7.2 任意角的三角函数（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第七章 三角函数 7.2任意角的三角函数 》 学生用书P92 基础盘点 梳理必备知识 落实双基 知识点一]任意角的三角函数的定义 2.有下列说法： 如图，设a是一 ①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②sina是“sin”与“a”的乘积； 个任意角，α∈ 条件R,它的终边OP ③若sina>0,则a是第一、二象限的角； ④若a是第二象限的角，且P(x,y)是其终边上一 与单位圆交于点 P(x,y) 点，则cosa=一 x x2+y 点P的纵坐标y叫作a的 其中正确的个数是 正弦 正弦函数，记作sina,即y A.0 B.1 C.2 D.3 sin a 答案：B 3.“角a是第一象限角”是“sina>0”的 点P的横坐标x叫作a的 A.充分不必要条件 余弦 余弦函数，记作cosa,即x B.必要不充分条件 -cos a C.充要条件 点P的纵坐标与横坐标的 D.既不充分也不必要条件 定义 比值义(x≠0)叫作a的正 解析：A[“a是第一象限角”可得“sina>0”,而 正切 “sina>0”可得“a是第一、二象限角或终边在y轴 切，记作tana,即y= 正半轴上”，故选A.] tan a 4.如果a的终边过点(2sin30°，一2cos30),那么sina= 正弦函数y=sinx,x∈R ( 余弦函数y=cosx,x∈R A号 c 三角函数 正切函数y=tanx,x≠ π 2 答案：D 十kπ，k∈Z 5.若cos0一，月角a的终边经过点P(c2则 [知识点二]正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 P点的横坐标x是 () A.2 B.±2 C.- 1 D.-2 答案：D 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。 6.角a终边与单位圆相交于点M3,1 则cosa+ 2’2 [基础自测] sina的值为 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”) 答案 (1)设角a终边上的点P(x,y),r=OP|≠0，则sina 7.在平面直角坐标系xOy中，角a与角B均以Ox为 =,且y越大，sim&的值越大. 始边，它们的终边关于x轴对称，若sina=号，则 (2)终边相同的角的同一三角函数值相等.( sin B= (3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( 答案：(1)×(2)/(3)× 答案：一5 ·103· 高考总复习数学 ) 提升·学科素养 学生用书P93 《 直击考向 通法悟道 专点一三角函数的定义及应用 [解析]由sin acos a>0,得&的终边落在第一或 [例1](1)已知角a的终边与单位圆的交点为 第三象限，由cos atan a=cosa·sing=sina<0, cos a P(号y小<0，则ana 得a的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落 在第三象限.故选C. (2)(多选题)若角a的终边经过点P(x,一3)，且 [答案]C sin a=- 品下则x的值为 通性通法 A.-3 B.-1 C.1 D.3 三角函数值的符号及角的位置的判断 已知一角的三角函数值(sina,cosa,tana)中任 [解析] 因为点P(小水<0)在单位国上· 意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可 则号+y=1,所以y= 4 4 能位置，二者的交集即为该角的终边位置.注意终 5 ,所以tana=- 3 边在坐标轴上的特殊情况. (2)OP=√x2+9, ★跟踪训练 ",'sin a=- -3 -3 高0，解释=1， 2.在平面直角坐标系中，点P(sin2025°，tan2025)位于 OP √x2+9 .x=士1. A.第一象限 B.第二象限 [答案] (1)-4 C.第三象限 D.第四象限 (2)BC 解析：B[因为2025°=5×360°+225°，又225°角 通性通法 的终边在第三象限，所以2025°角的终边也在第三象 限，所以sin2025°<0，tan2025°>0，所以，点 三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法 P(sin2025°，tan2025°)位于第二象限.] (1)已知角a的终边上的一点P的坐标，求角a的三 角函数值 专点三 公式二的简单应用 方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函 [例3]计算下列各式的值： 数的定义求解. (1)sin(-1395°)cos1110°+cos(-1020) sin750°； (2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的 横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值. (2)sin 方法：先求出点P到原点的距离（带参数），根据 [解](1)原式=sin(-4×360°+45)cos(3×3609 已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求 +30°)+cos(-3×360°+60)sin(2×360°+30°) 出未知数，从而求解问题 (3)已知角α的终边所在的直线方程(y=kx,k十 -m45os80+cos60n30-号×+号X 0),求角a的三角函数值。 =6+1=1+6 方法：先设出终边上一点P(a,ka),a≠0，求出点 2 4 4 4 P到原点的距离（注意a的符号，对a分类讨论）， x (2)原式=sim（-2x+)十cos2x+ tan(4π+0) 再利用三角函数的定义求解。 1 ★跟踪训练 2 1.若a是第四象限角，则点P(cosa,tana)在( 通性通法 A.第一象限 B.第二象限 准确理解和应用公式 C.第三象限 D.第四象限 (1)sin(2kπ+a)=sina. 解析：D[因为a是第四象限角，所以cosa>0, (2)cos(2kπ+a)=cosa. tana<0,即点P(cosa,tana)在第四象限，故 (3)tan(2kπ十a)=tana,其中k∈Z, 选D.] ★跟踪训练 专点二 三角函数值符亨的应用 3.计算：tan405°-sin450°+cos750°的值. [例2]若sin acos a.>0,cos atan a<0,则a的终边 解：原式=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+ 落在 ( ) c0s(2×360°+30) A.第一象限 B.第二象限 =1an45°-sin90+cos30°=1-1+5-5 221 C.第三象限 D.第四象限 ·104 第七章 三角函数 学生用书P94 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] 7.已知sin0·tan0<0,则角0位于第 象限 1.已知角a的终边经过点（一4,3），则cosa= 解析：法一：由sin0·tanf<0得 ( sin 0>0,tan sin 0<0,tan 00. A青 B c.-3 D.- 由sin0>0,tan0<0知0为第二象限角； 由sin0<0,tan0>0知0为第三象限角. 答案：D 2.角a的终边过点P(2sin30°，一2cos30°)，则 法二n价n0-sn0:8-80, cos a= ( cos0<0,.0为二、三象限角. A. B.-2 C.5 D. 答案：二或三 8.已知a终边经过点(3a-9,a十2)，且sina>0, 答案：A cosa≤0，则a的取值范围为 3.若点P(3,y)是角a终边上的一点，且满足y<0, 解析：sina>0,cosa≤0，.a位于第二象限或y cosa=分，则tana月 ( 轴正半轴上，∴.3a-9≤0，a十2>0，∴.-2<a≤3. c D.-4 答案：-2<a≤3 9.在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x+4y 答案：D =0上，求sina-3cosa+tana的值. 4.e知smg-看)2且0c(0,受)则cos0 解：①当α的终边在第二象限时，取终边上的点 P(-4,3),OP=5, 3 4 3 3 A.2 B sin a=3,cosa--5tan a= 2 D.1 31239 解析：A[由题设0-百∈（一若，)故0- π 所以sin&-3cosa十tana=5十5-44 ②当α的终边在第四象限时， 吾所以0=子则c0s0=故递A] 取终边上的点P(4,-3),OP=5, 5.已知直线l:y=xsin0十cos0的图象如图所示，则 3=- sin a=5 5,cosa=4」 5 ,tan a=-3 3 角0是 4 4 所以sina-3cosa十tana=- [综合题组练] 1.已知sina-i3,cosa= ，则角a的终边与单位 13 A.第一象限角 B.第二象限角 圆的交点坐标是 ( C.第三象限角 D.第四象限角 解析：D[由图可知直线斜率小于零，在y轴上截 A() (8) 轴大于零，即sin0<0且cos0>0,可解0是第四象 限角，所以选D.] c(器) 125 1313 6.(2023·春招，11)若cosa<0,tana<0,则角a 解析：D[设交点坐标为P(x,y),则y=sina= ( A.第一角限 B.第二角限 13'=cos a= P为 C.第三象限 D.第四象限 2.若tanx<0,且sinx一cosx<0,则角x的终边在 解析：B[由cosa<0得，a在二、三象限，由tana <0得，Q角在二、四象限，综上所述，角α在第二象 A.第一象限 B.第二象限 限，故选B.] C,第三象限 D.第四象限 ·105· 高考总复习数学 解析：D[,tanx<0,∴角x的终边在第二、四象 (2)若角e的终边上一点M号m且1oM=-1 限，又sinx一cosx<0,.角x的终边在第四象限. (O为坐标原点)，求m的值及sina的值， 故选D.] 3.角a的终边经过点P(-b,4),且cosa=-一 则6 解，1)由s=sl。得sine<0, 1 由lg(cosa)有意义，可知cosa>0, 的值为 ( ) 所以a是第四象限角. A.3 B.-3 C.±3 D.5 3)2 解析：A[r=√b+16,cosa= -b一b (2)因为OM=1,所以 5 十m2=1, r√62+16 解得m= 是63] 51 又a为第四象限角，故m<0,从而m=一 5 4已知la-de,且lg(cosa)有意义. 4 5 4 (1)试判断角α所在的象限； sin a--IOMI 51 7.3 同角三角函数的基本关系式 基础盘点 梳理·必备知识 学生用书P95 落实双基 [知识点一]平方关系 答案：(1)×(2)×(3)/ sin2a十cos2a=1,其中a∈R. 2.sin22026°+cos22026°= 变式：sina=1-cos2a,cos2a=1-sin°a, 解析：sin22026°+cos22026°=1. 1=sin2a+cos2 a 答案：1 [知识点二]商值关系 tana=sna,其中a≠ 2 十kπ，k∈Z. 3若sina号，交之a<π，则tana→ cos a 变式：sina=tan a cos a,cosa sin a tan a 答案：一 注意： ①同角；②式子必须有意义；③重要思想：三角函数知 4.化简：cosa-1 sin atan a 一求二，切化弦. 答案：一cosa [基础自测] 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 5.已知tana=2,则sina+cos的值为 sin a-cos a (1)对任意a,3∈R,有sina十cos23=1. (2)若a∈R,则tana= sina恒成立. 解折：式-品告-8 cos a (3)(sina士cosa)2=1±2 sin acos a. 答案：3 学生用书P95 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 专点一利用同角三角函数基本关系武求值 如果a是第三象限角，那么cosa= 16 4 25 5 [例1]已知sina= ，求cosa,ana的值. 3 从而tana= sin a cos a )×()是 [解]因为sina<0,sina≠-1，所以a是第三或 第四象限角.由sin2a十c0s2a=1得c0s2a=1 如果α是第四象限角， 3 那么cosa=5,ana= ·106·