· 注意余弦函数在(0，π)上是单调的.当余弦值为 a2+c2-b2 2ac =c,化简得a=b,所以三角形的形状一 正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角 定是等腰三角形.故选B.] 学生用书P117 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] 1.在三角形ABC中，AB=5,AC=3,BC=7, 4.在△ABC中，若a=8,b=7,DsC=是则△ABC 则∠BAC大小为 最大内角的余弦值为 A. 晋 C. D A司 R号 C. D.-月 答案：A 解析：D[因为c2=a2+b2-2 abcos C=64十49 2.若△ABC内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且 2X7X8×号-9，所以=3， a2=c2-b2+√5ba,则∠C 所以最大内角为∠A, A.晋 B C. n. 所以A=+口-994=一7，故 2bc 2×3×7 答案A 选D.] 3.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a 5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 =2c=25,0sA-9且Kc则 cs号-，则△ABC的形状是 A.3 B.2√2 C.2 D.√5 A.直角三角形 B.等腰三角形 答案：C C.锐角三角形 D.钝角三角形 ·135· 高考总复习数学 解析：A[由cos2S=a+b1+1 22a2十2cosC-a十b π<11π 2a :-≤2A-吾<6 6 再由会孩定理得：十号×+之_“士0 2ab 2a 2A-= b2十c2=a2.故三角形为直角三角形，故选A.] 6.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b A=受， -1=2Emsg-2g2则a 由余弦定理得a2=b2十c2-2bc, ,b=3c,.a2=10c2-3c2=7c2,.a=√7c, 解析：在△ABC中，因b=1,c=2√2，cosB=2y2 ∴cosC=Q2+6-c 7c2+9c2-c_57 2ab 6√7c 14 由余弦定理b2=a+c2-2 accos B得： [综合题组练] P=d+2-ax2x2g,p。-t7 1.在△ABC中，c2=bccos A+accos B+abcos C,则此三 角形必是 ) =0,解得a=号或a=3。 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 答案：了或3 解析：B[由c2=bccosA十accos B十abcos C, 7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若a 则c2=c.B+a十ac·+= 2bc 2ac -+ab· =2,b=3,c=4,12cos A+8cos B+6cos C= Q+C,即2=+B+C,整理可得a2+ 2ab 2 解析：由题意，12cosA十8cosB+6cosC-bccos A taccos B+abcos C c2,所以△ABC为直角三角形.故选B.] 2 2 2.已知菱形ABCD的边长为2，∠D=120°，则AC= ( 02+b2-c2=a2+b2+c2=22+32+4_29 2 2 2 2 A.6 B.23 C.2 D.-2√3 答案翌 解析：B[在菱形ABCD中，AD=DC=2,∠D 120°，由余弦定理AC2=AD2十DC2-2AD· 8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 =12,所以 A,B,C成等差数列，且a=5,c=8,则b DCos∠D=4+4-2X2X2X(-号) AC=2√3.故选B.] 解析：因为角A,B,C成等差数列， 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B 可得2B=A十C, 又因为A+B+C=x,即3B=,可得B=行， 吾a+-ac=4h-4,则6= 由a=5,c=8, 解析：在△ABC中，B=号a+-ac=4h-4, 根据余弦定理可得b2=a2十c2-2 accos B 由余弦定理可得b=a2十c2-2 accos B=a2+c2 =25+64-2X5×8c0s5=49, ac=4b-4,即b2-4b+4=0,解得b=2. 答案：2 所以b=7. 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 答案：7 (1)证明：acos B+bcos A=c; 9.已知函数f(x)=√3 sin xcos x十sin2x. (1)求函数f(x)的单调递增区间； a=76=5品言oA求AAC的 (2)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边， 周长 若fA)=号b=3c,求cosC的值。 解：(1)证明：由题意得acos B十bcos A -a.a'tc-bitb.bitc-a 解：(1)，f(.x)=W3 sin xcos x+sin2x 2ac 2bc sin 2cos 2sin 2r-cos 2x) -2+2-8++c2-a=c, 2 2c 1 所以acos B+bcos A=c,得证. (2)因为2c-b0 cos B cos A' 2kx-<2x-否≤2kx+2,k∈Z, 所以2 ccos A=bcos A十acos B, 由(1)可知，2rc0sA=c,即c0sA=子， 故函数f(x)的单调递增区间为[kx一百，kx+] 因为A∈(0，π)，所以A=. 31 k∈Z. 在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A, 2:fa)=sim(A-十 得：25+2-10c×合=49，即2-5c-24=0… sin2A-）=1, 解得c=8或c=-3(舍去)， 所以a十b十c=7+5+8=20,即△ABC的周长为20. ·136·