5.4 等差数列和等比数列的应用（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第五章数列 5.4等差数列和等比数列的应用 》 基础盘点 梳理·必备知识 学生用书P67 落实双基 [知识点一]数列应用题的解题步骤 3,某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为 解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目， %,9%,则这两年的平均增长率是 认真审题，将实际问题转化为数列模型；②挖掘题 A.P%t9% 目的条件，分析该数列是等差数列，还是等比数列， 2 分清所求的是项的问题，还是求和问题.③检验结 B.p%·q% 果，写出答案 C.√(1+%)(1+q%) [知识点二]三种常见的应用模型 D.w(1+p%)(1+g%)-1 1.①零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金， 解析：D[设该工厂最初的产值为1，经过两年的 这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整 平均增长率为r,则(1+%)(1十q%)=(1十r)2. 取，规定每次存入的钱不计复利（暂不考虑利息税）. 于是r=√1十%)(1+q%)-1.] ②定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存 4.预测人口的变化趋势有多种方法.直接推算法使用 款自动转存.例如，储户某日存入一笔存期为1年 的公式是pn=p(1十k)"(k>一1)，其中pn为预测 的存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自 期人口数，P。为初期人口数，k为预测期内年增长 动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本 率，n为预测期间隔年数.如果在某一时期有一1< 利和 k0,那么在这期间人口数 ) ③分期付款：分期付款是购物的一种付款方式.即 A.呈上升趋势 B.呈下降趋势 将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求， C.摆动变化 D.不变 分期付清， 解析：B[,-1<k<0,.0<k+1<1,pn>0, 2.常用公式 又.+1=p(1十k)" ①复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元， 。(1+k)=1+<1p+1<p. 每期利率为r,存期为n,则本利和S=P(1十r)". 即数列{pn}为递减数列.] ②产值模型：原来产值的基础数为V,平均增长率 5.自主创业的大学生张华向银行贷款200000元作 为r,对于时间x的总产值y=N(1+r) 为创业资金，贷款的年利率为5%，如果他按照“等 ③单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利 额本金还款法”分10年进行还款，则其第二年应还 率为r,存期为n,则本利和为S=P(1+nr) 元；如果他按照“等额本息还款法”分10年 [基础自测] 进行还款，则其每年还款约 元.(1.05°≈ 1.62889) 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 解析：如果采用“等额本金还款法”，第二年应还 (1)“等额本金还款法”中，每一期还款数构成一个等 20000+(200000-20000)×5%=29000(元).如 差数列 () 果采用“等额本息还款法”每年应还 (2)“等额本息还款法”中，每一期还款数构成一个等 比数列 () 20000×561+56)"≈25901（元）. (1+5%)10-1 (3)如果政府的支出增加，那么经济就会产生“乘数” 答案：2900025901 效应 ( 6.某公司投入资金500万元，由于坚持改革，大胆 答案：(1)√(2)√(3)/ 创新，以后每年投入资金比上一年增加30%，那 2.某件产品计划每年成本降低q%,若三年后成本为 么7年后该公司共投入资金 万元. a,则现在的成本是 ( 解析：设第n年投入资金为am万元，由题意可知 A.a(1+q%)3 B.a(1-q%)3 am+1=an(1十30%)=1.3an. C.1-q%) D.1+a%) .{an}为首项a1=500,公比为1.3的等比数列， 解析：C[设现在的成本为x,则x(1一q%)3=a, s,-5002-5g21.3-D. 1-1.3 故x=a-9%] 答案5001.3-1 ·77· 高考总复习数学 直击考向 提升·学科素养 学生用书P68 通法悟道 专点一等差、等比数列模型的应用 解析：C[依题意可解甲分小米斤数为a1,公差为 [例1]一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在 d,则乙、丙、丁、戊依次为a1十d,a1十2d,a1十3d, 第一分钟时间里上升了15米高度. a1+4d,则有1+a1十d=15 解得 (1)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的 a1+2d+a1+3d+a1+4d=15 每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高 (a1=8 度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型 ,故选C.] d=- 上升的最大高度是多少？ 专点三 单利计算问题 (2)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的 每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度 [例2]有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日 的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超 存人一笔相同的金额，这是零存；到约定日期，可以 过75米吗？请说明理由. 提出全部本金及利息，这是整取.它的本利和公式 [解](1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构 如下： 成a1=15,d=-2的等差数列，则 本利和=每期存人金额× S.-na:+a(Dd=15n+(n>Dx(-2) 2 2 [存期十2存期×（存期十1）×利率]： =-n2+16n. (1)试解释这个本利和公式： 当n=8时，(Sn)max=S8=64 (2)若每月初存入100元，月利率5.1%，到第12个 即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米. 月底的本利和是多少？ (2)不能超过. (3)若每月初存入一笔款，月利率是5.1%，希望到 由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成b1=15,q= 第12个月底取得本利和2000元，那么每月应存入 0.8的等比数列， 多少金额？ 则Sn b(1-9)=151-0.8"2=75(1-0.8") [思路探究]存款储蓄是单利计息，若存入金额为 1-q 0.2 A,月利率为P,则n个月后的利息是nAP, <75. [解](1)设每期存入金额A,每期利率P,存入期 所以，这个飞机模型上升的最大高度不能超过 75米. 数为n,则各期利息之和为 通性通法 AP+2AP+3AP++nAP-3n(n+D)AP. 解决数列应用题的思路和方法 连同本金，就得： (1)认真审题准确理解题意，明确问题是属于等差数 本利和=nA十 1 nn+1)AP 列问题还是属于等比数列问题，要确定a1与项 数n的实际意义，同时要搞清是求am还是 A[n+2n(n+DP]. 求Sm (2)抓住题目中的主要数量关系，联想数学知识和方 (2)当A=100,P=5.1%,n=12时， 法，恰当引入参数变量，将文字语言转化为数学 本利和=100× （12+2×12×13×5.1%) 语言，将数量关系用数学式子表达出来. 1239.78(元). (3)将已知和所求联系起来，列出满足题意的数学关 系式. (3)将(1)中公式变形得 食跟踪训练 A=- 本利和 1 n+2n(n+1)P 1.在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊 五人分30斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数 2000 ≈161.32（元）. 之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且 12+2X12X13X5.1% 甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数依次成等差 即每月应存入161.32元. 数列，问每人各分多少斤.”那么，甲所分小米的斤 数是 通性通法 A.6 B.7 C.8 D.9 单利的计算问题，是等差数列模型的应用. ·78· 第五章数列 ★跟踪训练 a(1+r)5+a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1 2.王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，己 +r)=a· ato-4+r- 1-(1+r) 知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7%. 十r)](元). (1)欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生 每月大约存入多少元？ 通性通法 (2)若教育储蓄存款总额不超过2万元，零存整取3 本例主要考查阅读理解能力，这里关键是每年 年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后 2月1日又新存入a元，因此每年到期时所得钱的 本息合计约为多少元？（精确到1元） 本息和组成一个等比数列前n项和模型. 解：(1)设王先生每月存入A元，则有A(1十2.7%) 食跟踪训练 +A(1+2×2.7%)+…+A(1+36×2.7%)= 3.某牛奶厂2023年初有资金1000万元，由于引进了 20000,利用等差数列前n项和公式，得 先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%.每 A(36+36×2.7%+36X35×2.7%）=20000,解 2 年年底扣除下一年的消费基金后，余下的资金投入 得A≈529元. 再生产.这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才 (2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3 能实现经过5年资金达到2000万元的目标？ 年期教育储蓄每月至多存入20000 解：设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金， ≈555（元），这 36 2023年底剩余资金是1000(1十50%)-x; 样，3年后的本息和为：555(1+2.7%)十555(1+2 2024年底剩余资金是[1000(1+50%)-x]·(1+ ×2.7%0)+…+555(1+36×2.7%)=555 50%)-x=1000(1+50%)2-(1+50%)x-x; (36十36×2.7%+36X35×2.7%）≈20978（元）. …… 2 5年后达到资金 点关于复利模型问题 1000(1+50%)5-(1+50%)4x-(1+50%)3x- [例3]小张为实现“去沙特阿拉伯，看世博”的梦 (1+50%)2x-(1+50%).x=2000, 想，于2025年起，每年2月1日到银行新存入a元 解得x=459(万元)】 (一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期存 专点四】 分期付款模型 款自动转为新的一年定期，到2030年2月1日，将 [例4幻用分期付款的方式购买一件家用电器，其价 所有存款及利息全部取回，试求他可以得到的总 钱数. 格为1150元.购买当天先付150元，以后每月这一 [思路探究]由题意知，本题为定期自动转存问 天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%， 题，应为等比数列前n项和的模型. 分20次付完.若交付150元以后的第1个月开始 [解]依题意每一年的本息和构成数列{an},则 算分期付款的第1个月，问：分期付款的第10个月 2025年2月1日存入的a元钱到2026年1月31 需交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际 日所得本息和为a1=a(1十r). 花了多少钱？ 同理，到2027年1月31日所得本息和为 [解]购买时付款150元，欠1000元，以后每月付 a2-[a(1+r)+a]1+r)=a(1+r)2+a(1+r), 款50元，分20次付清.设每月付款数顺次构成数 到2028年1月31日所得本息和为 列{an},则 [a(1+r)2+a(1+r)+a](1+r) a1=50+1000×1%=60, =a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r), a2=50+(1000-50)×1%=59.5=60-0.5×1, 到2029年1月31日所得本息和为 a3=50+(1000-50×2)×1%=59=60-0.5 [a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)+a](1+r) ×2, =a(1+r)+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r), 。… 到2030年1月31日所得本息和为 a10=50+(1000-50×9)×1%=55.5=60-0.5 [a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)+a](1 ×9,则am=60-0.5(n-1)=-0.5n+60.5(1≤n +r)=a(1+r)5+a(1+r)1+a(1+r)3+a(1+r)2+a ≤20). (1+r), 所以数列{an}是以60为首项，一0.5为公差的等差 所以2030年2月1日他可取回的钱数为 数列， ·79· 高考总复习数学 所以付款总数为S0+150=20×60+20X19× 为公比的等比数列，所以n年内的总投入为an 2 (-0.5)+150=1255(元). 4000-4000· 所以第10个月需交55.5元，全部付清实际花了 1- 4 1255元. 第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入 通性通法 解题时务必要注意第一次付款的利息是1000 为400十)万元，，第年旅游业装入为 元欠款的利息，而不是950元的利息，而最后一次付 万元，各年旅游业收入依次构成以 款的利息是50元欠款的利息 40o1+) ★跟踪训练 400为首项，1十子=号为公比的等比数列，所以m 4 4.某人在2025年年初向银行申请个人住房公积金贷 年内的旅游业总收入为 款20万元购买住房，月利率为3.375%，按复利计 算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始 400 b 1600 -1600. 还贷.如果10年还清，那么每月应还贷多少元？ (参考数据：1.003375120≈1.49828) (2)设经过n年旅游业的总收入才能超过总投入， 解：由题意知借款总额a=200000(元)，还款次数 n=12×10=120, 则-a>0,即160()】 -1600-4000+ 还款期限m=10(年)=120（个月），月利率 r=3.375%0. 代入公式得，每月还款数额为： 化简符2()+（） 7>0. 200000×0.003375×(1+0.003375)120 (1+0.003375)10-1 ≈2029.66. 设（借）=x,代入上式得5x-7z+2>0, 故如果10年还清，每月应还贷约2029.66元。 根据二次函数y=5x2-7x十2的图象解此不等式， 专点五 增长率问题 得号我>1（合去） [例5]某地投入资金进行生态环境建设，并以此发 展旅游业.根据规划，本年度投入800万元，以后每 年投入将比上年减少号，本年度当地旅游业收入估 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入 计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作 通性通法 用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化时，则考 虑构建等比数列模型.其解题步骤为： (1)设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元， (1)由题意构建等比数列模型（有时需要从特殊情况入 旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式； 手，归纳总结出一般规律，进而构建等比数列模型)； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总 (2)确定其首项a1与公比q,分清是求第n项an,还 投入？ 是求前n项和Sm; [思路探究](1)由题设知各年的投入费用及旅游 (3)利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解； 业收入分别构成等比数列，利用等比数列的前n项 和公式易得am与bn;(2)建立am与bn的不等关系， (4)经过检验得出实际问题的答案。 解不等式即得， ★跟踪训练 [解](1)第一年投入为800万元，第二年投入为 5.某布商在10月20日购进4000匹布，10月21日 80-号)万元…，第n年投入为801-号) 开始销售，他每天都销售前一天库存布匹数目的 20%,然后新进1000匹新布人库.设第n天进货 万元，各年投入依次构成以800为首项，1一 后库存布匹的数目为am ·80· 第五章数列 (1)求an; .am-5000=-800 (2)第几天开始当日进货后库存布匹不少于 4900匹？ ∴.am=5000 800 (n∈N*). 解：(1)依题意，a1=4000(1-20%)+1000= 5 420a1=号a.+1005a,1-500=号(a, (2)令an≥4900，即5000-800× ≥4900， 5000),又a1-5000=4200-5000=-800, 解得n≥10.32.故第11天开始当日进货后库存布 a。一500是以-80为首项，号为公北的等比教列， 匹不少于4900匹 》 突破·高效演练 学生用书P71 分层训练 高效提能 [基础题组练] 6.一个工厂的生产总值月平均增长率是，那么年平 1.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在 均增长率为 杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一 解析：一年12个月，故1月至12月产值构成公比 个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒 为1十力的等比数列，设去年年底产值为a, 全部杀死至少需要 ( ∴.a12=a(1+p)12, A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟 &年平均增长来为1+p)-4=1十)-1. a 答案：B 答案：(1+)12-1 2.某林厂年初有森林木材存量S立方米，木材以每年 7.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2 25%的增长率生长，而每年末都砍伐固定的木材量 棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要 x立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增 的最少天数n(n∈N)等于 加50%，则x的值是 ( 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}, A B c 0.38 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 答案：C 所以由题意可得21-？”)≥100，即2”≥51， 1-2 3.某工厂2016年年底制订生产计划，要使工厂的年 总产值到2026年年底在原有基础上翻两番，则年 而2=32,2=64，n∈N+,所以n≥6. 总产值的平均增长率为 ( 答案：6 8.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一 A.4-1 B.5而-1 C.3-1 D.4i-1 年，剩余的物质为原来的，则经过 年，剩 答案：A 4.某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年 余的物质是原来的酷 平均增长率为1%，那么五年后这个小镇的人口 解析：经过一年，剩留物质为原来的4， 数为 ( A.20×(1.01)5万 经过二年，剩留物质为原来的 B.20×(1.01)4万 64 c20×0二号万 经过三年，剩留物质为原来的 n20x生二万 则经过3年，剩余的物质是原来的 125 答案：A 答案：3 5.现存入银行10000元钱，年利率是3.60%，那么按 9.某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1 照复利，第5年末的本利和是 ( 天、第4天、第7天所走的路程之和为390里，若从 A.10000×1.036 B.10000×1.036 第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男 C.10000×1.036 D.10000×1.036 子第5天走多少里，这是我国古代数学专著《九章 答案：C 算术》中的一个问题，请尝试解决」 ·81 高考总复习数学 解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相 解析：B[根据题意设每天派出的人数组成数列 同，所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差 {an},分析可得数列{an}是首项a1=64,公差d=8 数列，设该数列为{an},第1天走的路程数为首项 的等差数列，设1624人全部派遣到位需要的天数 a1,公差为d,则Sg=1260,a1十a4十a,-390.因为 为m,则64n十nn,1D×8=1624,由n为正整数， 2 S。=a1+nm,Dd,a,=a1+(n-1）)d,所 解得n=14.] 2 9a+9X(9-D4=1260 3.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为 以 2 10元，即最初的4km(不含4km)计费10元.如果某 a1+a1+3d+a1+6d=390 人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路 /41=100 畅通，等候时间为0，需要支付车费 _元. 解得 ,则a5=a1+4d=100+4×10=140. 解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 d=10 4km时，每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以 所以该男子第5天走140里. 可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1= [综合题组练] 11.2,表示4km处的车费，公差d-1.2,那么当出 1.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常 租车行至14km处时，n=11,此时需要支付车费 会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm× a1=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元). 12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm× 答案：23.2 12dm,20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积 4.某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为 之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm× 6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的 12dm,l0dm×6dm,20dmX3dm三种规格的图形， 日，剩余部分在三年内按每月底等颜还款的方式支 它们的面积之和S2=180dm2,以此类推，如果对折n 付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为 次，那么S 0.5%. ≤1 (1)到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商 A.2403+"+3 B.3+n十3 20 店多少元？ (2)假设货主每月还商店a元，写出在第i(i=1, C.240 D240·（3-” 2,…,36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表 解析：D [由题意得，对折n次有n十1种类型，Sn 达式 20(+1D周此s=240·( 3 2 +n+1 2” 解：1)因为购买电脑时，货主欠商店号的货款，即 合s=240(侵++…++)因 6000×名=4000（元），又接月利牵0.5%算， 2n千 3 到第一个月底的欠款数应为4000(1十0.5%) .s=0+++叶岁 =4020(元). (2)设第i个月底还款后的欠款数为y;, 则有y1=4000(1十0.5%)-a 2.朱世杰是中国历史上最伟大的数学家之一，他所著 y2=y1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)2 的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题： -a(1+0.5%)-a, “今有官司差夫一千六百二十四人筑堤，只云初日 y3=y2(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)3 差六十四人，次日转多八人.”其大意为“官府陆续 a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a, 派遣1624人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从 第二天开始每天派出的人数比前一天多8人”，则 y:=y:-1(1十0.5%)-a=4000(1+0.5%)- a(1+0.5%)-1-a(1+0.5%)2-…-a, 在该问题中的1624人全部派遣到位需要的天 由等比数列的求和公式，得y:=4000(1十0.5%) 数为 ( A.12 B.14 C.16 D.18 -a 1+0.5%)-1i=1,2,…,36). 0.5% ·82.