7.3 同角三角函数的基本关系式（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

高考总复习数学 解析：D[,tanx<0,∴.角x的终边在第二、四象 限，又sinx一cosx<0,.角x的终边在第四象限」 (②)若角。的终边上一点M号m,且1oM=1 (O为坐标原点)，求m的值及sina的值. 故选D.] 1 1 3.角a的终边经过点P(-b,4),且cosa=- 号则b 解：(1)由1sina-一sima ,得sina<0, 由lg(cosa)有意义，可知cosa>0, 的值为 ( 所以a是第四象限角. A.3 B.-3 C.±3 D.5 3) -6 (2)因为|OM=1,所以 5 +m2=1, 解析：A[r=√02+16，cosa= -6 r √6+16 解得m=士 6=3 又a为第四象限角，故m<0,从而m=一 4.已知sina 1 s。且ic(cosa)有意义 4 (1)试判断角α所在的象限； sina=￥-TOM 5 4 5 7.3 同角三角函数的基本关系式 梳理·必备知识 学生用书P95 基础盘点 落实双基 [知识点一]平方关系 答案：(1)×(2)×(3)/ sin2a+cos2a=1,其中a∈R. 2.sin22026°+c0s22026°= 变式：sin2a=1-cos2a,cos2a-1-sina, 解析：sin22026°+cos22026°=1. 1=sin2a+cos a 答案：1 [知识点二]商值关系 tan a= ,其中a≠受十kx,k∈乙 cos a 3.若sina= ,<a<r,则tana= 5’2 变式：sina=tan a cos a,cosa=sina tan a 答案：一2 注意： ①同角；②式子必须有意义；③重要思想：三角函数知 4.化简，c0sa-1 sin atan a 一求二，切化弦 答案：一cosa [基础自测] 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 5.已知tana=2,则ina十cosg的值为 sin a-cos a (1)对任意a,B∈R,有sina+cos2B=1. (2)若a∈R,则tana= ina恒成立. 解折：原式-皿8}-}8 cos a (3)(sina±cosa)2=1±2 sin acos a. 答案：3 学生用书P95 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 专点一利用同角三角函数基本关系式求值 64 如果a是第三象限角，那么c0sa=√5 [例1]已知sina=- 号，求0的值 从而tana sin a cos a ()×()是 [解]因为sina<0,sina≠-1，所以a是第三或 第四象限角.由sin2a十cos2a=1得cos2a=1 如果a是第四象限角， m。=1-(}- 4 那么c08a=青，ana= 3 4 ·106· 第七章 三角函数 通性通法 [例4幻 求证： 1+sin x cos x 利用同角三角函数的基本关系求解问题的关 [解] 由cosx≠0，知sinx≠一1， 键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、 逆用、变形.同角三角函数的基本关系本身是恒等 所以1十sinx≠0，于是 式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知 左边一 cos x(1+sin x) (1-sin x)(1+sin 条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通 过解方程组达到解决问题的目的. =cosx(1+sin z)cosr(1+sin <)1+sinx 1-sin x cosx cos x 食跟踪训练 =右边，所以，原式成立」 1.已知cosa= 3,且a为第二象限角，则tana 通性通法 ( 应用同角三角函数关系式化简、求值的方法 A.12 B. c- D.-13 (1)①利用sina十cos2a=1可实现&的正弦、余弦 12 2 是所以 的互化，利用ina=tana可以实现角&的弦 解析：A [由题意得sina=√/1-cos2a cos a 切互化 12 sin a 13 12 ②由一个角的任一三角函数值可求出这个角的 tan a= 故选A.] cos a 5 5 外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需 13 求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断 专点二三角函数武化简、求值及证明 符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类 [例2]已知tana=2,求下列代数式的值. 讨论 (1)4sin a-2cos a (2)关于sina与cosa的齐n次分式或齐二次整式 5cos a+3sin a 的化简求值的解题策略， (2) 1 4sin'a 3 sin acos a 2cosa. 已知tana,求关于sina与cosa的齐n次分式或 [解] (1)原式=4tana-26 齐二次整式的值： 3tan a+5 11' 1 所求式子为关于 si2a+nac⊙s十2cosa 所求式子为关于sina与 (2)原式= sina与cosa的 cosa的齐二次整式. sin a+cos a 齐n次分式. 将这个整式看作分母为1的 }×4+号×2+号 将分子、分母同除以 分式，然后将分母1替换成 4 -tan a+- 13 cosa,转化为关于 sin2a+cos2a,再将分子 方法 tan a+1 301 tana的式子，代人 分母同时除以cos2a转化 求解即可 为关于tana的式子，代人 求解即可. [例3] (1)化简：1-2sin130cos130 sin130°+√1-sin2130 当分子或分母中含常数 当求sina±cosa时，可将 (2)若角&是第二象限角，化简：tan√sina 时，可利用1=in2a+cos2a、该式平方，转化为齐二次 1 将式子转化为齐次式 整式求出结果后，再开方 得出该式的值 [解](1)原式= ”””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””” /sin2130°-2sin130°cos130°+cos130° 食跟踪训练 sin130°+√cos130 2.已知tana=3,求下列各式的值. |sin130°-cos130°_sin130°-cos130 sin130°+cos130°T sin130°-cos130° =1. (1css(2)2sn √3cosa+sin& (2)原式=tan a 1-sin'a cos'a sin ax sin'a =tan a sin'a cos a √5cosa-sina cos a √3-tana cosa,因为a是第二象限角，所以sina>0, 解：(1)原式= sin al W3cosa十sina 3+tan a cos a cosa<0,所以原式=sin acos al=sina二cosg cos a sin a cos a sin a 3-3=-2十5. -1. 3+3 107· 高考总复习数学 (2)原式=2sin'a-3 sin acosa 解：(1)原式= sin a+cos a 2sin a-3sin acos a cos36°-√sin369 cos a 2tan'a-3tan a √Jsin36°+cos236°-2sin36°cos36 sin acos a tan'a+1 cos36°-sin36° cos36°-sin36° cos a 2×32-3×3=9 √(cos36-sin36°)7cos36-sin36°T 32+1 -10 =cos36°-sin36 =1. 3.化简：(1)0s36°-1-c0s36 cos36°-sin36 √1-2sin36°cos36 （2)原式=in0os0_os0sin9cog0=cos0. (2)sin 0-cos0 sin 1 sin 0-cos 0 tan 0-1 cos 0 》 突破·高效演练 学生用书P97 《 分层训练 高效提能 [基础题组练] 因为0∈ ,cos0>0,所以os0= 51 1.己知a∈(0，π)，c0sa= 号则1ama 所以sin0=-2cos0=- 25 A是 c. D.-青 5 答案：D 所以sin0+cos0=-25+5 55 2.已知a是第四象限角，sina= 品则osa=( 5.已知0是第四象限角，M(1,m)为其终边上一点，且 A. sin 0=5 ,则2sin0-cos0 5 sin 0+cos 0 的值 答案：C A.0 B c台 D.5 3.若C为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值 的是 解析：D[由条件可知r=√J1十m,m<0, A.sin C B.cos C 所以sin0= m m,解得：m=-2, √1+m 5 1 C.tan C D.tan C 所以tan0=m=-2, 解析：A[由题意C∈(0，π)，故sinC>0,cosC、 2sin0-cos0_2tan0-1=5.故选D.] tanC的符号不定，所以A为正值，B、C、D的符号 sin 0++cos 0 tan 0+1 不定.故选A.] 6.已知sina=- 25,a是第四象限角，tana 24 4.若tan0=-2,且0∈ /3r,2x,则sin0+cos0 2 解析：因为sina=一岩a是第四象限角，所以 A.3⑤ 5 B. 5 C.-5D.-3E 5 5 cosa=1-na=6,所以tana=0g- 7 24 cos a 7 解析：C[国为am9-识号-2， 答案：-斗 所以sin0=-2cos0, 因为sin0+cos20=1,即4cos20+cos20=1, 7.已知sinx+cosx= (0<r<x),则cosx-sint 3 所以可得os0=吉 的值为 ·108· 第七章三角函数 解析：由sin工十cos-两边平方得：nr十 解析：A[由任意角三角函数的定义得tana= 3 3 ,即sin& 3 ∠0， 2sin a cos a 2sin a' 2 sin rcos+cosx号，解得2 sin cos= 9 所以3cosa=2sin2a=2(1-cos2a). 而0<x<π，有sinx>0,则cosx<0,即cosx-sinx 整理得2cos2a十3cosa-2=0, 0, 于是得cosx-sinx=-√/(cosx-sinx)2= 解得c0s。=子或c0sa=一2（会去）.门 2.已知角A、B、C分别是△ABC的三个内角sinA+ 一4 cosA=点则△ABC为 3 A.锐角三角形 B.直角三角形 答案：台 C.钝角三角形 D.无法判断 1 解析：C[:simA十cosA=3 5 8.己知tana=- T÷,则2 sin acos a+cos2a 2 解析： 1 sin2 a+cos2 a ..1+2sin Acos A ,即2 sin Acos A 2sin acos a+cos2 a 2sin acos a+cos2 a 13 tan'a+1 44,又A为三角形内角，sinA>0 2tan a+1' 又tana=- 合原式- .cosA<0,即A为钝角， 31 .△ABC为钝角三角形，故选C.] 答案号 3若n。-cose=g则am。 1+tan'a 9.化简： 解析：因为sin2a十cos2a=1, (1)2cos2a-1 1-2sin a 所以sin2a-cos2a=sina-cos2c=tan2&-1 sin2a+cos a tan'a+1 (2)(1+tan2 a)cos2 a; (3)tan?a-sin2 a-tan2 asin2 a. 3,所以1二ana=一1 1+tan?a 3 解：1)2cosa-1=2cos2a-cos2a-sin2a 1-2sin2 a cos2 a+sin2 a-2sin2a 答案：-日 -cos'a-sin'a1; 4.已知角α的终边过点(1，一3)，求： cos'a-sin a (2)(1+tana)cosa=cosatsin a.cos ①tana;②sina+cosa:③sina·cosa. sin a-2cos a cos"a (3)tan?a-sin2 a-tan2 asin a=tan2 a(1-sin2 a) 解：①因为角α的终边过点P(1,一3)， -sin'a=sin a.cos'a-sin'a=0. 所以x=1,y=-3, 由三角函数的定义可得：tana=义=一3. [综合题组练] 1.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半 ②sina+cosa=tana十1--3+1=2 sin a-2cos a tan a-2-3-25 轴重合，终边上一点A(2sina,3),则cosa= ③sina·cosa sina·cosa_tana ( sin'a+cos'a tan a+1 A是 -3 3 (-3)2+110 ·109·